【提升版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·鄞州期末）四边形ABCD内接于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD内接于，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=80°.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质即可求出∠D度数.
2．（2017九上·兰山期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
3．（2024九上·永年期末）如图，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
取优弧上一点C，连接AC，BC
则
∴
故答案为：B
【分析】取优弧上一点C，连接AC，BC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ACB，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案.
4．（2024九上·长沙期末） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠CBD＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵OC⊥BD，OC是⊙O的半径，
∴BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
在△BCD中，∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
故答案为：B.
【分析】先利用垂径定理可得∠CBD=∠CDB=30°，再利用三角形内角和求出∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，最后利用圆内接四边形的性质可得∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，从而得解.
5．（2022九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
；
，
；
故答案为：C．
【分析】先利用圆周角的性质求出，再利用圆内接四边形的性质求出即可。
6．（2024九上·桐乡市期末）如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，OC，如图，
∵四边形ABCE为的内接四边形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接BC，OC，根据圆内接四边形的性质得到进而根据题意求出∠CBD的度数，最后根据圆周角定理即可求解.
7．（2020九上·丰台期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在弧AB上取一点D，连接AD，BD，
则
∴
故答案为：C
【分析】在弧AB上取一点D，连接AD，BD，利用圆周角定理可知 ，再利用圆内接四边形的性质即可求出∠ 的度数.
8．（2024九下·岳塘期中）如图，四边形内接于，，，、分别为、上一点，，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长CB至H，使得BH=DF，连接AH，
四边形内接于，
∠ABC+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ABH=180°，
∠ADF=∠ABH，
在和中，∠ADF=∠ABH，BH=DF，AD=BD，
，
AF=AH，∠DAF=∠BAH，
， 四边形内接于，
∠BAD=180°-∠BCD=60°，
，
∠BAD+∠DAF=30°，
∠HAE=30°，
在和中，
∠HAE=∠EAF=30°，AF=AH，AE=AE，
，
EH=EF=3，
BE=EH-BH=3-1=2.
故答案为：B.
【分析】延长CB至H，使得BH=DF，连接AH，先根据圆内接四边形的性质和平角的定义证得∠ADF=∠ABH，进而可利用SAS证得，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，再由， 四边形内接于，证出∠HAE=∠EAF=30°，从而可证，得出EH=EF=3，进而可得BE的长.
二、填空题
9．（2021九上·韶关期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
10．（2024·潜江模拟）如图，点，，，都在上，，，，则 度.
【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵，
∴，
∵，，
由三角形内角和定理可得，.
∴，
四边形ABCD是的圆内接四边形，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，进而得到，由圆内接四边形对角互补可得，进而可求得的度数.
11．如图，四边形ABCD内接于，延长AD至点，已知，那么 °.
【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=140°，
∴ ∠ABC=∠AOC=70°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=110°，
∵ ∠CDE+∠ADC=180°，
∴ ∠CDE=70°.
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=∠AOC，再根据圆的内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC，再根据邻补角得∠CDE=180°-∠ADC，即可求得.
12．（2023九上·子陵月考）如图，已知点D在锐角三角形ABC的BC边上，AB＞AC，点E、F分别是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那么∠ADC= 度．
【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H，
则有DG＝BG＝，DH＝CH＝
∴GH＝DG+DH＝，
∵EF＝BC，
∴GH＝，
过F作FM⊥EG于M，则FM＝GH＝，
∴∠GEF＝30°，
∵ED＝EA，FD＝FA，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴∠DEF＝
又易证∠DEG＝
∴∠DEF+∠DEG＝+
∴∠GEF＝，
∴∠BEA＝60°，
在圆E上取点N，连接AN，BN，则四边形ANBD是圆内接四边形，
则∠N＝＝30°，
∴∠ADC＝∠N＝30°.
故答案为：30.
