【基础版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·长沙月考）下列命题，说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．圆内接四边形对角互补
【答案】D
【知识点】平行线的性质；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧或优弧分别相等，故原命题错误，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 由平行线的性质定理“两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等”可判断A；根据正方形的判定方法“对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形”可判断B；根据弦、弧与圆心角的关系“同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧或优弧分别相等”可判断C；圆内接四边形的性质“圆内接四边形对角互补”可判断D．
2．（2024九上·镇雄县期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
3．（2024·南宁模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=70°，
∴∠C=110°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠C的度数.
4．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A．128° B．64° C．32° D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∠A+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°
∴∠A=∠DCE=64°
∵
∴∠BOD=2∠A=128°
故答案为：A
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠A=∠DCE=64°，再根据圆周角定理即可求出答案.
5．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝144°，则∠AOC的大小是（ ）
A．36° B．72° C．46° D．92°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180°-144°=36°，
∴∠AOC=2∠B=72°.
故答案为：B.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，然后再根据圆周角定理求得∠AOC的度数即可.
6．（2022·沈河模拟）如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A．100° B．118° C．124° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】在优弧AC上取点P，连接PA，PC，根据圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
7．（2024·耒阳模拟） 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形内接于，
，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解.
8．（2024·怀集模拟）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=120°，
∴∠D=60°，
∵
∴∠AOC=2∠D=120°
故答案为：D.
【分析】本题考查圆周角定理，涉及圆内接四边形性质。根据圆内接四边形性质：对角互补可知∠B+∠D=180°，由∠B=120°得到∠D=60°，再根据圆周角定理即可得到∠AOC=2∠D=120°。
二、填空题
9．（2023九上·丰满期中） 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝82°，则∠C＝ 度．
【答案】98
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据题意知四边形ABCD内接与，∠A=82°，所以∠A+∠C=180°，∠C=98°。
故答案为：98°.
【分析】根据内接圆四边形角的性质，可以知道∠A+∠C=180°，求出∠C即可得出答案。
10．（2022九上·上城期末）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ .
【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=40°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=50°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠CAB+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠CAB=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由余角的性质可得∠CAB=90°-∠ABC=50°，根据圆内接四边形的性质可得∠CAB+∠D=180°，据此计算.
11．（2024·深圳模拟）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 。
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
故答案为：.
【分析】先根据补角得到∠EDC的度数，进而根据三角形的外角结合题意即可得到∠BCD的度数，再根据圆内接四边形的性质得到，从而即可求解.
12．（2021九上·诸暨月考）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .
【答案】15°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝∠DAC＝55°，
∵∠AEC+∠D＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠EAC＝180°﹣110°﹣55°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】由菱形的对边平行且四边都相等可得DA＝DC，AD∥BC，由圆周角定理和平行线的性质可得∠DAC＝∠DCA=∠ECA，再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
三、解答题
13．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
14．（2024九上·武胜期末）如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数．
【答案】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到，进而根据弧与圆心角的关系得到，，再根据圆内接四边形的性质即可求解。
15．（2023九上·凤台月考）如图，四边形内接于的延长线交于点是的延长线上任意一点，平分．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明： 四边形内接于，
．
由圆周角定理，得．
又，
．
平分，
，
，
，
．
（2）证明：，
．
又，
．
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠CDE=∠ABC.由圆周角的定理及对顶角的定义可得∠ACB=∠ADB=∠FDE.根据题可得出∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.
（2）由（1）结论，三角形外角定理，可得，由圆周角定理可得．.进而得出.
1 / 1【基础版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·长沙月考）下列命题，说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．圆内接四边形对角互补
2．（2024九上·镇雄县期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·南宁模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A．128° B．64° C．32° D．
5．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝144°，则∠AOC的大小是（ ）
A．36° B．72° C．46° D．92°
6．（2022·沈河模拟）如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A．100° B．118° C．124° D．130°
7．（2024·耒阳模拟） 如图，四边形内接于，是直径，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·怀集模拟）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·丰满期中） 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝82°，则∠C＝ 度．
10．（2022九上·上城期末）如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，则∠D＝ .
11．（2024·深圳模拟）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 。
12．（2021九上·诸暨月考）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .
三、解答题
13．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
14．（2024九上·武胜期末）如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数．
15．（2023九上·凤台月考）如图，四边形内接于的延长线交于点是的延长线上任意一点，平分．
求证：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧或优弧分别相等，故原命题错误，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 由平行线的性质定理“两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等”可判断A；根据正方形的判定方法“对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形”可判断B；根据弦、弧与圆心角的关系“同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧或优弧分别相等”可判断C；圆内接四边形的性质“圆内接四边形对角互补”可判断D．
2．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
3．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=70°，
∴∠C=110°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠C的度数.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∠A+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°
∴∠A=∠DCE=64°
∵
∴∠BOD=2∠A=128°
故答案为：A
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠A=∠DCE=64°，再根据圆周角定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180°-144°=36°，
∴∠AOC=2∠B=72°.
故答案为：B.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，然后再根据圆周角定理求得∠AOC的度数即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】在优弧AC上取点P，连接PA，PC，根据圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
7．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形内接于，
，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=120°，
∴∠D=60°，
∵
∴∠AOC=2∠D=120°
故答案为：D.
【分析】本题考查圆周角定理，涉及圆内接四边形性质。根据圆内接四边形性质：对角互补可知∠B+∠D=180°，由∠B=120°得到∠D=60°，再根据圆周角定理即可得到∠AOC=2∠D=120°。
9．【答案】98
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据题意知四边形ABCD内接与，∠A=82°，所以∠A+∠C=180°，∠C=98°。
故答案为：98°.
【分析】根据内接圆四边形角的性质，可以知道∠A+∠C=180°，求出∠C即可得出答案。
10．【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=40°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=50°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠CAB+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠CAB=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由余角的性质可得∠CAB=90°-∠ABC=50°，根据圆内接四边形的性质可得∠CAB+∠D=180°，据此计算.
11．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
故答案为：.
【分析】先根据补角得到∠EDC的度数，进而根据三角形的外角结合题意即可得到∠BCD的度数，再根据圆内接四边形的性质得到，从而即可求解.
12．【答案】15°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝∠DAC＝55°，
∵∠AEC+∠D＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠EAC＝180°﹣110°﹣55°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】由菱形的对边平行且四边都相等可得DA＝DC，AD∥BC，由圆周角定理和平行线的性质可得∠DAC＝∠DCA=∠ECA，再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
13．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
14．【答案】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到，进而根据弧与圆心角的关系得到，，再根据圆内接四边形的性质即可求解。
15．【答案】（1）证明： 四边形内接于，
．
由圆周角定理，得．
又，
．
平分，
，
，
，
．
（2）证明：，
．
又，
．
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠CDE=∠ABC.由圆周角的定理及对顶角的定义可得∠ACB=∠ADB=∠FDE.根据题可得出∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.
（2）由（1）结论，三角形外角定理，可得，由圆周角定理可得．.进而得出.
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