【培优版】浙教版数学八上1.3证明 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·宝丰期末）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
2．（2024七下·郑州期末）数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（ ）
亮亮 天天 花花 丽丽
A．亮亮 B．天天 C．花花 D．丽丽
【答案】C
【知识点】平行线的判定
3．（2024七下·和平期中）如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
4．（2024七下·沂源期中）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
5．（2024七下·铁西期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．15 D．30
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
6．（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
方法： 如图，量角器测量所得， 对顶角相等， 角的度数相等． 同位角相等，两直线平行．
方法： 如图，已知， 对顶角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【分析】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
7．（2024七下·建湖期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需回答横线上符号代表的内容．回答正确的是（ ）
已知：如图，． 求证：． 证明：延长交※于点． 则◎． 又．得▲． 故（@相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
8．（2021七下·唐山期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
证法1：如图 ∵，，（量角器测量） ∵（计算所得） ∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作． ∴（两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角定义）． ∴（等量代换） 即．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的符合题意性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的符合题意性更高，就能证明该定理还需要理论证明，B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用理论与实践结合和三角形平行线的性质与平角的定义判断即可。
二、填空题
9．（2024七下·大祥期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”）
证明：∵，（已知）
又∵，（①___________）
∴②_____（等量代换）
∴．（③____________）
∴④_____（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴（⑤_____________）
∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行）
∴．（⑦__________）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（⑧______________）
【答案】①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
10．（2023七下·自贡期末）在下面的括号内填上推理的依据．
如图，和相交于点，．
证明：（已知），
， ；
∴ ．
【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法求解即可.
11．（2020七下·门头沟期末）完成下面的证明：
（1）已知：如图，AB∥CD
求证：∠1+∠3 = 180°
证明：∵AB∥CD（已知），
∴ ∠1+∠2 = 180°（ ）
又∵ ∠2 = ∠3（ ）
∴ ∠1+∠3=180°（ ）
（2）已知：如图，AM∥EF，∠1 = ∠B．
求证：∠2 = ∠C．
证明：∵ ∠1 = ∠B（已知），
∴EF∥BC（ ）
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（ ）
∴ ∠2 = ∠C（ ）
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换
（2）同位角相等，两直线平行；平行公理推论；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵ （已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵ （ 对顶角相等 ）
∴ （ 等量代换 ）；（2）证明：∵ （已知）
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ）
∵ （已知）
∴ （ 平行公理推论 ）
∴ （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等、等量代换即可得证；（2）先根据平行线的判定可得 ，再根据平行公理推论可得 ，然后根据平行线的性质即可得证．
三、解答题
12．
（1） 如图 1， ． 说明 的理由．
（2） 如图 2， ． 判断直线 与直线 的位置关系， 并说明理由．
（3） 根据以上探究，你发现了一个什么结论？ 请你写出来．
【答案】（1）解：，
（2）解：，
（3）截：如果两个角相等或互补， 且一边平行， 则另一边也平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据条件 ，以及平行性质“两直线平行，同位角相等”得出∠B=∠DOC， 再根据条件∠E=∠B，以及平行线判断法则“同位角相等，两直线平行”最终得出BC∥EF；
（2）根据条件 ，以及平行性质“两直线平行，同位角相等”、对顶角的性质得出∠B与∠BOE互补， 再根据条件∠E+∠B=180°，以及平行线判断法则“同旁内角互补，两直线平行”最终得出；
（3）由（1）与（2）的证明过程可知，如有两个角，是相等（如（1）小题）或互补（如（2）小题），且存在一边平行的情况（如（1）、（2）小题中的ED∥BA），则另一边也平行.
13．（2024七下·杭州期中）如图，已知，
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数；
（3）下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵ AD∥BC，
∴ ∠A+∠B=180°，
∵ ∠A=∠C，
∴ ∠B+∠C=180°，
∴ AB∥CD；
（2）解：∵ AB∥CD，∠A=110°，
∴ ∠ADC=180°-∠A=70°，
∵平分，平分，
∴ ∠FDB=∠FDC，∠EDF=∠ADF，
∴ ∠DEB=∠ADC=35°；
（3）解：①由（2）可知∠EDB=（180°-∠A）=90°-；
②由（2）可知 ∠FDB=∠FDC，∠EDF=∠ADF，
∵DF平分∠EDB，
∴ ∠FDB=∠EDF，
∴ ∠EDC=∠ADC=（180°-∠A）=135°-x°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠AED=∠EDC=135°-x°；
③∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CDE，
∵ ∠AED=∠CBD，
∴ ∠ADB=∠CDE，
∵ ∠ADB=∠EDB+∠ADE，
∠CDE=∠EDB+∠BDC，
∴ ∠ADE=∠BDC，
由（2）可知，∠ADE=∠EDF，∠BDC=∠BDF，
∴ ∠BDC=∠ADC=（180°-∠A）=45°-.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求得；
（2）根据平行线的性质与角平分线的定义即可求得；
（3）①根据（2）即可求得；
②根据（2）的结论和角平分线的性质可得∠EDC，再根据平行线的性质即可求得；
③根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CDE推出∠ADE=∠BDC，即可求得∠BDC=∠ADC.
