第 02 讲 等腰三角形（1 个知识点+5 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1.等腰三角形的概念； 1．使学生了解等腰三角形的有关概念 。
2.等边对等角； 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等
腰三角形的轴对称性。
3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
知识点 01：等腰三角形概念
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫
做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【即学即练 1】（2023 秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为 20cm，一边为 8cm，则腰长为（ ）
A．4cm B．8cm C．4cm 或 8cm D．6cm 或 8cm
【答案】D
【分析】分类讨论：当 8cm 是腰长时和当 8cm 是底边长时，结合三角形的周长，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为 20cm，
∴当 8cm 是腰长时，底边为： 20 - 2 8 = 4 cm；
20 -8
∴当 8cm 是底边长时，腰长为： = 6 cm，
2
∴腰长为 8cm 或 6cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，利用分类讨论思想是解题的关键．
【即学即练 2】（2023 秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连
接后，能摆成一个等腰三角形的是（ ）
A． 4cm ，6cm，8cm B． 4cm ，6cm，6cm
C．3cm ，6cm，9cm D．3cm ，3cm ，6cm
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系，以及等腰三角形的定义，逐一判断即可解答，
【详解】解：A、∵ 4 + 6 =10 > 8，
∴能摆成三角形，但不是等腰三角形，
故 A 不符合题意；
B、∵ 4 + 6 =10 > 6，
∴能摆成三角形，而且是等腰三角形，
故 B 符合题意；
C、∵3+ 6 = 9，
∴不能摆成三角形，
故 C 不符合题意；
D、∵3+ 3 = 6，
∴不能摆成三角形，
故 D 不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
题型 01 等腰三角形的定义
1．有 5 根小棒，长度分别为 3、3、4、6、6，用其中的 3 根做等腰三角形的边， 可以搭出（ ）种不同
的等腰三角形．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两
个数的和是否大于第三个数．
【详解】解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有：
①3、3、4；②3、6、6③4、6、6
所以，搭出 3 种不同的等腰三角形．
故选：C．
2． （比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是 20厘米，其中有两条边的长度比是 2 : 5，这个等腰三角
形的周长是（ ）厘米．
A．90 B．120 C． 48 D． 48或120
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，构成等腰三角形的条件，根据题意，分类讨论，当腰长与
底边的比是 2 : 5时，根据构成等腰三角形的条件判定，不符合题意；当底边与腰长的比是 2 : 5时，符合题意，
由此即可求解．
【详解】解：当腰长与底边的比是 2 : 5时，
∵等腰三角形一条腰长为 20厘米，
∴等腰三角形的另一条腰长也为 20厘米，则底边长为50厘米，
∵ 20 + 20 < 50，
∴不能构成等腰三角形，不符合题意；
当底边与腰长的比是 2 : 5时，
∴底边长为8厘米，
∴等腰三角形的三边长为 20厘米， 20厘米，8厘米，能构成等腰三角形，符合题意；
∴这个等腰三角形的周长为 20 + 20 + 8 = 48（厘米），
故选：C ．
3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是1: 4，则它的顶角是 度．
【答案】120
【分析】首先要知道三角形的内角和是180°，根据等腰三角形的特点，两底角相等，所以三个角的比是
1:1: 4 ，把这个三角形的内角和看作1+1+ 4 = 6份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可．此题考查了
有关三角形内角和的知识，以及按比例分配应用题的解法．
【详解】解：180 (1+1+ 4) 4，
=180 6 4，
=120（度 ) ．
答：它的顶角是 120 度．
故答案为：120．
4．若 a -1+ | b - 2 |= 0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是求出 a，b
的值．根据偶次方和绝对值的非负性，可以得到 a -1 = 0，b - 2 = 0，得到 a，b 的值，根据三角形三边关系
求解即可．
【详解】解：∵ a -1+ | b - 2 |= 0，
∴ a -1 = 0，b - 2 = 0，
解得 a =1，b = 2 ．
①若 a =1是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，
∵1+1 = 2，
∴1、1、2 不能组成三角形．
②若b = 2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，
∴周长= 2 + 2 +1 = 5．
故答案为：5．
5．求下列等腰三角形的周长：
(1)有两边长分别为 4cm ，6cm；
(2)有两边长分别为 4cm ，8cm ．
【答案】(1)三角形的周长为14cm或16cm
(2)三角形的周长为 20cm
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；
（1）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．
（2）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．
【详解】（1）解：若三角形的腰长为 4cm ，则底边长为6cm，能组成三角形，
此三角形的周长为 4 + 4 + 6 =14 cm ，
若三角形的腰长为6cm，则底边长为 4cm ，能组成三角形，
此三角形的周长为6 + 6 + 4 =16 cm ．
综上可知，三角形的周长为14cm或16cm．
（2）若三角形的腰长为 4cm ，则底边长为8cm ，不能组成三角形；
