【提升版】浙教版数学八上1.3证明 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·梓潼期末）下列说法中，正确的是( )
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
2．（2024七下·新郑期中）如图，不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·西秀期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019七下·宁化期中）如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线
B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3
C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠3，则AD∥BC
5．（2024七下·福州期中）已知直线，，的位置如图所示，且，，下列关于的证明过程正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022七下·临西期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，∵，∴∠1=90°． ∵，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2，∴．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
7．（2024七下·厦门期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．（2023七下·游仙期末）如图是嘉淇证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的过程，下列判断不正确的是（ ）
证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线，，，，．
求证： △ ．
证明：（已知），
（垂直的定义）．
□ （已知）．
（垂直的定义），
○ （等量代换），
（ ◇ ）
A．△代表
B．□代表
C．○代表
D．◇代表两直线平行，同位角相等
二、填空题
9．（2023七下·大兴期末）如图，点在上，只需添加一个条件即可证明，这个条件是 ．（写出一个即可）
10．如图，DE//BC，BE平分，则请把下列证明过程补充完整：
解：∵BE平分(已知)，∠2(角平分线性质).又∵DE∥BC(已知)，∴2= ( )∴1=3(等量代换).
11．（2020七下·朝阳期末）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
12．（2020七下·营山期末）完成下面的证明：
已知：如图， ， 与 交于E点．求证： ．
证明：过E作
（已知）
（ ）．
（ ）
又
（ ）．
（ ）．
又 （已知），
（等量代换）
三、解答题
13．（2021七下·合肥期中）观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
14．（2024七下·上饶期中）如图，D，E，G分别是边上的点，．
（1）求证：；
（2）请说明的理由；
（3）若平分，判断与的位置关系，并说明理由．
15．（2019七下·南海期中）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
16．（2024七下·吴江期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
17．（2024七下·夏津月考）（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时．
①由条件可知：，依据是___________；，依据是___________；
②反射光线与平行，依据是___________．
（2）解决问题：
如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，则___________；___________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；证明过程；猜想与证明
【解析】【解答】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，A不符合题意；
B、假命题是不正确的命题，B不符合题意；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，C符合题意；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
3．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线；
B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3；
C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC；
D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理分别进行判断即可得到答案。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
6．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：由证明过程可得：条件是：在同一平面内，，且，
结论是：，
∴小云给出的证明过程证明的是：
选项A中的命题：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A
【分析】根据题意求出在同一平面内，若，且，则，即可作答。
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
10．【答案】3；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE平分(已知)，
∠2(角平分线性质).
又∵DE∥BC(已知)，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠3（等量代换）
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等.
【分析】根据角平分线性质以及平行线的性质，证明∠1与∠3都等于∠2，从而证明1=3.
11．【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
12．【答案】CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，内错角相等；∠B+∠D；等量加等量和相等
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作MN∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），
又∵MN∥AB，
∴∠l=∠B（两直线平行，内错角相等），
∴∠l+∠2=∠B+∠D（等量加等量和相等），
又∵∠BED=∠1+∠2（已知），
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换），
故答案为：CD，平行于同一条直线的两条直线平行；∠D，两直线平行，内错角相等；∠B，两直线平行，内错角相等；∠B+∠D，等量加等量和相等．
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行得AB∥CD∥MN，再根据平行线的性质即可完成证明．
13．【答案】解：将等式进行整理得：
32﹣12＝4（1+1）；
42﹣22＝4（2+1）；
52﹣32＝4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
证明：左边＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4，
右边＝4n+4，
左边＝右边，
所以（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】根据 9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4 找出规律求解即可。
14．【答案】（1）解：∵，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
．
（3）解：．
理由如下：平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得到∠1=∠DFG，结合已知条件等量代换得到∠2+∠DFG=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行求证即可；
（2）根据平行线的性质得到∠B=∠EGC，结合∠3=∠B，等量代换得到∠3=∠EGC，进而可得DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等求证即可；
（3），根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得出，结合求得∠B=45°，进而得到∠2=90°，则CD⊥AB，再根据平行线的性质求证即可.
