【基础版】浙教版数学九上3.5 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2019·柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
2．（2024·泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·武威）如图，点在上，，垂足为，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2017·滦县模拟）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
5．（2024九上·潮南期末）如图，点在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·丰南模拟）下列图形中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2024九下·麒麟模拟）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接OA，则的长度为（ ）
A．2 B．1 C．6 D．5
二、填空题
9．（2024·北京市）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则 °.
10．（2024·盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝ °．
11．（2024九下·高州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC=
12．（2023九上·朝阳期中）如图，点都在上，若，则的大小为 ．
三、解答题
13．（2024九上·惠州期中）如图，AB是的直径，C，D两点在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
14．（2024九下·南山开学考）如图，在中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
15．（2024·揭东模拟）如图，是的弦，半径，垂足为，点在上，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是的直径
∴ ∠C=90°
∵
∴ ∠ABD=∠AOD=25°
∵ BA平分
∴ ∠ABC=∠ABD=25°
∴ ∠A=90°-∠ABC=65°
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得 ∠C=90°，根据 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分线的定义得 ∠ABC=∠ABD=25°，最后根据直角三角形两锐角互余可得 ∠A=65°.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
∠CDO=90°，
，
∠O=2∠A=70°，
∠C=90°-70°=20°.
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠CDO=90°，再根据圆周角定理得出∠O=2∠A=70°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=55°，
∴∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°，
由圆周角定理得，∠A= ∠BOC=35°，
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可．
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=2∠C=2×40°=80°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可求解.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：A：∠1与∠2是对顶角，∠1=∠2，不符合题意：B：∠1是∠2所在三角形的一个外角，∠1＞∠2，符合题意：
C：若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，不符合题意：
D：∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∠1=∠2．故本选项不合题意.
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对选项C进行判断；根据圆周角定理对选项D进行判断．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，含角直角三角形的性质．连接，先利用圆周角定理可求出，再利用垂径定理可推出，利用角的运算可求出，再根据直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半可求出答案．
9．【答案】55
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB平分非直径的弦CD，
∴AB⊥CD，
∴∠B=90°-∠D=55°，
∴∠C=∠B=55°.
故答案为：55.
【分析】由平分非直径的弦得直径垂直于弦可得AB⊥CD，由直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，进而再根据同弧所对的圆周角相等可得∠C的度数.
10．【答案】50
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵∠C＝40°，
∴∠AOB=2∠C＝80°，
∵OA=OB，
∴ ∠OAB＝∠OBA=（180°-∠AOB）=50°.
故答案为：50.
【分析】由圆周角定理可得∠AOB=2∠C＝80°， 再利用等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解即可.
11．【答案】32°
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
∴∠BAC=90°-58°=32°.
故答案为：32°.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠ADC，然后由直角三角形两锐角互余可求解.
12．【答案】72
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：依题意，
故答案为：．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，据此求解．
13．【答案】（1）证明：连接AC，
∵是的直径，
（2）解
又
∴的半径长度为3.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AC，由是的直径可得，从而求出∠ACD=∠BCD=45°，可得AD=BD；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，从而得出半径.
14．【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）证明：，
，
，，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等弦所对的弧相等得到：，进而得到：，即可求解；
（2）根据等弧所对的弦相等得到：，进而利用"AAS"证明，即可求解.
15．【答案】（1）解：，
，
．
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得，再利用圆周角定理即可求得∠AOD的度数．
（2）设的半径为，根据垂径定理可得AC=BC=4，在中利用勾股定理即可求得r.
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一、选择题
1．（2019·柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A与∠D都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠A。
故答案为：D。
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠A。
2．（2024·泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是的直径
∴ ∠C=90°
∵
∴ ∠ABD=∠AOD=25°
∵ BA平分
∴ ∠ABC=∠ABD=25°
∴ ∠A=90°-∠ABC=65°
故答案为：A.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得 ∠C=90°，根据 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分线的定义得 ∠ABC=∠ABD=25°，最后根据直角三角形两锐角互余可得 ∠A=65°.
3．（2024·武威）如图，点在上，，垂足为，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
∠CDO=90°，
，
∠O=2∠A=70°，
∠C=90°-70°=20°.
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠CDO=90°，再根据圆周角定理得出∠O=2∠A=70°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可.
4．（2017·滦县模拟）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=55°，
∴∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°，
由圆周角定理得，∠A= ∠BOC=35°，
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可．
5．（2024九上·潮南期末）如图，点在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=2∠C=2×40°=80°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可求解.
6．（2024·丰南模拟）下列图形中，能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：A：∠1与∠2是对顶角，∠1=∠2，不符合题意：B：∠1是∠2所在三角形的一个外角，∠1＞∠2，符合题意：
C：若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，不符合题意：
D：∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∠1=∠2．故本选项不合题意.
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对选项C进行判断；根据圆周角定理对选项D进行判断．
7．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
8．（2024九下·麒麟模拟）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接OA，则的长度为（ ）
A．2 B．1 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，含角直角三角形的性质．连接，先利用圆周角定理可求出，再利用垂径定理可推出，利用角的运算可求出，再根据直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半可求出答案．
二、填空题
9．（2024·北京市）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则 °.
【答案】55
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB平分非直径的弦CD，
∴AB⊥CD，
∴∠B=90°-∠D=55°，
∴∠C=∠B=55°.
故答案为：55.
【分析】由平分非直径的弦得直径垂直于弦可得AB⊥CD，由直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，进而再根据同弧所对的圆周角相等可得∠C的度数.
10．（2024·盐城）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝ °．
【答案】50
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵∠C＝40°，
∴∠AOB=2∠C＝80°，
∵OA=OB，
∴ ∠OAB＝∠OBA=（180°-∠AOB）=50°.
故答案为：50.
【分析】由圆周角定理可得∠AOB=2∠C＝80°， 再利用等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解即可.
11．（2024九下·高州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC=
【答案】32°
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADC=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
∴∠BAC=90°-58°=32°.
故答案为：32°.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠ADC，然后由直角三角形两锐角互余可求解.
12．（2023九上·朝阳期中）如图，点都在上，若，则的大小为 ．
【答案】72
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：依题意，
故答案为：．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，据此求解．
三、解答题
13．（2024九上·惠州期中）如图，AB是的直径，C，D两点在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：连接AC，
∵是的直径，
（2）解
又
∴的半径长度为3.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AC，由是的直径可得，从而求出∠ACD=∠BCD=45°，可得AD=BD；
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，从而得出半径.
14．（2024九下·南山开学考）如图，在中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）证明：，
，
，，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等弦所对的弧相等得到：，进而得到：，即可求解；
（2）根据等弧所对的弦相等得到：，进而利用"AAS"证明，即可求解.
15．（2024·揭东模拟）如图，是的弦，半径，垂足为，点在上，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）解：，
，
．
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得，再利用圆周角定理即可求得∠AOD的度数．
（2）设的半径为，根据垂径定理可得AC=BC=4，在中利用勾股定理即可求得r.
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