【培优版】浙教版数学九上3.5 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2024·湖北）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40° B．25° C．20° D．15°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵为半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图得是的角平分线，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据圆周角定理得到，进而进行角的运算求出∠ABC的度数，再根据作图-角的平分线和角平分线的定义即可求解。
2．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
3．（2024·台湾）如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若＝58°，则的度数为何？（ ）
A．58 B．60 C．62 D．64
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE、DE，
∵、皆为半圆 ，且B点位AC的中点，
∴点C为半圆AC的圆心，∠BED=90°，
∵＝58° ，
∴∠CBE=58°，
∴∠D=90°-∠CBE=32°，
∴弧BE的度数为 2×32°=64°.
故答案为：D.
【分析】连接BE、DE，由直径所对的圆周角是直角得∠BED=90°，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠CBE=58°，由直角三角形两锐角互余得∠D=32°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及圆心角的度数等于其所对弧的度数可求出的度数 .
4．（2024·峨眉山模拟）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
由圆周角定理得∠CAD=∠CBD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠ADB=∠CAD=45°，
∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=45°-30°=15°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求∠OAD=30°，由圆周角定理即平行线的性质可得∠ADB=∠CAD，结合AC⊥BD可得∠ADB=∠CAD=45°，利用∠CAO=∠CAD-∠OAD即可求解.
5．（2024·南昌模拟）如图，⊙O上依次有点A，C，G，F，E，D，B，已知DE＝AB，FG＝AC．数学小组在探究时得到以下结论：①DE＋FG＝BC；②；③∠DOE＋∠FOG＝∠BOC；④∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．你认为结论正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
∴①错误；
∵，，
∴，．
∴，
∴，
∴②正确；
连接，，，，，，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴；
∴③正确；
∵，
∴．
同理可得：
，
，
．
∵，，
∴，，
∴．
∴④正确．
∴正确的序号为：②③④．
故答案为：D
【分析】根据三角形的三边关系结合题意即可判断①；进而根据弧的运算结合题意即可判断②；连接，，，，，，，进而根据等腰三角形的性质得到，，再进行角的运算即可判断③；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，同理可得，，．再结合题意即可判断④.
6．（2023九上·永康期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，
∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，
在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出，故可以说明点D的轨迹是以为直径圆，设为，找圆外一点和圆上一点的最小值，需要连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可．
二、填空题
7．（2024·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ °．
【答案】70
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=∠BCD=20°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°－∠BAD=70°
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD=20°，再求出∠ADB=90°，即可得到∠ABD.
8．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
9．（2024·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若，则 ．
【答案】62°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°，
∴∠A==62°.
故填：62°.
【分析】连接OC，利用等腰等边对等角性质得出其各个内角的度数，然后利用圆的性质，即同弧中，其圆周角与圆心角的关系得出∠A.
10．（2024九下·杭州模拟）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，.若点是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足的中，边PM的长的最大值为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
∵OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，
∴OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
∴弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
∴点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，
∴此时P'M最大，等于圆O的直径，
∵BM=4，BN=2，
∴MN==2，
∴MQ=OQ=，
∴OM=MQ=×=，
∴P'M=2OM=2，
故答案为：2．
【分析】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，此时P'M最大，等于圆O的直径，得出MQ=OQ=，则P'M=2OM=2，即可求出答案。
11．（2023九上·绍兴期中） 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD，如图，
当 △ABD 为等腰三角形 ，则∠BAD=∠ ABD=45°，
∴∠DCB=45°，
∴ △CEB为等腰直角三角形，
∴ CE=BE=，
∵ △ABD为等腰直角三角形，
∴ AD=BD=，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=，
∴ CD=CE+DE=，
∵ DD'=AB=5，
在在Rt△DD'C中，由勾股定理得：CD'=.
故答案为：或.
【分析】根据题意找到D和D'两点，根据垂径定理得∠DCB=45°推出△CEB为等腰直角三角形求得CE，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理得BD，再根据勾股定理即可求得DE，CD即可求出；再利用勾股定理即可求得CD'.
