【培优版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·东营期末）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024·从江模拟）如图，AB是的弦，AB的长为6，P是上一个动点(不与点A，B重合).过点O作AP于点，作于点，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
4．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·东莞模拟）如何只用一张矩形纸条和刻度尺测量出一次性纸杯杯口的直径 小聪同学想到了如下方法：如图所示，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm，则纸杯的直径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
6．（2024·湖南会考）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（ ）
A．5米 B．4米 C．3米 D．2米
7．（2024·叙州模拟）如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为 （ ）
A．5 B．6 C． D．
8．（2021·自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B．4 C．5 D．10
二、填空题
9．（2024·牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
10．（2024·修水模拟）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ．
11．（2024九下·龙湖模拟）如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
12．（2024·台州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为 mm．
三、解答题
13．（2024·南昌模拟）
（1）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数；
（2）下图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，求圆形拱门所在圆的半径．
14．（2023九上·吉林期中）如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是⊙O的一部分． D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于C．连接OA、OB．已知AB=24cm．碗深CD=8cm，问⊙O的半径OA是多少？
15．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质 第2课时 垂径定理 同步训练）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
16．（2020九上·新建期中）如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4 ，请完成下列计算
（1）求⊙O的半径长；
（2）求DE的长．
四、实践探究题
17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”
阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径．
18．（2023九上·上城期中）根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
2．【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，，
是的中位线，
．
故答案为：C
【分析】先根据垂径定理得到，，进而根据中位线的定理结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，OD⊥AB，
∠ACO=90°，，
OA=OD=5cm，CD=3cm，
OC=OD-CD=2cm，
在中，由勾股定理有，
AB=2AC=
故答案为：D.
【分析】先根据垂径定理得到∠ACO=90°，，再根据勾股定理求出AC的长，即可得到AB的长.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，EF为纸条宽，连接OC，OA，
则EF⊥CD，EF⊥AB，
∴CE=CD=×4=2，AF=AB=×3=，
设OE=x，则OF=3.5 x，
又∵OC=OA，
∴CE2+OE2=AF2+OF2，即22+x2=()2+(3.5 x)2，
解得：x=，
∴半径，
即直径为5cm，
故答案为：B.
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到CE=4，AF=3，再根据勾股定理构建方程解题即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接、，交于点，如图所示：
由题意得米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：D
【分析】连接、，交于点，由题意得米，，进而根据垂径定理得到（米，，再运用勾股定理求出OD，进而根据CD=OC-OD即可求解。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接以及过点O作，
设，
∵，，
∴，
则，
，
∴，
∴（负值已舍去），
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，过点O作OH⊥AB，根据垂径定理求MH的长度，设OH=x，根据勾股定理列方程求解即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵AB⊥CD， OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
∴AE=EC=4
设OF=x，则有
x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵ 直径AB⊥CD， CD＝6，
∴CE=DE=3，
设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，
∵OE2+ED2=OD2，
∴（r-1）2+32=r2，
解得r=5，
∴OA=5，OE=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEC中，AC===.
故答案为：.
【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，如图，
根据题意得，OB=12cm，AB=10cm，
∴ BC=6cm，
由勾股定理得，OC=8cm，
∴ 最大深度是8+10=18cm.
故答案为：18.
【分析】连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得BC的长，根据勾股定理求得OC，即可求得最大深度.
11．【答案】3﹣3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
由垂径定理得：OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝6，OG＝3，
由勾股定理得：OA＝，
∴AB＝2AO＝6，∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝6，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝6，MG＝CG＝3，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
∴＝3，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，最小值＝FM﹣MG，即可求解．
12．【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，交EF于点H，连接OD，
设OH=x，
∵ 密封盖最高点E到地面的距离为6mm，
∴EH=6，则OE=OD=6+x，
∵EF⊥CD，
∴，
在Rt△ODH中，HD2+OH2=OD2即，
解之：x=33，
∴OD=33+6=39；
过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'，
∴M'Z∥E'F'，
∴点Z是BQ'的中点，
∴点M'是BG的中点，
∴M'Z是△GQ'B的中位线，
∴M'Z=GQ'，
∵EG=75，EQ'=6，
∴GQ'=69，
∴M'Z=34.5，
∵点M'到F'E'的距离为36，
∴MJ=M'P'=36，
∵OM=OE=39，
如图1，作MJ⊥EG于点J，过点M作ML⊥L于点L，
∴，
∴移动前M到地面的距离为JH=39-15-6=18，
∴MM'=M'Z-JH=34.5-18=16.5，
∴密封盖下沉的最大距离为16.5mm.
故答案为：39，16.5.
【分析】如图1，连接CD，交EF于点H，连接OD，过点M作ML⊥L于点L，设OH=x，利用已知可表示出OE的长，利用垂径定理求出DH的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的半径.；过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'，易证M'Z是△GQ'B的中位线，利用三角形的中位线定理求出M'Z的长；利用点M'到F'E'的距离为36，可证得MJ=M'P'=36，利用勾股定理求出JO的长，由此可得到移动前M到地面的距离，然后求出MM'的长即可.
