第 04 讲 三角形全等的判定（4 个知识点+14 大题型+18 道强化
训练）
课程标准 学习目标
1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和
会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边” 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边
和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全 边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件
等； 判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归
验操作、归纳得出数学结论的方法. 纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察
养学生观察分析图形的能力及运算能力，培 分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良
养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题 好品质以及发现问题的能力.
的能力.
知识点一、全等三角形的判定
一、全等三角形判定 1——“边边边”
定理 1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果 A ' B '＝AB， A 'C '＝AC， B 'C '＝BC，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
二、全等三角形判定 2——“边角边”
定理 2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果 AB ＝ A ' B '，∠A＝∠ A '，AC ＝ A 'C '，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定 3——“角边角”
定理 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠ A '，AB＝ A ' B '，∠B＝∠ B '，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
四、全等三角形判定 4——“角角边”
定理 4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个
三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可
以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
ì ì找夹角 SAS
已知两边í找直角 HL
找另一边 SSS
ì边为角的对边 找任一角 AAS
ì找夹角的另一边 SAS
í已知一边一角í
边为角的邻边í找夹边的另一角 ASA
找边的对角 AAS
ì找夹边 ASA
已知两角í
找任一边 AAS
知识点 02：灵活运用全等判定定理
2、灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此
在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图 1 是一把油纸伞实物图，图 2
1
为其伞骨示意图．已知 AB = AC ， AE = AB，AF
1
= AC，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依据是（
3 3 ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用SSS证明三角形全等，根据题意可得出 AE = AF ，结合已知条件ED = FD，
AD = AD可得出VAED≌VAFD SSS ．
【详解】解：∵ AB = AC ， AE
1
= AB，AF 1= AC ，
3 3
∴ AE = AF ，
又∵ED = FD， AD = AD
∴VAED≌VAFD SSS ，
∴VAED≌VAFD 的依据是SSS，
故选 A．
【即学即练 2】
2．（23-24 七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC 的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形
中不能证明和 VABC 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二
字的理解很重要．甲只有 2 个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与VABC 全等；丙可根据AAS
判定与VABC 全等，可得答案．
【详解】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与VABC 全等；
乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与VABC 全等；
丙三角形72°内角及所对边与VABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与VABC 全等；
则不能证明和 VABC 全等的是甲，
故选：B
【即学即练 3】
3．（23-24 七年级下·重庆北碚·期末）如图点 B ， F ，C ， E 在同一条直线上，点A ， D在直线 BE 的两侧，
ACB = DFE ，BC = EF ，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC ≌△DEF （ ）
A． AB = DE B． AB∥DE
C． A = D D． AC = DF
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质及三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是
否符合全等是解决此题的关键．根据平行线的性质及全等三角形的判定逐项判定即可．
【详解】解：若添加 AB = DE ，则不能判定△ABC ≌△DEF ，故选项A 符合题意；
若添加 AB∥DE ，则 B = E，可以判断△ABC ≌△DEF （ASA），故选项B不符合题意；
若添加 A = D ，可以判断△ABC ≌△DEF （AAS），故选项C 不符合题意；
若添加 AC = DF ，可以判断△ABC ≌△DEF （SAS），故选项D 不符合题意；
