第3章《三视图与表面展开图》单元提升培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
B
B
C
C
C
A
二、填空题
11. 40米. 12. 48. 13. (75+360).
14. 1. 15. . 16. 8.
三、解答题
17.解答：（1）画三视图如下图所示：
（2）该几何体的表面积为(5+3+5)×2×2×2＝112（cm2），
答：该几何体的表面积是112cm2.
18.解答：∵BN∥AM，
∴∠BNC＝∠AMC＝30°，
在Rt△BNC中，BC＝1米，tan30°＝，
∴NC＝（米），
在Rt△AMC中，MC＝2+＝3（米），
tan30°＝，
∴AC＝3×＝3（米），
答：窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米.
19.解答：（1）根据三视图可以判断出此密封罐的形状是正六棱柱；
（2）由三视图可知：密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm，边长为50mm，如图是它的表面展开图，21cnjy.com
由展开图可知：制作一个密封罐所需钢板的面积为：
6×50×50+2×6××50×50sin60°
＝6×502×(1+)
≈27990（mm2）,
答：制作每个密封罐所需钢板的面积约为27990mm2.
20.解答：（1）∵的长＝＝27，
的长＝＝9，
∴花边的总长度＝(2×36－27)+(2×12－9)＝60（cm），
（2）S扇形OAB＝＝486，
S扇形OCD＝＝54，
∴S阴影＝(×362－S扇形OAB)－(×122－S扇形OCD)＝720（cm2），
答：灯罩的侧面积为720cm2.
21.解答：（1）∵圆锥的高AO为2，底面圆的半径为1，
∴圆锥的母线长为3，
∴圆锥的侧面积＝＝×1×3＝3；
（2）设圆锥的母线长为l，由题意得：AB＝AC＝1，
∴2r＝2l，∴＝，
答：圆锥的母线AB与底面圆的半径OB之比为.
22.解答：（1）画出俯视图，如图所示：
（2）如图3，连结EO1，则EO1经过点O，
∵EO1＝6米，OO1＝4米，
∴EO＝EO1－OO1＝6－4＝2米，
∵AD＝BC＝8米，
∴OA＝OD＝4米，
在Rt△AOE中，tan∠EAO＝＝＝，
∴∠EAO＝30°.
23.解答：（1）由三视图的画法可知：BC＝MN，FG＝PM，
∵∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝，
∴＝，∴MN＝5，
∴FG＝PM＝＝3；
（2）∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB＝EF，
∴＝，即＝，
∴AB＝；
（3）直三棱柱的表面积＝×3×4×2+5×+3×+4×＝12+12.
Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒从早上太阳升起的某一时刻开始到停晚太阳落山，某广场上的旗杆在地面上的影子的变化规律是（ ）21世纪教育网版权所有
A﹒先变长，后变短 B﹒先变短，后变长
C﹒方向改变，长短不变 D﹒以上都不正确
解答：在不同时刻，同一物体在太阳下的影子的长短在变，方向也在变，其变化规律是：先变短，后变长，
故选：B.
2﹒如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，则皮球的直径是（ ）21·世纪*教育网
A﹒5cm B﹒8cm C﹒10cm D﹒15cm
解答：如图，DC＝2R，DE＝10cm，∠CED＝60°，
在Rt△CDE中，DC＝DEsin60°＝15cm，
故选：B.
3﹒如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解答：正三棱柱的主视图是矩形，主视图的中间有竖着的实线，
故选：B.
4﹒由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解答：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，
故选：A.
5﹒一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟
子，现从三个方向看，其三视图如图所示，则这张
桌子上碟子的总数为（ ）
A﹒11 B﹒12
C﹒13 D﹒14
解答：由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：
故这张桌子上碟子的个数为3+4+5＝12个，
故选：B.
6﹒由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，
则这个几何体的表面积是（ ）
A﹒15cm2 B﹒18cm2
C﹒21cm2 D﹒24cm2
解答：由三视图可知：这个几何体的底层有3个小正方体，第二层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小正方体的个数为3+1＝4个，
故其表面积为3×6＝18cm2，
故选：B.
7﹒下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
解答：我们可以将四个选项所给出的展开图折叠，可以发现C选项图形可回折成正方体，
故选：C.
8﹒已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的
面积为（ ）
A﹒ B﹒4
C﹒或4 D﹒2或4
解答：分两种情况：①若以矩形的长4为圆柱体的底面圆的周长时，设圆柱体底面圆的半径为R，则2R＝4，R＝2，故其底面圆的面积为×22＝4；②若以矩形的宽2为圆柱体的底面圆的周长时，设圆柱体底面圆的半径为R，则2R＝2，R＝1，故其底面圆的面积为×12＝，www-2-1-cnjy-com
故选：C.