若三角形的腰长为8cm ，则底边长为 4cm ，能组成三角形，
此三角形的周长为8 + 8 + 4 = 20 cm ．
题型 02 等边对等角
1．等腰VABC 中， AB = AC ，若 A = 70°，则 B = （ ）
A． 40° B．55° C．65° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得
出答案．
【详解】解：∵ AB = AC ，
∴ B = C ，
∵ A = 70°，
∴ B = 180° - 70° 2 = 55°．
故选：B．
2．在VABC 中， AB = AC ，点D在BC 上， AD = CD ，若 BAC =120° ，则 BDA的度数为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．80°
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角
形内角和定理得到 C = 30°，再由等边对等角得到 C = DAC = 30°，则由三角形外角的性质可得
BDA =∠C +∠DAC = 60° ．
【详解】解：∵在VABC 中， AB = AC ， BAC =120° ，
180° - BAC
∴ B = C = = 30°，
2
∵ AD = CD ，
∴ C = DAC = 30°，
∴ BDA =∠C +∠DAC = 60° ，
故选：C．
3．已知等腰三角形的一个内角等于 20°，则它的一个底角是 ．
【答案】80°或 20°
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握．由于不明确 20°的角是等腰三角
形的底角还是顶角，故应分 20°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：当 20°的角为等腰三角形的顶角时，
180 - 20
底角的度数 = = 80°2 ；
当 20°的角为等腰三角形的底角时，其底角为 20°，
故它的底角的度数是80°或 20°．
故答案为：80°或 20°．
4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】 40°或140°
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据
题意画出图形，并注意分类讨论．
要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角
形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，
AB = AC ， ACD = 50°，CD为高，即 ADC = 90°，
此时 A + ACD + ADC =180°，
∴ A =180° - 90° - 50° = 40° ，
若三角形为钝角三角形时，如图， AB = AC ， ACD = 50°，CD为高，即 ADC = 90°，
此时 BAC = D + ACD = 90° + 50° =140°，
综上，等腰三角形的顶角的度数为 40°或140°．
故答案为： 40°或140°．
5． 如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ^ BC 于点 D，E 为 AD 上一点，连接CE，使CE = AE ，
B = 65°，求 ECD 的度数．
【答案】 40°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．根据等边对等角得出 ACB = B = 65°，
根据三角形内角和定理得出 BAC =180° - 65° - 65° = 50°，根据等腰三角形三线合一的性质得出
1
CAD = CAB = 25°，再根据等边对等角得出 EAC = ACE = 25°，最后求出结果即可．
2
【详解】解：∵在VABC 中， AB = AC ， B = 65°，
∴ ACB = B = 65°，
∴ BAC =180° - 65° - 65° = 50°，
∵在VABC 中， AB = AC ， AD ^ BC ，
1
∴ CAD = CAB = 25°，
2
∵CE = AE ，
∴ EAC = ACE = 25°，
∴ ECD = ACB - ACE = 65° - 25° = 40°．
题型 03 根据等边对等角证明
1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作 AOB的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其
中正确的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等
等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可．
【详解】解：小明的作图中OD = OC，DE = CE，OE = OE ，
∴△ODE≌△OCE SSS ，
∴ DOE = COE ，
∴OE 平分 AOB，故小明的作法正确；
小颖的作图中OD = OC，OF = OG，DOF =∠COG ，
∴△DOF≌△COG SAS ，
∴ OGE = OFE ，
∵OF - OC = OG - OD，
∴DG = CF ，
又∵ DEG = CEF ，
∴△DEG≌△CEF ，
∴GE = FE
又∵OE = OE ，
∴△FOE≌△GOE ，
DOE = COE ，
∴OE 平分 AOB，故小颖的作法正确；
小亮的作图中，EF∥BD，OF = EF ，
∴∠FOE =∠FEO =∠BOE ，
∴OE 平分 AOB，故小亮的作法正确；
故选：D．
2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点 P 处出发，甲船沿点 P 的正南方向匀速航行，乙船沿点 P 的北偏东
70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ）
A．北偏东 10° B．北偏东 30° C．北偏东 35° D．北偏东 40°
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，方位角，根据两船的速度相同得到PA = PB ，根据等边对等角得到
PBA = 35°，即可解题．
【详解】解：如图，根据题意得PA = PB ，
1
∴ PBA = PAB = APC = 35°，
2
∴乙船在甲船的北偏东35°，
故选 C．
3．如图，在VABC 中， AB = AC ， A = 50°，点D是VABC 内的一点，连接BD，CD．若 1 = 2，则 D
的度数为 ．
【答案】115° /115 度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根
据 A = 50°的条件，求出 ACB + ABC 的度数，再根据 ACB = ABC, 1 = 2 ，求出 DBA = DCB，于