15．【答案】（1）解：∵∠A=∠ADE
∴DE//AC
∴∠C+∠CDE=180°；
∵∠CDE=3∠C
∴∠C=45°
（2）证明：∵DE//BC
∴∠E=∠ABC
∵∠C=∠E
∴∠ABE=∠C
∴BE//CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠A=∠ADE可得DE//AC，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；（2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD．
16．【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
17．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换；②同位角相等，两直线平行；（2）80°；90°
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
1 / 1【提升版】浙教版数学八上1.3证明 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·梓潼期末）下列说法中，正确的是( )
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；证明过程；猜想与证明
【解析】【解答】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，A不符合题意；
B、假命题是不正确的命题，B不符合题意；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，C符合题意；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．（2024七下·新郑期中）如图，不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
3．（2024七下·西秀期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
4．（2019七下·宁化期中）如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线
B．若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3
C．若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠3，则AD∥BC
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线；
B、∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角，若AD∥BC，则∠2=∠3，∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角，因此，若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3；
C、∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角 则AD∥BC；
D、内错角∠2=∠3，则AD∥BC．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行的性质以及判定定理分别进行判断即可得到答案。
5．（2024七下·福州期中）已知直线，，的位置如图所示，且，，下列关于的证明过程正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行线的判定
6．（2022七下·临西期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，∵，∴∠1=90°． ∵，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2，∴．
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：由证明过程可得：条件是：在同一平面内，，且，
结论是：，
∴小云给出的证明过程证明的是：
选项A中的命题：在同一平面内，若，且，则，
故答案为：A
【分析】根据题意求出在同一平面内，若，且，则，即可作答。
7．（2024七下·厦门期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行线的判定
8．（2023七下·游仙期末）如图是嘉淇证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的过程，下列判断不正确的是（ ）
证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
已知：如图，直线，，，，．
求证： △ ．
证明：（已知），
（垂直的定义）．
□ （已知）．
（垂直的定义），
○ （等量代换），
（ ◇ ）
A．△代表
B．□代表
C．○代表
D．◇代表两直线平行，同位角相等
【答案】D
【知识点】平行线的判定
二、填空题
9．（2023七下·大兴期末）如图，点在上，只需添加一个条件即可证明，这个条件是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
10．如图，DE//BC，BE平分，则请把下列证明过程补充完整：
解：∵BE平分(已知)，∠2(角平分线性质).又∵DE∥BC(已知)，∴2= ( )∴1=3(等量代换).
【答案】3；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE平分(已知)，
∠2(角平分线性质).
又∵DE∥BC(已知)，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠3（等量代换）
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等.
【分析】根据角平分线性质以及平行线的性质，证明∠1与∠3都等于∠2，从而证明1=3.
11．（2020七下·朝阳期末）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
12．（2020七下·营山期末）完成下面的证明：
已知：如图， ， 与 交于E点．求证： ．
证明：过E作
（已知）
（ ）．
（ ）
又
（ ）．
（ ）．
又 （已知），
（等量代换）
【答案】CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，内错角相等；∠B+∠D；等量加等量和相等
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作MN∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），
又∵MN∥AB，
∴∠l=∠B（两直线平行，内错角相等），
∴∠l+∠2=∠B+∠D（等量加等量和相等），
又∵∠BED=∠1+∠2（已知），
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换），
故答案为：CD，平行于同一条直线的两条直线平行；∠D，两直线平行，内错角相等；∠B，两直线平行，内错角相等；∠B+∠D，等量加等量和相等．
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行得AB∥CD∥MN，再根据平行线的性质即可完成证明．
三、解答题
13．（2021七下·合肥期中）观察下列等式：9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．
【答案】解：将等式进行整理得：
32﹣12＝4（1+1）；
42﹣22＝4（2+1）；
52﹣32＝4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
证明：左边＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4，
右边＝4n+4，
左边＝右边，
所以（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】根据 9﹣1＝2×4，16﹣4＝3×4，25﹣9＝4×4，36﹣16＝5×4 找出规律求解即可。
14．（2024七下·上饶期中）如图，D，E，G分别是边上的点，．
（1）求证：；
（2）请说明的理由；
（3）若平分，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
．
（3）解：．
理由如下：平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得到∠1=∠DFG，结合已知条件等量代换得到∠2+∠DFG=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行求证即可；
（2）根据平行线的性质得到∠B=∠EGC，结合∠3=∠B，等量代换得到∠3=∠EGC，进而可得DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等求证即可；
（3），根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得出，结合求得∠B=45°，进而得到∠2=90°，则CD⊥AB，再根据平行线的性质求证即可.
15．（2019七下·南海期中）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
【答案】（1）解：∵∠A=∠ADE
∴DE//AC
∴∠C+∠CDE=180°；
∵∠CDE=3∠C
∴∠C=45°
（2）证明：∵DE//BC
∴∠E=∠ABC
∵∠C=∠E
∴∠ABE=∠C
∴BE//CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠A=∠ADE可得DE//AC，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；（2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD．
16．（2024七下·吴江期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
17．（2024七下·夏津月考）（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时．
①由条件可知：，依据是___________；，依据是___________；
②反射光线与平行，依据是___________．
（2）解决问题：
如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，则___________；___________．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换；②同位角相等，两直线平行；（2）80°；90°
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
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