12．（2023九上·永康月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，∠BGC的度数为 ，DG的最小值为 ．
【答案】90°；25-2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°
∵CE=DF，∴ BCD≌ CDF
∴∠EBC=∠FCE
∴∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90°
∴∠BGC=90°
取BC的中点O，连接GO，DO
则DO≤GO+DG
∵DO=，GO=R==2
∴，DG≥
故答案为：90°，25-2.
【分析】在 正方形ABCD中 ，CE=DF，这两个条件可以构成一个常见的“K型图”模型，得到 BCD≌ CDF，通过角度转化∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90°；由∠BCE=90°固定不变，可知点G在以BC为直径的圆周上运动，要求DG的最小值，即求圆外一点D到圆周上点的最小距离，当点G、D、O三点共线时，DG的值最小.
三、解答题
13．（2023九上·绍兴期中）如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，.
（1）求的度数
（2）求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角推论可知∠B=30°和∠ADB=90°，∠DAB即可求得；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半得AD和AE，再根据勾股定理得DE，根据垂径定理得DE=EF，DF即可求得.
14．（2023九上·杭州期中）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由为的直径，于点，，得到，即可得证；
（2）连接，由（1）可知且，设，利用在中，即可求解；
（3）连接交于，则，先证明，得到，再由等腰三角形和三角形外角的性质，得到，最后由，即可得证．
15．（2024·安徽）如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠AEF，
∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC
∴∠CEB=∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90°
即CD⊥AB.
（2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE，
∴BE=BC，
∵FA=FE，，
∴AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，
∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6，
∴BC=BE=OB-OE=3-1=2，
∴AC===.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解；
（2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可.
16．（2024·绍兴模拟） 如图，是的直径，弦交于点，，连结，．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点．
①求证：．
②如图，连结，若，，求，的长．
【答案】（1）解：∵，
∴的度数为，
∵是直径，
∴的度数为：，
∵，
∴的度数为，
∴，
∴的度数为；
（2）解：①证明：连结，
∵是的直径，
∴，
∵和是所对的圆周角，
∴，
令，
∴，的度数为，
∵，
∴的度数为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连结，
由①知：，
又∵，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
取的中点，连结，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
由①知：，
∴，，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系便可求解∠CAD的度数；
（2）①通过平行关系和圆中的角度关系，可得BE=BF，从而证得结果；
②连接FN，可得四边形MNFB为平行四边形，通过角度关系再得等腰三角形，从而得AP的长，在Rt△MHA与Rt△MHE中，利用双勾股列方程求解线段长，最终可得AP和PE的长.
四、实践探究题
17．（2024·茅箭模拟）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
（1）理解：
①若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；
证明：
②如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；
（2）探究：如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：①90°或270°
②证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（2）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是对余四边形，
当∠A和∠C互余时，
∠A+∠C=90°，
当∠B与∠D互余时，
∠B+∠D=90°，
则∠A+∠C=360°-90°=270°，
故答案为：90°或270°；
【分析】（1） ① 分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，分别求解即可；
② MN是⊙O的直径，利用圆周角定理得∠BAM+∠BCN＝90°，即可得解；
（2）线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，证明△BFD是等边三角形，然后求出∠FAD＝90°，由勾股定理可得AD2+AF2＝DF2，即可得AD2+CD2＝BD2．
18．（2024·廉江模拟）综合探究
如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长．
【答案】（1）证明：，，，，．
（2）证明：由（1），得．
，．
，．
在和中，．
（3）解：，，，
，，
．
是的直径，，
，
与所对的圆心角的度数之比为，与的长度之比为．
的长为2，的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠BPN，利用三角形外角的性质可知∠ANB=∠BPN+∠PBN，结合已知可证得∠PBN=∠PNB，利用等角对等边可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证得∠CAP=∠PNQ，可推出∠PNQ=∠PBM，利用SAS可证得结论.
