第 03 讲 等腰三角形的性质定理（2 个知识点+8 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.等腰三角形的性质定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性质定理，并学会运用；
2.等边三角形的性质定理； 2.理解并掌握等边三角形的性质定理，并学会运用；
知识点 01：等腰三角形的性质
1、等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫
做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）性质
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
【即学即练 1】下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的对称轴是底边的中线
B．有理数与数轴上的点是一一对应的
C．等腰三角形任意两个角相等
D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点
【答案】D
【分析】利用等腰三角形的性质，数轴和三角形的高的定义逐一判断即可解题．
【详解】解：A.等腰三角形的对称轴是底边的中线所在的直线，故不正确；
B.实数与数轴上的点是一一对应的，故不正确；
C.等腰三角形的两个底角相等，故不正确；
D. 三角形的三条高所在的直线一定交于一点，故正确；
故选 D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和数轴、以及三角形的高的定义，掌握相关性质和定义是解题的关键．
【即学即练 2】等腰三角形两边长为 4 和 8，它的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16 或 18
【答案】C
【分析】当等腰三角形的腰为 4 时，三边不能组成三角形；当腰长为 8 时，它的周长为 8+8+4=20.
【详解】解：当等腰三角形的腰为 4 时，
∵4+4=8，
∴该三边不能组成三角形，
当等腰三角形的腰为时，
它的周长为：8+8+4=20.
故选 C.
【点睛】本题考点：等腰三角形.需要注意的是验证分情况讨论得出的边长是否能组成三角形.
知识点 02：等边三角形的性质
等边三角形
（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于 60°
总结：
图形 等腰三角形 等边三角形
质 性 两条边都相等 三条边都相等
两个角都相等 三个角都相等，且都是 60
底边上的中线、高和顶角的平分线互相 每一边上的中线、高和这一边所对的角的
重合 平分线互相重合
对称轴（1 条） 对称轴（3 条）
【即学即练 3】如图，VABC 是等边三角形， AE∥BF ，若 CAE = 45°，则 CBF 的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
【答案】B
【分析】过 C 作CD∥ AE ，根据平行线的性质得到 CAE = ACD = 45°， CBF = BCD，根据等边三角形
的性质可得 ACB = ACD + BCD = 60°，再计算即可．
【详解】解：如图，过 C 作CD∥ AE ，
∵ AE∥BF ，
∴ AE∥BF∥CD ，
∴ CAE = ACD = 45°，
∵VABC 是等边三角形，
∴ ACB = ACD + BCD = 60°，
∴ CBF = BCD = 60° - 45° = 15°，
故选 B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，添加平行线，利用平行线的性质得到角的关系是
解题的关键．
【即学即练 4】如图，已知VABC 是等边三角形，中线 BE ，CD 交于点F ，则 BFD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出 EBC 、 DCB，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：QVABC 是等边三角形，
\ ABC = ACB = 60°，
Q中线 BE ，CD 交于点F ，
1
∴ EBC = DCB = 60° = 30°，
2
∴ BFD = EBC + DCB = 60°，故 B 正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等
边三角形的性质．
题型 01 根据等腰三角形的性质求角度
1．如图， AC ^ BC ，DE 是 AB 的垂直平分线， CAE = 20°，则 B = （ ）
A．30° B．35° C． 40° D． 45°
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用，掌握线段垂直平分
线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用是解本题的关键．
根据线段垂直平分线求出 AE = BE ，推出 B = EAB ，根据三角形内角和定理得出
CAE + EAB + B = 90°，即可求出答案．
【详解】解：QDE 是 AB 的垂直平分线，
\ AE = BE ，
\ B = EAB，
Q AC ^ BC ，
\ C = 90°，
\ CAE + EAB + B = 90°，
Q CAE = 20°，
\ B = 35°，
故选：B．
2．已知一个等腰三角形的顶角等于100°，则它的底角等于（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关
键．根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，即可得出答案．．
【详解】设一个底角度数为 x，则另一个底角也为 x，
\ x + x +100° = 180°，
解得 x = 40°．
故选 B．
3．如图，在VABC 中，DE 垂直平分BC, BD平分 ABC ，若 ADB = 48°，则 A = ．
【答案】108°/108 度
【分析】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的
性质以及三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质，可得BD = CD，从而得到 CBD = C ，再由三
1
角形外角的性质可得 C = CBD = ADB = 24°，然后根据角平分线的定义，可得 ABC = 2 CBD = 48°，
2
再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵DE 垂直平分BC ，
∴BD = CD，
∴ CBD = C ，
∵ ADB = 48°， ADB = CBD + C ，
C CBD 1∴ = = ADB = 24°，
2
∵BD平分 ABC ，
∴ ABC = 2 CBD = 48°，
∴ A =180° - ABC - C =108°
故答案为：108°
4．如图，VABC≌VA BC ， ABC = 66°， C = 40°，此时点 A 恰好在线段 A C 上，则 ABA 的度数为 ．
【答案】32°
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先利用三角形的内角和
得到 BAC =180° - 66° - 40° = 74°，然后利用全等三角形的性质得到 A = BAC = 74°，然后利用等边对等
角得到 A = BAA = 74°，进而求出结果即可．
【详解】解：∵ ABC = 66°， C = 40°，
∴ BAC =180° - 66° - 40° = 74°，
∵VABC≌VA BC ，
∴ A = BAC = 74°，AB = A B ，
∴ A = BAA = 74°，
∴ ABA =180° - 74° 2 = 32°．
故答案为：32°．
5．如图，四边形 ABCD中，对角线 AC 、 BD交于点 O， AB = AC ，点 E 是 BD上一点，且 ABD = ACD ，
EAD = BAC ．
(1)求证： AE = AD；
(2)若 ACB = 45°，求 BDC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) BDC=90°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉全等三角形的判
定定理与性质，并能灵活选择很重要．
（1）先证明 BAE = CAD ，再证明VABE≌VACD ASA ，得出结论即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ABC = ACB = 45°，根据三角形内角和定理得出
BAC =180° - ABC - ACB =180° - 45° - 45° = 90°，再根据三角形内角和和对顶角性质得出
BDC = BAC = 90°．
【详解】（1）证明：∵ BAC = EAD ，
∴ BAC - EAC = EAD - EAC ，
即： BAE = CAD ，
在VABE 和VACD中
ì ABD = ACD
íAB = AC ，
BAE = CAD
∴VABE≌VACD ASA ，
∴ AE = AD；
（2）解：∵ ACB = 45°， AB = AC ，
∴ ABC = ACB = 45°，
∴ BAC =180° - ABC - ACB =180° - 45° - 45° = 90°，
∵ ABD = ACD ， AOB = COD，
∴ BDC = BAC = 90°．
题型 02 根据等腰三角形的性质求长度
1．如图，VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作DE∥BC 交 AB 于点 E，若 AB =12，
DE = 7 ，则 AE 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线
的性质得 EDB = ABD ，则可得ED = BE ，再根据 AE = AB - BE = AB - DE 即可求解，熟练掌握相关的判
定及性质是解题的关键．
【详解】解：Q BD平分 ABC ，
\ ABD = CBD ，
QDE ∥BC ，
\ EDB = CBD，
\ EDB = ABD ，
\ED = BE ，
QAB =12，DE = 7 ，
\ AE = AB - BE = AB - DE =12 - 7 = 5，
故选 A．
2．如图，在VABC 中，已知 ABC 和 ACB 的平分线相交于点F ．过点F 作DF∥BC ，交 AB 于点D，
交 AC 于点E ．若BD = 4，DE = 9，则线段CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，根据DF∥BC ，可知
DFB = FBC ；根据角平分线的定义，可知 DBF = FBC ，通过角度的等量代换，得到 DFB = DBF ，
等角对等边，则BD = DF ；同理可得CE = EF ，问题随之得解．
【详解】∵DF∥BC ，
∴ DFB = FBC ，
∵ BF 平分 ABC ，
∴ DBF = FBC ，
∴ DFB = DBF ，则BD = DF ；
同理可得：CE = EF ，
∵BD = DF = 4，DE = 9，
∴CE = EF = DE - DF = 9 - 4 = 5，
故选：C．
3．如图，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿过点 A 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E
1
处，折痕为 AD ，若 ADE = C ，则BD的长是 ．
2
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9，
C = AED，进而证得 BDE = BED，得到BD = BE = 3．
【详解】解：由折叠的性质可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9， C = AED， ADE = ADC ，
QAB =12，
\BE = AB - AE = 3，
Q ADE 1= C ，即 C = 2 ADE2 ，
\ EDC = AED ，
\ BDE = BED ，
\BD = BE = 3，
故答案为：3．
4．如图，已知DF、EF 分别是 ADE、 AED的平分线，BC 过点 F 且BC∥DE，VABC 的周长是9cm，
DE = 7cm ，则VADE 的周长是 cm．
【答案】16
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的
定义证明 BDF = BFD得到BD = BF ，同理得到CF = CE ，再由三角形周长计算公式得到
AD + AE = 9cm ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵DF 平分 ADE ，
∴ ADF = EDF ，
∵BC∥DE，
∴ BFD = EDF ，
∴ BDF = BFD，
∴BD = BF ，
同理可得CF = CE ，
∵VABC 的周长是9cm，
∴ AB + BC + AC = 9cm ，
∴ AB + BF + CF + AC = 9cm，