13．【答案】（1）解：∵，将绕点逆时针旋转得到，在中，
∴，，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，路面的宽为，
∴．
设，则．
∴在中，，即，
解得：．
∴圆形拱门所在圆的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先根据旋转定义和性质得出，， 然后再根据两角之差即可求得的度数；
（2） 如图，连接， 首先根据垂径定理得出，然后根据同源的半径相等可得出OA+OD=5， 设，则，根据勾股定理即可得出方程， 解方程即可得出答案。
14．【答案】解：∵ 是⊙O的一部分，D是的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=- AB=12cm，
设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，
在Rt△OAC中，∠OCA=90° ，
∴r2=122+（r -8）2，
解得r= 13，
∴⊙O的半径OA=13．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，利用勾股定理可得r2=122+（r -8）2，再求出r的值即可.
15．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，
∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm，
∴BD=CD=5cm，
∵AB=6 cm，
在Rt△ABD中，
∴AD=，
在Rt△OBD中，
∴R2=52+（R-）2，
∴R=.
即圆片的半径为.
（3）解：由（2）知R=.
∵3＜＜4，
∴4.5＜＜6，
又∵n＜R＜m，
∴n=5，m=6
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
（2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R.
（3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
16．【答案】（1）解：连接BE，
∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝ ，
∴AD＝BD＝ ，
设OA＝x，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴OD＝ x，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴2+ ＝x2，
解得：x＝4，
即⊙O的半径长是4；
（2）解：由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，
∵AD＝BD
∴BE＝2OD＝4，
∵AE是直径，
∴∠B＝90°，
∴DE＝
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝ ，根据垂径定理可求得AD＝BD，然后设OA＝x，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．
17．【答案】1；10；
∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
∴AB=1，CD=10.
如图，连结CO．
∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸．
设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸．
在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2，
即(x-1)2+52=x2，
解得x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径.
18．【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘，
根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，
答：B，C两点之间的水平距离为4肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），AE＝8（肘），
∵OB2＝OC2=EB2+OE2，
∴OB2=132+（OB-8）2，
解得OB=，答：石拱桥拱圈的半径为肘．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘；根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离，及B，C两点之间的铅垂距离（高度差）；
任务2：如图，作过点C的水平线CE⊥AO，垂足为E，记圆心为OC、BO，根据勾股定理可得OB2＝OC2=EB2+OE2，即得OB2=132+（OB-8）2，解出OB即可.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·东营期末）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
2．（2024·从江模拟）如图，AB是的弦，AB的长为6，P是上一个动点(不与点A，B重合).过点O作AP于点，作于点，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，，
是的中位线，
．
故答案为：C
【分析】先根据垂径定理得到，，进而根据中位线的定理结合题意即可求解。
3．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
4．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，OD⊥AB，
∠ACO=90°，，
OA=OD=5cm，CD=3cm，
OC=OD-CD=2cm，
在中，由勾股定理有，
AB=2AC=
故答案为：D.
【分析】先根据垂径定理得到∠ACO=90°，，再根据勾股定理求出AC的长，即可得到AB的长.
5．（2024·东莞模拟）如何只用一张矩形纸条和刻度尺测量出一次性纸杯杯口的直径 小聪同学想到了如下方法：如图所示，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm，则纸杯的直径为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，EF为纸条宽，连接OC，OA，
则EF⊥CD，EF⊥AB，
∴CE=CD=×4=2，AF=AB=×3=，
设OE=x，则OF=3.5 x，
又∵OC=OA，
∴CE2+OE2=AF2+OF2，即22+x2=()2+(3.5 x)2，
解得：x=，
∴半径，
即直径为5cm，
故答案为：B.
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到CE=4，AF=3，再根据勾股定理构建方程解题即可．
6．（2024·湖南会考）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（ ）
A．5米 B．4米 C．3米 D．2米
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接、，交于点，如图所示：
由题意得米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：D
【分析】连接、，交于点，由题意得米，，进而根据垂径定理得到（米，，再运用勾股定理求出OD，进而根据CD=OC-OD即可求解。
7．（2024·叙州模拟）如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为 （ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接以及过点O作，
设，
∵，，
∴，
则，
，
∴，
∴（负值已舍去），
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，过点O作OH⊥AB，根据垂径定理求MH的长度，设OH=x，根据勾股定理列方程求解即可。
8．（2021·自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B．4 C．5 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC
∵AB⊥CD， OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
∴AE=EC=4
设OF=x，则有
x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长.
二、填空题
9．（2024·牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵ 直径AB⊥CD， CD＝6，
∴CE=DE=3，
设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，
∵OE2+ED2=OD2，
∴（r-1）2+32=r2，
解得r=5，
∴OA=5，OE=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEC中，AC===.
故答案为：.
【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可.
10．（2024·修水模拟）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，如图，
根据题意得，OB=12cm，AB=10cm，
∴ BC=6cm，
由勾股定理得，OC=8cm，
∴ 最大深度是8+10=18cm.
