【培优版】浙教版（2024）七上第三章 实数 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·游仙期末）若＝a，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
2．（2024七下·玉州期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．0＜＜ B．＜＜1
C．＜＜ D．＞1
3．（2022七下·中山期末）一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（ ）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
4．（2024七下·云梦期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是( )
A． B． C． D．
5．（2024七下·忠县期末）已知，，估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2024七下·易县期末）有一个数值转换器，原理如图所示．当输入时，输出y的值为（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2024七下·南明月考）七巧板是一种古老的汉族传统益智游戏，由七块板组成，可拼成许多图形(1 600种以上).如图所示，现在用边长为4的正方形制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部正方形的面积是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
8．（2024七下·德阳期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是( )
第一排
第二排
第三排
第四排
A． B． C． D．
9．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020七下·北京期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019七上·宁津期末）已知|x|=5，y2=1，且 ＞0，则x﹣y= ．
12．（2021七下·大安期末） 的相反数是 ；
13．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
14．（2024七下·阳西期末）定义：对于任何实数m，符号表示不大于m的最大整数．已知，则．例如：若，则．若，则x的取值范围是 ．
15．（2024七下·鱼台期中）对于任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
16．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024七上·嘉兴期末）计算：
（1）
（2）
18．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册3.3 立方根 同步练习）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的长．
19．（2021七上·江干期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m
（3）m，n在满足(2)的条件下，求 的值．
20．（2024七下·长沙月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：= ；= ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
21．（2024七下·湖北期中） 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：－9，－4，－1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数称为“绝佳组合数”．
（1）－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数－2，m，－8是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．
22．（2021七上·长兴月考）如图1，依次连接2×2方格四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位，则这个阴影正方形的边长为.
（1）图1中阴影正方形的边长为 ；点P表示的实数为 ；
（2）如图2，在4×4方格中阴影正方形的边长为a.
①写出边长a的值.
②请仿照（1）中的作图在数轴上表示实数﹣a+1.
23．（2023七上·龙泉驿期中）
（1）【基本事实】
我们知道整数和分数统称为有理数，为什么不是整数和小数统称为有理数呢？所有的分数都可以化成小数的形式，是不是所有的小数都可以化成分数形式呢？我们可以举例说明：有限小数0.2化成分数的形式是 ；无限循环小数又该如何化呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设＝x，由＝0.7777…可知，10x＝7.7777…，所以10x＝7+x，解方程，得x＝，于是得，故化成分数的形式是 ，所有有限小数和无限循环小数 （填“是”或“不是”）有理数；而无限不循环小数是不可以化成分数的，所以π （填“是”或“不是”）有理数，那么无限不循环小数能通过数轴上的一个点来表示吗？我们将以π为例通过下列活动来探索：
（2）【数学活动】
如图，直径为1的圆从原点出发沿数轴正方向滚动一周，圆上一点由原点O到达点O'，则OO′＝ ．
（3）【知识推理】
判断：（填“正确”或“错误”）
①任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示．
②数轴上的点都表示有理数．
③整数和小数统称为有理数．
24．（2023七上·浙江期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴a=4.
故答案为：A。
【分析】直接求16的算术平方根，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故答案为：B．
【分析】用夹逼法估算无理数即可
3．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方体的体积为63，它的棱长a
∴，
，
，
，
，
即3＜a＜4，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意，设线段AB上的数为x，则.
A：因为，所以A不符合题意；
B：因为，所以B符合题意；
C：因为-1.1不是无理数，所以C不符合题意；
D：因为，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】首先根据题意，得出线段AB上得点表示的数的取值范围，然后根据范围和是否无理数分别判断各选项，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
6．【答案】D
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解： 当输入时，第一次得=4是有理数，
∴第二次计算，当x=4时，=2是有理数，
∴第三次计算，当x=2时，是无理数数.
故答案为：D.
【分析】根据数值转换器，输入，求出算术平方根，直至结果为无理数即可.