∴ AB + BD + AC + CE = 9cm，即 AD + AE = 9cm ，
又∵DE = 7cm ，
∴VADE 的周长是 AD + AE + DE = 16cm，
故答案为：16．
5．如图，在VABC 中，BA = BC ，BD ^ AC ．
(1)求证△ABD≌△CBD
(2)若DE∥BC 交BA于 E， AC = 4， BC = 5 ，求△AED 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据等边对等角得到 A = C ，然后得到 ADB = CDB = 90°，BD = BD，即可证明出
VABD≌VCBD AAS ；
1
（2）首先得到 AB = BC = 5，然后根据全等三角形的性质得到 AD = CD = AC = 2， ABD = CBD ，然后
2
结合平行线的性质得到 ABD = EDB ，进而得到BE = DE ，即可求解．
【详解】（1）∵BA = BC
∴ A = C
∵BD ^ AC
∴ ADB = CDB = 90°
又∵BD = BD
∴VABD≌VCBD AAS ；
（2）∵ BC = 5
∴ AB = BC = 5
∵△ABD≌△CBD
∴ AD = CD
1
= AC = 2， ABD = CBD
2
∵DE∥BC
∴ EDB = CBD
∴ ABD = EDB
∴BE = DE
∴ AE + DE + AD = AE + BE + AD = AB + AD = 5 + 2 = 7，
∴△AED 的周长为 7．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边对等角性质，等角对等边性质，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：SSS，
SAS，AAS，ASA ，HL．
题型 03 根据等腰三角形的性质证明
1．如图，在VABC 中， BAC = 75°， ACB = 35°， ABC 的平分线BD交边 AC 于点D，E 为BC 的中点，
连接DE ．
(1)求证：△BCD为等腰三角形．
(2)求 EDC 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) EDC = 55°．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，
（1）先利用三角形的内角和求出 ABC = 70°，再利用角平分线的定义求出 DBC = 35°，得到
DBC = ACB = 35°，最后根据等角对等边即可解答；
（ 2）由（1）可得 BDC =110°，根据等腰三角形三线合一即可求得 EDC 的度数；
【详解】（1）证明：∵ BAC = 75°， ACB = 35°，
∴ ABC = 180° - BAC - ACB = 70°，
∵BD平分 ABC ，
∴ DBC
1
= ABC = 35° ,
2
∴ DBC = ACB = 35°，
∴DB = DC ，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）解：∵ DBC = ACB = 35°，
∴ BDC =180° - 35° - 35° =110°，
∵DB = DC ，E 为BC 的中点，
1
∴ EDC = BDC = 55°．
2
2．如图，在VABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点D，过点D作DE∥BC 交 AB 于点E ．
(1)求证：BE = DE ；
(2)若 A = 76°， C = 36°，求 BDE 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) BDE = 34°
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌
握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据BD平分 ABC ，可得 CBD = EBD ，再由DE∥BC ，可得 CBD = EDB ，从而得到
EBD = EDB ，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可得 ABC = 68°，再由BD平分 ABC ，DE∥BC ，即可求解．
【详解】（1）证明：Q BD平分 ABC ，
\ 1 CBD = EBD = ABC ，
2
Q DE∥BC ，
\ CBD = EDB，
\ EBD = EDB ，
\ BE = DE ；
（2）解：在VABC 中， A = 76°， C = 36°
\ ABC = 180° - A - C = 180° - 76° - 36° = 68°，
Q BD平分 ABC ，
\ CBD = EBD 1= ABC = 34°，
2
Q DE∥BC ，
\ BDE = CBD = 34°．
3．如图，在VABC 中，AB = AC ，AD 为VABC 的角平分线，以点 A 圆心，AD 长为半径画弧，与 AB，AC
分别交于点 E，F，连接DE，DF ．
(1)求证：△ADE≌△ADF ；
(2)若 BAC = 88°，求 BDE 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 22°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟
练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由 AB = AC ， AD 为VABC 的角平分线，可得 BAD = CAD ，由题意知， AE = AF = AD，证明
VADE≌VADF SAS 即可；
（2）由 AB = AC ， BAC = 88°， AD 为VABC 的角平分线，可得 BAD = 44°， AD ^ BC ，即
180° - BAD
ADB = 90°，由 AE = AD，可得 ADE = AED = = 68°，根据 BDE = ADB - ADE ，计算
2
求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AB = AC ， AD 为VABC 的角平分线，
∴ BAD = CAD ，
由题意知， AE = AF = AD，
∵ AE = AF ，∠EAD = ∠FAD， AD = AD，
∴VADE≌VADF SAS ；
（2）解：∵ AB = AC ， BAC = 88°， AD 为VABC 的角平分线，
∴ BAD = 44°， AD ^ BC ，即 ADB = 90°，
∵ AE = AD，
180° - BAD
∴ ADE = AED = = 68°，
2
∴ BDE = ADB - ADE = 22° ，
∴ BDE 的度数为 22°．
4．如图，在VABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接 AE ，BD垂直平分 AE ，垂足为F ，交 AC 于点D，
连接DE ．
(1)若VABC 的周长为 18，VDEC 的周长为 6，求 AB 的长；
(2)若 ABC = 29°， C = 47°，求 CAE 度数．
【答案】(1)6
(2) 28.5°
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质正确计算是
本题的解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 AB = BE，DA = DE ，然后利用三角形的周长求 AB 得长度；
（2）利用三角形内角和求 BAC 的度数，然后利用等腰三角形三线合一的性质求 BAE的度数，从而使问
题得解．
【详解】（1）解：（1）∵BD垂直平分 AE ，垂足为 F，交 AC 于点 D
∴ AB = BE，DA = DE
∴VDEC 的周长= DE + DC + EC = DA + DC + EC = AC + EC = 6
VABC 的周长= AB + BC + AC = AB + BE + EC + AC = AB + AB + AC + EC =18
∴ 2AB =18 - 6 =12
∴ AB = 6；
（2）∵ ABC = 29°， C = 47°，
∴ BAC =104° ，
又∵BD垂直平分 AE ，
∴ AB = BE，
BAE 180° - ABC∴ = = 75.5°
2
∴ CAE = BAC - BAE = 28.5°．
5．如图，在VABC 中，VABC 的周长为18，BC = 7，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，过点D作直线平
行于BC ，交 AB ， AC 于点E ，F ．
(1)求证：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)11
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，
（1）根据角平分线的性质得 ACD = DCB，根据EF∥BC 得 FDC = DCB ，可得 ACD = FDC ，则
FD = FC ，即可得△DFC 是等腰三角形；
（2）根据角平分线的性质得 EBD = DBC ，根据EF∥BC 得 EDB = DBC ，可得 ABD = EDB ，即
可得EB = BD ，根据VABC 的周长为18，BC = 7，可得 AB + AC =11，即可得 AE + BE + AF + CF =11，根
据DF = CF 可得 AE + DE + AF + DF =11，即可得 AE + AF + EF =11；
掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵CD平分 ACB ，
\ ACD = DCB，
∵EF∥BC ，
\ FDC = DCB ，
\ ACD = FDC ，
\FD = FC ，
∴△DFC 是等腰三角形；
（2）解：Q BD平分 ABC ，
\ EBD = DBC ，
∵EF∥BC ，
\ EDB = DBC ，
\ ABD = EDB ，
\EB = BD，
∵VABC 的周长为 18，BC = 7，
\ AB + AC =18 - 7 =11，
\ AE + BE + AF + CF =11，
∵DF = CF ，
\ AE + DE + AF + DF =11，
\ AE + AF + EF =11，
∴△AEF 的周长为11．
题型 04 等腰三角形的存在性问题
1．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使
得VABC 为等腰三角形，则符合条件的点C 的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分
类讨论．
根据等腰三角形的性质分三种情况：AB 为底边，C 点在 的垂直平分线上；AB 为腰且 A为顶角时，AB
为腰且 B 为顶角时，分别判定可求解．
【详解】如图所示：
∴符合条件的点 C 的个数为 8．
故选 C．
2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 2,0 ，点 B 的坐标是 0,3 ，以 AB 为腰作等腰三角形 ABC ，且点C
在坐标轴上，则满足条件的C 点个数为（ ）
A．3个 B． 4个 C．5个 D．6 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点
是解题的关键．
分别以点A 、 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，则其与 x 轴、 y 轴的交点（A 、 B 除外）即为所求．
【详解】解：如图，以点A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，交 x 轴于点 H 、G ，交 y 轴于点F 、 B ，
以点 B 为圆心，以BA的长为半径画弧，交 x 轴于点D、A ，交 y 轴于点E 、C ，
故另一个顶点有C 、D、E 、F 、G 、 H ，共6 个，
故选：D ．
3．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 Q 是 AC 的中点，若动点 P 以 2cm /秒的速度从点 A 出发沿 A B A
方向运动设运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△APQ 是等腰三角形时，则 t 的值为 秒．
【答案】1 或 3/3 或 1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与
数形结合思想的应用．
由等边VABC 的边长为 4cm ，点Q是 AC 的中点，可求得 AQ 的长，然后 A = 60°，可得△APQ 为等边三角
形，分析△APQ 为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边VABC 的边长为 4cm ，点Q是 AC 的中点，
1
∴ AQ = AC = 2cm， A = 60°，
2
∴当△APQ 是等腰三角形时，可得三角形 APQ为等边三角形，
∴ AP = AQ = PQ ，
∵ AQ = 2 ，
∴ AP = 2 ，
∵动点 P 的速度为 2cm /秒，
∴当 P 从 A B 时， t = 2 2 =1，当 P 从B A时， t = 4 + 2 2 = 3．
故答案为：1 或 3．