是可求出 1+ ABD = DCB + 2，然后根据三角形的内角和定理求出 D的度数．
【详解】Q A = 50°，
\ ACB + ABC =180° - 50° =130°，
Q AB = AC ，
\ ACB = ABC ，
又Q 1 = 2，
\ DBA = DCB ，
\ 1+ ABD = DCB + 2 =130 1° = 65°，
2
\ D =180° - 65° =115°．
故答案为：115°．
4．如图，在VABC 中，DM 、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，交BC 于点D、E ，若 BAC = 130°，则
DAE = ．
【答案】80° /80 度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据DM 、EN 分别垂直平分 AB 和 AC 得到
AD = BD ，AE = CE ，从而得到 C = BCAE ， B = BAD，结合 BAC = 130°与三角形内角和定理即可
得到答案；
【详解】解：∵DM 、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，
∴ AD = BD ， AE = CE ，
∴ C = CAE ， B = BAD，
∵ BAC = 130°，
∴ BAD + CAE + DAE =130° ，
∵ B + C + BAC =180°，
∴ B + C = 50°，
∴ BAD + CAE+ = 50°，
∴ DAE = 80°．
故答案为：80°．
5．如图，已知 C = E, AC = AE, CAD = EAB．求证： ABD = ADB ．
【答案】见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”等知识．由 CAD = EAB ，推导出
CAB = EAD，即可根据“ ASA ”证明VCAB≌VEAD，可得 AB = AD ，即可求证．
【详解】证明：∵ CAD = EAB ，
∴ CAD - BAD = EAB - BAD ，
∴ CAB = EAD，
在△CAB和VEAD中，
∵ CAB = EAD, AC = AE, C = E ，
∴VCAB≌VEAD ASA ，
∴ AB = AD ，
∴ ABD = ADB ．
题型 04 等腰三角形的三线合一
1．如图，在VABC 中， AB = AC ．在 AB ， AC 上分别截取 AP ， AQ ，使 AP = AQ ．再分别以点 P，Q 为
1
圆心，以大于 PQ2 的长为半径作弧，两弧在
BAC 内交于点 R，作射线 AR ，交BC 于点 D．若BD = 6，则
BC 的长为（ ）
A．12 B．3 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得， AD 平分 BAC ，
根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出 AD 平分 BAC ．
【详解】解：根据作图过程可得， AD 平分 BAC ，
又∵ AB = AC ，
∴BC = 2BD =12 ,
故选：A．
2．如图：VABC 中，D点在BC 上，现有下列四个命题：①若 AB = AC ，则 B = C ．②若 AB = AC ，
BAD = CAD ，则 AD ^ BC ，BD = DC ．③若 AB = AC ，BD = DC ，则 AD ^ BC ， BAD = CAD ．④若
AB = AC ， AD ^ BC ，则 BD = DC ， BAD = CAD ．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．也考查了等腰三角形的性质．根据等
腰三角形的性质对①进行判断；根据等腰三角形的“三线合一”对②③④进行判断．
【详解】解：若 AB = AC ，则 B = C ，所以①正确；
若 AB = AC ， BAD = CAD ，即 AD 为顶角的平分线，则 AD ^ BC ， BD = DC ，所以②正确；
若 AB = AC ， BD = DC ，即 AD 为底边上的中线，则 AD ^ BC ， BAD = CAD ，所以③正确；
若 AB = AC ， AD ^ BC ，即 AD 为底边上的高，则 BD = DC ， BAD = CAD ，所以④正确．
故选：D．
3．如图，在VABC 中，AB = AC ，AD 平分 BAC ，点 E 在边 AB 上，且BD = BE ．若 BAC = 100°，则 ADE
的大小为 ．
【答案】 20° /20 度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由
1
等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出 B = C = 180° - BAC = 40°，
2
BDE = BED 1= 180° - B = 70°，由等腰三角形三线合一的性质得出 ADB = 90°，再根据角的和差关
2
系即可得出答案．
【详解】解：∵ AB = AC ， BAC = 100°，
1
∴ B = C = 180° - BAC = 40°．
2
∵BD = BE ，
∴ BDE
1
= BED = 180° - B = 70°．
2
∵ AB = AC ， AD 平分 BAC ，
∴ AD ^ BC ，
∴ ADB = 90°，
∴ ADE＝ ADB - BDE = 90° - 70° = 20°．
故答案为： 20°
4．如图，在VABC 中， AB = BC ，BD是 AC 上的中线，DE∥BC ，交 于点E ，如果 C = 80°，那么
BDE = °．
【答案】10
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，由等腰三角
1
形三线合一的性质以及三角形内角和定理可得出 ABD = DBC = 180° - 2 C =10°，再根据平行线的性
2
质可得出答案．
【详解】解：∵ AB = BC ，BD是 AC 上的中线， C = 80°，
∴ ABD = DBC
1
= 180° - 2 C =10°，
2
∵DE∥BC ，
∴ BDE = DBC =10°，
故答案为：10．
5．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ^ BC ， BAD = 36°，且 AD = AE ．求 AED 的度数．
【答案】72°
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是
解题的关键．由条件可先求得 DAE ，再根据等腰三角形的性质可求得 AED ．
【详解】解：Q AB = AC, AD ^ BC ，
\VABC 为等腰三角形，且 AD 为底边上的高，
\ AD 为 BAC 的平分线（三线合一），
\ DAC = BAD = 36°，
Q AD = AE ，
\ ADE = AED，
\ AED 180° - 36°= = 72°；
2
故答案为：72° .