7．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，
∴对角线长为4，
∴正方形的边长为×4=，
∴面积为（）2=2．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的变成得到对角线的长度，进而根据正方形的面积即可求解。
8．【答案】C
【知识点】求算术平方根；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：表示第8排第5个数，
∴表示实数.
故答案为：C.
【分析】根据有序实数对可得表示第8排第5个数，即可求得.
9．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
10．【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：A．根据表格中的信息知： ，
∴ ＝1.59，不符合题意；
B．根据表格中的信息知： ＜ ，
∴235的算术平方根比15.3大，不符合题意；
C．根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，
∴正整数n＝241或242或243，
∴只有3个正整数n满足15.5 ，符合题意；
D．根据表格中的信息无法得知16.12的值，
∴不能推断出16.12将比256增大3.19，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算式平方根的值，再依次判断即可。
11．【答案】±4
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根
【解析】【解答】∵|x|=5，y2=1，
∴x=±5，y=±1，
∵ ＞0，
∴x=5时，y=1，
x=-5时，y=-1，
则x-y=±4．
故答案为±4．
【分析】直接利用绝对值以及平方根的定义得出正确x，y的值，进而得出答案．
12．【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】 2的相反数是2 ．
故答案为2 ．
【分析】利用实数的相反数的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
14．【答案】
【知识点】实数的概念与分类；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解： 由题意得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据定义结合例子即可得到，进而解不等式组即可求解。
15．【答案】255
【知识点】无理数的估值；探索数与式的规律
16．【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）负整数的平方为正数；负整数开立方为负数；负数的绝对值为正数；根据有理数的混合运算计算即可；
（2）负数的平方为正数；分式相减，先找到分母的最小公倍数，统分化简；正数的立方是正数；最后根据有理数的混合运算以此计算即可.
18．【答案】（1）解：设魔方的棱长为x cm，可得：x3=216，解得：x=6．答：该魔方的棱长6 cm．
（2）解：设该长方体纸盒的长为y cm，6y2=600，y2=100，y=10．答：该长方体纸盒的长为10 cm．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】（1）根据正方体的体积=棱长的立方可得=216，由立方根的意义可求得x=6；
（2）根据长方体的体积=长宽高可列方程求解。
19．【答案】（1）解：由题意可知a2=69（a＞0），
解得a=
（2）∵a2=69
64<69<91
< <
即8< <9
m=8，n=9
（3）
=-2-3
=-5
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】(1)根据正方形面积公式列方程求解即可；
(2)根据算术平方根的定义估算无理数的范围，即可求出m、n值；
(3)把m、n的值代入原式，再根据进行根式的化简，然后进行有理数的减法运算，即得结果.
20．【答案】（1）2；5
（2）1，2，3
（3）解：第一次：，第二次：，第三次：，
∴第3次之后结果为1；
（4）255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5；
（2）解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
故答案为：255.
【分析】（1）根据算术平方根的定义、估算无理数大小的方法和新规定可得答案；
（2）根据，，即可得；
（3）根据新规定逐步计算即可；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255．
21．【答案】（1）解：－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”，理由如下：
，，，且18，6，9都是整数，
－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为12，
这两个数的乘积为144，当－2m＝144时，则m＝－72，
，，此时符合题意；
当－8m＝144时，则m＝－18，
，，此时符合题意；
综上所述，m＝－72或－18．
【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】(1)根据新定义分别计算两两乘积的算术平方根即可判断；
（2）分类讨论两数组合的两种情况，再去检验在该种情况下其两两乘积的算术平分根是否符合新定义.
22．【答案】（1）；1+
（2）解：①阴影部分正方形面积为：，
求其算术平方根可得：，
②如图所示：
点M表示的数即为.
