【提升版】浙教版数学九上3.4 圆心角 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·姑苏月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
2．（2023九上·南山月考）如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．（图形的性质(250)+—+命题与证明(381)+—+命题与定理(382) ）下列四个命题中，正确的有（ ）
①直径是弦；
②任意三点确定一个圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④相等的圆心角所对的弧相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（ ）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
5．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
6．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以O为旋转中心，旋转下列哪一个度数，能使旋转后的图形与原图形重合？（ ）．
A．60° B．90° C．120° D．180°
7．如图，在⊙O中，已知 =2，则AB与2CD的大小关系是（ ）．
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不确定
二、填空题
8．可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应 条弧．
9．如图，在⊙O中，=，∠ABC= 68°，则∠BAC的度数是
10．在同圆或等圆中，如果 ， ， ， 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
11．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠AOC=50°．过点A作AE∥CD，交⊙O于点E，则的度数为
12．如图所示，AB是的直径，如果，那么与相等的弧有 ，与线段OA相等的弦有 .
三、解答题
13．如图，已知AB，CD是⊙o的两条直径，弦DE∥AB，请说明的理由．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以直角顶点C为圆心、AC的长为半径的圆交AB于点D，∠B=35°，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°.
∴劣弧的度数是120°.
故答案为：D.
【分析】弧的度数即弧所对应的圆心角的度数，故求出对应圆心角即可.
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：直径是圆内最长的弦，故①正确；
任意不在同一直线上的三个点确定一个圆，故②错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故③正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故④错误；
故选C．
【分析】根据题目中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．
4．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOC=60°，OA=OC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由题知的度数可得弧所对圆心角的度数，得出∠AOC=60°，又由半径相等，可得△OAC是等边三角形，从而求出AC的长即可解答.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=360÷3=120°，
∴旋转120°后即可和原图形重合．
故答案为：C.
【分析】先求出∠AOB的度数，就可确定旋转后的图形与原图形重合所需要的旋转角度.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，
∴ =，
∵ =2，
∴，
∴CD=BE=AE，
∵AE+BE＞BA，
∴2CD＞AB.
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，结合已知条件，可证得，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得CD=BE=AE，利用三角形的三边关系，可得到AB与2CD的大小关系.
8．【答案】两
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应两条弧.
故答案为：两.
【分析】圆中的一条弦对应的弧有两条.
9．【答案】44°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵=，
∴∠B=∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-68°-68°=44°.
故答案为：44°.
【分析】利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C=68°，再利用三角形的内角和定理，可求出 ∠BAC的度数 .
10．【答案】两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等.
故答案为：两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距.
【分析】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可得答案.
11．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连结OE，如图.
∵AE∥CD，∠AOC=50°，
∴∠EAO=∠AOC=50°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=50°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=80°，
∴的度数为80°，
故答案为：80°．
【分析】先利用平行线的性质和∠AOC的度数求得∠EAO，再结合“在同一个三角形中，等边对等角”求得∠AEO，最后利用三角形的内角和定理求出∠AOE，即可求得的度数.
12．【答案】；AC，CD，DB
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠COA=∠DOB=60°，
∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=180°-60°-60°=60°，
∴∠COA=∠DOB=∠COD，
∴；
∵OA=OC=OD=OB，
∴△AOC、△COD、△BOD是等边三角形，
∴与线段OA相等的弦有AC=、CD、BD.
故答案为：，AC，CD，DB.
【分析】利用平角的定义可求出∠COD的度数，可推出∠COA=∠DOB=∠COD，由此可推出，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOC、△COD、△BOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到与OA线段的弦.
13．【答案】解：连结OE，如图，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠BOC=∠ODE，∠OED=∠BOE，再根据等边对等角可得∠ODE=∠OED，推出∠BOC=∠BOE，即可求得.
14．【答案】解：连结CD，如图，
在Rt中，
.
，
，
，
∴的度数是.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结CD，根据三角形的内角和定理可得∠A，再根据等腰三角形的性质得∠CDA=∠A，再根据弧的度数即为弧所对的圆心角的度数，即可求得.