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，随机选取另一个格点 C （不
与 A，B 重合） ， 得到的VABC 为等腰直角三角形的点 C 的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类
讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
分情况讨论：当 AB 是腰长时，当 AB 是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点 C
即可．
【详解】解：如图，分情况讨论：
① AB 为等腰VABC 的底边时，符合条件的 C 点有 2 个；
② AB 为等腰VABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 4 个．
共有 6 个．
故答案为：6．
5．如图，在VABC 中， AB = AC = 4， B = C = 50°，点 D 在线段BC 上运动（D 不与 B，C 重合），连接
AD ，作 ADE = 50°，DE 交线段 AC 于 E．
(1)当DC 等于多少时，VABD≌VDCE，请说明理由；
(2)在点 D 的运动过程中，请求出当 BDA等于多少度时VADE 的形状是等腰三角形．
【答案】(1)当DC = 4 时，△ABD≌△DCE ，理由见解析
(2)当 BDA的度数为115°或100°时，VADE 的形状是等腰三角形，
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，利用分
类讨论的思想去解决问题．
（1）利用三角形内角和定理得出 ADB = DEC ，当 AB = DC 时，△ABD≌△DCE ；
（2）VADE 是等腰三角形，分三种情况：①当 AD = AE 时，②当DA = DE 时，③当EA = ED时，由等腰三
角形的性质和三角形内角和定理分别求出 BDA的度数即可．
【详解】（1）解：当DC = 4 时，△ABD≌△DCE ，理由如下：
∵ C = 50°，
∴ DEC + EDC =130°，
∵ ADE = 50°，
∴ ADB + EDC =130°，
∴ ADB = DEC，
Q AB = DC = 4，
在△ABD 和△DCE 中，
ì ADB = DEC
í B = C
AB = DC
∴VABD≌VDCE（AAS），
即当DC = 4 时，△ABD≌△DCE ；
（2）解：当 BDA的度数为115°或100°时，VADE 的形状是等腰三角形，
∵ AB = AC ，
∴ B = C = 50° ，
①当 AD = AE 时， ADE = AED = 50°，
∵D不与B、C 重合，则 AED > C ，
∴此时不符合题意；
1
②当DA = DE 时， DAE = DEA = 180° - 50° = 65°，
2
∵ BAC =180° - B - C =180° - 50° - 50° = 80°，
∴ BAD = BAC - DAE = 80° - 65° =15°，
∴ BDA =180° - BAD - B =180° -15° - 50° =115°；
③当EA = ED时， ADE = DAE = 50°，
∴ BAD = BAC - DAE = 80° - 50° = 30° ，
∴ BDA =180° - BAD - B =180° - 30° - 50° =100°；
综上所述，当 BDA的度数为115°或100°时，VADE 的形状是等腰三角形，
题型 05 根据等边三角形的性质求角度
1．如图，已知等边VABC 中，BD = CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，则 APE的度数是（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．根据题意可证△ABD≌△BCE SAS ，从而得到 BAD = CBE ，最后利用三角形外角
和定理得到 APE= ABC ，即可得到答案．
【详解】解：QVABC 是等边三角形
\ AB = BC ， ABC = C = 60°
在△ABD 与VBCE 中
ìAB = BC
í ABD = BCE
BD = CE
\VABD≌VBCE SAS
\ BAD = CBE
\ APE = BAD + ABP = ABP + PBD = ABC = 60°
故选：C．
2．如图，已知等边三角形 ABC ，点D为线段BC 上一点，△ADC 沿 AD 折叠得VADE ，连接 BE ，若
ADB = 70°，则 DBE 的度数是（ ）
A．10° B． 20° C．30° D． 40°
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角
都相等，且都等于 60°．由折叠性质可得△ADC ≌△ADE 得到 AC = AE ， CAD = EAD ，再求出 BAE ，
利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出 DBE 的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关
键．
【详解】解：Q等边VABC ，
\ C = ABC = BAC = 60°， AC = AB ，
Q ADB = 70° ， ADB = C + CAD，
\ CAD =10°，
由折叠性质可得△ADC ≌△ADE ，
\ AC = AE ， CAD = EAD =10°，
\ BAE = BAC - CAD - EAD = 40°，
Q AB = AE ，
\ AEB ABE 180° - BAE 180° - 40° = = = = 70°，
2 2
\ DBE = ABE - ABC = 70° - 60° =10°，
故答案为：A．
3．如图，在等边VABC 中，BD平分 ABC ，BD = BF ，则 CDF 的度数是 度．
【答案】15
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到
BD⊥AC，∠CBD 1= ∠ABC = 30°，再由等边对等角得到∠BDF =∠BFD
180° -∠DBF
= = 75°，则
2 2
∠CDF =∠CDB -∠BDF = 15°．
【详解】解：∵在等边VABC 中，BD平分 ABC ，
∴BD⊥AC，∠CBD
1
= ∠ABC = 30°，
2
∴ BDC=90° ，
∵BD = BF ，
∴∠BDF =∠BFD
180° -∠DBF
= = 75°，
2
∴∠CDF =∠CDB -∠BDF = 15°，
故答案为：15．
4．如图，已知VABC 是等边三角形，BC = BD ， CBD = 80° ，则 1的度数是 ．
【答案】80° /80 度
【分析】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是解题
关键．利用等边三角形性质先得到 ABC = 60°，BD = BC 可得到△ABD 是等腰三角形，然后根据等腰三角
形性质得到 ADB，再通过三角形外角的性质计算出 1的度数即可．
【详解】解：∵VABC 是等边三角形，
∴ AB = BC ， ABC = 60°，
∵ CBD = 80° ，
∴ ABD = 60° + 80° = 140°，
∵BD = BC ，
∴ AB = BD ，
1
∴ BAD = BDA = 180° -140° = 20°，
2
∴ 1 = ABC + DAB = 60° + 20° = 80°．
故答案为：80°．
5．如图，VABC 为等边三角形，即D，E 分别是BC ， AC 上的点，且 AE = CD ．
(1)求证： AD = BE ；
(2)求 AFB的度数．
【答案】(1)见解析
(2) AFB =120°
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
（1）通过SAS证明VABE≌VCAD ，即可得出；
（2）通过证明VABE≌VCAD ，即可得出 AFE 的度数．
【详解】（1）证明：QVABC 是等边三角形，
\ AB = AC ， ABC = C = BAC = 60°，
在VABE 和VCAD中，
ìAB = AC
í BAC = C ，
AE = CD
\VABE≌VCAD SAS ，
\BE = AD；
（2）解：由（1）可知VABE≌VCAD ，
\ ABE = CAD，
Q BAD + CAD = 60°，
\ BAD + ABE = 60°，
\ AFB =120°．
题型 06 根据等边三角形的性质求长度
1．如图，在等边VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作DE ^ BC 于点 E，且CE =1.5，则 AB
的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
由在等边三角形 ABC 中，DE ^ BC ，可求得 CDE = 30°，则可求得CD的长，又由BD平分 ABC 交 AC
于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【详解】解：QVABC 是等边三角形，
\ ABC = C = 60°， AB = BC = AC ，
QDE ^ BC ，
\ CDE = 30°，
QEC =1.5，
\CD = 2EC = 3，
Q BD平分 ABC 交 AC 于点D，
\ AD = CD = 3，
\ AB = AC = AD + CD = 6．
故选：C．
2．如图，在等边VABC 中，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是VABC 的中线 AD 上的动点，且 AD = 9 ，则EP + CP
的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接 BE ，交 AD 于点 F，连接BP，根据
等边三角形的性质得出 AD 是BC 的垂直平分线，证明PB = PC ，得出PC + PE = PB + PE ，说明当 B，
P ，E 三点共线时，BP + PE 最小，EP + CP的最小值，得出当点 P 在点 F 处时，EP + CP的最小值，且最
小值为 BE 的长，求出最小值即可．
【详解】解：连接 BE ，交 AD 于点 F，连接BP，如图所示：
∵VABC 是等边三角形， AD 是BC 边上的中线，
∴ AD ^ BC ，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴PB = PC ，
∴PC + PE = PB + PE ，
∵当 B， P ，E 三点共线时，BP + PE 最小，EP + CP的最小值，
∴当点 P 在点 F 处时，EP + CP的最小值，且最小值为 BE 的长，
∵ BE 是VABC 的中线，
∴BE ^ AC ，
1
∵ AC = BC ， SVABC = AC BE
1
= BC AD ，
2 2
∴BE = AD = 9，
即EP + CP的最小值为 9，
故选：B．
3．如图，若VABC 是等边三角形， AB = 6，BD是 AC 边上的高，延长BC 到 E，使CE = CD，则 BE 的长
为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握等腰三角
形三线合一的性质．
根据等边三角形，等腰三角形三线合一的性质，得到CE = CD = 3，即可求解．
【详解】解：QVABC 是等边三角形，BD是 AC 边上的高，
1
\ AB = BC = AC = 6 ，CD = AC = 3，
2
\CE = CD = 3，
\BE = BC + CE = 6 + 3 = 9，
故答案为：9．
4．如图，在Rt△CEF 中， E = 90°，点 A 是CE上一点， AB CF 交EF 于点 B，且 AB = AC ，过点 B 作
BD ^ CF 于点 D，连接CB ，若CD = 8, BD = 3，则VABE 的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识
是解题的关键．
根据等边对等角得∠ABC = ACB ，根据平行线的性质得 ABC = BCF ，于是有 ACB = BCF ，结合
BD ^ CF ，根据AAS证明VBCE @VBCD ，利用全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∵ AB CF ，
∴ ABC = BCF ，
∴ ACB = BCF ，
∵ E = 90°，BD ^ CF ，
∴ E = BDC = 90°，
在VBCE 和△BCD中
ì ECB = DCB
∵ í E = BDC ，
BC = BC
∴VBCE @VBCD(AAS)，
∴BE = BD = 3,CE = CD = 8，
∴VABE 的周长为： AB + AE + BE = AC + AE + BE = CE + BE = 8 + 3 =11
故答案为：11．
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥ AB ，过点 E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点 F．
(1)求 F 的度数；
(2)若CD = 2，求 的长．
【答案】(1)30°
(2)2
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）根据平行线的性质得出 B = EDC = 60°，再根据 F = 90° - EDC 即可解答；