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的面积为：，
正方形ABCD的边长为：，
，
，
由题意得：点表示的实数为：，
故答案为：，；
【分析】（1）观察图形1可得阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，再根据正方形的面积等于正方形的边长的平方可求得正方形的边长，易得AP=AB，进而根据OP=OA+AP及数轴上的点所表示的数的特点得出点P所表示的数；
（2）①观察图形2可得阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，再根据正方形的面积等于正方形的边长的平方可求得正方形的边长；
②根据a==，故作一个量直角边分别为3与1的直角三角形，然后以其斜边的长为半径数轴上表示数字1的点为圆心，画弧，该弧与数轴的负半轴的交点所表示的数就是实数﹣a+1.
23．【答案】（1）；；是；不是
（2）π
（3）正确；错误；错误
【知识点】无理数在数轴上表示；有理数的分类
【解析】【解答】
解：（1）0.2=；
设 ，则100x=，则100x-x=-，解得x=；
则所有有限小数和无限循环小数是有理数， 无限不循环小数是不可以化成分数的 ，则不是有理数。
（2）圆的直径为1， 圆上一点由原点O到达点O'，则OO′ 为圆的周长=
（3）从（1）和（2）知，任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，①正确；
数轴上的点可以表示有理数，也可以表示无理数． ②错误；
整数和分数统称为有理数．③错误；
【分析】本题考查有理数的分类相关知识与圆的周长，理解有理数分为整数和分数的原因，掌握把无限循环小数化成分数的方法是解题关键。
（1）0.2=；用题目所给方法求出 =；
可知所有有限小数和无限循环小数是有理数， 无限不循环小数是不可以化成分数的 ，则不是有理数。
（2）OO′ 为圆的周长=；
（3）根据（1）和（2）做出判断即可。
24．【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
1 / 1【培优版】浙教版（2024）七上第三章 实数 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·游仙期末）若＝a，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴a=4.
故答案为：A。
【分析】直接求16的算术平方根，即可得出答案。
2．（2024七下·玉州期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．0＜＜ B．＜＜1
C．＜＜ D．＞1
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故答案为：B．
【分析】用夹逼法估算无理数即可
3．（2022七下·中山期末）一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（ ）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方体的体积为63，它的棱长a
∴，
，
，
，
，
即3＜a＜4，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2024七下·云梦期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意，设线段AB上的数为x，则.
A：因为，所以A不符合题意；
B：因为，所以B符合题意；
C：因为-1.1不是无理数，所以C不符合题意；
D：因为，所以D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】首先根据题意，得出线段AB上得点表示的数的取值范围，然后根据范围和是否无理数分别判断各选项，即可得出答案。
5．（2024七下·忠县期末）已知，，估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
6．（2024七下·易县期末）有一个数值转换器，原理如图所示．当输入时，输出y的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解： 当输入时，第一次得=4是有理数，
∴第二次计算，当x=4时，=2是有理数，
∴第三次计算，当x=2时，是无理数数.
故答案为：D.
【分析】根据数值转换器，输入，求出算术平方根，直至结果为无理数即可.
7．（2024七下·南明月考）七巧板是一种古老的汉族传统益智游戏，由七块板组成，可拼成许多图形(1 600种以上).如图所示，现在用边长为4的正方形制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部正方形的面积是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，
∴对角线长为4，
∴正方形的边长为×4=，
∴面积为（）2=2．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的变成得到对角线的长度，进而根据正方形的面积即可求解。
8．（2024七下·德阳期末）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是( )
第一排
第二排
第三排
第四排
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：表示第8排第5个数，
∴表示实数.
故答案为：C.
【分析】根据有序实数对可得表示第8排第5个数，即可求得.
9．（2023七上·海曙期中） 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
【分析】分别计算 ，x2，x 为 时，x的值，是否满足 min{，x2，x}＝即可.