题型 05 根据三线合一证明
．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形
ABC, AB = AC, D是边BC 上的一点． 下列条件不能说明 AD 是VABC 的角平分线的是 （ ）
A． ADB = ADC B．BD = CD C．BC = 2AD
D． SVABD = SVACD
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、Q ADB = ADC ， ADB + ADC =180°，
\ ADB = ADC = 90°，即 AD 是VABC 的高线，
QVABC 是等腰三角形， AB = AC ，
\ AD 是VABC 的角平分线，故 A 选项不符合题意；
B、QVABC 是等腰三角形，BD = CD，
\ AD 是VABC 的角平分线，故 B 选项不符合题意；
C、若BC = 2AD ，不能说明 AD 是VABC 的角平分线，故 C 选项符合题意；
D、QS△ABD = S△ACD ，
\BD = CD ，
∴ AD 是VABC 的角平分线，故 D 选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，在VABC 中， AB = AC ，D 是BC 的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
1
A． B = C B． AD = AB C． BAD = CAD D． AD ^ BC
2
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三
角形的性质判断即可．
【详解】解：Q AB = AC ，D是BC 的中点，
\ B = C ， BAD = CAD ， AD ^ BC ，
而 AD
1
= AB不一定成立，
2
故选：B．
3．如图，在VABC 中， BAC = 90°, AB = AC, AD ^ BC 于点 D，点 E，F 分别在 AB, AC 上，且
EDF = 90°, BE = 6cm，则 AF = ．
【答案】6cm /6 厘米
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已
知条件证明△AFD≌△BED 即可得到BE = AF ．
【详解】解：∵ AB = AC, BAC = 90°，点 D 是BC 的中点，
∴ AD = CD = BD, FAD = B = 45°，
∴ AD = BD ，
Q EDF = 90°，
∴ ADF + ADE = 90°，
Q ADE + EDB = 90°，
∴ ADF = EDB ，
在△AFD和VBED中，，
∵ FAD = B = 45°， AD = BD ， ADF = EDB ，
∴VAFD≌VBED ASA
\BE = AF ，
∵BE = 6cm，
∴ AF = 6cm．
故答案为：6cm
4．如图，在VABC 中， AB = AC ，点 D 为BC 边的中点， 1 = 27°，则 C = °．
【答案】63
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三
角形的三线合一性质可知 BAC = 70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【详解】解：Q AB = AC ，D 为BC 中点，
∴ AD 是 BAC 的平分线， B = C ，
∵ 1 = 27°，
∴ BAC = 2 1 = 54°，
C 1∴ = 180° - 54° = 63°．
2
故答案为：63．
5．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD 为VABC 的中线．点 E ， F 分别在 ， AC 上，且 AE = AF = AD，
连接 ，DF ．
(1)求证：VADE≌VADF ；
(2)若 BAC = 80°，求 BDE 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) BDE = 20°
【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌
握等腰三角形“三线合一”．
（1）根据等腰三角形“三线合一”推得 BAD = CAD 后即可用“边角边”证明全等；
（2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解．
【详解】（1）证明：Q AB = AC ， AD 是VABC 的中线，
\ BAD = CAD，
Q在VADE 和△ADF 中，
ìAE = AF
í BAD = CAD ，
AD = AD
\VADE≌VADF SAS ．
（2）解：Q BAC = 80°， BAD = CAD ，
1
\ EAD = BAC = 40° ，
2
Q AE = AD ，
\ AED = ADE 1= 180° - 40° = 70°，
2
Q AB = AC ， AD 是VABC 的中线，
\ AD ^ BC ，
即 BDA = 90°，
\ BDE = BDA - ADE = 90° - 70° = 20°．
1．等腰三角形中有一内角等于80°，那么这个三角形的最小内角的度数为（ ）度
A．50 B．20
C．40 或 50 D．20 或 50
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或
80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
1
【详解】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则底角就是 180° - 80° = 50°；
2
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180° -80° 2 = 20°．
∴这个三角形的最小内角的度数为 20 或 50，
故选：D．
2．如图，线段 AC 的垂直平分线交 AB 于点D， A = 42° ，则 BDC 的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌
握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到 AD = CD ，根
据等腰三角形的性质得到 DCA = A，再根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：Q线段 AC 的垂直平分线交 AB 于点D，
\ AD = CD，
Q A = 42° ，
\ DCA = A = 42°，
\ BDC = DCA + A = 84°．
故选：B．
3．如图，直线 a∥b，点 A 在直线 a 上，点 B 在直线 b 上， AC = BC ， C =120°， 1 = 44°，则 2的度
数为（ ）
A．64° B．74° C．56° D．66°
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等腰三角形的性质，得出
ABC 1= BAC = 180° -120° = 30°，根据 1 = 44°求出 ABD = ABC + 1 = 74°，根据平行线的性质得
2
出 2 = ABD = 74°．
【详解】解：∵ AC = BC ， C =120°，
1
∴ ABC = BAC = 180° -120° = 30°，
2
∵ 1 = 44°，
∴ ABD = ABC + 1 = 74°，
∵ a∥b，
∴ 2 = ABD = 74°，
故选：B．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为 45°，那么这个三角形底角为（ ）