（2）通过证明△EDC 为等边三角形，得出CE = DC = DE ，即可解答．
【详解】（1）解：∵VABC 是等边三角形，
∴ A = B = ACB = 60°．
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∵EF ^ ED，
∴ DEF = 90°，
∴ F = 90° - EDC = 30°；
（2）解：∵ B = EDC = ACD = 60°，
∴ DEC =180° - EDC - ACD = 60°，
∴△EDC 为等边三角形．
∴CE = DC = DE ．
∵ DC = 2，
∴DE = 2．
题型 07 根据等边三角形的性质证明
1．如图，在VADB中， ADB = 60°，DC 平分 ADB，交 AB 于点C ，且DC ^ AB ，过C 作CE DA交DB
于点E ，连接 AE ．
(1)求证：VADB是等边三角形．
(2)求证： AE ^ DB．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得 BEC = ADB = 60，根据等边三角形的判定与性质可得CE = BE = CB ，再由直角
三角形的性质可得 AE 是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解
决此题的关键．
【详解】（1）证明： QDC 平分 ADB，
\ ADC = BDC ，
Q ADB = 60°，
\ ADC = BCD = 30°，
QDC ^ AB，
\ DCB = DCA = 90°，
\ B = A = 90° - 30° = 60° ，
\ ADB = B = DAB = 60°，
\VADB 是等边三角形；
（2）解：QCE∥DA，
\ BEC = ADB = 60°，
\ CEB = CBE = ECB = 60°，
\△CEB是等边三角形，
\CE = BE = CB，
Q BDC = 30°， DCB = 90°，
BC 1\ = BD ，
2
\CE 1= BD，
2
\ E 是BD的中点，
\ AE 是边BD的中线，
QVADB 是等边三角形，
\ AE ^ BD ．
2．如图，在四边形 ABCD中， AB = AD =11．CB = CD ， A = 60°，点 E 在边 AD 上，连接BD，CE相交
于点 F，且CE∥ AB ．
(1)求证：VEDF 是等边三角形；
(2)若CE = 8，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先证明△ABD 是等边三角形，可得 ABD = ADB = 60°，由平行线的性质可得
CED = ADB = DFE = 60° ，可得结论；
（2）证明VABC≌VADC SSS ，得 BAC = CAD ．再结合平行线的性质，证得 CAD = ACE ，从而得到
AE = CE = 8，即可求解．
【详解】（1）证明：Q AB = AD， A = 60°，
\VABD 是等边三角形，
\ ABD = ADB = 60°，
Q CE∥ AB，
\ CED = A = 60°， DFE = ABD = 60°，
\ CED = ADB = DFE ，
\VDEF 是等边三角形；
（2）解： Q AB = AD =11, BC = DC ，
在VABC 和△ADC 中，
ìAB = AD
íBC = CD ，
AC = AC
\VABC≌VADC SSS ，
\ BAC = CAD．
QCE AB，
\ BAC = ACE ，
\ CAD = ACE ，
\ EA = EC ．
QCE = 8，
\ AE = 8，
\ED =11-8 = 3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的
性质，证明 AE = CE 是解题的关键．
3．如图，在等边三角形 ABC 中，点D，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥AB，过点E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点F ．
(1)求证：CE = CF ；
(2)若CD = 2，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】
本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）证明VCDE为等边三角形，进而推出 CEF = CFE = 30°，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：∵等边三角形 ABC ，
∴ ACB = B = A = 60°，
∵DE∥AB，
∴ EDC = B = 60°, CED = A = 60°，
∴VCDE为等边三角形，
∵EF ^ DE，
∴ DEF = 90°，
∴ CEF = DEF - CED = 30°, DFE = 90° - EDC = 30°，
∴ CEF = CFE ，
∴CE = CF ；
（2）由（1）知：VCDE为等边三角形，
∴CE = CD = 2，
又CE = CF = 2，
∴DF = CD + CF = 4．
4．如图，等腰VABC 中，CA = CB = 4， ACB =120° ，点D在线段 AB 上运动 (不与A ，B 重合 ) ，将VCAD
与△CBD分别沿直线CA，CB 翻折得到VCAP 与△CBQ ．
(1)求证：CP = CQ ；
(2)求 PCQ 的度数；
(3)当点D是 AB 的中点时，判断VDPQ 是何种三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) PCQ =120°
(3)VDPQ 是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的
综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质可得∠ACP +∠BCQ =∠ACB，再根据周角的性质即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质“三线合一”可得CD ^ AB ， DAC = DBC = 30°，根据折叠的性质可得
△ADP，△BDQ是等边三角形，由此可求出 PDQ = 60°，结合点D是中点可得 AD = PD = QD = BD ，由此
即可求解．
【详解】（1）证明：Q将VCAD与△CBD分别沿直线CA、CB 翻折得到VCAP 与△CBQ ，
∴CP = CQ = CD；
（2）解：Q将VCAD与△CBD分别沿直线CA、CB 翻折得到VCAP 与△CBQ ，
∴ ACP = ACD， BCQ = BCD ，
∴ ACP + BCQ = ACD + BCD = ACB =120°，
∴∠PCQ = 360° - ∠ACP +∠BCQ +∠ACB
= 360° - 120° +120°
=120°，
∴ PCQ =120°；
（3）解：VDPQ 是等边三角形，理由如下：
Q将VCAD与△CBD分别沿直线CA、CB 翻折得到VCAP 与△CBQ ，
\ AD = AP，∠DAC =∠PAC ，
∵CA = CB ， ACB =120° ，点D是 AB 的中点，
∴ ACD
1
= BCD = ACB = 60°，CD ^ AB ，
2
∴ DAC = DBC = 30°，
\VAPD 是等边三角形，
\PD = AD， ADP = 60°，
同理：△BDQ 是等边三角形，
∴DQ = BD， BDQ = 60° ，
∴ PDQ = 60°，
Q当点D在 AB 的中点，
\ AD = BD ，
∴PD = QD ，
\△DPQ是等边三角形．
5．如图，已知△ABD 和VBCE 是等边三角形，且 A、B、C 三点共线，连接 AE、CD ，交于点F ．
(1)求证：VABE≌VDBC ；
(2)求证：FA = FB + FD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，证
明三角形全等，是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，得到 AB = DB，EB = CB ， ABD = EBC = 60°，进而得到 ABE = DBC ，
即可得证；
（2）在FA上取点 Q 使得FQ = FD，连接DQ ，得VDFQ为正三角形，得到DF = DQ， FDQ = 60°，证
明△ADQ≌△BDF ，得到 AQ = FB ，根据FA = FQ + AQ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵△ABD 与VBCE 是正三角形，
∴ AB = DB，EB = CB ， ABD = EBC = 60°，
∴ ABE = DBC ，
在VABE 与△DBC 中
ìAB = DB
í ABE = DBC ，
BE = BC
∴VABE≌VDBC SAS ；
（2）在FA上取点 Q 使得FQ = FD，连接DQ ，
∵VABE≌VDBC ，
∴ BAG = BDF ，
又∵ AGB = DGF ，
∴ DFA = ABD = 60°，
∴VDFQ为正三角形，
∴DF = DQ， FDQ = 60°，
又∵VADB为正三角形，
∴DA = DB ，
∵ ADB = 60°，
∴ ADQ = BDF ，
∴VADQ≌VBDF SAS ，
∴ AQ = FB ；
∴FA = FQ + AQ = FD + FB ．
题型 08 等边三角形的存在性问题
1．如图，O 是射线CB 上一点， AOB = 60°,OC = 6cm，动点 P 从点 C 出发沿射线CB 以2cm / s的速度运
动，动点 Q 从点 O 出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t s ，当△POQ
是等腰三角形时，t 的值为（ ）
A．2 B．2 或 6 C．4 或 6 D．2 或 4 或 6
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点 P 在线段OC 上时；（2）当点 P 在CO的延
长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点 P 在线段OC 上时，
设 t 时后△POQ 是等腰三角形，
∵ AOB = 60°
∴ AOC =120°
∴OP = OC - CP = OQ ，
即6 - 2t = t ，
解得 t = 2；
（2）当点 P 在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s ，
当△POQ 是等腰三角形时，
∵ POQ = 60°，
∴△POQ 是等边三角形，
∴OP = OQ ，
即 2 t - 3 = t ，
解得， t = 6，
综上所述，当△POQ 是等腰三角形时，t 的值为 2 或 6．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意
要分类讨论，当点 P 在点 O 的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
2．如图， AOB = 60°，C 是BO延长线上的一点，OC = 8cm，动点 P 从点 C 出发沿CB 以3cm s的速度移
动，动点 Q 从点 O 出发沿OA以 2cm s的速度移动，如果点 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间，当 t
为（ ）s 时，△POQ 是等腰三角形．
8 8 8
A． B．6 C． 或 6 D． 或 8
5 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类
讨论，当点 P 在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点 P 在线段OC 上时；（2）当点 P 在CO的延长线上时．分别
列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点 P 在线段OC 上时，
设 t秒后△POQ 是等腰三角形，
有OP = OC - CP = OQ ，
即8 - 3t = 2t ，
8
解得， t = ；
5
（2）当点 P 在CO的延长线上时，
当△POQ 是等腰三角形时，
Q POQ = 60°，
\VPOQ 是等边三角形，
\OP = OQ ，
即 2t = 3t - 8 ，
解得， t = 8，
故选：D．
3．如图，已知等边三角形 ABC 的边长为12cm，有一点 P 从点A 出发沿 A B C A的方向以 4cm / s 的
速度匀速移动，另有一点Q从点 B 出发沿B C A B 的方向以6cm / s 的速度匀速移动，若点 P 、Q同
时出发，经过 秒后，两点第 2次同时到达等边三角形的同一顶点．
【答案】30
【分析】本题主要考查了等边三角形及一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质，先
设点 P 、Q同时出发，经过 xs后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点走的路程比 P 点所走
路程多 2个等边三角形的边长，列出方程求出 x ，再设点 P 、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过 ys