10．（2020七下·北京期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：A．根据表格中的信息知： ，
∴ ＝1.59，不符合题意；
B．根据表格中的信息知： ＜ ，
∴235的算术平方根比15.3大，不符合题意；
C．根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，
∴正整数n＝241或242或243，
∴只有3个正整数n满足15.5 ，符合题意；
D．根据表格中的信息无法得知16.12的值，
∴不能推断出16.12将比256增大3.19，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算式平方根的值，再依次判断即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019七上·宁津期末）已知|x|=5，y2=1，且 ＞0，则x﹣y= ．
【答案】±4
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根
【解析】【解答】∵|x|=5，y2=1，
∴x=±5，y=±1，
∵ ＞0，
∴x=5时，y=1，
x=-5时，y=-1，
则x-y=±4．
故答案为±4．
【分析】直接利用绝对值以及平方根的定义得出正确x，y的值，进而得出答案．
12．（2021七下·大安期末） 的相反数是 ；
【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】 2的相反数是2 ．
故答案为2 ．
【分析】利用实数的相反数的定义求解即可。
13．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
14．（2024七下·阳西期末）定义：对于任何实数m，符号表示不大于m的最大整数．已知，则．例如：若，则．若，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】实数的概念与分类；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解： 由题意得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据定义结合例子即可得到，进而解不等式组即可求解。
15．（2024七下·鱼台期中）对于任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】255
【知识点】无理数的估值；探索数与式的规律
16．（2021七下·河西期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案39，邻座的乘客忙问计算的奥妙
（1）下面是探究 的过程，请补充完整：
①由103=1000，1003=1000000，可以确定 是两位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是9：
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是 ；由此求得 =39
（2）已知103823也是一个整数的立方，请你用类似的方法求 =
【答案】（1）3
（2）47
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，44=64，可以确定 的十位上的数是3；由此求得 =39.
（2）∵103=1000，1003=1000000，可以确定是两位数；
∵103823的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是7：
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43=64，53=125，可以确定的十位上的数是4；由此求得=47.
故答案为：（1）3；（2）47.
【分析】（1）根据33=27<59<64=43就可确定的十位数字；
（2）根据（1）的步骤进行解答即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024七上·嘉兴期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）负整数的平方为正数；负整数开立方为负数；负数的绝对值为正数；根据有理数的混合运算计算即可；
（2）负数的平方为正数；分式相减，先找到分母的最小公倍数，统分化简；正数的立方是正数；最后根据有理数的混合运算以此计算即可.
18．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册3.3 立方根 同步练习）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的长．
【答案】（1）解：设魔方的棱长为x cm，可得：x3=216，解得：x=6．答：该魔方的棱长6 cm．
（2）解：设该长方体纸盒的长为y cm，6y2=600，y2=100，y=10．答：该长方体纸盒的长为10 cm．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】（1）根据正方体的体积=棱长的立方可得=216，由立方根的意义可求得x=6；
（2）根据长方体的体积=长宽高可列方程求解。
19．（2021七上·江干期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m（3）m，n在满足(2)的条件下，求 的值．
【答案】（1）解：由题意可知a2=69（a＞0），
解得a=
（2）∵a2=69
64<69<91
< <
即8< <9
m=8，n=9
（3）
=-2-3
=-5
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】(1)根据正方形面积公式列方程求解即可；
(2)根据算术平方根的定义估算无理数的范围，即可求出m、n值；
(3)把m、n的值代入原式，再根据进行根式的化简，然后进行有理数的减法运算，即得结果.
20．（2024七下·长沙月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：= ；= ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1）2；5
（2）1，2，3
（3）解：第一次：，第二次：，第三次：，
∴第3次之后结果为1；
（4）255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5；
（2）解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
故答案为：255.