A．67° B．135° C．67.5° D．67.5°或 22.5°
【答案】D
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，
两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图： AB = AC, BD ^ AC ， ABD = 45°，则：
A = 45°
∴ ABC ACB
1
= = 180° - 45° = 67.5°；
2
当三角形的高线在三角形的外部时，如图： AB = AC, BD ^ AC ， ABD = 45°，则： BAD = 45°，
∵ ABC = ACB, DAB = ABC + ACB = 45°，
∴ ABC = ACB = 22.5°；
故选 D．
5．如图，在VABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，垂足为 M，N．且分别交BC 于点 D，E．若
DAE = 20° ，则 BAC 的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直
平分线的性质，可得DB = DA, EA = EC ，再由等腰三角形的性质，可得 B = DAB, C = EAC ，再由三
角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵DM、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，
∴DB = DA, EA = EC ，
∴ B = DAB, C = EAC ，
∵ DAE = 20°, B + C + BAC =180°，
∵ B + BAD + C + EAC =180° - 20° =160°，
∴ 2 BAD + 2 EAC =160°，
∴ BAD + CAE = 80°，
∴ BAC = BAD + CAE + DAE = 80° + 20° =100°．
故选：A．
6．如图，△ABF 中， A = 60°， F = 40°；点 C，D，E 在 AB 的延长线上，且BC = BG ，CD = CH ，
DE = DP，则 E等于（ ）
A．30° B． 20° C．15° D．10°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，先求解
1
ABF =180° - 60° - 40° = 80°，再求解 BCG = BGC = 80° = 40°，再进一步求解即可；
2
【详解】解： ∵ A = 60°， F = 40°，
∴ ABF =180° - 60° - 40° = 80°，
∵BC = BG ， BCG + BGC = ABF ，
1
∴ BCG = BGC = 80° = 40°，
2
∵CD = CH ， CDH + CHD = BCG ，
∴ CDH CHD
1
= = 40° = 20°，
2
∵DE = DP， E + DPE = CDH ，
1
∴ E = DPE = 20° =10°，
2
故选：D．
7．已知等腰三角形的一边等于10cm另一边等于6cm，则它的周长为 ．
【答案】 22cm 或 26cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是
解题的关键．
分情况讨论即可．
【详解】解：①当6cm为腰，10cm为底时，
Q6 + 6 >10，6 +10 > 6，
\能构成三角形，
\等腰三角形的周长= 6 + 6 +10 = 22cm ；
②当10cm为腰，6cm为底时，
Q10 +10 > 6，10 + 6 >10 ，
\能构成三角形，
\等腰三角形的周长=10 +10 + 6 = 26cm；
故答案为： 22cm 或 26cm ．
8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置从A 点运动到了 B 点，则 OAB的
度数为 ．
【答案】50° /50 度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到OA = OB， AOB = 80°，
再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：OA = OB， AOB = 80°，
QOA = OB ，
\ OAB = OBA，
Q OAB + OBA + AOB = 180° ，
\ OAB + OBA =180° -80° =100°，
\ OAB = OBA = 50°，
故答案为：50°．
9．如图， AOB = 80°，在OA上取点C ，以点C 为圆心，CO长为半径画弧交OB 于点D，连接CD；以点
D为圆心，DC 长为半径画弧交OB 于点E ，连接CE， DCE 的度数为 ．
【答案】 40° /40 度
【分析】本题考查了作图 -基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．由作图可知，CO = CD，
DC = DE ，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：由作图可知，CO = CD，DC = DE ．
QCO = CD ，
\ ODC = COD = 80° ，
\ DCE + CED = ODC = 80°，
QDC = DE ，
\ DCE = CED = 40° ．
故答案为： 40°．
10．如图，点 E 在 AB 上， AC 与DE 相交于点 F，△ABC≌△DEC ， A = 30°， B = 70°，则 DFA的度数
为 ．
【答案】70° /70 度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得 ACB ，结合全
等三角形的性质有 CED = B 和CB = CE ，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得 ECB 和 ACE ，
即可求得答案．
【详解】解：∵ A = 30°， B = 70°，
∴ ACB = 80°，
∵△ABC≌△DEC ，
∴ CED = B = 70°，CB = CE ，
∴ CEB = B = 70°，
∴ ECB =180° - B - CEB = 40°，
则 ACE = ACB - ECB = 40°，
那么， DFA = CFE =180° - CED - ACE = 70°．
故答案为：70°．
11．如图， BAC = 100°，若MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，则 PAQ =
【答案】 20° / 20度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是熟练掌握并运用
相关知识．根据MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，可得 B = BAP ， C = CAQ ，结合三角形内角和
即可得到 BAP + CAQ = B + C = 80°，从而可求得 PAQ的值．
【详解】解：QPM 垂直平分 AB ，
\PA = PB，
\ B = BAP，
同理：QC＝QA，
\ C = CAQ ，
Q BAC =100°，
\ B + C =180° - BAC = 80°，
\ BAP + CAQ = 80°，
\ PAQ = BAC - BAP - CAQ = 20°．
故答案为： 20°．
12．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE =125°， B = E = 90°，AB = BC，AE = DE ，在BC、DE 上分别找
一点 M、N，使得VAMN 周长最小时， AMN + ANM 的度数为 ．
