【提升版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·大兴期末）如图，⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径 垂直于弦 CD ，
∴
∵ ， ，
∴CE=1
∴CD=2．
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=2CE，求出CE的长，再利用垂径定理可得：CD=2CE。
2．（2019九上·黄石期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦 于 ， 寸， 寸，求直径 的长.”则 （ ）
A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接AO，
设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故答案为：C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
3．（2021九上·慈溪期中）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，OC过点O，
，
即.
故答案为：D.
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质可得OC=3，利用勾股定理可得AC，根据垂径定理可得AC=BC，则AB=2AC，据此计算.
4．（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出答案。
5．（2021九上·武汉月考）如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，
设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∴由垂径定理可知：DF＝4x，
∴EF＝x，
由勾股定理可知：OF＝3x，
在Rt△OEF中，
由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，
∴x＝，
∴CD＝8x＝4.
故答案为：A.
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，则DE＝5x，OD＝DE＝5x，CD＝8x，由垂径定理可知：DF＝4x，EF＝x，由勾股定理可知OF＝3x，然后在Rt△OEF中，利用勾股定理可求出x，进而可得CD的长.
6．（2024九上·鄞州期末）如图，的半径为5，弦，点C在弦AB上，延长CO交于点D，则CD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
过点O作OE⊥AB交AB于点E，
∴，OB=5
∴OE=4.
∴4≤OC≤5.
∵OD=5，
∴CD=OC+OD=OC+5，
∴CD的最大值为10，最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理求得OE的长度，O为线段AB外一定点，C为AB上动点，根据垂线段最短知道4≤OC≤5.再由CD=OC+OD=5+OC，即可知道CD的范围.
7．（2024九上·馆陶期末）如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
的半径弦于点，，
，
设半径为，
可知当，，在同一条直线上时最长，
即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
故答案为：D．
【分析】如图，连接，根据垂径定理可得，设半径为，结合“的最大值为18”可知当，，在同一条直线上时，进而可得，再运用勾股定理可得，代入计算即可求解。
8．（2023九上·滨江月考）A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，∵为的中点 ，
∴OB⊥AC，
∵OB=OC=6，∴圆O的直径为12，
由顶点恰好为该圆直径的三等分点，则当BD=×12=4时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BE=2，
∴OE=OB-BE=6-2=4，
∴CE=，
∴CD=.
如图，当BD=×12=8时，
由（1）知BE=BD=4，
∴OE=OB-BE=2，
∴CE=，
∴CD=.
∴ 该菱形的边长为 或 .
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当BD为直径的时和当BD为直径的时，据此分别画出图形并解答即可.
二、填空题
9．（2024九上·于都期末）如图，已知的两弦相交于E，且点A为的中点，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA交CD于G，
A为的中点
故答案为：58°
【分析】根据题意给出弧的中点，易联想到垂径定理，故想到连接OA，得到直角三角形；在直角三角形内，由圆半径都相等易证一个内角与已知角相等，另一内角即所求。
10．（2024九上·大安期末） 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为60m， 拱高CD为10m， 则桥拱所在圆的半径长为
【答案】50
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×60=30，
设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴r2=302+（r-10）2，
解得：r=50，
故答案为：50.
【分析】设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，再利用勾股定理可得r2=302+（r-10）2，最后求出r的值即可.
11．（2024九上·长沙月考）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】都是的半径，，
，
在Rt△OAD中，
【分析】利用垂径定理和勾股定理求得OB=10，结合OD的值，从而得出结论.
12．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：作于E，作于F，
根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，又圆的半径为10， AB⊥CD ， 且AB=CD=16 ，则OB=10，BE=AE=8，故四边形OEFP为矩形，OE=6，则EP=6，
由勾股定理可得：
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、垂径定理、勾股定理，作于E，作于F，根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，根据垂径定理及矩形的判定定理可得：四边形OEFP为矩形，从而得到EP的长度，再根据勾股定理求解即可.
三、解答题
13．（2024九上·延边期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．
【答案】（1）
（2）解：设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案.
（2）设主桥拱半径为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求出答案.
14．（2023九上·西湖期中）HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【答案】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴AD＝AB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r＝．
答：半径OA的长为mm．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径OA的长为r mm，可得则OA＝OC＝OB＝r mm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝AB ，根据勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解.
四、综合题
15．（2020九上·南京月考）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 .
【答案】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD；
（2）
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： （2）连接OC，如图，
设CH=x.在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2.
在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2，
解得：x= ，
∴CD=2CH= .
故答案为：.
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长.