【分析】（1）根据算术平方根的定义、估算无理数大小的方法和新规定可得答案；
（2）根据，，即可得；
（3）根据新规定逐步计算即可；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255．
21．（2024七下·湖北期中） 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“绝佳组合数”，例如：－9，－4，－1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数称为“绝佳组合数”．
（1）－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数－2，m，－8是“绝佳组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．
【答案】（1）解：－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”，理由如下：
，，，且18，6，9都是整数，
－27，－12，－3这三个数是“绝佳组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为12，
这两个数的乘积为144，当－2m＝144时，则m＝－72，
，，此时符合题意；
当－8m＝144时，则m＝－18，
，，此时符合题意；
综上所述，m＝－72或－18．
【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】(1)根据新定义分别计算两两乘积的算术平方根即可判断；
（2）分类讨论两数组合的两种情况，再去检验在该种情况下其两两乘积的算术平分根是否符合新定义.
22．（2021七上·长兴月考）如图1，依次连接2×2方格四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位，则这个阴影正方形的边长为.
（1）图1中阴影正方形的边长为 ；点P表示的实数为 ；
（2）如图2，在4×4方格中阴影正方形的边长为a.
①写出边长a的值.
②请仿照（1）中的作图在数轴上表示实数﹣a+1.
【答案】（1）；1+
（2）解：①阴影部分正方形面积为：，
求其算术平方根可得：，
②如图所示：
点M表示的数即为.
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的面积为：，
正方形ABCD的边长为：，
，
，
由题意得：点表示的实数为：，
故答案为：，；
【分析】（1）观察图形1可得阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，再根据正方形的面积等于正方形的边长的平方可求得正方形的边长，易得AP=AB，进而根据OP=OA+AP及数轴上的点所表示的数的特点得出点P所表示的数；
（2）①观察图形2可得阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，再根据正方形的面积等于正方形的边长的平方可求得正方形的边长；
②根据a==，故作一个量直角边分别为3与1的直角三角形，然后以其斜边的长为半径数轴上表示数字1的点为圆心，画弧，该弧与数轴的负半轴的交点所表示的数就是实数﹣a+1.
23．（2023七上·龙泉驿期中）
（1）【基本事实】
我们知道整数和分数统称为有理数，为什么不是整数和小数统称为有理数呢？所有的分数都可以化成小数的形式，是不是所有的小数都可以化成分数形式呢？我们可以举例说明：有限小数0.2化成分数的形式是 ；无限循环小数又该如何化呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设＝x，由＝0.7777…可知，10x＝7.7777…，所以10x＝7+x，解方程，得x＝，于是得，故化成分数的形式是 ，所有有限小数和无限循环小数 （填“是”或“不是”）有理数；而无限不循环小数是不可以化成分数的，所以π （填“是”或“不是”）有理数，那么无限不循环小数能通过数轴上的一个点来表示吗？我们将以π为例通过下列活动来探索：
（2）【数学活动】
如图，直径为1的圆从原点出发沿数轴正方向滚动一周，圆上一点由原点O到达点O'，则OO′＝ ．
（3）【知识推理】
判断：（填“正确”或“错误”）
①任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示．
②数轴上的点都表示有理数．
③整数和小数统称为有理数．
【答案】（1）；；是；不是
（2）π
（3）正确；错误；错误
【知识点】无理数在数轴上表示；有理数的分类
【解析】【解答】
解：（1）0.2=；
设 ，则100x=，则100x-x=-，解得x=；
则所有有限小数和无限循环小数是有理数， 无限不循环小数是不可以化成分数的 ，则不是有理数。
（2）圆的直径为1， 圆上一点由原点O到达点O'，则OO′ 为圆的周长=
（3）从（1）和（2）知，任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，①正确；
数轴上的点可以表示有理数，也可以表示无理数． ②错误；
整数和分数统称为有理数．③错误；
【分析】本题考查有理数的分类相关知识与圆的周长，理解有理数分为整数和分数的原因，掌握把无限循环小数化成分数的方法是解题关键。
（1）0.2=；用题目所给方法求出 =；
可知所有有限小数和无限循环小数是有理数， 无限不循环小数是不可以化成分数的 ，则不是有理数。
（2）OO′ 为圆的周长=；
（3）根据（1）和（2）做出判断即可。
24．（2023七上·浙江期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
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