故答案为：18.
【分析】连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得BC的长，根据勾股定理求得OC，即可求得最大深度.
11．（2024九下·龙湖模拟）如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】3﹣3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
由垂径定理得：OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝6，OG＝3，
由勾股定理得：OA＝，
∴AB＝2AO＝6，∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝6，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝6，MG＝CG＝3，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
∴＝3，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，最小值＝FM﹣MG，即可求解．
12．（2024·台州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为 mm．
【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，交EF于点H，连接OD，
设OH=x，
∵ 密封盖最高点E到地面的距离为6mm，
∴EH=6，则OE=OD=6+x，
∵EF⊥CD，
∴，
在Rt△ODH中，HD2+OH2=OD2即，
解之：x=33，
∴OD=33+6=39；
过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'，
∴M'Z∥E'F'，
∴点Z是BQ'的中点，
∴点M'是BG的中点，
∴M'Z是△GQ'B的中位线，
∴M'Z=GQ'，
∵EG=75，EQ'=6，
∴GQ'=69，
∴M'Z=34.5，
∵点M'到F'E'的距离为36，
∴MJ=M'P'=36，
∵OM=OE=39，
如图1，作MJ⊥EG于点J，过点M作ML⊥L于点L，
∴，
∴移动前M到地面的距离为JH=39-15-6=18，
∴MM'=M'Z-JH=34.5-18=16.5，
∴密封盖下沉的最大距离为16.5mm.
故答案为：39，16.5.
【分析】如图1，连接CD，交EF于点H，连接OD，过点M作ML⊥L于点L，设OH=x，利用已知可表示出OE的长，利用垂径定理求出DH的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的半径.；过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'，易证M'Z是△GQ'B的中位线，利用三角形的中位线定理求出M'Z的长；利用点M'到F'E'的距离为36，可证得MJ=M'P'=36，利用勾股定理求出JO的长，由此可得到移动前M到地面的距离，然后求出MM'的长即可.
三、解答题
13．（2024·南昌模拟）
（1）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数；
（2）下图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，求圆形拱门所在圆的半径．
【答案】（1）解：∵，将绕点逆时针旋转得到，在中，
∴，，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，路面的宽为，
∴．
设，则．
∴在中，，即，
解得：．
∴圆形拱门所在圆的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先根据旋转定义和性质得出，， 然后再根据两角之差即可求得的度数；
（2） 如图，连接， 首先根据垂径定理得出，然后根据同源的半径相等可得出OA+OD=5， 设，则，根据勾股定理即可得出方程， 解方程即可得出答案。
14．（2023九上·吉林期中）如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是⊙O的一部分． D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于C．连接OA、OB．已知AB=24cm．碗深CD=8cm，问⊙O的半径OA是多少？
【答案】解：∵ 是⊙O的一部分，D是的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=- AB=12cm，
设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，
在Rt△OAC中，∠OCA=90° ，
∴r2=122+（r -8）2，
解得r= 13，
∴⊙O的半径OA=13．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，利用勾股定理可得r2=122+（r -8）2，再求出r的值即可.
15．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质 第2课时 垂径定理 同步训练）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，
∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm，
∴BD=CD=5cm，
∵AB=6 cm，
在Rt△ABD中，
∴AD=，
在Rt△OBD中，
∴R2=52+（R-）2，
∴R=.
即圆片的半径为.
（3）解：由（2）知R=.
∵3＜＜4，
∴4.5＜＜6，
又∵n＜R＜m，
∴n=5，m=6
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
（2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R.
（3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
16．（2020九上·新建期中）如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4 ，请完成下列计算
（1）求⊙O的半径长；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：连接BE，
∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝ ，
∴AD＝BD＝ ，
设OA＝x，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴OD＝ x，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴2+ ＝x2，
解得：x＝4，
即⊙O的半径长是4；
（2）解：由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，
∵AD＝BD
∴BE＝2OD＝4，
∵AE是直径，
∴∠B＝90°，
∴DE＝
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝ ，根据垂径定理可求得AD＝BD，然后设OA＝x，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．
四、实践探究题
17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”
阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径．
【答案】1；10；
∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
∴AB=1，CD=10.
如图，连结CO．
∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸．
设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸．
在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2，
即(x-1)2+52=x2，
解得x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径.
18．（2023九上·上城期中）根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘，
根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长，
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽，
答：B，C两点之间的水平距离为4肘；
任务2：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO，
观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），AE＝8（肘），
∵OB2＝OC2=EB2+OE2，
∴OB2=132+（OB-8）2，
解得OB=，答：石拱桥拱圈的半径为肘．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘；根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离，及B，C两点之间的铅垂距离（高度差）；
任务2：如图，作过点C的水平线CE⊥AO，垂足为E，记圆心为OC、BO，根据勾股定理可得OB2＝OC2=EB2+OE2，即得OB2=132+（OB-8）2，解出OB即可.
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