【分析】分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H，根据垂径定理和等腰三角形三线合一的性质推导出∠GEF＝，根据含有30°角的直角三角形的特点可以求出∠GEF为30°，从而推导出∠BEA，再构造圆内接四边形ADBN，从而得出外角∠ADC的度数。
三、解答题
13．（2023九上·新洲期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：连，，
是的直径
（2）解：延长交于点
设半径为由得：
为直径
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】 (1)先说明，可得到，结合 与互余，可说明，从而有，就可说明 ；
(2)连OB，延长D0交BC于点E，由垂径定理得： OE⊥BC， BE=CE=BC=2，在Rt△DEC中、在Rt△OEC中和在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解.
14．如图，已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，且AB=AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA=72°，求的度数．
【答案】（1）证明：四边形ADBC为的内接四边形，
，
，
由圆周角定理得
平分；
（2）解：
，
，
∴的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得，根据邻补角的定义得，进而推出，再根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得，最终推出；
（2）由（1）得推出∠BAC，根据圆周角定理得=2∠BAC.
四、综合题
15．（2023·沁阳模拟）如图，是的直径，C，D为圆上位于直径两侧的点，连接、、、，且.
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，平分，求长度.
【答案】（1）解：是的直径，
，
，
在中，.
（2）解：如图，延长至点K，使，连接，.
平分，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠B=∠C=15°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）延长DB至点K，使BK=AD=3，连接BC、KC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=∠CDB=45°，根据内角和定理可得∠CAB=45°，推出CB=CA，由圆内接四边形的性质可得∠CAD+∠CBD=180°，结合邻补角的性质可得∠CBK=∠CAD，利用SAS证明△CBK≌△CAD，得到∠CKB=∠CDA=45°，CK=CD，由内角和定理可得∠KCD的度数，据此求解.
16．（2023·苏州模拟）如图①，在中，，是外接圆上一点，连接，过点作，交的延长线于点，交于点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图②，若为直径，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，，如图所示，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADC=∠E，由圆周角定理可得∠ADC=∠CFB，推出∠E=∠CFB，得到DE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接DF、AF，由平行线的性质可得∠DAC+∠ACF=180°，由圆内接四边形的性质可得∠ADF+∠ACF=180°，得到∠ADF=∠DAC，推出AF=CD，由圆周角定理可得∠AFB=90°，利用勾股定理可得AF，据此解答.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·鄞州期末）四边形ABCD内接于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017九上·兰山期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
3．（2024九上·永年期末）如图，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·长沙期末） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠CBD＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．65° D．70°
5．（2022九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·桐乡市期末）如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·丰台期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·岳塘期中）如图，四边形内接于，，，、分别为、上一点，，，则的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·韶关期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是 ．
10．（2024·潜江模拟）如图，点，，，都在上，，，，则 度.
11．如图，四边形ABCD内接于，延长AD至点，已知，那么 °.
12．（2023九上·子陵月考）如图，已知点D在锐角三角形ABC的BC边上，AB＞AC，点E、F分别是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那么∠ADC= 度．
三、解答题
13．（2023九上·新洲期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
14．如图，已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，且AB=AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA=72°，求的度数．
四、综合题
15．（2023·沁阳模拟）如图，是的直径，C，D为圆上位于直径两侧的点，连接、、、，且.
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，平分，求长度.
16．（2023·苏州模拟）如图①，在中，，是外接圆上一点，连接，过点作，交的延长线于点，交于点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图②，若为直径，，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD内接于，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=80°.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质即可求出∠D度数.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
取优弧上一点C，连接AC，BC
则
∴
故答案为：B
【分析】取优弧上一点C，连接AC，BC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ACB，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵OC⊥BD，OC是⊙O的半径，
∴BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
在△BCD中，∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
故答案为：B.
【分析】先利用垂径定理可得∠CBD=∠CDB=30°，再利用三角形内角和求出∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，最后利用圆内接四边形的性质可得∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，从而得解.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
；
，
；
故答案为：C．
【分析】先利用圆周角的性质求出，再利用圆内接四边形的性质求出即可。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，OC，如图，
∵四边形ABCE为的内接四边形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接BC，OC，根据圆内接四边形的性质得到进而根据题意求出∠CBD的度数，最后根据圆周角定理即可求解.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在弧AB上取一点D，连接AD，BD，
则
∴
故答案为：C
【分析】在弧AB上取一点D，连接AD，BD，利用圆周角定理可知 ，再利用圆内接四边形的性质即可求出∠ 的度数.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长CB至H，使得BH=DF，连接AH，
四边形内接于，
∠ABC+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ABH=180°，
∠ADF=∠ABH，
在和中，∠ADF=∠ABH，BH=DF，AD=BD，
，
AF=AH，∠DAF=∠BAH，
， 四边形内接于，
∠BAD=180°-∠BCD=60°，
，
∠BAD+∠DAF=30°，
∠HAE=30°，
在和中，
∠HAE=∠EAF=30°，AF=AH，AE=AE，
，
EH=EF=3，
BE=EH-BH=3-1=2.