（3）利用全等三角形的性质可证得∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，PM=PQ，由此可表示出∠BPQ，∠PQM，∠PBQ，利用圆周角定理可证得∠ABP=90°，可表示出∠ABC，再根据与所对的圆心角的度数之比为，可得到与所的长度之比为，据此可求出的长.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.5 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2024·湖北）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（ ）
A．40° B．25° C．20° D．15°
2．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
3．（2024·台湾）如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若＝58°，则的度数为何？（ ）
A．58 B．60 C．62 D．64
4．（2024·峨眉山模拟）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·南昌模拟）如图，⊙O上依次有点A，C，G，F，E，D，B，已知DE＝AB，FG＝AC．数学小组在探究时得到以下结论：①DE＋FG＝BC；②；③∠DOE＋∠FOG＝∠BOC；④∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．你认为结论正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
6．（2023九上·永康期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
二、填空题
7．（2024·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ °．
8．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
9．（2024·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若，则 ．
10．（2024九下·杭州模拟）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，.若点是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足的中，边PM的长的最大值为 .
11．（2023九上·绍兴期中） 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为 ．
12．（2023九上·永康月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，∠BGC的度数为 ，DG的最小值为 ．
三、解答题
13．（2023九上·绍兴期中）如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，.
（1）求的度数
（2）求的长．
14．（2023九上·杭州期中）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
15．（2024·安徽）如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求AC的长．
16．（2024·绍兴模拟） 如图，是的直径，弦交于点，，连结，．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点．
①求证：．
②如图，连结，若，，求，的长．
四、实践探究题
17．（2024·茅箭模拟）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
（1）理解：
①若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；
证明：
②如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；
（2）探究：如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
18．（2024·廉江模拟）综合探究
如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵为半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图得是的角平分线，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据圆周角定理得到，进而进行角的运算求出∠ABC的度数，再根据作图-角的平分线和角平分线的定义即可求解。
2．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
3．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE、DE，
∵、皆为半圆 ，且B点位AC的中点，
∴点C为半圆AC的圆心，∠BED=90°，
∵＝58° ，
∴∠CBE=58°，
∴∠D=90°-∠CBE=32°，
∴弧BE的度数为 2×32°=64°.
故答案为：D.
【分析】连接BE、DE，由直径所对的圆周角是直角得∠BED=90°，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠CBE=58°，由直角三角形两锐角互余得∠D=32°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及圆心角的度数等于其所对弧的度数可求出的度数 .
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
由圆周角定理得∠CAD=∠CBD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠ADB=∠CAD=45°，
∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=45°-30°=15°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求∠OAD=30°，由圆周角定理即平行线的性质可得∠ADB=∠CAD，结合AC⊥BD可得∠ADB=∠CAD=45°，利用∠CAO=∠CAD-∠OAD即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
∴①错误；
∵，，
∴，．
∴，
∴，
∴②正确；
连接，，，，，，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴；
∴③正确；
∵，
∴．
同理可得：
，
，
．
∵，，
∴，，
∴．
∴④正确．
∴正确的序号为：②③④．
故答案为：D
【分析】根据三角形的三边关系结合题意即可判断①；进而根据弧的运算结合题意即可判断②；连接，，，，，，，进而根据等腰三角形的性质得到，，再进行角的运算即可判断③；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，同理可得，，．再结合题意即可判断④.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，
∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，
在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出，故可以说明点D的轨迹是以为直径圆，设为，找圆外一点和圆上一点的最小值，需要连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可．
7．【答案】70
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=∠BCD=20°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°－∠BAD=70°
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD=20°，再求出∠ADB=90°，即可得到∠ABD.
8．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
9．【答案】62°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°，
∴∠A==62°.
故填：62°.
【分析】连接OC，利用等腰等边对等角性质得出其各个内角的度数，然后利用圆的性质，即同弧中，其圆周角与圆心角的关系得出∠A.
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
∵OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，
∴OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
∴弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
∴点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，
∴此时P'M最大，等于圆O的直径，
∵BM=4，BN=2，
∴MN==2，
∴MQ=OQ=，
∴OM=MQ=×=，
∴P'M=2OM=2，
故答案为：2．
【分析】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，此时P'M最大，等于圆O的直径，得出MQ=OQ=，则P'M=2OM=2，即可求出答案。
11．【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD，如图，
当 △ABD 为等腰三角形 ，则∠BAD=∠ ABD=45°，
∴∠DCB=45°，
∴ △CEB为等腰直角三角形，
∴ CE=BE=，
∵ △ABD为等腰直角三角形，
∴ AD=BD=，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=，
∴ CD=CE+DE=，
∵ DD'=AB=5，
在在Rt△DD'C中，由勾股定理得：CD'=.
