【培优版】浙教版数学九上3.4 圆心角 同步练习
一、选择题
1．（2016九上·萧山期中）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
2．如图所示，射线PB，PD分别交于点A，B和点C，D，且.已知的半径等于5，OA∥PC，则OP的长为（ ）.
A．8 B． C． D．10
3．如图所示，在中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
4．如图所示，AB是的直径，若，且，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
5．如图所示的角中，属于圆心角的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023九上·南京开学考）如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（ ）
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
7．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
9．如图所示，的半径，点在上，且，连结 ，弦AD的长为 .
10．如图所示，在中，，以点为圆心、BC长为半径的交AB于点，交AC于点，则的度数为 .
11．（2022九上·淳安期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
12．（2022九上·舟山月考）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
三、解答题
13．（2023九上·瑞安期中）如图，A，B，C是⊙O上三点，且＝2，过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝1，求⊙O的半径．
14．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．已知AB=AC，的度数为100°，求∠AOC和的度数．
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E．
（1）求的度数．
（2）求证：D是AC的中点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；
等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B正确；
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．
故选B．
【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OP，
∵AB=CD，
∴OE=OF，AE=AB=4，
∴OP平分∠BPD，
∴∠APO=∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP=∠OPC=∠APO，
∴AP=OA=5，
PE=AE+AP=4+5=9，
在Rt△AOE中，
，
在Rt△POE中
.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OP，利用在同圆和等圆中相等的弦的弦心距相等，可知OE=OF，利用垂径定理可求出AE的长，利用角平分线的判定，可知∠APO=∠OPC，利用平行线的性质可推出∠AOP=∠OPC=∠APO，再利用等腰三角形的性质可求出AP的长，即可等得到PE的长；利用勾股定理求出OE的长，然后求出OP的长即可.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°.
故答案为B：.
【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AD∥CO，
∴∠DAO=∠AOC=70°，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠D=70°，
∴∠AOD=180°-∠DAO-∠D=180°-70°-70°=40°，
∴ 的度数为40°.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质可求出∠DAO的度数，再利用等腰三角形的性质可得到∠D的度数，再利用三角形的内角和定理可求出∠AOD的度数；然后根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出结果.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆心角是顶点在圆心的角，
由图形可知，第一个和第二个图形中的角是圆心角，
故答案为：B.
【分析】圆心角是顶点在圆心的角，再观察图形可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接AE，BE，
∴弧AB=2弧AE=2弧BE
∵，
∴，
∴AE=BE=CD，
∵ AE+BE> AB，
∴AB< 2CD.
故答案为：B.
【分析】首先取弧AB的中点E，连接AE，BE，易得，由等弧所对的弦相等得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系求得答案.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在Rt△BEO中，由勾股定理得：，
∴，
∴AB是OD的垂直平分线，
∴，
∴△OBD是等边三角形，
∴，
∴的度数为60°，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
9．【答案】30°；4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOD+∠DOC=90°，
∵，
∴∠AOD=2∠COD，
∴2∠COD+∠DOC=90°，
解之：∠COD=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=4.
故答案为：30°，4.
【分析】利用垂直的定义可知∠AOD+∠DOC=90°，利用圆心角和它所对的弧的度数之间的关系，可求出∠COD，∠AOD，再利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=（180°-∠B-∠BDC）=×（180°-65°-65°）=50°，
∴的度数为50°.
故答案为：50°.
【分析】连接CD，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出的度数.
11．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由题意可得这条弦所对的圆心角的度数为周角的，然后结合周角为360°进行计算.
12．【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，
∵OC是半径，
∴AD=DE，，
∴AE=2AD，，
∵，
∴，
∴AE=AB，
∴AB=2AD.
故答案为：=
【分析】延长AD交圆O于点E，利用垂径定理可证得AD=DE，，由此可推出AE=2AD，，结合已知可证得，利用圆心角，弦，弧之间的关系定理可证得AE=AB，由此可得到AB与2AD之间的数量关系.
13．【答案】（1）证明：延长BD交⊙O于E，如图：
∵BD⊥OC，
∴BE＝2BD，，
∵，
∴，
∴AB＝BE，
∴AB＝2BD；
（2）解：连接OB，如图：
设⊙O 的半径为r，
∵，
∴，
在Rt△OBD中，
解得：r=2．
即圆的半径为2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得BE=2BD，，求得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即可求解；
（2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求解即可.
14．【答案】解：∵的度数是100°，
即∠BOC=100°，
∵AB=AC，
∴∠AOC=∠AOB，
则
即∠AOC的度数为130°，
∴的度数是130°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系求出∠BOC=100°，根据在同圆中等弦所对的圆心角相等可得∠AOC=∠AOB，求出∠AOC=130°，即可求解．
15．【答案】（1）解：如图，连结BD．
∵ 在△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠A=60°，
∵BA= BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD= 60°，
∴∠DBE=∠ABC-∠ABD= 30°，
∴的度数为30°；
（2）证明：由（1）得△ABD为等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠DBC=∠C=30°，
∴DC=DB，
∴DC=AD，即D为AC的中点．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，连结BD，由三角形的内角和得∠A=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠ABD= 60°，进而根据角的和差求出∠DBE的度数，最后根据圆心角、弧的关系可得答案；
（2）由等边三角形的性质得DB=AD，由等角对等边得DC=DB，从而由等量代换得DC=AD，即D为AC的中点．
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.4 圆心角 同步练习
一、选择题
1．（2016九上·萧山期中）下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；
等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B正确；
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．
故选B．
【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．
2．如图所示，射线PB，PD分别交于点A，B和点C，D，且.已知的半径等于5，OA∥PC，则OP的长为（ ）.