故答案为：B.
【分析】延长CB至H，使得BH=DF，连接AH，先根据圆内接四边形的性质和平角的定义证得∠ADF=∠ABH，进而可利用SAS证得，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，再由， 四边形内接于，证出∠HAE=∠EAF=30°，从而可证，得出EH=EF=3，进而可得BE的长.
9．【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
10．【答案】43
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵，
∴，
∵，，
由三角形内角和定理可得，.
∴，
四边形ABCD是的圆内接四边形，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，进而得到，由圆内接四边形对角互补可得，进而可求得的度数.
11．【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=140°，
∴ ∠ABC=∠AOC=70°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=110°，
∵ ∠CDE+∠ADC=180°，
∴ ∠CDE=70°.
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=∠AOC，再根据圆的内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC，再根据邻补角得∠CDE=180°-∠ADC，即可求得.
12．【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H，
则有DG＝BG＝，DH＝CH＝
∴GH＝DG+DH＝，
∵EF＝BC，
∴GH＝，
过F作FM⊥EG于M，则FM＝GH＝，
∴∠GEF＝30°，
∵ED＝EA，FD＝FA，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴∠DEF＝
又易证∠DEG＝
∴∠DEF+∠DEG＝+
∴∠GEF＝，
∴∠BEA＝60°，
在圆E上取点N，连接AN，BN，则四边形ANBD是圆内接四边形，
则∠N＝＝30°，
∴∠ADC＝∠N＝30°.
故答案为：30.
【分析】分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H，根据垂径定理和等腰三角形三线合一的性质推导出∠GEF＝，根据含有30°角的直角三角形的特点可以求出∠GEF为30°，从而推导出∠BEA，再构造圆内接四边形ADBN，从而得出外角∠ADC的度数。
13．【答案】（1）证明：连，，
是的直径
（2）解：延长交于点
设半径为由得：
为直径
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】 (1)先说明，可得到，结合 与互余，可说明，从而有，就可说明 ；
(2)连OB，延长D0交BC于点E，由垂径定理得： OE⊥BC， BE=CE=BC=2，在Rt△DEC中、在Rt△OEC中和在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解.
14．【答案】（1）证明：四边形ADBC为的内接四边形，
，
，
由圆周角定理得
平分；
（2）解：
，
，
∴的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得，根据邻补角的定义得，进而推出，再根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得，最终推出；
（2）由（1）得推出∠BAC，根据圆周角定理得=2∠BAC.
15．【答案】（1）解：是的直径，
，
，
在中，.
（2）解：如图，延长至点K，使，连接，.
平分，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠B=∠C=15°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）延长DB至点K，使BK=AD=3，连接BC、KC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=∠CDB=45°，根据内角和定理可得∠CAB=45°，推出CB=CA，由圆内接四边形的性质可得∠CAD+∠CBD=180°，结合邻补角的性质可得∠CBK=∠CAD，利用SAS证明△CBK≌△CAD，得到∠CKB=∠CDA=45°，CK=CD，由内角和定理可得∠KCD的度数，据此求解.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，，如图所示，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADC=∠E，由圆周角定理可得∠ADC=∠CFB，推出∠E=∠CFB，得到DE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接DF、AF，由平行线的性质可得∠DAC+∠ACF=180°，由圆内接四边形的性质可得∠ADF+∠ACF=180°，得到∠ADF=∠DAC，推出AF=CD，由圆周角定理可得∠AFB=90°，利用勾股定理可得AF，据此解答.
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