【培优版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．（2024·杭州二模）如图，△ACD≌△ACB≌△AEB，将这三个三角形按照图中所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若∠BCD＝112°，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．68° C．56° D．34°
3．（2021九上·海淀期中）如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江北模拟）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．（2024·昭通模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134° B．132° C．76° D．66°
7．（2024·恩施模拟） 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AD是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结BD交AC于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023·黄岩模拟）已知中，，含角的三个顶点分在的三边上，且直角顶点D在斜边上，则的长为 ．
10．（2024九下·中江月考）如图，过原点，且分别与两坐标轴交于点A，B，点A的坐标为，M是第三象限内上一点，，则的半径为 ．
11．（2024九上·杭州月考）如图，四边形为⊙O的内接四边形，已知，则度数为 ．
12．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连结AC，AE．若∠D=78°，则∠EAC= °
三、解答题
13．如图所示，四边形ABCD内接于为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明.
（2）若，求CD的长度.
14．如图所示，AB是的直径，C，D是圆上的两点，且，若，求的度数.
四、综合题
15．（2020九上·武汉期中）如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
16．（2023九下·姑苏开学考）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点.
（1）如图1，若点D是的中点，等于多少？
（2）过点B作直线的垂线，垂足为点E.
①如图2，若点D在上，求证：.
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
已知△ACD ≌△ACB ≌△AEB ，
∴∠ACD =∠ACB =∠AEB ，AB=AD，
∵ ∠BCD＝112°，
∴，
由圆内接四边形的性质可得∠ADB =180°-∠AEB=180°-124°=56°，
∵AB=AD
∴∠ADB =∠ABD=56°，
根据三角形内角和定理可得： ∠BAD =180°-2×56°=68°.
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据全等三角形的性质可得，AB=AD，然后根据圆内接四边形的性质可得∠ADB =56°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和公式，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】先求出∠A=40°，再求出 ，最后求解即可。
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，合理运用定理找到角之间的关系是解题关键.
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD
∵是正三角形 ，
∴，
又∵，
∴∠D=，
在四边形ACBD中，则∠C=180°-∠D=150°，
又∵，
∴∠ABC=180°-∠C-∠CAB=10°.
故选：A.
【分析】由等边推出AB所对圆周角30°，结合圆内接四边形推出∠D即可得出结果.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝114°，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，
∴∠AOC=2∠D=2×66°=132°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠D=2×66°=132°.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，求出，然后利用圆周角定理得出的度数，再结合已知求出，然后根据圆周角定理可得答案．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：AD是△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠CFB，
∴∠CDB=∠BCF，
∵∠ADB=∠BCA，
∴∠ADB=∠CDB．
故A正确，
设∠DCB=α，∠CDB=β，则∠ADB=∠ACB=β，∠ABD=∠ACD=α-β，
∴2α+β=180°，
∴3∠ACB+∠ACD=3β+（α-β）=α+2β≠180°，
故B错误；
3∠BDC+2∠ABD=3β+2∠ACD=3β+2（α-β）=2α+β=180°，
故C正确；
3∠BAD+∠ABD=3（180°-α）+（α-β）=540°-（2α+β）=540°-180°=360°，
故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，且运用圆周角定理以及角度之间的等量转化可得出答案.
9．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，当∠EFD=30°时，连接BD，
∵∠B=∠EDF=90°，
∴点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，
∴∠C=90°-30°=60°，
∵弧DF=弧DF，
∴∠DEF=∠DBF=60°，
∴∠BDA=180°-∠A-∠DBA=180°-30°-60°=90°，
∴∠CDB=90°，
∴CD=BC=；
当∠FED=30°时，连接BD，
同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，
∵弧DF=弧DF，
∴∠EBD=∠DFE=60°，
∵∠C=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC=BC=1.
故答案为：或
【分析】分情况讨论：当∠EFD=30°时，连接BD，利用∠B=∠EDF=90°，可得到点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用三角形的内角和定理求出∠C的度数，再利用圆周角定理可得到∠DEF=∠DBF=60°，利用三角形的内角和定理求出∠BDA=∠CDB=90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长；同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用圆周角定理可知∠EBD=∠DFE=60°，可得到△DBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出DC的长.
10．【答案】3
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，直角三角形的性质.先利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数，再根据圆周角定理可求出∠ABO的度数，利用直角三角形的性质可求出AB的长，进而求出答案.
11．【答案】110°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形为⊙O的内接四边形，
∴
故答案为：110°.
【分析】根据"同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍"求出∠BAD的度数，最后根据圆内接四边形的性质即可求解.
12．【答案】27
【知识点】菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB ∠ACE=27°，
故答案为：27
【分析】先根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，进而根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，从而根据∠EAC=∠AEB ∠ACE即可求解。
13．【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下，
为的直径
是等腰直角三角形
（2）解：，，
为的直径
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理和圆心角定理可证得AB=BC，，进而得到是等腰直角三角形.