14．已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S1，满足S1≤120，且S1要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S2）；如此继续构成第三批（其数字之和为S3）；第四批（其数字之和为S4）；…直到第N批（其数字之和为SN）取完所有卡片为止．
（1）判断S1，S2，…，SN的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
（2）当n=1，2，3，…，N﹣2时，求证： Sn<；
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．
【答案】解：（1）对于任意满足条件的有限张卡片，满足S1≥S2≥…≥SN；假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30，由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张．（2）证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N﹣2，此时第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120﹣Sn+1，余下数之和更大于120﹣Sn+1，即1080﹣（S1+S2+…+Sn+1）＞120﹣Sn+1，由此可得S1+S2+…+Sn＜960，因为nSn≤S1+S2+…+Sn，从而 Sn<；（3）证明：假设N＞11，即第11批卡片取走后，还有卡片没被分完，由已知可知余下的每个数都大于120﹣S11，且120﹣S11≥120﹣S10，故余下的每个数 >120-S11120-S10>120-=24，因为第11组卡片中至少含有4张，所以第11组卡片上的所有数之和S11大于24×4=96，从而S10≥S11＞96，这与（2）中的S10＜96矛盾，所以N≤11．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）因为先取数字之和要尽可能地大，剩下的数都不大于前面取出的数，由此解答即可；
（2）求出取出第n批后，第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120﹣Sn+1，余下数之和更大于120﹣Sn+1，再利用所有卡片上数的和为1080列出不等式解答即可；
（3）利用反证法法，结合（2）的结论，两种情况矛盾，解决问题．
15．（2024七下·博山期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
（2）在（1）中，若，则______；若，则______；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
四、实践探究题
16．（2024七下·商南期中）
【问题背景】如图，，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）【问题解决】如图1，过点E作，若，，则 °；
（2）若的平分线交边于点F．
【探索求证】①如图2，当，且时，试说明：；
【延伸扩展】②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
【答案】（1）45
（2）解：①∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴．
在三角板中，，
∴，∴，
∵，∴．
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵，∴，且，
∵平分，∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵EF//MN，
∴∠DEF=∠NDE=45°，
∵∠CED=90°，
∴∠FEC=45°，
∵MN//OB，EF∥MN，
∴EF//OB，
∴∠BCE=∠FCE=45°，
∵AO//CE，
∴∠AOB=∠ECB=45°，
∴.
故答案为：45；
【分析】（1）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得到EF//OB，由二直线平行，内错角相等得∠BCE=∠FCE=45°，由AO//CE，即可得到∠AOB=∠ECB=45°，即可得到答案；
（2） ① 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，得到，即可证明；
②当保持不变时，总有，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而即可得到答案.
17．（2024七下·永寿期中）【学科融合】
物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律．
（1）【理解运用】
如图1，展示了光线反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角，则 （填“”“”或“”）；
（2）【尝试探究】
学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，AB、CD是平行放置的两面平面镜，入射光线EF经过两次反射后，得到的反射光线GH，已知，．请问进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是否平行，说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，AB、BC是两平面镜，入射光线FE经过两次反射后，反射光线GH与入射光线EF平行但方向相反．已知，．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线CH是平行的，理由：
，．
，，．，
即，．
（3）解：，，
，
，
，，，．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵ ∠AFE=∠BFE=90°，，
∴，
即∠1=∠2.
故答案为：（1）＝；
【分析】（1）根据∠AFE=∠BFE=90°，且 ，即可求得；
（2）根据平行线的性质可得∠2=∠3，进而推出∠EFG=∠FGH，即可判定EF∥GH；
（3）根据平行线的性质可得进而推出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求得.