9﹒若一个圆锥的底面积为4cm2，圆锥的高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） 21*cnjy*com
A﹒40° B﹒80° C﹒120° D﹒150°
解答：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为R，则×r2＝4，∴r＝2cm，
由r2+(4)2＝R2得R＝6cm，
设该圆锥的侧面展开图中的圆心角的度数为n°，则＝2×r，
即＝2×2，
解得：n＝120，
故选：C.
10.如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB＝120°，弦AB的长为2cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）【出处：21教育名师】
A﹒cm2 B﹒cm2
C﹒cm2 D﹒2cm2
解答：设扇形OAB的半径为R，底面圆的半径为r，
则R2＝()2+()2，解得：R＝2cm，
∴扇形的弧长＝＝2r，解得：r＝cm，
故选：A.
二、填空题
11.为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为_____米.21·cn·jy·com
解答：根据在同一时刻，物高与影长成正比例，即，
∴水塔的高度＝×30＝40（m），
故答案为：40米.
12.已知一圆柱按如图所示方式放置，其左视图的面积为48，则该圆柱的侧面积为_______.
解答：设圆柱的高为h，底面直径为d，
则dh＝48，
∴其侧面积＝×d×h＝48，
故答案为：48.
13.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为______cm（结果保留根号）.21教育名师原创作品
解答：根据三视图可以判断其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5，
∴其侧面积为：6×5×12＝360cm2，
密封纸盒的底面积为：12×5××5×＝75cm2，
∴这个密封纸盒的表面积为：(75+360)cm2，
故答案为：(75+360).
14.如图，AB和CD是圆柱体的两条高，现将它过点A用尽可能大的刀切一块，截去图中阴影部分所示的一块立体图，截面与CD的交点为P，连结AP，已知该圆柱的底面圆的半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则tan∠BAP的值为________.
解答：过点P作PE⊥AB于点E，
∵截去部分的体积是该圆柱体积的，
∴线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的，
线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的，
∴PC＝DC＝6×＝2，
∴AE＝DP＝6－2＝4，
∵圆柱的底面半径为2，则PE＝4，
∴tan∠BAP＝＝＝1，
故答案为：1.
15.如图，从直径为2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是_______米.
解答：作OD⊥AC于点D，连结OA，则∠OAD＝45°，AC＝2AD，
∴AC＝2(OA×cos45°)＝，
∴＝，
∴圆锥的底面圆的半径＝÷(2)＝，
故答案为：.
16.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的全面积为________（结果保留）.21教育网
解答：过点C作CD⊥AB于点D，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝2，则以CD为半径的圆的周长为4，
∴以直径AB旋转一周所得的几何体的全面积为2××4×2＝8，
故答案为：8.
三、解答题
17.(6分)已知：如图是由7个完全相同的小正方体方块搭成的几何体，每个小正方体方块的棱长为2cm.2·1·c·n·j·y
（1）画出该几体的三视图；
（2）求出该几何体的表面积.
解答：（1）画三视图如下图所示：
（2）该几何体的表面积为(5+3+5)×2×2×2＝112（cm2），
答：该几何体的表面积是112cm2.
18.已知：如图所示是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米.若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为多少米？2-1-c-n-j-y
解答：∵BN∥AM，
∴∠BNC＝∠AMC＝30°，
在Rt△BNC中，BC＝1米，tan30°＝，
∴NC＝（米），
在Rt△AMC中，MC＝2+＝3（米），
tan30°＝，
∴AC＝3×＝3（米），
答：窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米.
19.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，如图所示.
（1）请根据三视图说出此密封罐的形状；
（2）请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（图中尺寸单位：mm）.
解答：（1）根据三视图可以判断出此密封罐的形状是正六棱柱；
（2）由三视图可知：密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm，边长为50mm，如图是它的表面展开图，www.21-cn-jy.com
由展开图可知：制作一个密封罐所需钢板的面积为：
6×50×50+2×6××50×50sin60°
＝6×502×(1+)
≈27990（mm2）,
答：制作每个密封罐所需钢板的面积约为27990mm2.
20.某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图，已知半径OA，OC分别为36cm，12cm，∠AOB＝135°.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝不计）.（以上计算结果保留）
解答：（1）∵的长＝＝27，
的长＝＝9，
∴花边的总长度＝(2×36－27)+(2×12－9)＝60（cm），
（2）S扇形OAB＝＝486，
S扇形OCD＝＝54，
∴S阴影＝(×362－S扇形OAB)－(×122－S扇形OCD)＝720（cm2），
答：灯罩的侧面积为720cm2.
21.如图，将一个圆锥沿母线AB展开后得到一个扇形.