故答案为：或.
【分析】根据题意找到D和D'两点，根据垂径定理得∠DCB=45°推出△CEB为等腰直角三角形求得CE，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理得BD，再根据勾股定理即可求得DE，CD即可求出；再利用勾股定理即可求得CD'.
12．【答案】90°；25-2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°
∵CE=DF，∴ BCD≌ CDF
∴∠EBC=∠FCE
∴∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90°
∴∠BGC=90°
取BC的中点O，连接GO，DO
则DO≤GO+DG
∵DO=，GO=R==2
∴，DG≥
故答案为：90°，25-2.
【分析】在 正方形ABCD中 ，CE=DF，这两个条件可以构成一个常见的“K型图”模型，得到 BCD≌ CDF，通过角度转化∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90°；由∠BCE=90°固定不变，可知点G在以BC为直径的圆周上运动，要求DG的最小值，即求圆外一点D到圆周上点的最小距离，当点G、D、O三点共线时，DG的值最小.
13．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角推论可知∠B=30°和∠ADB=90°，∠DAB即可求得；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半得AD和AE，再根据勾股定理得DE，根据垂径定理得DE=EF，DF即可求得.
14．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由为的直径，于点，，得到，即可得证；
（2）连接，由（1）可知且，设，利用在中，即可求解；
（3）连接交于，则，先证明，得到，再由等腰三角形和三角形外角的性质，得到，最后由，即可得证．
15．【答案】（1）证明：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠AEF，
∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC
∴∠CEB=∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90°
即CD⊥AB.
（2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE，
∴BE=BC，
∵FA=FE，，
∴AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，
∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6，
∴BC=BE=OB-OE=3-1=2，
∴AC===.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解；
（2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可.
16．【答案】（1）解：∵，
∴的度数为，
∵是直径，
∴的度数为：，
∵，
∴的度数为，
∴，
∴的度数为；
（2）解：①证明：连结，
∵是的直径，
∴，
∵和是所对的圆周角，
∴，
令，
∴，的度数为，
∵，
∴的度数为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连结，
由①知：，
又∵，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
取的中点，连结，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
由①知：，
∴，，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系便可求解∠CAD的度数；
（2）①通过平行关系和圆中的角度关系，可得BE=BF，从而证得结果；
②连接FN，可得四边形MNFB为平行四边形，通过角度关系再得等腰三角形，从而得AP的长，在Rt△MHA与Rt△MHE中，利用双勾股列方程求解线段长，最终可得AP和PE的长.
17．【答案】（1）解：①90°或270°
②证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（2）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是对余四边形，
当∠A和∠C互余时，
∠A+∠C=90°，
当∠B与∠D互余时，
∠B+∠D=90°，
则∠A+∠C=360°-90°=270°，
故答案为：90°或270°；
【分析】（1） ① 分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，分别求解即可；
② MN是⊙O的直径，利用圆周角定理得∠BAM+∠BCN＝90°，即可得解；
（2）线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，证明△BFD是等边三角形，然后求出∠FAD＝90°，由勾股定理可得AD2+AF2＝DF2，即可得AD2+CD2＝BD2．
18．【答案】（1）证明：，，，，．
（2）证明：由（1），得．
，．
，．
在和中，．
（3）解：，，，
，，
．
是的直径，，
，
与所对的圆心角的度数之比为，与的长度之比为．
的长为2，的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠BPN，利用三角形外角的性质可知∠ANB=∠BPN+∠PBN，结合已知可证得∠PBN=∠PNB，利用等角对等边可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证得∠CAP=∠PNQ，可推出∠PNQ=∠PBM，利用SAS可证得结论.
（3）利用全等三角形的性质可证得∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，PM=PQ，由此可表示出∠BPQ，∠PQM，∠PBQ，利用圆周角定理可证得∠ABP=90°，可表示出∠ABC，再根据与所对的圆心角的度数之比为，可得到与所的长度之比为，据此可求出的长.
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