【答案】110° /110度
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，正确找出VAMN 的
周长最小时，点 M、N 的位置是解题关键．
先根据轴对称的性质可得 AM = A M , AN = A N ，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得当点
A , M , N , A 在同一条直线上时，VAMN 的周长最小，然后利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可
得．
【详解】如图，作点 A 关于BC 的对称点 A ，关于 的对称点 A ，连接 A M 、 A N ，
则 AM = A M , AN = A N ，
\VAMN 的周长为 AM + MN + AN = A M + MN + A N ，
由两点之间线段最短可知，当点 A , M , N , A 在同一条直线上时，VAMN 的周长最小，
Q BAE =125°，
\ A + A =180° - BAE = 55°，
Q AM = A M , AN = A N ，
\ A = A AM , A = A AN ，
\ AMN + ANM = A + A AM + A + A AN ，
= 2 A + 2 A ，
= 2 A + A ，
=110°，
故答案为：110°．
13．在VABC 中， AB = 7, BC = 2．
(1)求 AC 长度的取值范围；
(2)若VABC 的周长为偶数，求VABC 的周长，并判断此时VABC 的形状．
【答案】(1)5 < AC < 9
(2)VABC 的周长为 16，是等腰三角形
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）根据（1）中的范围，结合VABC 的周长为偶数，得到 AC = 7 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在VABC 中， AB = 7, BC = 2
∴ AB - BC < AC < AB + BC ，
∴5 < AC < 9；
（2）∵VABC 的周长为偶数， AB + BC = 9为奇数，
∴ AC 的长为奇数，
∵5 < AC < 9，
∴ AC = 7 = AB ，
∴VABC 的周长为9 + 7 =16，是等腰三角形．
14．如图，在VABC 中， AB = AC ，D 是 AC 上一点，连接BD， BDA = 75°， ABD =11°，求 DCB的
度数．
【答案】 43°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质两个知识点，掌握这两个知识点是解题的关键；
由三角形内角和定理求得 BAD 的度数，再由等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：因为 BDA = 75°， ABD =11°，
所以 BAD =180° - ABD - BDA = 94°，
因为 AB = AC ．
所以 DCB ABC
180° - BAD
= = = 43°．
2
15．如图，在VABC 中， AB = AC ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D，交 AB 于点E ．
(1)若 A = 40° ，求 DBC 的度数；
(2)若 AE = 3，△CBD的周长为 10，求BC 的长．
【答案】(1) DBC = 30°；
(2) BC = 4．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等．
（1）由在VABC 中， AB = AC ， A = 40° ，利用等腰三角形的性质，即可求得 ABC 的度数，然后根据
线段垂直平分线的性质，可求得DA = DB ，继而求得 DBA的度数，则可求得 DBC 的度数；
（2）根据 AE = 3， AB = AC ，由△CBD的周长为 10，代入即可求出答案．
【详解】（1）解：在VABC中，
Q AB = AC ， A = 40° ，
\ ABC C 180° - A 180° - 40° = = = = 70°，
2 2
QMN 是 AB 的垂直平分线，
\DA = DB， DBA = A = 40°，
\ DBC = ABC - DBA = 70° - 40° = 30°；
（2）解：QMN 是 AB 的垂直平分线， AE = 3，
\ AB = AC = 2AE = 2 3 = 6，DA = DB ，
\CVCBD = BC + CD + DB = BC + CD + DA = BC + AC =10，
\ BC = 10 - AC = 10 - 6 = 4．
16．如图，在VABC中，DM，EN 分别垂直平分边 AC 和边BC ，交边 于 M，N 两点，DM 与EN 相交于
点 F．
(1)若 AB = 5，则VCMN 的周长为 ___________；
(2)若 MFN = 70°，求 MCN 的度数．
【答案】(1)5；
(2) 40°
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．
（1）由题意得CM = AM ,CN = BN ，据此即可求解；
（2）根据 MCN = ACB - ACM + BCN ， ACB =180° - A + B 即可求解；
【详解】（1）解：∵DM，EN 分别垂直平分边 AC 和边BC ，
∴CM = AM ,CN = BN
∴VCMN 的周长= CM + MN + CN = AM + MN + BN = AB = 5
故答案为：5
（2）解：∵CM = AM ,CN = BN ，
∴ A = ACM , B = BCN
∵ MFN = 70°，
∴ FMN + FNM =180° - MFN =110°
∴ AMD + BNE =110°
∵ ADM = BEN = 90°
∴ A + B = ACM + BCN = 70°
∵ MCN = ACB - ACM + BCN ， ACB =180° - A + B
∴ MCN =180° - A + B - ACM + BCN = 40°
17．如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，点D在 BC 边上，连接 AD ， AE ^ AD ，
AE = AD，连接CE，DE ．
(1) ACE = B = 45° ，请你说明理由．
(2)求 BCE 的度数．
(3)点A 关于直线CE的对称点为 A1，连接CA1，EA1．补全图形，判断 EA1C 与 BAD 之间的数量关系并说
明理由．
【答案】(1)理由见解析
(2) BCE = 90°
(3)补全图形见解析， EA1C = BAD，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练
掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得 B = ACB = 45°，再证明△ABD≌△ACE ，由全等三角形的性
质即可证明结论；
（2）由（1）可知， ACE = 45°， ACB = 45°，然后由 BCE = ACE + ACB求解即可；
（3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得EA = EA1，CA = CA1，CE = CE ，进而证明
△ACE≌△A1CE ，易得 EA1C = EAC ，结合△ABD≌△ACE 可知 CAE = BAD ，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵ AB = AC ， BAC = 90°，
∴ B = ACB = 45°，
∵ BAC = DAE = 90°，