后两点第 2次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点移动的路程 - 点 P 移动的路程= 3个等边三角形的
边长，列出方程求出 y ，从而求出答案即可．
【详解】解：设点 P 、Q同时出发，经过 xs 后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得：
6x - 4x =12 2，
2x = 24，
x =12 ，
设点 P 、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过 ys后两点第 2次同时到达等边三角形的同一顶点，由
题意得：
6y - 4y =12 3，
2y = 36，
y =18，
∴ x + y =12 +18 = 30（ s ），
∴点 P 、Q同时出发，经过30s后两点第 2次同时到达等边三角形的同一顶点，
故答案为：30．
4．如图，在VABC 中， A = 90°, B = 30°, AC = 6厘米，点D从点A 开始以 1 厘米/秒的速度向点C 运动，
点E 从点C 开始以 2 厘米秒的速度向点 B 运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，VDEC 是等边三
角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为 t 秒，则 AD = tcm，CE = 2tcm ，则
CD = 6 - t cm ，根据等边三角形的性质得到CE = CD，则6 - t = 2t ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为 t 秒，
由题意得， AD = tcm，CE = 2tcm ，则CD = AC - AD = 6 - t cm
∵VDEC 是等边三角形，
∴CE = CD，
∴6 - t = 2t ，
解得 t = 2，
∴当运动时间为 2 秒时，VDEC 是等边三角形．
故答案为：2．
5．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底
角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图 1，若VABC 和VADE 均是顶角为 40°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，可以由
________（三角形全等判定原理），得△ABD≌△ACE ，进而得到BD = CE ；
(2)【拓展探究】如图 2，若VABC 和VCDE均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE ，求 AEB
的度数．
【答案】(1)SAS
(2) AEB = 60°
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌
握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）先判断出 BAD＝ CAE ，进而利用SAS判断出△ABD≌△ACE ，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE ，得出 AD＝BE， ADC＝ BEC =120°，最后用角的差
AEB = BEC - CED，即可得出结论；
【详解】（1）解：（1）∵VABC 和VADE 均是顶角为 40°的等腰三角形，
∴ AB＝AC，AD＝AE， BAC＝ DAE ，
∴ BAC - CAD = DAE - CAD ，
∴ BAD = CAE ，
∴VBAD≌VCAE(SAS)，
∴BD = CE ；
故答案为：SAS．
（2）∵VABC和VADE 均是等边三角形，
∴CA = CB,CD = CE, ACB = DCE = CDE = CED = 60°，
∴∠ACB -∠BCD =∠DCE -∠BCD，
∴ ACD = BCE ，
∴VACD≌VBCE(SAS)，
∴ AD = BE, ADC = BEC，
∵ CDE = 60°，
∴ BEC = ADC =180° - CDE =120°，
∵ CED = 60°，
∴ AEB = BEC - CED = 60°，
1．如图，VABC 是等边三角形， AD 是BC 边上的高，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 AD 上的一个动点，当
PC + PE 最小时，∠ CPE 的度数是（ ）．
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合
一的性质是解题关键．连接 BP，由等边三角形的性质，得出 PB = PC ，进而得到 PC + PE = PB + PE BE ，
即当 B 、 P 、E 三点共线时，PC + PE 有最小值，再利用三线合一性质，得到BE ^ AC ，即可得到∠ CPE
的度数．
【详解】解：如图，连接BP，
QVABC 是等边三角形， AD 是BC 边上的高，
\ D 是BC 中点，即 AD 垂直平分BC ，
\PB = PC ，
\PC + PE = PB + PE BE ，
即当 B 、 P 、E 三点共线时，PC + PE 有最小值，
Q点E 是 AC 边的中点，
\ BE ^ AC ，
\ CEP = CEB = 90°，
∵等边VABC 中 ABC = ACB = 60°，BE ^ AC ，
∴ CBE
1
= ABC = 30°，
2
∵PB = PC ，
∴此时 PCB = PBC = 30°，
∴ CPE = PBC + PCB = 60°．
故选：C．
2．如图，VABC 是边长为 1 的等边三角形，D，E 分别是边 AB ，AC 上的两点，将VADE 沿直线DE 折叠，
点A 落在 A 处，则阴影部分图形的周长为（ ）
A．1.5 B．2 C． 2.5 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．
【详解】解：∵等边VABC 的边长为1，
∴ AB = BC = CA =1，
∵D，E 分别是边 AB ， AC 上的两点，将VADE 沿直线DE 折叠，点A 落在 A 处，
∴ AD = A D， AE = A E ，
则阴影部分图形的周长为：BC + BD + CE + A D + A E = BC + BD + CE + AD + AE = BC + AB + AC = 3，
故选：D．
3．如图，已知 MON = 30°，点 A1, A2 , A3L在射线ON 上，点B1, B2 , B3L在射线OM 上，△A1B2 A2 、
△A2B2 A3 、△A3B3 A4 …均为等边三角形，若OA1 =1，则VA6B6 A7 的边长为（ ）
A．32 B．510 C．256 D．64
【答案】A
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 A3B3 = 4B1A2 ，
A4B4 = 8B1A2 ， A5B5 =16B1A2 进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出
A1B1 A2B2 A3B3 ，以及 A2B2 = 2B1A2 ，得出 A3B3 = 4B1A2 = 4， A4B4 = 8B1A2 = 8， A5B5 =16B1A2 进而得出
答案．
【详解】解：如图，
Q△A1B1A2 是等边三角形，
\ A1B1 = A2B1， 3 = 4 = 12 = 60°，
\ 2 =120°，
Q MON = 30° ，
\ 1 =180° -120° - 30° = 30°，
又Q 3 = 60°，
\ 5 =180° - 60° - 30° = 90°，
Q MON = 1 = 30°，
\OA1 = A1B1 = 1，
\ A2B1 = 1，
Q△A2B2 A3 、△A3B3 A4是等边三角形，
\ 11 = 10 = 60°， 13 = 60°，
Q 4 = 12 = 60°，
\ A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2 A3，
\ 1 = 6 = 7 = 30°， 5 = 8 = 90°，
\ A2B2 = 2B1A2 ，B3 A3 = 2B2 A3 ，
\ A3B3 = 4B1A2 = 4 ，
A4B4 = 8B1A2 = 8，
A5B5 = 16B1A2 = 16 ，
以此类推：△AnBn A n-1n+1的边长为 2 ，
\ VA6B6 A7 的边长为： 26-1 = 32．
故选：A
4．如图，VABC 是边长为 a 的等边三角形，BD = CD，且 BDC =120°，以 D 为顶点作一个60°角，使其
两边分别交 AB 于点 M．交 AC 于点 N，连接MN ，则VAMN 的周长是（ ）
A．a B． 2a C．3a D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形
全等可得结果，作出辅助线是解题的关键．延长 AB 至 F，使BF = CN ，连接DF ，通过证明△BDF≌△CND
及VDMN≌VDMF ，从而得出MN = MF ，VAMN 的周长等于 AB+AC 的长．
【详解】解：∵VBDC 是等腰三角形，且 BDC =120°，
∴ BCD = DBC = 30°，
∵VABC 是边长为 a 的等边三角形，
∴ ABC = BAC = BCA = 60°，
∴ FBD = DBA = DCA = 90° ，
延长 AB 至 F，使BF = CN ，连接DF ，如图所示：
在VBDF 和△CND 中，
ìBF = CN
í FBD = DCN ，
DB = DC
∴VBDF≌VCND SAS ，
∴ BDF = CDN ，DF = DN ，
∵ MDN = 60°，
∴ BDM + CDN = 60°，
∴ BDM + BDF = 60°，
在△DMN和△DMF 中，
ìMD = MD
í FDM = MDN ，
DF = DN
∴VDMN≌VDMF （SAS）
∴MN = MF ，
∴VAMN 的周长是：
AM + AN + MN = AM + AN + MB + BF
= AM + MB + AN + NC = AB + AC = a + a = 2a ．
故选 B．
5．如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点A ， E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形CDE ，
AD 与 BE 交于点O， AD 与 BC 交于点G ， BE 与CD交于点 F ．以下几个结论：① AD = BE ；② AG = BF ；
③VDGC≌VEFC ；④ AOB = 60°，⑤ BAD = ODC ，恒成立的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，
只要证明△ADC ≌△BEC ，可推知 AD = BE ；由△ADC ≌△BEC 得 CBE = DAC ，加之
ACB = DCE = 60°，AC = BC ，得到VDGC ≌VEFC ，可知②，③正确；利用等边三角形的性质，
BC∥DE，再根据平行线的性质得到 CBE = DEO，于是 AOB = DAE + AEO = 60°，可知④正确；利用
等边三角形性质可得 AB∥CD ，从而得到 BAD = ODC ，可知⑤正确．
【详解】解：Q三角形 ABC 和三角形CDE 都是正三角形，
\ AC = BC，CD = CE， ACB = DCE = 60°，
∴ BCD =180° - ACB - DCE = 60°
Q ACD = ACB + BCD， BCE = DCE + BCD ，
\ ACD = BCE ，
\VADC≌VBEC SAS ，
\ AD = BE， DAC = EBC ，故①正确；
又Q AC = BC， ACG = BCF = 60°， DAC = EBC ，
\VDGC≌VEFC ASA ，
\ AG = BF ，故②，③正确；
Q BCA = DEC = 60°，
\BC∥DE ，
\ CBE = DEO ，
\ AOB = DAE + AEO = DAE + ADC = DCE = 60°，故④正确；
Q BAC = DCE = 60°，
\ AB∥CD，
\ BAD = ODC ，
综上所述正确的结论有：①②③④⑤，共 5 个，
故选：D．
6．如图，VABC 是等边三角形，点D是BC 下方的一点， BDC =120°，BD = CD，点E 和点F 分别是 AC
和 AB 上一点， EDF = 60°．若VABC 的周长为 12，则△AEF 的周长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，延长 AC
至点 P ，使CP = BF ，连接PD，证明VBDF≌VCDP SAS 推出DF = DP， BDF = CDP ，进而得到
EDF = PDE = 60°，从而证明VDEF≌VDPF SAS ，推出EF = PE ，由此求出△AEF 的周长= AB + AC
得到答案．题中辅助线的引出是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 AC 至点 P ，使CP = BF ，连接PD．
∵VABC 是等边三角形，VABC 的周长为 12，
∴ ABC = ACB = 60°， AB = AC = BC = 4．
∵BD = CD， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