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一、选择题
1．（2021九上·姑苏月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
2．（2023九上·南山月考）如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°.
∴劣弧的度数是120°.
故答案为：D.
【分析】弧的度数即弧所对应的圆心角的度数，故求出对应圆心角即可.
3．（图形的性质(250)+—+命题与证明(381)+—+命题与定理(382) ）下列四个命题中，正确的有（ ）
①直径是弦；
②任意三点确定一个圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④相等的圆心角所对的弧相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：直径是圆内最长的弦，故①正确；
任意不在同一直线上的三个点确定一个圆，故②错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故③正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故④错误；
故选C．
【分析】根据题目中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．
4．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（ ）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOC=60°，OA=OC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由题知的度数可得弧所对圆心角的度数，得出∠AOC=60°，又由半径相等，可得△OAC是等边三角形，从而求出AC的长即可解答.
5．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
6．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以O为旋转中心，旋转下列哪一个度数，能使旋转后的图形与原图形重合？（ ）．
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=360÷3=120°，
∴旋转120°后即可和原图形重合．
故答案为：C.
【分析】先求出∠AOB的度数，就可确定旋转后的图形与原图形重合所需要的旋转角度.
7．如图，在⊙O中，已知 =2，则AB与2CD的大小关系是（ ）．
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，
∴ =，
∵ =2，
∴，
∴CD=BE=AE，
∵AE+BE＞BA，
∴2CD＞AB.
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，结合已知条件，可证得，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得CD=BE=AE，利用三角形的三边关系，可得到AB与2CD的大小关系.
二、填空题
8．可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应 条弧．
【答案】两
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应两条弧.
故答案为：两.
【分析】圆中的一条弦对应的弧有两条.
9．如图，在⊙O中，=，∠ABC= 68°，则∠BAC的度数是
【答案】44°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵=，
∴∠B=∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-68°-68°=44°.
故答案为：44°.
【分析】利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C=68°，再利用三角形的内角和定理，可求出 ∠BAC的度数 .
10．在同圆或等圆中，如果 ， ， ， 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
【答案】两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等.
故答案为：两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距.
【分析】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可得答案.
11．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠AOC=50°．过点A作AE∥CD，交⊙O于点E，则的度数为
【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连结OE，如图.
∵AE∥CD，∠AOC=50°，
∴∠EAO=∠AOC=50°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=50°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=80°，
∴的度数为80°，
故答案为：80°．
【分析】先利用平行线的性质和∠AOC的度数求得∠EAO，再结合“在同一个三角形中，等边对等角”求得∠AEO，最后利用三角形的内角和定理求出∠AOE，即可求得的度数.
12．如图所示，AB是的直径，如果，那么与相等的弧有 ，与线段OA相等的弦有 .
【答案】；AC，CD，DB
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠COA=∠DOB=60°，
∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=180°-60°-60°=60°，
∴∠COA=∠DOB=∠COD，
∴；
∵OA=OC=OD=OB，
∴△AOC、△COD、△BOD是等边三角形，
∴与线段OA相等的弦有AC=、CD、BD.
故答案为：，AC，CD，DB.
【分析】利用平角的定义可求出∠COD的度数，可推出∠COA=∠DOB=∠COD，由此可推出，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOC、△COD、△BOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到与OA线段的弦.
三、解答题
13．如图，已知AB，CD是⊙o的两条直径，弦DE∥AB，请说明的理由．
【答案】解：连结OE，如图，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠BOC=∠ODE，∠OED=∠BOE，再根据等边对等角可得∠ODE=∠OED，推出∠BOC=∠BOE，即可求得.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以直角顶点C为圆心、AC的长为半径的圆交AB于点D，∠B=35°，求的度数．
【答案】解：连结CD，如图，
在Rt中，
.
，
，
，
∴的度数是.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结CD，根据三角形的内角和定理可得∠A，再根据等腰三角形的性质得∠CDA=∠A，再根据弧的度数即为弧所对的圆心角的度数，即可求得.
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