∴ BAD + DAC = CAE + DAC ，
∴ BAD = CAE ，
又∵ AB = AC ， AD = AE ，
∴VABD≌VACE SAS ，
∴ ACE = B = 45° ；
（2）解：由（1）可知， ACE = 45°， ACB = 45°，
∴ BCE = ACE + ACB = 45° + 45° = 90°；
（3）如图， EA1C = BAD，理由如下：
∵点A 与 A1关于CE对称，
∴EA = EA1，CA = CA1，CE = CE ，
∴VACE≌VA1CE SSS ，
∴ EA1C = EAC ，
∵△ABD≌△ACE ，
∴ CAE = BAD ，
∴ EA1C = BAD．
18．（1）如图 1，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，CD平分 ACB ，BE ^ CD，垂足为 E，试探究
线段 BE 和CD之间的数量关系，并写出你的理由．
1
（2）如图 2，把条件改为：“在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，点 D 在BC 上， EDB = C ，
2
BE ^ ED ，DE 与 AB 相交于 F 点，则线段 BE 和FD 之间的数量关系如何 并证明你的结论．”
【答案】（1）CD = 2BE ，理由见解析；（2）DF = 2BE ，理由见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角
形．
（1）如图，延长 BE ，CA交于点F ，证明VADC≌VAFB ，得到DC = BF ；再证明△EFC≌△EBC ，得到
EF = BE ，即可解决问题；
（2）如图，作 DG∥ AC ，交 BE 的延长线于点G ，则 BDG = C ，证明△HFD≌△HGB，得到 DF = BG；
证明△EGD≌△EBD，得到BE = GE ，即可解决问题．
【详解】解：（1）CD = 2BE ，理由如下：
如图，延长 BE ，CA交于点F ，
∵ BAC = 90°，BE ^ CD，则 BEC = FEC = 90°，
∴ FED + FAD = 180°，
∴ ADE + F = 180°，
∵ ADE + ADC =180° ，
∴ ADC = F ，
ì DAC = FAB
在△ADC 与△AFB 中， í ADC = F ，
AC = AB
∴VADC≌VAFB AAS ，
∴DC = BF ，
∵CD平分 ACB ，
∴ FCE = BCE ，
ì FEC = BEC
在VEFC
与VEBC 中， íEC = EC ，
FCE = BCE
∴VEFC≌VEBC ASA ，
∴EF = BE ，
∴CD = 2BE ；
（2）DF = 2BE ，理由如下：
如图，作DG∥ AC ，交 BE 的延长线于点G ，则 BDG = C ，
∵ EDB
1
= C ，则 EDB
1
= BDG
2 ，2
∴DE 平分 BDG ；
∵DG∥ AC ，
∴ BHD = A = 90°，
∵ AB = AC ，
∴ HBD = 45°，故 HDB = 45°，
∴BH = DH ；
∵ GEF + GHF =180°，
同（1） HFD = G ；
ì FHD = GHB
在VHFD与△HGB 中， í HFD = G ，
DH = BH
∴VHFD≌VHGB AAS ，
∴DF = BG；
ì GED = BED
在VEGD
与△EBD中， íDE = DE ，
GDE = BDE
∴VEGD≌VEBD ASA ，
∴EG = BE ，
∴DF = 2BE ．第 02 讲 等腰三角形（1 个知识点+5 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
1.等腰三角形的概念； 1．使学生了解等腰三角形的有关概念 。
2.等边对等角； 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等
腰三角形的轴对称性。
3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
知识点 01：等腰三角形概念
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫
做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【即学即练 1】（2023 秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为 20cm，一边为 8cm，则腰长为（ ）
A．4cm B．8cm C．4cm 或 8cm D．6cm 或 8cm
【即学即练 2】（2023 秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连
接后，能摆成一个等腰三角形的是（ ）
A． 4cm ，6cm，8cm B． 4cm ，6cm，6cm
C．3cm ，6cm，9cm D．3cm ，3cm ，6cm
题型 01 等腰三角形的定义
1．有 5 根小棒，长度分别为 3、3、4、6、6，用其中的 3 根做等腰三角形的边， 可以搭出（ ）种不同
的等腰三角形．
A．5 B．4 C．3 D．2
2． （比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是 20厘米，其中有两条边的长度比是 2 : 5，这个等腰三角
形的周长是（ ）厘米．
A．90 B．120 C． 48 D． 48或120
3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是1: 4，则它的顶角是 度．
4．若 a -1+ | b - 2 |= 0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 ．
5．求下列等腰三角形的周长：
(1)有两边长分别为 4cm ，6cm；
(2)有两边长分别为 4cm ，8cm ．
题型 02 等边对等角
1．等腰VABC 中， AB = AC ，若 A = 70°，则 B = （ ）
A． 40° B．55° C．65° D．60°
2．在VABC 中， AB = AC ，点D在BC 上， AD = CD ，若 BAC =120° ，则 BDA的度数为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．80°
3．已知等腰三角形的一个内角等于 20°，则它的一个底角是 ．
4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
5． 如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ^ BC 于点 D，E 为 AD 上一点，连接CE，使CE = AE ，
B = 65°，求 ECD 的度数．
题型 03 根据等边对等角证明
1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作 AOB的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其
中正确的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点 P 处出发，甲船沿点 P 的正南方向匀速航行，乙船沿点 P 的北偏东
70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ）
A．北偏东 10° B．北偏东 30° C．北偏东 35° D．北偏东 40°
3．如图，在VABC 中，AB = AC ， A = 50°，点D是VABC 内的一点，连接BD，CD．若 1 = 2，则 D
的度数为 ．