∴ FBD = DCE = 90°，
∴ DCP = DBF = 90°．
ìBD = CD
在VBDF 和△CDP
中， í DBF = DCP ，
BF = CP
∴VBDF≌VCDP SAS ，
∴DF = DP， BDF = CDP ．
∵ BDC =120°， EDF = 60°，
∴ BDF + CDE = 60°，
∴ CDP + CDE = 60°，
∴ EDF = PDE = 60°．
ìDF = DP
在VDEF 和VDPE中， í EDF = PDE ，
DE = DE
∴VDEF≌VDPF SAS ，
∴EF = EP，
∴EF = EC + CP = EC + BF ，
∴△AEF 的周长= AE + EF + AF = AE + CE + BF + AF = AB + AC = 8．
7．如图，BD是等边VABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长于点 E，则
DEC = ．
【答案】30°/30 度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等
边三角形得到 ABC = 60°，根据三线合一得到 DBC 的度数即可得到答案．
【详解】解：在等边VABC 中， ABC = 60°，
Q BD是等边VABC 的边 AC 上的高，
\BD平分 ABC ，
\ DBC 1= ABC = 30°
2 ，
QBD = ED ，
\ DEC = CBD = 30°，
故答案为：30°．
8．如图，VABC 和VDEF 都是等边三角形，且点 D，E，F 分别在边 AB ，BC ， AC 上，若VABC 的周长
为 12， AD =1，则EC = ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出
BDE = AFD，再由全等三角形的判定和性质得出 AD = BE =1，然后求解即可．
【详解】解∶∵VABC 和VDEF 都是等边三角形，
∴ AB = AC = BC ，DE = DF = EF ， A = B = C = 60°， EDF = DEF = EFD = 60°，
∴ BDE + ADF =120°， ADF + AFD =120°，
∴ BDE = AFD，
又 A = B ， DF = DE ，
∴VADF≌VBED AAS ，
∴ AD = BE =1，
∵VABC 的周长为 12，
1
∴BC = 12 = 4，
3
∴ EC = BC - BE = 3，
故答案为∶3．
9．如图，等边三角形 ABC 的边 AB 上有一点 P，过点 P 作PE ^ AC 于点 E，Q 为BC 延长线上一点，当 AP = CQ
时， PQ交 AC 于点 D，若DE = 2，则BC = ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过
点 Q 作 AC 的延长线的垂线于点F ，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得 QCF = A，再根据
PE ^ AC ，QF ^ AF ， AP = CQ可证得△AEP≌△CFQ ，从而证得△PED≌△QFD ，得到 AE = CF ，
DE = DF ，从而求得等边三角形 ABC 的边长，再根据等边三角形的性质即可解题．
【详解】解：如图，过点 Q 作 AC 的延长线的垂线于点F ，
QVABC 是等边三角形，
∴ A = ACB = 60°，
Q ACB = QCF ，
\ QCF = A = 60°，
QPE ^ AC ，QF ^ AF ，
\ AEP = CFQ = 90°，
Q AP = CQ ，
\VAEP≌VCFQ AAS ，
∴ AE =CF ， PE = QF ，
Q PED =180° - PEA = 90° = CFQ， PDE = QDF ，
\VPED≌VQFD AAS ，
\ DE = DF = 2 ，
QDF = DC + CF ， AE = CF ，
\ AC = DE + AE + DC = 2DE = 4，
QVABC 是等边三角形，
\BC = AC = 4，
故答案为：4．
10．如图，VABC 和VBDE 都是等边三角形，A、B、D 三点共线．下列结论：① AE = CD ；② AF = CG；③
AHC = 60°；④ AD ∥ FG ．其中正确的有 （只填序号）．
【答案】①②③④
【分析】由题中条件可得VABE≌VCBD ，得出对应边、对应角相等，进而得出VBGD≌VBFE ，
VABF≌VCGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】解：QVABC 与VBDE 为等边三角形，
\ AB = BC ，BD = BE ， ABC = DBE = 60°，
\ ABE = CBD ，
\VABE≌VCBD ，
\ AE = CD, BAE = BCD ，
∴①正确；
又Q ABF = FBE = 60°，
\VABF≌VCBG，
\ AF = CG ，BF = BG ， BFG = BGF = 60°，
\△BFG 是等边三角形，
\ GFB = CBA = 60°，
\FG∥AD ，
∴②④正确；
Q BAF + ABF + AFB = BCG + AHC + CFH =180°， AFB = CFH ，\ AHC = ABC = 60°，
∴③正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握等边三角形的
性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11．如图，VABC 为等边三角形，其边长为9cm,△BCD是等腰三角形， BDC =120°，在 AB 上有一动点
E ，连接DE ，在 AC 上有一点F ，使得DF 与DE 的夹角为60°，连接EF ，则△AEF 的周长为 cm．
【答案】18
【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅
助线的引出是解题的关键.
延长 AC 至点 P，使CP = BE ，连接PD，证明VBDE≌VCDP推出DE = DP， BDE = CDP ，进而得到
EDF = PDF = 60°，从而证明VDEF≌VDPF ，推出EF = CP，由此求出△AEF 的周长=
AE + EF + AF = AB + AC .得到答案.
【详解】解：如图，延长 AC 至点 P，使CP = BE ，连接PD．
∵VABC 是等边三角形，
∴ ABC = ACB = 60°．
∵BD = CD， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
∴ EBD = DCF = 90°，
∴ DCP = DBE = 90°．
在VBDE 和△CDP中，
ìBD = CD
í DBE = DCP，
BE = CP
∴VBDE≌VCDP SAS ，
∴DE = DP， BDE = CDP ．
∵ BDC =120°， EDF = 60°，
∴ BDE + CDF = 60°，
∴ CDP + CDF = 60°，
∴ EDF = PDF = 60°．
在VDEF 和VDPF 中，
ìDE = DP
í EDF = PDF ，
DF = DF
∴VDEF≌VDPF SAS ，
∴EF = FP，
∴EF = FC + BE ，
∴△AEF 的周长= AE + EF + AF = AB + AC =18 .
故答案为：18
12．如图，在VABC 中， AB = 30cm, AC = 20cm，以BC 为边作等边三角形BCD，连接 AD ，则 AD 的最大
值与最小值的和为 cm．
【答案】60
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质；以 AB 为边在其下
方作等边VABE ，连接CE，证明VCBE≌VDBA，则得CE = AD ，在△AEC 中利用三角形三边关系即可求得
CE的最大值与最小值，从而求得结果．
【详解】解：如图，以 AB 为边在其下方作等边VABE ，连接CE，
∴ AB = BE = AE = 30cm， ABE = 60°；
∵△BCD是等边三角形，
∴BC = BD， DBC = 60°，
∴ DBC + ABC = ABC + ABE，
即 DBA = CBE ，
∴VCBE≌VDBA，
∴CE = AD ；
在△AEC 中， AC = 20cm，AE = AB = 30cm，
∴ AE - AC < CE < AE + AC ，
即10 < CE < 50，
∴当C、A、E 三点共线时，CE取最大值与最小值分别为50cm与10cm，
而50 +10 = 60 cm ，
故答案为：60．
13．如图， A = B ， AE = BE ，点D在 AC 边上， 1 = 2， AE 与BD相交于点O．
(1)求证：△AEC ≌△BED；
(2)若 2 = 40°，求 BDE 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 70°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，
（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED；
（2）由（1）可知：EC = ED ， C = BDE ，根据等腰三角形的性质即可知 C 的度数，从而可求出 BDE
的度数；
【详解】（1）证明：Q AE 和BD相交于点O，
\ AOD = BOE ．
在△AOD和△ BOE 中，
A = B ，
\ BEO = 2，
又Q 1 = 2，
\ 1 = BEO ，
\ AEC = BED．
在△AEC 和VBED中，
ì A = B
í AE = BE ，
AEC = BED
\VAEC≌VBED（ASA）．
（2）解：QVAEC≌VBED，
\EC = ED， C = BDE ．
在△EDC 中，
QEC = ED， 1 = 2 = 40° ，
\ C = EDC = 70°，
\ BDE = C = 70°．
14．如图， AB = AC =10， A = 40° ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D，求：
(1) ABD 的度数；
(2)若△BCD的周长是16，求BC 的长．
【答案】(1) ABD = 40°
(2) BC = 6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质；
（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
【详解】（1）解：∵ AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D，
∴BD = AD ，
∴∠ABD =∠A = 40°；
（2）解：∵BD = AD ，△BCD的周长是16，
∴BD + BC + CD = BC + CD + DA = BC + AC =16 ，
∵ AC =10，
∴BC = 6．
15．如图，VABE 和VACD都是等边三角形，VEAC 旋转后能与△ABD 重合， EC 与BD相交于点 F．
(1)试说明VAEC ≌VABD．
(2)求∠DFC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 60°
【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知
识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
（1）根据等边三角形性质推出 AE = AB，AD = AC， EAB = DAC = 60°，求出 EAC = BAD ，根据SAS
证VAEC ≌VABD即可；
（2）根据等边三角形性质推出 EAB = 60° ，根据三角形外角性质推出 AGC = AEC + 60° = ABD + GFB，
求出 GFB的度数，根据对顶角相等求出即可．
【详解】（1）证明：QVABE 和VACD都是等边三角形，
\ AE = AB，AD = AC， EAB = DAC = 60°，
\ EAB + BAC = DAC + BAC ，
即 EAC = BAD ，
在△AEC 和△ABD 中
ì AE = AB
í EAC = BAD，
AD = AC
\VAEC ≌VABD．
（2）证明：如图， 与EC 交于点 G，
QVAEC ≌VABD，
\ AEC = ABD，
Q AGC = AEG + EAB = AEC + 60°，
\ AGC = GFB + ABD = GFB + AEC ，
\ AEC + 60° = GFB + AEC ，
\ GFB = 60°，
\ DFC = GFB = 60°．
16．如图，已知VABC 为等边三角形，D为BC 延长线上的一点， 平分 ACD，CE = BD，
(1)求证：△ADB≌△AEC ；
(2)若BC = CD 时，求 BDE 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)90°．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 AB = AC ， B = ACB = 60°，进而可得 ACD =120°，再根据角平
1
分线的定义得 ACE = DCE = ACD = 60°，即可得到 B = ACE ，最后利用SAS即可证明
2
△ADB≌△AEC ；