故选：A ．
【即学即练 4】
4．（23-24 七年级下·广东佛山·期末）如图， AD 平分 BAC, BD ^ AD ，若VABC 的面积是 9，则△ADC 的
面积是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：
作辅助线构造全等三角形．
延长BD交 AC 于点E ，通过证明VABD≌VAED ASA ，得到BD = DE，根据三角形中线的性质，即可求解，
【详解】解：延长BD交 AC 于点E ，
Q AD 平分 BAC ，
\ BAD = EAD，
又Q AD ^ BD 于点D，
\ ADB = ADE = 90°，
ì BAD = EAD
在△ABD 和△AED
中， í AD = AD
ADB = ADE
\VABD≌VAED ASA ，
\BD = DE ，
S 1 S 1\ VADE = VABE ， SVCDE = S2 2 VCBE
，
S 1 1\ VADC = S2 VABC
= 9 = 4.5，
2
故选：D．
【即学即练 5】
5．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，点A 、 B 分别在边OC 、OD 上， AD 与BC 交于点E ，
AD = BC ， D = C ，若OC = 5，OB = 2 ，则BD的长为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，
ASA，SSS，SAS，HL．证明△AOD≌△BOC ，得出OD = OC = 5，求出结果即可．
【详解】解：∵ AD = BC ， D = C ， O = O ，
∴△AOD≌△BOC ，
∴OD = OC = 5，
∵OB = 2 ，
∴BD = OD - OB = 5 - 2 = 3．
故选：C．
【即学即练 6】
6．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在VABC 与△AEF 中，A、C、E 三点在一条直线上，
AEF + BAF =180°， BCE = BAF ， AB = AF ，若BC = 24，EF =14，则CE的长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明VABC≌VFAE，由全等
三角形对应边相等即可求解．
【详解】解：Q AEF + BAF =180°， BCE = BAF ，
\ AEF + BCE =180°；
Q BCE + BCA =180°，
\ BCA = AEF ；
Q BCE = B + BAC = BAF ， BAF = BAC + FAE ，
\ B = FAE ；
Q AB = AF ， AC = EF =14，
\△ABC≌△FAE(AAS) ，
\ AE = BC = 24，
\CE = AE - AC = 24 -14 =10；
故选：A．
知识点 03：垂直平分线
3、线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
【即学即练 7】
7．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图，OC 平分 AOB ，在OC 上取一点 P ，过 P 作PD ^ OB ，垂足
为D，点M 是射线OA上一动点，连接PM ，若 PD = 7 cm ，则PM 的长度不可能是（ ）
A．9cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关
键．过点 P 作PN ^ OA，如图所示，由角平分线的性质可得PD = PN = 7cm，根据点与直线上各点的距离中
垂线段最短可得PM PN = 7cm，从而得到答案．
【详解】解：过点 P 作PN ^ OA，如图所示：
Q OC 平分 AOB ，点 P 是射线OC 上一点，PD ^ OB 于点D， PD = 7 cm ，
\由角平分线性质可得PD = PN = 7cm，
Q点M 是射线OA上一动点，
\由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得PM PN = 7cm，
\综合四个选项可知，PM 的长度不可能是6 cm ，
故选：D．
【即学即练 8】
8．（23-24 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°， AD 是 BAC 的平分线，
若 AD = 4，则点 D 到 AB 边的距离等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】此题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、30°所对的
直角边是斜边的一半和角平分线的性质是解决此题的关键．过点 D 作DE ^ AB于 E，根据直角三角形的两
个锐角互余求出 BAC ，然后根据角平分线的定义和性质可得DC = DE = 2 ，即可求出结论．
【详解】解：∵ C = 90°， B = 30°，
∴ BAC = 90° - 30° = 60°，
又∵ AD 是 BAC 的平分线，
∴ BAD = CAD = 30°，
∴CD
1
= AD = 2，
2
如图，过点 D 作DE ^ AB于 E
∵ AD 是 BAC 的角平分线，DE ^ AB， C = 90°，
∴DC = DE = 2 ，
∴点 D 到 AB 边的距离等于 2；
故选 D．
知识点 04：角平分线
4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
【即学即练 9】
9．（21-22 八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一
定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答
案．
【详解】解：平面内，有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【即学即练 10】
10．（23-24 七年级下·陕西西安·期末）在 VABC 中， AB，AC 的垂直平分线 FD，GE 分别交 BC 于点 D，E，
若 B = 30°， C = 48°，则 DAE 的度数为（ ）
A． 26° B．15° C． 24° D．30°
【答案】C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到
BAD = B = 30°， CAE = C = 48°，再根据三角形内角和定理得到 BAC = 102°，即可求解，掌握线段
的垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵FD垂直平分 AB ，，