4．如图，在VABC 中，DM 、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，交BC 于点D、E ，若 BAC = 130°，则
DAE = ．
5．如图，已知 C = E, AC = AE, CAD = EAB．求证： ABD = ADB ．
题型 04 等腰三角形的三线合一
1．如图，在VABC 中， AB = AC ．在 AB ， AC 上分别截取 AP ， AQ ，使 AP = AQ ．再分别以点 P，Q 为
1
圆心，以大于 PQ2 的长为半径作弧，两弧在
BAC 内交于点 R，作射线 AR ，交BC 于点 D．若BD = 6，则
BC 的长为（ ）
A．12 B．3 C．8 D．10
2．如图：VABC 中，D点在BC 上，现有下列四个命题：①若 AB = AC ，则 B = C ．②若 AB = AC ，
BAD = CAD ，则 AD ^ BC ，BD = DC ．③若 AB = AC ，BD = DC ，则 AD ^ BC ， BAD = CAD ．④若
AB = AC ， AD ^ BC ，则 BD = DC ， BAD = CAD ．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如图，在VABC 中，AB = AC ，AD 平分 BAC ，点 E 在边 AB 上，且BD = BE ．若 BAC = 100°，则 ADE
的大小为 ．
4．如图，在VABC 中， AB = BC ，BD是 AC 上的中线，DE∥BC ，交 于点E ，如果 C = 80°，那么
BDE = °．
5．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD ^ BC ， BAD = 36°，且 AD = AE ．求 AED 的度数．
题型 05 根据三线合一证明
．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形
ABC, AB = AC, D是边BC 上的一点． 下列条件不能说明 AD 是VABC 的角平分线的是 （ ）
A． ADB = ADC B．BD = CD C．BC = 2AD
D． SVABD = SVACD
2．如图，在VABC 中， AB = AC ，D 是BC 的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
1
A． B = C B． AD = AB C． BAD = CAD D． AD ^ BC
2
3．如图，在VABC 中， BAC = 90°, AB = AC, AD ^ BC 于点 D，点 E，F 分别在 AB, AC 上，且
EDF = 90°, BE = 6cm，则 AF = ．
4．如图，在VABC 中， AB = AC ，点 D 为BC 边的中点， 1 = 27°，则 C = °．
5．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD 为VABC 的中线．点 E ， F 分别在 ， AC 上，且 AE = AF = AD，
连接 ，DF ．
(1)求证：VADE≌VADF ；
(2)若 BAC = 80°，求 BDE 的度数．
1．等腰三角形中有一内角等于80°，那么这个三角形的最小内角的度数为（ ）度
A．50 B．20
C．40 或 50 D．20 或 50
2．如图，线段 AC 的垂直平分线交 AB 于点D， A = 42° ，则 BDC 的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
3．如图，直线 a∥b，点 A 在直线 a 上，点 B 在直线 b 上， AC = BC ， C =120°， 1 = 44°，则 2的度
数为（ ）
A．64° B．74° C．56° D．66°
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为 45°，那么这个三角形底角为（ ）
A．67° B．135° C．67.5° D．67.5°或 22.5°
5．如图，在VABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AB 和 AC ，垂足为 M，N．且分别交BC 于点 D，E．若
DAE = 20° ，则 BAC 的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
6．如图，△ABF 中， A = 60°， F = 40°；点 C，D，E 在 AB 的延长线上，且BC = BG ，CD = CH ，
DE = DP，则 E等于（ ）
A．30° B． 20° C．15° D．10°
7．已知等腰三角形的一边等于10cm另一边等于6cm，则它的周长为 ．
8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置从A 点运动到了 B 点，则 OAB的
度数为 ．
9．如图， AOB = 80°，在OA上取点C ，以点C 为圆心，CO长为半径画弧交OB 于点D，连接CD；以点
D为圆心，DC 长为半径画弧交OB 于点E ，连接CE， DCE 的度数为 ．
10．如图，点 E 在 AB 上， AC 与DE 相交于点 F，△ABC≌△DEC ， A = 30°， B = 70°，则 DFA的度数
为 ．
11．如图， BAC = 100°，若MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，则 PAQ =
12．如图，在五边形 ABCDE 中， BAE =125°， B = E = 90°，AB = BC，AE = DE ，在BC、DE 上分别找
一点 M、N，使得VAMN 周长最小时， AMN + ANM 的度数为 ．
13．在VABC 中， AB = 7, BC = 2．
(1)求 AC 长度的取值范围；
(2)若VABC 的周长为偶数，求VABC 的周长，并判断此时VABC 的形状．
14．如图，在VABC 中， AB = AC ，D 是 AC 上一点，连接BD， BDA = 75°， ABD =11°，求 DCB的
度数．
15．如图，在VABC 中， AB = AC ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D，交 AB 于点E ．
(1)若 A = 40° ，求 DBC 的度数；
(2)若 AE = 3，△CBD的周长为 10，求BC 的长．
16．如图，在VABC中，DM，EN 分别垂直平分边 AC 和边BC ，交边 于 M，N 两点，DM 与EN 相交于
点 F．
(1)若 AB = 5，则VCMN 的周长为 ___________；
(2)若 MFN = 70°，求 MCN 的度数．
17．如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，点D在 BC 边上，连接 AD ， AE ^ AD ，
AE = AD，连接CE，DE ．
(1) ACE = B = 45° ，请你说明理由．
(2)求 BCE 的度数．
(3)点A 关于直线CE的对称点为 A1，连接CA1，EA1．补全图形，判断 EA1C 与 BAD 之间的数量关系并说
明理由．
18．（1）如图 1，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，CD平分 ACB ，BE ^ CD，垂足为 E，试探究
线段 BE 和CD之间的数量关系，并写出你的理由．
1
（2）如图 2，把条件改为：“在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，点 D 在BC 上， EDB = C ，
2
BE ^ ED ，DE 与 AB 相交于 F 点，则线段 BE 和FD 之间的数量关系如何 并证明你的结论．”