（ 2）由等边三角形的性质和BC = CD 可得 AC = CD，即得 CAD = CDA，得到 CAD = CDA = 30°，
进而由全等三角形的性质得 ADB = AEC = 30°，即可得 CAE = 90°，再证明△ACE≌△DCE SAS 即可求
解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握
全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵VABC 为等边三角形，
∴ AB = AC ， B = ACB = 60°，
∴ ACD = 180° - 60° = 120°，
∵ 平分 ACD，
∴ ACE
1
= DCE = ACD = 60°，
2
∴ B = ACE ，
又∵BD = CE ，
∴VADB≌VAEC SAS ；
（2）解：∵VABC 为等边三角形，
∴ AC = BC ，
∵BC = CD ，
∴ AC = CD，
∴ CAD = CDA，
∵ ACD =120°，
CAD CDA 180° -120°∴ = = = 30°，
2
∴ ADB = 30°，
∵△ADB≌△AEC ，
∴ ADB = AEC = 30°，
∵ ACE
1
= ACD = 60°，
2
∴ CAE =180° - 60° - 30° = 90°，
在△ACE和△DCE 中，
ìAC = DC
í ACE = DCE ，
CE = CE
∴△ACE≌△DCE SAS ，
∴ CAE = CDE = 90°，
即 BDE = 90°．
17．如图，点 O 是等边VABC 内一点，连接OC 作等边VOCD，连接 、OA、OB ， AOB =110°，
BOC = a ．
(1)求证：VBOC≌VADC ；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)a =140°或a =125°或a =110°
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据等边三角形的性质，得出 AC = BC,OC = DC, ACB = DCO = 60°，即可推出 ACD= BCO ，即
可求证VBOC≌VADC SAS ；
（2）根据全等的性质得出 BOC = ADC = a =150°，则 ADO = ADC - CDO = 90°，即可得出结论；
（3）根据题意得出由图可知， AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°．然后进行分类讨论：①当
AD = OD时， AOD = OAD ，②当 AD = AO时， AOD = ADO ，③当OD = AO时， OAD = ADO ，
即可解答．
【详解】（1）证明：∵VABC ，VOCD是等边三角形，
∴ AC = BC,OC = DC, ACB = DCO = 60°，
∴ ACB - ACO = DCO - ACO，即 ACD= BCO ，
在VBOC 和△ADC 中，
ìAC = BC
í ACD = BCO ，
OC = DC
∴VBOC≌VADC SAS ．
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵VBOC≌VADC ，
∴ BOC = ADC = a =150°，
∵VOCD是等边三角形，
∴ CDO = 60°，
∴ ADO = ADC - CDO = 90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）解：由图可知，a = 360° -110° - COD - AOD =190° - AOD，
∴ AOD =190° -a ，
∴ ADO = ADC - CDO = a - 60°，
∵ AOB =110°，
∴ OAB + OBA =180° -110° = 70°，
∵ OAB + OAC + OBA + OBC = ABC + BAC =120°，
∴ OAC + OBC = 50°，
∵VBOC≌VADC ，
∴ OBC = DAC ，
∴ OAD = OAC + DAC = 50°
①当 AD = OD时， AOD = OAD ，
∴190° -a = 50°，
解得：a =140°；
②当 AD = AO时， AOD = ADO ，
∴190° -a = a - 60°，
解得：a =125°；
③当OD = AO时， OAD = ADO ，
∴50° = a - 60°，
解得：a =110°；
综上：a =140°或a =125°或a =110°．
18．在VABC 中， AB = AC ，点 D 是射线 BC 上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作
VADE ，使 AD = AE, DAE = BAC ，连接CE．
(1)如图①，若VABC 是等边三角形，且 AB = AC = 2，点 D 在线段BC 上．
①求证： BCE + BAC =180°；
②当四边形 ADCE 的周长取最小时，求BD的长．
(2)若 BAC 60°，当点 D 在线段BC 的延长线上移动时，如图②， BCE 和 BAC 之间有怎样的数量关
系？并说明理由．
【答案】(1)①见解析，②1
(2) BCE + BAC =180°，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，解
决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
（1）①由等边三角形的性质得 ABC = ACB = 60°，根据SAS证明△ABD≌△ACE 得 ABD = ACE ，进
而可求出 BCE + BAC =180°；②由△ABD≌△ACE 得BD = CE ，根据四边形 ADCE 的周长 = BC + 2AD 可
知当 AD 最短，即 AD ^ BC 时，四边形 ADCE 的周长最小，据此即可求解；
（2）根据SAS证明△ABD≌△ACE 得 ABD = ACE ，然后根据三角形内角和可求出 BCE + BAC =180°．
【详解】（1）①证明：∵VABC 是等边三角形，
∴ ABC = ACB = 60°．
∵ BAC = DAE ，
∴ BAD＋ DAC = CAE＋ DAC ．
∴ BAD = CAE = 60°．
又∵ AB = AC, AD = AE ，
∴△ABD≌△ACE ，
∴ ABD = ACE ．
∴ BCE＋ BAC = BCA＋ ACE＋ BAC = BCA＋ ABD＋ BAC =180°．
②解：∵VABC 是等边三角形，且 AB = AC = 2，
∴BC = 2．
∵△ABD≌△ACE ，∴BD = CE ．
∴四边形 ADCE 的周长= AD＋DC＋CE＋AE = AD + DC + BD + AE = BC + 2AD ．
∴当 AD 最短，即 AD ^ BC 时，四边形 ADCE 的周长最小．
∵VABC 是等边三角形， AD ^ BC ，
∴BD
1 1
= CB = 2 =1．
2 2
（2）解： BCE＋ BAC =180°．
理由：如图，设CE与 AD 交与点 F．
∵ BAC = DAE ，
∴ BAD = CAE ．
又∵ AB = AC, AD = AE ，
∴△ABD≌△ACE ，
∴ ABD = ACE ，
∴ BCE＋ BAC
= BCA + ACE + BAC
= BCA + ABD + BAC =180°．第 03 讲 等腰三角形的性质定理（2 个知识点+8 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.等腰三角形的性质定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性质定理，并学会运用；
2.等边三角形的性质定理； 2.理解并掌握等边三角形的性质定理，并学会运用；
知识点 01：等腰三角形的性质
1、等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫
做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）性质
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
【即学即练 1】下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的对称轴是底边的中线
B．有理数与数轴上的点是一一对应的
C．等腰三角形任意两个角相等
D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点
【即学即练 2】等腰三角形两边长为 4 和 8，它的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16 或 18
知识点 02：等边三角形的性质
等边三角形
（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于 60°
总结：
图形 等腰三角形 等边三角形
两条边都相等 三条边都相等
两个角都相等 三个角都相等，且都是 60
性
质 底边上的中线、高和顶角的平分线互相 每一边上的中线、高和这一边所对的角的
重合 平分线互相重合
对称轴（1 条） 对称轴（3 条）
【即学即练 3】如图，VABC 是等边三角形， AE∥BF ，若 CAE = 45°，则 CBF 的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
【即学即练 4】如图，已知VABC 是等边三角形，中线 BE ，CD 交于点F ，则 BFD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
题型 01 根据等腰三角形的性质求角度
1．如图， AC ^ BC ，DE 是 AB 的垂直平分线， CAE = 20°，则 B = （ ）
A．30° B．35° C． 40° D． 45°
2．已知一个等腰三角形的顶角等于100°，则它的底角等于（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．80°
3．如图，在VABC 中，DE 垂直平分BC, BD平分 ABC ，若 ADB = 48°，则 A = ．
4．如图，VABC≌VA BC ， ABC = 66°， C = 40°，此时点 A 恰好在线段 A C 上，则 ABA 的度数为 ．
5．如图，四边形 ABCD中，对角线 AC 、 BD交于点 O， AB = AC ，点 E 是 BD上一点，且 ABD = ACD ，
EAD = BAC ．
(1)求证： AE = AD；
(2)若 ACB = 45°，求 BDC 的度数．
题型 02 根据等腰三角形的性质求长度
1．如图，VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作DE∥BC 交 AB 于点 E，若 AB =12，
DE = 7 ，则 AE 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在VABC 中，已知 ABC 和 ACB 的平分线相交于点F ．过点F 作DF∥BC ，交 AB 于点D，
交 AC 于点E ．若BD = 4，DE = 9，则线段CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿过点 A 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E
1
处，折痕为 AD ，若 ADE = C ，则BD的长是 ．
2
4．如图，已知DF、EF 分别是 ADE、 AED的平分线，BC 过点 F 且BC∥DE，VABC 的周长是9cm，
DE = 7cm ，则VADE 的周长是 cm．
5．如图，在VABC 中，BA = BC ，BD ^ AC ．
(1)求证△ABD≌△CBD
(2)若DE∥BC 交BA于 E， AC = 4， BC = 5 ，求△AED 的周长．
题型 03 根据等腰三角形的性质证明
1．如图，在VABC 中， BAC = 75°， ACB = 35°， ABC 的平分线BD交边 AC 于点D，E 为BC 的中点，
连接DE ．
(1)求证：△BCD为等腰三角形．
(2)求 EDC 的度数．
2．如图，在VABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点D，过点D作DE∥BC 交 AB 于点E ．
(1)求证：BE = DE ；
(2)若 A = 76°， C = 36°，求 BDE 的度数．
3．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD 为VABC 的角平分线，以点 A 圆心， AD 长为半径画弧，与 AB，AC
分别交于点 E，F，连接DE，DF ．
(1)求证：△ADE≌△ADF ；
(2)若 BAC = 88°，求 BDE 的度数．
4．如图，在VABC 中，点E 是BC 边上的一点，连接 AE ，BD垂直平分 AE ，垂足为F ，交 AC 于点D，
连接DE ．
(1)若VABC 的周长为 18，VDEC 的周长为 6，求 AB 的长；
(2)若 ABC = 29°， C = 47°，求 CAE 度数．
5．如图，在VABC 中，VABC 的周长为18，BC = 7，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，过点D作直线平