（1）若圆锥的高AO为2，底面半径为1，求扇形的面积；
（2）若扇形的弧长BC恰好等于圆锥母线AB和AC的长度之和，求圆锥的母线AB与底面圆的半径OB之比.【版权所有：21教育】
解答：（1）∵圆锥的高AO为2，底面圆的半径为1，
∴圆锥的母线长为3，
∴圆锥的侧面积＝＝×1×3＝3；
（2）设圆锥的母线长为l，由题意得：AB＝AC＝1，
∴2r＝2l，∴＝，
答：圆锥的母线AB与底面圆的半径OB之比为.
22.已知，图1是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图2所示.
（1）请画出这个几何体的俯视图；
（2）图3是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1＝6米，圆柱部分的高OO1＝4米，底面圆的直径BC＝8米，求∠EAO的度数.
图1 图2 图3
解答：（1）画出俯视图，如图所示：
（2）如图3，连结EO1，则EO1经过点O，
∵EO1＝6米，OO1＝4米，
∴EO＝EO1－OO1＝6－4＝2米，
∵AD＝BC＝8米，
∴OA＝OD＝4米，
在Rt△AOE中，tan∠EAO＝＝＝，
∴∠EAO＝30°.
23.已知：一直三棱柱和它的三视图如图所示，在△PMN中，∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求BC和FG的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长；
（3）在（2）的情况下，求此直三棱柱的表面积.
解答：（1）由三视图的画法可知：BC＝MN，FG＝PM，
∵∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝，
∴＝，∴MN＝5，
∴FG＝PM＝＝3；
（2）∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB＝EF，
∴＝，即＝，
∴AB＝；
（3）直三棱柱的表面积＝×3×4×2+5×+3×+4×＝12+12.
第3章《三视图与表面展开图》单元提升培优测试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒从早上太阳升起的某一时刻开始到停晚太阳落山，某广场上的旗杆在地面上的影子的变化规律是（ ）2·1·c·n·j·y
A﹒先变长，后变短 B﹒先变短，后变长
C﹒方向改变，长短不变 D﹒以上都不正确
2﹒如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，则皮球的直径是（ ） 21*cnjy*com
A﹒5cm B﹒15cm
C﹒10cm D﹒8cm
3﹒如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
4﹒由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
5﹒一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟
子，现从三个方向看，其三视图如图所示，则这张
桌子上碟子的总数为（ ）
A﹒11 B﹒12
C﹒13 D﹒14
6﹒由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，
则这个几何体的表面积是（ ）
A﹒15cm2 B﹒18cm2
C﹒21cm2 D﹒24cm2
7﹒下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒
8﹒已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的
面积为（ ）
A﹒ B﹒4
C﹒或4 D﹒2或4
9﹒若一个圆锥的底面积为4cm2，圆锥的高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）21教育网
A﹒40° B﹒80° C﹒120° D﹒150°
10.如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB＝120°，弦AB的长为2cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）21cnjy.com
A﹒cm2 B﹒cm2
C﹒cm2 D﹒2cm2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为_____米.21·cn·jy·com
12.已知一圆柱按如图所示方式放置，其左视图的面积为48，则该圆柱的侧面积为_______.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为______cm（结果保留根号）.www.21-cn-jy.com
14.如图，AB和CD是圆柱体的两条高，现将它过点A用尽可能大的刀切一块，截去图中阴影部分所示的一块立体图，截面与CD的交点为P，连结AP，已知该圆柱的底面圆的半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的，则tan∠BAP的值为________.
15.如图，从直径为2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是_______米.
16.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC
绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的全面积为________.
（结果保留）
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.(6分)已知：如图是由7个完全相同的小正方体方块搭成的几何体，每个小正方体方块的棱长为2cm.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）画出该几体的三视图；
（2）求出该几何体的表面积.
18.(8分)已知：如图所示是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米.若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为多少米？21·世纪*教育网
19.(8分)某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，如图所示.
（1）请根据三视图说出此密封罐的形状；
（2）请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（图中尺寸单位：mm）.
20.(12分)某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图，已知半径OA，OC分别为36cm，12cm，∠AOB＝135°.21世纪教育网版权所有
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝不计）.（以上计算结果保留）
21.(10分)如图，将一个圆锥沿母线AB展开后得到一个扇形.
（1）若圆锥的高AO为2，底面半径为1，求扇形的面积；
（2）若扇形的弧长BC恰好等于圆锥母线AB和AC的长度之和，求圆锥的母线AB与底面圆的半径OB之比.www-2-1-cnjy-com
22.(12分)已知，图1是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图2所示.2-1-c-n-j-y
（1）请画出这个几何体的俯视图；
（2）图3是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1＝6米，圆柱部分的高OO1＝4米，底面圆的直径BC＝8米，求∠EAO的度数.
图1 图2 图3
23.(12分)已知：一直三棱柱和它的三视图如图所示，在△PMN中，∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求BC和FG的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长；
（3）在（2）的情况下，求此直三棱柱的表面积.