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OP，
∵AB=CD，
∴OE=OF，AE=AB=4，
∴OP平分∠BPD，
∴∠APO=∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP=∠OPC=∠APO，
∴AP=OA=5，
PE=AE+AP=4+5=9，
在Rt△AOE中，
，
在Rt△POE中
.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OP，利用在同圆和等圆中相等的弦的弦心距相等，可知OE=OF，利用垂径定理可求出AE的长，利用角平分线的判定，可知∠APO=∠OPC，利用平行线的性质可推出∠AOP=∠OPC=∠APO，再利用等腰三角形的性质可求出AP的长，即可等得到PE的长；利用勾股定理求出OE的长，然后求出OP的长即可.
3．如图所示，在中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°.
故答案为B：.
【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
4．如图所示，AB是的直径，若，且，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AD∥CO，
∴∠DAO=∠AOC=70°，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠D=70°，
∴∠AOD=180°-∠DAO-∠D=180°-70°-70°=40°，
∴ 的度数为40°.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质可求出∠DAO的度数，再利用等腰三角形的性质可得到∠D的度数，再利用三角形的内角和定理可求出∠AOD的度数；然后根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出结果.
5．如图所示的角中，属于圆心角的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆心角是顶点在圆心的角，
由图形可知，第一个和第二个图形中的角是圆心角，
故答案为：B.
【分析】圆心角是顶点在圆心的角，再观察图形可得到答案.
6．（2023九上·南京开学考）如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（ ）
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接AE，BE，
∴弧AB=2弧AE=2弧BE
∵，
∴，
∴AE=BE=CD，
∵ AE+BE> AB，
∴AB< 2CD.
故答案为：B.
【分析】首先取弧AB的中点E，连接AE，BE，易得，由等弧所对的弦相等得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系求得答案.
7．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在Rt△BEO中，由勾股定理得：，
∴，
∴AB是OD的垂直平分线，
∴，
∴△OBD是等边三角形，
∴，
∴的度数为60°，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.
8．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
二、填空题
9．如图所示，的半径，点在上，且，连结 ，弦AD的长为 .
【答案】30°；4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOD+∠DOC=90°，
∵，
∴∠AOD=2∠COD，
∴2∠COD+∠DOC=90°，
解之：∠COD=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=4.
故答案为：30°，4.
【分析】利用垂直的定义可知∠AOD+∠DOC=90°，利用圆心角和它所对的弧的度数之间的关系，可求出∠COD，∠AOD，再利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长.
10．如图所示，在中，，以点为圆心、BC长为半径的交AB于点，交AC于点，则的度数为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=（180°-∠B-∠BDC）=×（180°-65°-65°）=50°，
∴的度数为50°.
故答案为：50°.
【分析】连接CD，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出的度数.
11．（2022九上·淳安期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由题意可得这条弦所对的圆心角的度数为周角的，然后结合周角为360°进行计算.
12．（2022九上·舟山月考）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，
∵OC是半径，
∴AD=DE，，
∴AE=2AD，，
∵，
∴，
∴AE=AB，
∴AB=2AD.
故答案为：=
【分析】延长AD交圆O于点E，利用垂径定理可证得AD=DE，，由此可推出AE=2AD，，结合已知可证得，利用圆心角，弦，弧之间的关系定理可证得AE=AB，由此可得到AB与2AD之间的数量关系.
三、解答题
13．（2023九上·瑞安期中）如图，A，B，C是⊙O上三点，且＝2，过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：延长BD交⊙O于E，如图：
∵BD⊥OC，
∴BE＝2BD，，
∵，
∴，
∴AB＝BE，
∴AB＝2BD；
（2）解：连接OB，如图：
设⊙O 的半径为r，
∵，
∴，
在Rt△OBD中，
解得：r=2．
即圆的半径为2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得BE=2BD，，求得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即可求解；
（2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求解即可.
14．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．已知AB=AC，的度数为100°，求∠AOC和的度数．
【答案】解：∵的度数是100°，
即∠BOC=100°，
∵AB=AC，
∴∠AOC=∠AOB，
则
即∠AOC的度数为130°，
∴的度数是130°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系求出∠BOC=100°，根据在同圆中等弦所对的圆心角相等可得∠AOC=∠AOB，求出∠AOC=130°，即可求解．
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E．
（1）求的度数．
（2）求证：D是AC的中点．
【答案】（1）解：如图，连结BD．
∵ 在△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠A=60°，
∵BA= BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD= 60°，
∴∠DBE=∠ABC-∠ABD= 30°，
∴的度数为30°；
（2）证明：由（1）得△ABD为等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠DBC=∠C=30°，
∴DC=DB，
∴DC=AD，即D为AC的中点．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，连结BD，由三角形的内角和得∠A=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠ABD= 60°，进而根据角的和差求出∠DBE的度数，最后根据圆心角、弧的关系可得答案；
（2）由等边三角形的性质得DB=AD，由等角对等边得DC=DB，从而由等量代换得DC=AD，即D为AC的中点．
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