∴BD = AD ，
又∵ B = 30°，
∴ BAD = B = 30°，
∵GE 垂直平分 AC ，，
∴ AE = CE ，
又∵ C = 48°，
∴ CAE = C = 48°，
∵ B = 30°， C = 48°，
∴ BAC =180° - B - C =102°，
∴ DAE = BAC - BAD - CAE =102° - 30° - 48° = 24°，
故选：C．
题型 01 用 SSS 证明三角形全等
1．（23-24 七年级下·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图 2是该雨伞部分骨架示意图．测得
AB = AC ，点E ，F 分别是 AB ， AC 的三等分点，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，由点 E ， F 分别是 AB ， AC 的三等分点， AB = AC ，得出 AE = AF ，
根据三边对应相等，证明VAED≌VAFD ．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
【详解】解：∵点E ，F 分别是 AB ， AC 的三等分点，
AE 1∴ = AB ， AF
1
= AC ，
3 3
∵ AB = AC ，
∴ AE = AF ，
在△AED 与△AFD中，
ìAE = AF
íED = FD ，
AD = AD
∴△AED≌△AFD SSS ．
故选：D．
2．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，VDEF 的 3 个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这
样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画 1 个格点VABC （不包括△DEF ) ），使VABC 和VDEF 全等，这
样的格点三角形能画 个．
【答案】3
【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图所示，可作 3 个全等的三角形．
△DEF≌△B1C1A1，△DEF≌△BAC2，△DEF≌△ABC3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．
3．（21-22 八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点 C，F 在直线 AD 上，AB = DE，CD = AF，BC = EF ．求
证：△ABC ≌△DEF ．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．首先根据CD = AF 可得 AC = DF ，可利用SSS证明
△ABC ≌△DEF ．
【详解】证明：∵CD = AF ，
∴CD + CF = AF + CF ，即 AC = DF ，
在VABC 和VDEF 中，
ìBC = EF
íAB = DE ，
AC = DF
∴△ABC ≌△DEF SSS ．
题型 02 全等的性质与 SSS 综合
1．（22-23 八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示， AOB 是
一个任意角，在边OA，OB上分别取OM = ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合，过
角尺顶点 C 的射线OC 即是 AOB 的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
【答案】B
【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是
一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得VCOM≌VCON ，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知
条件结合判定方法逐个验证．
【详解】
解：由图可知，CM = CN ，
在VCOM 和VCON 中，
ìCM = CN
íOM = ON ，
OC = OC
\VCOM≌VCON (SSS) ，
\ AOC = BOC ，
即OC 即是 AOB 的平分线．
故选：B
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在VABC 的上方有一点D，连接 AD ，CD，AB = AD ，CB = CD ，
BCD = 50°，则 ACB 的度数为 °．
【答案】 25
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明△ABC≌△ADC ，即可得出
ACB = ACD 1= BCD，即可求解．
2
【详解】解：在△ABC，△ADC 中，
ìAB = AD
íAC = AC ，
CB = CD
∴VABC≌VADC SSS ，
又 BCD = 50°，
∴ ACB = ACD
1
= BCD = 25°，
2
故答案为： 25．
3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点A 、D、 B 、E 在同一条直线上， AD = BE ， AC = DF ，
BC = EF
(1)求证：△ABC ≌△DEF ；
(2)若 A = 55°， E = 45°，求 F 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关
键.
（1）先证明 AB = DE ，再结合已知条件可得结论；
（2）证明 A = FDE = 55°，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵ AD = BE
∴ AD + DB = BE + DB ，即 AB = DE
∵ AC = DF ，BC = EF
∴VABC≌VDEF SSS
（2）∵△ABC ≌△DEF ， A = 55°，
∴ A = FDE = 55°，
∵ E = 45°，
∴ F =180o - FDE - E = 80°
题型 03 用 SAS 证明三角形全等
1．（24-25 七年级上·山东·随堂练习）如图，有一池塘，要测池塘两端A ， B 的距离，可先在地上取一个点
C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和 B ．连接 AC 并延长到点D，使CD = CA．连接BC 并延长到点