行于BC ，交 AB ， AC 于点E ，F ．
(1)求证：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周长．
题型 04 等腰三角形的存在性问题
1．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使
得VABC 为等腰三角形，则符合条件的点C 的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 2,0 ，点 B 的坐标是 0,3 ，以 AB 为腰作等腰三角形 ABC ，且点C
在坐标轴上，则满足条件的C 点个数为（ ）
A．3个 B． 4个 C．5个 D．6 个
3．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 Q 是 AC 的中点，若动点 P 以 2cm /秒的速度从点 A 出发沿 A B A
方向运动设运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△APQ 是等腰三角形时，则 t 的值为 秒．
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，随机选取另一个格点 C （不
与 A，B 重合） ， 得到的VABC 为等腰直角三角形的点 C 的个数为 ．
5．如图，在VABC 中， AB = AC = 4， B = C = 50°，点 D 在线段BC 上运动（D 不与 B，C 重合），连接
AD ，作 ADE = 50°，DE 交线段 AC 于 E．
(1)当DC 等于多少时，VABD≌VDCE，请说明理由；
(2)在点 D 的运动过程中，请求出当 BDA等于多少度时VADE 的形状是等腰三角形．
题型 05 根据等边三角形的性质求角度
1．如图，已知等边VABC 中，BD = CE ， AD 与 BE 相交于点 P ，则 APE的度数是（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．75°
2．如图，已知等边三角形 ABC ，点D为线段BC 上一点，△ADC 沿 AD 折叠得VADE ，连接 BE ，若
ADB = 70°，则 DBE 的度数是（ ）
A．10° B． 20° C．30° D． 40°
3．如图，在等边VABC 中，BD平分 ABC ，BD = BF ，则 CDF 的度数是 度．
4．如图，已知VABC 是等边三角形，BC = BD ， CBD = 80° ，则 1的度数是 ．
5．如图，VABC 为等边三角形，即D，E 分别是BC ， AC 上的点，且 AE = CD ．
(1)求证： AD = BE ；
(2)求 AFB的度数．
题型 06 根据等边三角形的性质求长度
1．如图，在等边VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于点 D，过点 D 作DE ^ BC 于点 E，且CE =1.5，则 AB
的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
2．如图，在等边VABC 中，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是VABC 的中线 AD 上的动点，且 AD = 9 ，则EP + CP
的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．如图，若VABC 是等边三角形， AB = 6，BD是 AC 边上的高，延长BC 到 E，使CE = CD，则 BE 的长
为 ．
4．如图，在Rt△CEF 中， E = 90°，点 A 是CE上一点， AB CF 交EF 于点 B，且 AB = AC ，过点 B 作
BD ^ CF 于点 D，连接CB ，若CD = 8, BD = 3，则VABE 的周长为 ．
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥ AB ，过点 E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点 F．
(1)求 F 的度数；
(2)若CD = 2，求 的长．
题型 07 根据等边三角形的性质证明
1．如图，在VADB中， ADB = 60°，DC 平分 ADB，交 AB 于点C ，且DC ^ AB ，过C 作CE DA交DB
于点E ，连接 AE ．
(1)求证：VADB是等边三角形．
(2)求证： AE ^ DB．
2．如图，在四边形 ABCD中， AB = AD =11．CB = CD ， A = 60°，点 E 在边 AD 上，连接BD，CE相交
于点 F，且CE∥ AB ．
(1)求证：VEDF 是等边三角形；
(2)若CE = 8，求DE 的长．
3．如图，在等边三角形 ABC 中，点D，E 分别在边BC ，AC 上，且DE∥AB，过点E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点F ．
(1)求证：CE = CF ；
(2)若CD = 2，求DF 的长．
4．如图，等腰VABC 中，CA = CB = 4， ACB =120° ，点D在线段 AB 上运动 (不与A ，B 重合 ) ，将VCAD
与△CBD分别沿直线CA，CB 翻折得到VCAP 与△CBQ ．
(1)求证：CP = CQ ；
(2)求 PCQ 的度数；
(3)当点D是 AB 的中点时，判断VDPQ 是何种三角形，并说明理由．
5．如图，已知△ABD 和VBCE 是等边三角形，且 A、B、C 三点共线，连接 AE、CD ，交于点F ．
(1)求证：VABE≌VDBC ；
(2)求证：FA = FB + FD．
题型 08 等边三角形的存在性问题
1．如图，O 是射线CB 上一点， AOB = 60°,OC = 6cm，动点 P 从点 C 出发沿射线CB 以2cm / s的速度运
动，动点 Q 从点 O 出发沿射线OA以1cm/s的速度运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t s ，当△POQ
是等腰三角形时，t 的值为（ ）
A．2 B．2 或 6 C．4 或 6 D．2 或 4 或 6
2．如图， AOB = 60°，C 是BO延长线上的一点，OC = 8cm，动点 P 从点 C 出发沿CB 以3cm s的速度移
动，动点 Q 从点 O 出发沿OA以 2cm s的速度移动，如果点 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间，当 t
为（ ）s 时，△POQ 是等腰三角形．
8 8 8
A． B．6 C． 或 6 D． 或 8
5 5 5
3．如图，已知等边三角形 ABC 的边长为12cm，有一点 P 从点A 出发沿 A B C A的方向以 4cm / s 的
速度匀速移动，另有一点Q从点 B 出发沿B C A B 的方向以6cm / s 的速度匀速移动，若点 P 、Q同
时出发，经过 秒后，两点第 2次同时到达等边三角形的同一顶点．
4．如图，在VABC 中， A = 90°, B = 30°, AC = 6厘米，点D从点A 开始以 1 厘米/秒的速度向点C 运动，
点E 从点C 开始以 2 厘米秒的速度向点 B 运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，VDEC 是等边三
角形．
5．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底
角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)【问题发现】如图 1，若VABC 和VADE 均是顶角为 40°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，可以由
________（三角形全等判定原理），得△ABD≌△ACE ，进而得到BD = CE ；
(2)【拓展探究】如图 2，若VABC 和VCDE均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE ，求 AEB
的度数．
1．如图，VABC 是等边三角形， AD 是BC 边上的高，点 E 是 AC 边的中点，点 P 是 AD 上的一个动点，当
PC + PE 最小时，∠ CPE 的度数是（ ）．
A．30° B． 45° C．60° D．90°
2．如图，VABC 是边长为 1 的等边三角形，D，E 分别是边 AB ，AC 上的两点，将VADE 沿直线DE 折叠，
点A 落在 A 处，则阴影部分图形的周长为（ ）
A．1.5 B．2 C． 2.5 D．3
3．如图，已知 MON = 30°，点 A1, A2 , A3L在射线ON 上，点B1, B2 , B3L在射线OM 上，△A1B2 A2 、
△A2B2 A3 、△A3B3 A4 …均为等边三角形，若OA1 =1，则VA6B6 A7 的边长为（ ）
A．32 B．510 C．256 D．64
4．如图，VABC 是边长为 a 的等边三角形，BD = CD，且 BDC =120°，以 D 为顶点作一个60°角，使其
两边分别交 AB 于点 M．交 AC 于点 N，连接MN ，则VAMN 的周长是（ ）
A．a B． 2a C．3a D．不能确定
5．如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点A ， E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形CDE ，
AD 与 BE 交于点O， AD 与 BC 交于点G ， BE 与CD交于点 F ．以下几个结论：① AD = BE ；② AG = BF ；
③VDGC≌VEFC ；④ AOB = 60°，⑤ BAD = ODC ，恒成立的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
6．如图，VABC 是等边三角形，点D是BC 下方的一点， BDC =120°，BD = CD，点E 和点F 分别是 AC
和 AB 上一点， EDF = 60°．若VABC 的周长为 12，则△AEF 的周长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．如图，BD是等边VABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长于点 E，则
DEC = ．
8．如图，VABC 和VDEF 都是等边三角形，且点 D，E，F 分别在边 AB ，BC ， AC 上，若VABC 的周长
为 12， AD =1，则EC = ．
9．如图，等边三角形 ABC 的边 AB 上有一点 P，过点 P 作PE ^ AC 于点 E，Q 为BC 延长线上一点，当 AP = CQ
时， PQ交 AC 于点 D，若DE = 2，则BC = ．
10．如图，VABC 和VBDE 都是等边三角形，A、B、D 三点共线．下列结论：① AE = CD ；② AF = CG；③
AHC = 60°；④ AD ∥ FG ．其中正确的有 （只填序号）．
11．如图，VABC 为等边三角形，其边长为9cm,△BCD是等腰三角形， BDC =120°，在 AB 上有一动点
E ，连接DE ，在 AC 上有一点F ，使得DF 与DE 的夹角为60°，连接EF ，则△AEF 的周长为 cm．
12．如图，在VABC 中， AB = 30cm, AC = 20cm，以BC 为边作等边三角形BCD，连接 AD ，则 AD 的最大
值与最小值的和为 cm．
13．如图， A = B ， AE = BE ，点D在 AC 边上， 1 = 2， AE 与BD相交于点O．
(1)求证：△AEC ≌△BED；
(2)若 2 = 40°，求 BDE 的度数．
14．如图， AB = AC =10， A = 40° ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D，求：
(1) ABD 的度数；
(2)若△BCD的周长是16，求BC 的长．
15．如图，VABE 和VACD都是等边三角形，VEAC 旋转后能与△ABD 重合， EC 与BD相交于点 F．
(1)试说明VAEC ≌VABD．
(2)求∠DFC 的度数．
16．如图，已知VABC 为等边三角形，D为BC 延长线上的一点， 平分 ACD，CE = BD，
(1)求证：△ADB≌△AEC ；
(2)若BC = CD 时，求 BDE 的度数．
17．如图，点 O 是等边VABC 内一点，连接OC 作等边VOCD，连接 、OA、OB ， AOB =110°，
BOC = a ．
(1)求证：VBOC≌VADC ；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
18．在VABC 中， AB = AC ，点 D 是射线 BC 上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作
VADE ，使 AD = AE, DAE = BAC ，连接CE．
(1)如图①，若VABC 是等边三角形，且 AB = AC = 2，点 D 在线段BC 上．
①求证： BCE + BAC =180°；
②当四边形 ADCE 的周长取最小时，求BD的长．
(2)若 BAC 60°，当点 D 在线段BC 的延长线上移动时，如图②， BCE 和 BAC 之间有怎样的数量关
系？并说明理由．