18．（黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2022-2023学年七年级上学期数学期末试题）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________．
【实践探究】
（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究：
①的补角有_________个，分别是：__________________．
②求的度数
理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程）
因为，
所以_________，_________．
又因为，
所以_________．
【答案】（1）；2；和（2）①3；、、；②15；30；120
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质
1 / 1【培优版】浙教版数学八上1.3证明 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·宝丰期末）下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·郑州期末）数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并要求学生添加一个条件，使得，下面四位同学给出的条件中有一个无法证明这个结论，则这位同学是（ ）
亮亮 天天 花花 丽丽
A．亮亮 B．天天 C．花花 D．丽丽
3．（2024七下·和平期中）如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2024七下·沂源期中）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
5．（2024七下·铁西期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．15 D．30
6．（2023七下·石家庄期末） 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被直线所截，．
对说明理由．
方法： 如图，量角器测量所得， 对顶角相等， 角的度数相等． 同位角相等，两直线平行．
方法： 如图，已知， 对顶角相等， 等量代换， 同位角相等，两直线平行．
下列说法正确的是（ ）
A．方法只要测量够组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性
B．方法用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性
C．方法用严谨的推理说明了该定理的正确性
D．方法还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整
7．（2024七下·建湖期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需回答横线上符号代表的内容．回答正确的是（ ）
已知：如图，． 求证：． 证明：延长交※于点． 则◎． 又．得▲． 故（@相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表
8．（2021七下·唐山期末）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
证法1：如图 ∵，，（量角器测量） ∵（计算所得） ∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作． ∴（两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角定义）． ∴（等量代换） 即．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
二、填空题
9．（2024七下·大祥期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”）
证明：∵，（已知）
又∵，（①___________）
∴②_____（等量代换）
∴．（③____________）
∴④_____（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴（⑤_____________）
∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行）
∴．（⑦__________）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（⑧______________）
10．（2023七下·自贡期末）在下面的括号内填上推理的依据．
如图，和相交于点，．
证明：（已知），
， ；
∴ ．
11．（2020七下·门头沟期末）完成下面的证明：
（1）已知：如图，AB∥CD
求证：∠1+∠3 = 180°
证明：∵AB∥CD（已知），
∴ ∠1+∠2 = 180°（ ）
又∵ ∠2 = ∠3（ ）
∴ ∠1+∠3=180°（ ）
（2）已知：如图，AM∥EF，∠1 = ∠B．
求证：∠2 = ∠C．
证明：∵ ∠1 = ∠B（已知），
∴EF∥BC（ ）
∵AM∥EF（已知），
∴AM∥BC（ ）
∴ ∠2 = ∠C（ ）
三、解答题
12．
（1） 如图 1， ． 说明 的理由．
（2） 如图 2， ． 判断直线 与直线 的位置关系， 并说明理由．
（3） 根据以上探究，你发现了一个什么结论？ 请你写出来．
13．（2024七下·杭州期中）如图，已知，
（1）如图1，试说明：；
（2）如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数；
（3）下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）．
14．已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S1，满足S1≤120，且S1要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S2）；如此继续构成第三批（其数字之和为S3）；第四批（其数字之和为S4）；…直到第N批（其数字之和为SN）取完所有卡片为止．
（1）判断S1，S2，…，SN的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
（2）当n=1，2，3，…，N﹣2时，求证： Sn<；
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．
15．（2024七下·博山期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
（2）在（1）中，若，则______；若，则______；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
四、实践探究题
16．（2024七下·商南期中）
【问题背景】如图，，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）【问题解决】如图1，过点E作，若，，则 °；
（2）若的平分线交边于点F．
【探索求证】①如图2，当，且时，试说明：；
【延伸扩展】②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
17．（2024七下·永寿期中）【学科融合】
物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律．
（1）【理解运用】
如图1，展示了光线反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角，则 （填“”“”或“”）；
（2）【尝试探究】
学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，AB、CD是平行放置的两面平面镜，入射光线EF经过两次反射后，得到的反射光线GH，已知，．请问进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是否平行，说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，AB、BC是两平面镜，入射光线FE经过两次反射后，反射光线GH与入射光线EF平行但方向相反．已知，．求的度数．
18．（黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2022-2023学年七年级上学期数学期末试题）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________．
【实践探究】
（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究：
①的补角有_________个，分别是：__________________．
②求的度数
理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程）
因为，
所以_________，_________．
又因为，
所以_________．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
5．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】∵方法1利用测量的方法总是有误差的，∴不严谨，且说法不正确；
∵方法2时用严谨的推理说明了该定理的正确，
故答案为：C.
【分析】利用对顶角相等可得∠1=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，再利用平行线的判定方法可得答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质
8．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的符合题意性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的符合题意性更高，就能证明该定理还需要理论证明，B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用理论与实践结合和三角形平行线的性质与平角的定义判断即可。
9．【答案】①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
10．【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理方法求解即可.
11．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等；等量代换
（2）同位角相等，两直线平行；平行公理推论；两直线平行，内错角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）证明：∵ （已知）
∴ （两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵ （ 对顶角相等 ）
∴ （ 等量代换 ）；（2）证明：∵ （已知）
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ）
∵ （已知）
∴ （ 平行公理推论 ）
∴ （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据对顶角相等、等量代换即可得证；（2）先根据平行线的判定可得 ，再根据平行公理推论可得 ，然后根据平行线的性质即可得证．
12．【答案】（1）解：，
（2）解：，
（3）截：如果两个角相等或互补， 且一边平行， 则另一边也平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据条件 ，以及平行性质“两直线平行，同位角相等”得出∠B=∠DOC， 再根据条件∠E=∠B，以及平行线判断法则“同位角相等，两直线平行”最终得出BC∥EF；
（2）根据条件 ，以及平行性质“两直线平行，同位角相等”、对顶角的性质得出∠B与∠BOE互补， 再根据条件∠E+∠B=180°，以及平行线判断法则“同旁内角互补，两直线平行”最终得出；
（3）由（1）与（2）的证明过程可知，如有两个角，是相等（如（1）小题）或互补（如（2）小题），且存在一边平行的情况（如（1）、（2）小题中的ED∥BA），则另一边也平行.