E ，使CE = CB ．连接DE ，根据两个三角形全等，那么量出DE 的长就是A ， B 的距离．判断图中两个三
角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，
ASA，SSS，SAS，HL．利用“边角边”证明VDEC 和VABC 全等，再根据全等三角形对应边相等可得到
DE = AB ．
【详解】证明：在VDEC 和VABC 中，
ìEC = BC
í ECD = BCA，
DC = AC
\VDEC≌VABC SAS ，
\DE = AB．
故选：A．
2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，
小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条 AD 和BC
的中点O焊接在一起，制作了一把“ X 形卡钳”．根据“ X 形卡钳”的制作原理能判断△ABO≌△DCO ，从而
测量出 AB 的长就等于内径CD 的长．请写出VABO≌VDCO 的理由： ．
【答案】SAS
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．根据全等三角
形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵ AD = BC ，O 是 AD、BC 的中点，
∴ AO = DO = BO = CO，
在VAOB和△DOC 中，
ìOA = OD
í AOB = DOC ，
BO = CO
\VAOB≌VDOC(SAS) ，
故选：SAS．
3．（23-24 八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 AD = AB，AC = AE， DAB = CAE，连接DC，BE．
(1)求证： VBAE ≌VDAC ；
(2)若 CAD =135°， D = 20°，求 E的度数．
【答案】(1)见解析
(2) E = 25°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）根据题意由 DAB + BAC = CAE + BAC ，可得 DAC = BAE，即可求证；
（2）由VBAE≌VDAC SAS ，可得 E = C ，再由内角和为180°即可求解．
【详解】（1）证明：∵ DAB = CAE ，
∴ DAB + BAC = CAE + BAC ，
∴ DAC = BAE，
又∵ AD = AB，AC = AE，
∴VBAE≌VDAC SAS ；
（2）∵VBAE≌VDAC SAS ，
∴ E = C ，
∵ CAD =135°， D = 20°，
∴ C =180° - CAD - D =180° -135° - 20° = 25°，
∴ E = C = 25°．
题型 04 全等的性质与 SAS 综合
1．（23-24 七年级下·四川宜宾·期末）如图，在VABC 中， C = 90°， AC = 4，BC = 3， AB = 5，P、D 分
别是 AC、AB 上的动点，则BP + PD的最小值为（ ）
A．3 B．3.6 C． 4.2 D． 4.8
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，延长BC 到 E 使得BC = CE ，连接
AE，PE ，证明VBPC≌VEPC 得到EP = BP，则当E、P、D三点共线且ED ^ AB 时，EP + PD的值最小，
即此时BP + PD的值最小，最小值为ED的长，利用等面积法求出ED的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长BC 到 E 使得BC = CE ，连接 AE，PE ，
∵ ACB = 90°，
∴ ACB = ACE = 90° ，
又∵CP = CP，
∴VBPC≌VEPC ，
∴EP = BP，
∴BP + PD = EP + PD ，
∴当E、P、D三点共线且ED ^ AB 时，EP + PD的值最小，即此时BP + PD的值最小，最小值为ED的长，
1 1
∵ S△ABE = AB × DE = BE × AC ，2 2
3+ 3 4
∴DE AC × BE = = = 4.8，
AB 5
故选：D．
2．（23-24 七年级下·四川成都·期中）如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BD是高，E 是VABC 外一点，
BE = BA， E = C ，若DE = 5， AD =12 ，BD > DE，则△BDE 的面积为 ．
【答案】30
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据SAS证明VABF ≌VBED 全等，是解
1
题的关键．根据SAS证明△ABF 与VBED全等，BF = DE = 5，然后利用 SVBDE = SVABF = BF × AD代数求解2
即可．
【详解】解：∵BD是高，
∴ ADB = BDC = 90°，
∵ ABD + BAD = BAD + C = 90°，
∴ ABD = C = E ，
在BD上截取BF = DE，如图所示：
在△ABF 与VBED中
ìAB = BE
í ABD = E ，
BF = DE
∴VABF≌VBED SAS ，
∴BF = DE = 5，
∴ S
1
VBDE = SVABF = BF × AD
1
= 5 12 = 30．
2 2
故答案为：30．
3．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，点C ，F 在线段 BE 上， AB∥DE ， AB = DE ，BF = EC ，试
说明：
(1)△ABC ≌△DEF ；
(2) AC∥DF ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定：
（1）利用SAS证明△ABC ≌△DEF 即可；
（2）根据△ABC ≌△DEF ，推出 ACF = DFC ，即可得出结论．
【详解】（1）解：因为 AB∥DE ，
所以 B = E．
因为BF = EC ，
所以BF - CF = EC - CF
即BC = EF ．
因为 AB = DE ．
所以△ABC ≌△DEF
（2）由（1）知△ABC ≌△DEF ；
所以 ACB = DFE ．
因为 ACB + ACF =180°， DFE + DFC = 180°
所以 ACF = DFC ．
所以 AC∥DF ．
题型 05 用 ASA(AAS)证明三角形全等
1．（23-24 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在 AB 的垂线BF
上取两点C 、D，使BC = CD ，再作出BF 的垂线DE ，使点A 、C 、E 在同一条直线上，则可以说明