(2)利用勾股定理求得AC的长度后，进而得到CD的长度.
14．【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DBA=30°，
∴∠DAB=90°-30°=60°，
∵∠DCB+∠DAB= 180°，
∴∠DCB= 120°
∴∠CDB+∠CBD=60°，
∵∠CDB=2∠CBD，
∴∠CDB= =40°，∠CBD=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=90° +40°= 130°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由直径所对圆周角为直角可得∠ADB=90°，再利用圆内接四边形的性质求出∠DCB= 120°，再利用三角形内角和定理求出∠CDB=40°，进而可解.
15．【答案】（1）证明：∵∴
又∵ ， ∴
∴
（2）解：连接 ， ， ，
∵ 为 的直径
∴ ，
在 中，
∵ 是弧 的中点
∴
∴
又∵
∴ ，即
∴
∴ ，
∴
在 延长线上截取 ，连
在圆内接四边形 中，
又∵∴
∴
∴
∴
∴在等腰 中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由对顶角相等可得∠DFC=∠EFB，由同弧所对圆周角相等可得 ，等量代换可得 ，由等角对等边可得结果；
（2） 连接 ， ， ， 在 延长线上截取 ，连 ，可得A、E、B、D四点共圆，可得 ，△CEG为等腰直角三角形，利用勾股定理可得结果.
16．【答案】（1）解：如图1中，连接 .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ .
（2）解：①过B作 于点H，则 .
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②连接 并延长与 交于点I，则点D在 上.
如图：过B作 于点H，
则 ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 直径， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点D运动到点I时 取得最大值，此时 .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接BD，由圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，∠BCA=∠BAC=60°，结合中点的概念可得∠DCA=30°，据此解答；
（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由圆周角定理可得∠BAE=∠BCH，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BEA≌△BHC，得到EA=CH，由圆内接四边形的性质可得∠BDE=∠BCA，根据圆周角定理可得∠BCA=∠BDC，则∠BDE=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，然后根据线段的和差关系进行证明；
②连接BO并延长与⊙O交于点I，过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由由圆周角定理可得∠BAE=∠BCD，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到ED=HD，由圆周角定理可得∠BDA=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，则CD=DE+AE，易得BI垂直平分AC，据此求解.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.6 圆内接四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
2．（2024·杭州二模）如图，△ACD≌△ACB≌△AEB，将这三个三角形按照图中所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若∠BCD＝112°，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．68° C．56° D．34°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
已知△ACD ≌△ACB ≌△AEB ，
∴∠ACD =∠ACB =∠AEB ，AB=AD，
∵ ∠BCD＝112°，
∴，
由圆内接四边形的性质可得∠ADB =180°-∠AEB=180°-124°=56°，
∵AB=AD
∴∠ADB =∠ABD=56°，
根据三角形内角和定理可得： ∠BAD =180°-2×56°=68°.
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据全等三角形的性质可得，AB=AD，然后根据圆内接四边形的性质可得∠ADB =56°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和公式，即可求解.
3．（2021九上·海淀期中）如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】先求出∠A=40°，再求出 ，最后求解即可。
4．（2023·赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，合理运用定理找到角之间的关系是解题关键.
5．（2024·江北模拟）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD
∵是正三角形 ，
∴，
又∵，
∴∠D=，
在四边形ACBD中，则∠C=180°-∠D=150°，
又∵，
∴∠ABC=180°-∠C-∠CAB=10°.
故选：A.
【分析】由等边推出AB所对圆周角30°，结合圆内接四边形推出∠D即可得出结果.
6．（2024·昭通模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（ ）
A．134° B．132° C．76° D．66°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝114°，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，
∴∠AOC=2∠D=2×66°=132°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠D=2×66°=132°.
7．（2024·恩施模拟） 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，求出，然后利用圆周角定理得出的度数，再结合已知求出，然后根据圆周角定理可得答案．
8．如图，AD是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结BD交AC于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：AD是△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵BC=CF，
∴∠FBC=∠CFB，
∴∠CDB=∠BCF，
∵∠ADB=∠BCA，
∴∠ADB=∠CDB．
故A正确，
设∠DCB=α，∠CDB=β，则∠ADB=∠ACB=β，∠ABD=∠ACD=α-β，
∴2α+β=180°，
∴3∠ACB+∠ACD=3β+（α-β）=α+2β≠180°，
故B错误；
3∠BDC+2∠ABD=3β+2∠ACD=3β+2（α-β）=2α+β=180°，
故C正确；
3∠BAD+∠ABD=3（180°-α）+（α-β）=540°-（2α+β）=540°-180°=360°，
故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，且运用圆周角定理以及角度之间的等量转化可得出答案.