13．【答案】（1）解：∵ AD∥BC，
∴ ∠A+∠B=180°，
∵ ∠A=∠C，
∴ ∠B+∠C=180°，
∴ AB∥CD；
（2）解：∵ AB∥CD，∠A=110°，
∴ ∠ADC=180°-∠A=70°，
∵平分，平分，
∴ ∠FDB=∠FDC，∠EDF=∠ADF，
∴ ∠DEB=∠ADC=35°；
（3）解：①由（2）可知∠EDB=（180°-∠A）=90°-；
②由（2）可知 ∠FDB=∠FDC，∠EDF=∠ADF，
∵DF平分∠EDB，
∴ ∠FDB=∠EDF，
∴ ∠EDC=∠ADC=（180°-∠A）=135°-x°，
∵ AB∥CD，
∴ ∠AED=∠EDC=135°-x°；
③∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CDE，
∵ ∠AED=∠CBD，
∴ ∠ADB=∠CDE，
∵ ∠ADB=∠EDB+∠ADE，
∠CDE=∠EDB+∠BDC，
∴ ∠ADE=∠BDC，
由（2）可知，∠ADE=∠EDF，∠BDC=∠BDF，
∴ ∠BDC=∠ADC=（180°-∠A）=45°-.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求得；
（2）根据平行线的性质与角平分线的定义即可求得；
（3）①根据（2）即可求得；
②根据（2）的结论和角平分线的性质可得∠EDC，再根据平行线的性质即可求得；
③根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CDE推出∠ADE=∠BDC，即可求得∠BDC=∠ADC.
14．【答案】解：（1）对于任意满足条件的有限张卡片，满足S1≥S2≥…≥SN；假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30，由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张．（2）证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N﹣2，此时第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120﹣Sn+1，余下数之和更大于120﹣Sn+1，即1080﹣（S1+S2+…+Sn+1）＞120﹣Sn+1，由此可得S1+S2+…+Sn＜960，因为nSn≤S1+S2+…+Sn，从而 Sn<；（3）证明：假设N＞11，即第11批卡片取走后，还有卡片没被分完，由已知可知余下的每个数都大于120﹣S11，且120﹣S11≥120﹣S10，故余下的每个数 >120-S11120-S10>120-=24，因为第11组卡片中至少含有4张，所以第11组卡片上的所有数之和S11大于24×4=96，从而S10≥S11＞96，这与（2）中的S10＜96矛盾，所以N≤11．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）因为先取数字之和要尽可能地大，剩下的数都不大于前面取出的数，由此解答即可；
（2）求出取出第n批后，第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120﹣Sn+1，余下数之和更大于120﹣Sn+1，再利用所有卡片上数的和为1080列出不等式解答即可；
（3）利用反证法法，结合（2）的结论，两种情况矛盾，解决问题．
15．【答案】（1），
（2），
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
16．【答案】（1）45
（2）解：①∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴．
在三角板中，，
∴，∴，
∵，∴．
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵，∴，且，
∵平分，∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵EF//MN，
∴∠DEF=∠NDE=45°，
∵∠CED=90°，
∴∠FEC=45°，
∵MN//OB，EF∥MN，
∴EF//OB，
∴∠BCE=∠FCE=45°，
∵AO//CE，
∴∠AOB=∠ECB=45°，
∴.
故答案为：45；
【分析】（1）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得到EF//OB，由二直线平行，内错角相等得∠BCE=∠FCE=45°，由AO//CE，即可得到∠AOB=∠ECB=45°，即可得到答案；
（2） ① 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，得到，即可证明；
②当保持不变时，总有，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而即可得到答案.
17．【答案】（1）
（2）解：潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线CH是平行的，理由：
，．
，，．，
即，．
（3）解：，，
，
，
，，，．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵ ∠AFE=∠BFE=90°，，
∴，
即∠1=∠2.
故答案为：（1）＝；
【分析】（1）根据∠AFE=∠BFE=90°，且 ，即可求得；
（2）根据平行线的性质可得∠2=∠3，进而推出∠EFG=∠FGH，即可判定EF∥GH；
（3）根据平行线的性质可得进而推出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求得.
18．【答案】（1）；2；和（2）①3；、、；②15；30；120
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的性质
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