【提升版】浙教版数学九上3.5 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·拱墅期末）如图，点在上，若，则（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
2．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
3．（2021九上·滨海期中）如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点，连接AC，CD，AD，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
4．（2021九上·姑苏月考）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
5．（2019九上·庐阳期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为的中点．若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）．
A． B．5 C． D．
7．（2021九上·上城期末）如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①∠DBC+∠ADO＝90°；②AD2+AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
9．（2021九上·滨江期末）如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝ .
10．（2022九上·东城期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
11．（2021九上·红河期末）如图，点A、B、C、D都在上，，则 ．
12．（2023九上·余杭期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
三、解答题
13．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1） 求证：CF=BF．
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．
14．（2024九上·东莞期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
四、综合题
15．（2020九上·镇海区期中）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：；
（2）求证：AM＝DM．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，据此计算.
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，
∵AB是 的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故答案为：A．
【分析】连结BC，根据圆周角定理得出即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD.
∵，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，OB=OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故答案为：B.
【分析】连接OD，BD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠ABD＝∠CBD；再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠DOB的度数；然后利用平行线的性质可求出∠OBD的度数，即可求出∠ABC的度数.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠OBA＝∠OAB＝25°，再求出∠OAC＝∠OCA＝40°，最后计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连结OC，OA．
∵ ∠ABC=30°
∴∠AOC= 2∠ABC= 60° ，
∵ C为的中点 ，
∴OC⊥AB，AE=BE，
∴∠OAE=90°-∠AOC=30° ，
∴OE=，AE=OE=；
∴AB=2OE= ；
故答案为：D.
【分析】连结OC，OA．由圆周角定理可得∠AOC= 2∠ABC= 60° ，由垂径定理的推论可得AE=BE，OC⊥AB，再求∠OAE=90°-∠AOC=30° ，根据直角三角形的性质求出AE的长，继而求出AE的长.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
的长与 的半径相等，
为等边三角形，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OD，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，再利用圆周角定理∠ABD=∠ACD=30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=AB，CE=CD， 然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2=BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵
∴
∴
∵
∴①正确；
∵
∴
根据条件无法得到②错误；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形
∵
∴③正确；
若点P为BD的中点， 则
∵
∴
∴
∵O为AB的中点，
∴，
∴④正确；
故答案为：B.
【分析】证明得到结合即可判断①；根据条件推出无法得到即可判断②；证明即可得到为等边三角形即可判断③；利用"AAS"证明得到根据即可判断④.
9．【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝132°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝ （180°﹣132°）＝24°.
故答案为：24°.
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，然后求出∠AOC的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行求解.
10．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
11．【答案】50
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：50
【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得。
12．【答案】8
【知识点】勾股定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
当、、三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小．
13．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点，
∴，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF= BF；
（2）解：∵，
∴BC=CD=6．
在Rt△ABC中，AB= =10，
∴⊙O的半径为5；
∵S△ABC= AB×CE= BC×AC，
∴CE= .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解；
（2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据D是的中点，由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出；
（2）根据AG＝6，BG＝4，求出AB的长为10，得到，据此再求出，由勾股定理求出，由垂径定理即可得到，即可求出CD的长．
15．【答案】（1）证明：∵在⊙O中，AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接AC，BD，
∵，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据弦、弧的关系可得，据此证明；
（2）连接AC，BD，根据（1）的结论可得AC＝BD，由圆周角定理可得∠A=∠D，∠C=∠B，证明△ACM≌△DBM，据此可得结论.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上3.5 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·拱墅期末）如图，点在上，若，则（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，据此计算.
2．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
3．（2021九上·滨海期中）如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点，连接AC，CD，AD，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，
∵AB是 的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故答案为：A．
【分析】连结BC，根据圆周角定理得出即可得出答案。
4．（2021九上·姑苏月考）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD.
∵，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，OB=OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故答案为：B.
【分析】连接OD，BD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠ABD＝∠CBD；再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠DOB的度数；然后利用平行线的性质可求出∠OBD的度数，即可求出∠ABC的度数.
5．（2019九上·庐阳期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠OBA＝∠OAB＝25°，再求出∠OAC＝∠OCA＝40°，最后计算求解即可。
6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为的中点．若∠ABC=30°，则弦AB的长为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连结OC，OA．
∵ ∠ABC=30°
∴∠AOC= 2∠ABC= 60° ，
∵ C为的中点 ，
∴OC⊥AB，AE=BE，
∴∠OAE=90°-∠AOC=30° ，
∴OE=，AE=OE=；
∴AB=2OE= ；
故答案为：D.
【分析】连结OC，OA．由圆周角定理可得∠AOC= 2∠ABC= 60° ，由垂径定理的推论可得AE=BE，OC⊥AB，再求∠OAE=90°-∠AOC=30° ，根据直角三角形的性质求出AE的长，继而求出AE的长.
7．（2021九上·上城期末）如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
的长与 的半径相等，
为等边三角形，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OD，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，再利用圆周角定理∠ABD=∠ACD=30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=AB，CE=CD， 然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2=BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．
8．（2024九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①∠DBC+∠ADO＝90°；②AD2+AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵
∴
∴
∵
∴①正确；
∵
∴
根据条件无法得到②错误；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形
∵
∴③正确；
若点P为BD的中点， 则
∵
∴
∴
∵O为AB的中点，
∴，
∴④正确；
故答案为：B.
【分析】证明得到结合即可判断①；根据条件推出无法得到即可判断②；证明即可得到为等边三角形即可判断③；利用"AAS"证明得到根据即可判断④.
二、填空题
9．（2021九上·滨江期末）如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝ .
【答案】24°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝132°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝ （180°﹣132°）＝24°.
故答案为：24°.
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，然后求出∠AOC的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行求解.
10．（2022九上·东城期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
11．（2021九上·红河期末）如图，点A、B、C、D都在上，，则 ．
【答案】50
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：50
【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得。
12．（2023九上·余杭期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
当、、三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小．
三、解答题
13．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1） 求证：CF=BF．
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点，
∴，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF= BF；
（2）解：∵，
∴BC=CD=6．
在Rt△ABC中，AB= =10，
∴⊙O的半径为5；
∵S△ABC= AB×CE= BC×AC，
∴CE= .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解；
（2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解.
14．（2024九上·东莞期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据D是的中点，由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出；
（2）根据AG＝6，BG＝4，求出AB的长为10，得到，据此再求出，由勾股定理求出，由垂径定理即可得到，即可求出CD的长．
四、综合题
15．（2020九上·镇海区期中）已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：；
（2）求证：AM＝DM．
【答案】（1）证明：∵在⊙O中，AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接AC，BD，
∵，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据弦、弧的关系可得，据此证明；
（2）连接AC，BD，根据（1）的结论可得AC＝BD，由圆周角定理可得∠A=∠D，∠C=∠B，证明△ACM≌△DBM，据此可得结论.
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