16．（2016九上·嵊州期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD= AB= ×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
1 / 1【提升版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·大兴期末）如图，⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．（2019九上·黄石期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦 于 ， 寸， 寸，求直径 的长.”则 （ ）
A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸
3．（2021九上·慈溪期中）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．6 D．8
4．（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·武汉月考）如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
6．（2024九上·鄞州期末）如图，的半径为5，弦，点C在弦AB上，延长CO交于点D，则CD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·馆陶期末）如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2023九上·滨江月考）A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
9．（2024九上·于都期末）如图，已知的两弦相交于E，且点A为的中点，若，则的度数为 ．
10．（2024九上·大安期末） 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为60m， 拱高CD为10m， 则桥拱所在圆的半径长为
11．（2024九上·长沙月考）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为
12．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为 .
三、解答题
13．（2024九上·延边期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．
14．（2023九上·西湖期中）HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
四、综合题
15．（2020九上·南京月考）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 .
16．（2016九上·嵊州期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径 垂直于弦 CD ，
∴
∵ ， ，
∴CE=1
∴CD=2．
故答案为：C．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=2CE，求出CE的长，再利用垂径定理可得：CD=2CE。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接AO，
设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故答案为：C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，OC过点O，
，
即.
故答案为：D.
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质可得OC=3，利用勾股定理可得AC，根据垂径定理可得AC=BC，则AB=2AC，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出答案。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，
设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∴由垂径定理可知：DF＝4x，
∴EF＝x，
由勾股定理可知：OF＝3x，
在Rt△OEF中，
由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，
∴x＝，
∴CD＝8x＝4.
故答案为：A.
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，则DE＝5x，OD＝DE＝5x，CD＝8x，由垂径定理可知：DF＝4x，EF＝x，由勾股定理可知OF＝3x，然后在Rt△OEF中，利用勾股定理可求出x，进而可得CD的长.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
过点O作OE⊥AB交AB于点E，
∴，OB=5
∴OE=4.
∴4≤OC≤5.
∵OD=5，
∴CD=OC+OD=OC+5，
∴CD的最大值为10，最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理求得OE的长度，O为线段AB外一定点，C为AB上动点，根据垂线段最短知道4≤OC≤5.再由CD=OC+OD=5+OC，即可知道CD的范围.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
的半径弦于点，，
，
设半径为，
可知当，，在同一条直线上时最长，
即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
故答案为：D．
【分析】如图，连接，根据垂径定理可得，设半径为，结合“的最大值为18”可知当，，在同一条直线上时，进而可得，再运用勾股定理可得，代入计算即可求解。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，∵为的中点 ，
∴OB⊥AC，
∵OB=OC=6，∴圆O的直径为12，
由顶点恰好为该圆直径的三等分点，则当BD=×12=4时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BE=2，
∴OE=OB-BE=6-2=4，
∴CE=，
∴CD=.
如图，当BD=×12=8时，
由（1）知BE=BD=4，
∴OE=OB-BE=2，
∴CE=，
∴CD=.
∴ 该菱形的边长为 或 .
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当BD为直径的时和当BD为直径的时，据此分别画出图形并解答即可.
9．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA交CD于G，
A为的中点
故答案为：58°
【分析】根据题意给出弧的中点，易联想到垂径定理，故想到连接OA，得到直角三角形；在直角三角形内，由圆半径都相等易证一个内角与已知角相等，另一内角即所求。
10．【答案】50
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×60=30，
设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴r2=302+（r-10）2，
解得：r=50，
故答案为：50.
【分析】设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，再利用勾股定理可得r2=302+（r-10）2，最后求出r的值即可.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】都是的半径，，
，
在Rt△OAD中，
【分析】利用垂径定理和勾股定理求得OB=10，结合OD的值，从而得出结论.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：作于E，作于F，
根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，又圆的半径为10， AB⊥CD ， 且AB=CD=16 ，则OB=10，BE=AE=8，故四边形OEFP为矩形，OE=6，则EP=6，
由勾股定理可得：
故答案为：.
【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、垂径定理、勾股定理，作于E，作于F，根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，根据垂径定理及矩形的判定定理可得：四边形OEFP为矩形，从而得到EP的长度，再根据勾股定理求解即可.
13．【答案】（1）
（2）解：设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案.
（2）设主桥拱半径为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴AD＝AB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r＝．
答：半径OA的长为mm．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径OA的长为r mm，可得则OA＝OC＝OB＝r mm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝AB ，根据勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解.
15．【答案】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD；
（2）
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： （2）连接OC，如图，
设CH=x.在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2.
在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2，
解得：x= ，
∴CD=2CH= .
故答案为：.
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长.
16．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD= AB= ×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
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