二、填空题
9．（2023·黄岩模拟）已知中，，含角的三个顶点分在的三边上，且直角顶点D在斜边上，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，当∠EFD=30°时，连接BD，
∵∠B=∠EDF=90°，
∴点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，
∴∠C=90°-30°=60°，
∵弧DF=弧DF，
∴∠DEF=∠DBF=60°，
∴∠BDA=180°-∠A-∠DBA=180°-30°-60°=90°，
∴∠CDB=90°，
∴CD=BC=；
当∠FED=30°时，连接BD，
同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，
∵弧DF=弧DF，
∴∠EBD=∠DFE=60°，
∵∠C=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC=BC=1.
故答案为：或
【分析】分情况讨论：当∠EFD=30°时，连接BD，利用∠B=∠EDF=90°，可得到点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用三角形的内角和定理求出∠C的度数，再利用圆周角定理可得到∠DEF=∠DBF=60°，利用三角形的内角和定理求出∠BDA=∠CDB=90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长；同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用圆周角定理可知∠EBD=∠DFE=60°，可得到△DBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出DC的长.
10．（2024九下·中江月考）如图，过原点，且分别与两坐标轴交于点A，B，点A的坐标为，M是第三象限内上一点，，则的半径为 ．
【答案】3
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，直角三角形的性质.先利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数，再根据圆周角定理可求出∠ABO的度数，利用直角三角形的性质可求出AB的长，进而求出答案.
11．（2024九上·杭州月考）如图，四边形为⊙O的内接四边形，已知，则度数为 ．
【答案】110°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形为⊙O的内接四边形，
∴
故答案为：110°.
【分析】根据"同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍"求出∠BAD的度数，最后根据圆内接四边形的性质即可求解.
12．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连结AC，AE．若∠D=78°，则∠EAC= °
【答案】27
【知识点】菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB ∠ACE=27°，
故答案为：27
【分析】先根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，进而根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，从而根据∠EAC=∠AEB ∠ACE即可求解。
三、解答题
13．如图所示，四边形ABCD内接于为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明.
（2）若，求CD的长度.
【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下，
为的直径
是等腰直角三角形
（2）解：，，
为的直径
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理和圆心角定理可证得AB=BC，，进而得到是等腰直角三角形.
(2)利用勾股定理求得AC的长度后，进而得到CD的长度.
14．如图所示，AB是的直径，C，D是圆上的两点，且，若，求的度数.
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DBA=30°，
∴∠DAB=90°-30°=60°，
∵∠DCB+∠DAB= 180°，
∴∠DCB= 120°
∴∠CDB+∠CBD=60°，
∵∠CDB=2∠CBD，
∴∠CDB= =40°，∠CBD=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=90° +40°= 130°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由直径所对圆周角为直角可得∠ADB=90°，再利用圆内接四边形的性质求出∠DCB= 120°，再利用三角形内角和定理求出∠CDB=40°，进而可解.
四、综合题
15．（2020九上·武汉期中）如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
【答案】（1）证明：∵∴
又∵ ， ∴
∴
（2）解：连接 ， ， ，
∵ 为 的直径
∴ ，
在 中，
∵ 是弧 的中点
∴
∴
又∵
∴ ，即
∴
∴ ，
∴
在 延长线上截取 ，连
在圆内接四边形 中，
又∵∴
∴
∴
∴
∴在等腰 中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由对顶角相等可得∠DFC=∠EFB，由同弧所对圆周角相等可得 ，等量代换可得 ，由等角对等边可得结果；
（2） 连接 ， ， ， 在 延长线上截取 ，连 ，可得A、E、B、D四点共圆，可得 ，△CEG为等腰直角三角形，利用勾股定理可得结果.
16．（2023九下·姑苏开学考）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点.
（1）如图1，若点D是的中点，等于多少？
（2）过点B作直线的垂线，垂足为点E.
①如图2，若点D在上，求证：.
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值.
【答案】（1）解：如图1中，连接 .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ .
（2）解：①过B作 于点H，则 .
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②连接 并延长与 交于点I，则点D在 上.
如图：过B作 于点H，
则 ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 直径， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点D运动到点I时 取得最大值，此时 .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接BD，由圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，∠BCA=∠BAC=60°，结合中点的概念可得∠DCA=30°，据此解答；
（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由圆周角定理可得∠BAE=∠BCH，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BEA≌△BHC，得到EA=CH，由圆内接四边形的性质可得∠BDE=∠BCA，根据圆周角定理可得∠BCA=∠BDC，则∠BDE=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，然后根据线段的和差关系进行证明；
②连接BO并延长与⊙O交于点I，过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由由圆周角定理可得∠BAE=∠BCD，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到ED=HD，由圆周角定理可得∠BDA=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，则CD=DE+AE，易得BI垂直平分AC，据此求解.
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