VABC≌VEDC ，得 AB = DE ，因此测得DE 的长就是 AB 的长，判定VABC≌VEDC ，最恰当的理由是( )
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形判定先根据题意及图像挖掘出相等的边或角，再根据全等三角形的判定方
法即得．
【详解】解：Q AB是BF 的垂线，BF 是DE 的垂线
\∠B=∠CDE = 90°
Q ACB 与 ECD 互为对顶角
\ ACB = ECD
在VABC 与△EDC 中
ì B = CDE
íBC = CD
ACB = ECD
\ VABC≌VEDC ASA
\判定三角形全等的方法是：ASA．
故选：D．
2．（23-24 八年级上·河南周口·期中）如图，在VABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 是 AC 边上的高，且 AD、BE
交于点 F，若BF = AC,CD = 4, BD =10，则线段 AF 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BDF ≌△ADC ，得DF = CD = 4，
AD = BD =10，即可得出答案．
【详解】解：Q AD 是BC 边上的高， BE 是 AC 边上的高，
\ ADB = AEB = 90° ，
Q AFE = BFD ，
\ CAD = DBF ，
在VBDF 和△ADC 中，
ì BDF = ADC
í DBF = DAC ，
BF = AC
\VBDF≌VADC AAS ，
\DF = CD = 4, AD = BD =10 ，
\ AF = AD - DF =10 - 4 = 6 ．
故答案为：6．
3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ， AE ^ CE 于点 E，BD ^ CE于点
D．
(1)求证：VACE≌VCBD；
(2)若 AE = 5， BD = 2，求DE 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）同角的余角相等，得到 CAE = DCB ，利用AAS证明VACE≌VCBD即可；
（2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ AE ^ CE ，BD ^ CE，
∴ AEC = BDC = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ CAE = DCB = 90° - ACD ，
又∵ AC = BC ，
∴VACE≌VCBD；
（2）∵VACE≌VCBD，
∴CD = AE = 5，CE = BD = 2，
∴DE = CD - CE = 3．
题型 06 全等的性质与 ASA(AAS)综合
1．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是 2cm 的 10 个相同长方体小木块垒了两面与地面
垂直的木墙 AD 与 BE ，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点
A，B 重合，直角三角板的直角顶点C 与点D，E 均在水平地面上，点 A，B，C ，D，E 在同一竖直平面
内．已知 AC = BC ， ACB = 90°，则两面木墙之间的距离为（ ）
A．30cm B． 24cm C． 20cm D．18cm
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE AAS ，得出CD = BE =14cm ，
CE = AD = 6cm，即可得解．
【详解】解：由题意得： ADC = CEB = ACB = 90°， AD = 6cm ，BE =14cm，
∴ ACD + BCE = DAC + ACD = 90°，
∴ BCE = DAC ，
∵ AC = CB，
∴△ACD≌△CBE AAS ，
∴CD = BE =14cm ，CE = AD = 6cm，
∴DE = CD + CE =14 + 6 = 20cm，
故选：C．
2．（23-24 七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在VABC 中，AB = AC ，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上一点，
过点 B 作BF∥ AC ，交ED的延长线于点 F，若 AD = 6，BF = 9 ，求CE的长 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据AAS
可证明VADE≌VBDF ，得出 AE = BF = 9，则可求出答案．
【详解】解：∵BF∥ AC
∴ F = AED ，
∵D 为 AB 的中点，
∴ AD = BD ，
在VADE 和VBDF 中，
ì AED = F
í ADE = BDF ，
AD = BD
∴△ADE≌△BDF (AAS)，
∴ AE = BF = 9，
∵ AB = AC ，
∴ AC = 2AD = 12，
∴CE = AC - AE = 12 - 9 = 3．
故答案为：3．
3．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在VABC 和VADE 中， AED = BCA，BC = DE ，
AC = AE ．过A 作 AG ^ DE 于点G ，BC 的延长线与DE 交于点F ，连接 AF ．
【问题提出】（1）试说明： AB = AD ；
5
【问题解决】（2）延长FE至点 H ，使EH = CF ，连接 AH ，若FG = ， AG = 4，求四边形 ACFE的面积．
2
【答案】（1）详见解析；（2）10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定：
（1）只需要证明VACB≌VAED SAS 即可证明 AB = AD ；
（2）先证明VACF≌VAEH SAS ，得到 AF = AH ， S△ACF = S△AEH ，再由三线合一定理得到
FH 2FG 2 5 1= = = 5，据此求出 S△AFH = FH AG = 10，则四边形 ACFE的面积2 2
= S△ACF + S△AFE = S△AEH + S△AEF = S△AFH =10．
【详解】解：（1）在△ACB和△AED 中，
ì BC = DE,
í BCA = AED,
AC = AE,
∴VACB≌VAED SAS ，
∴ AB = AD ．
（2）∵ ACB = AED，
∴ ACF = AEH ，
在△ACF 和△AEH 中，
ì AC = AE
í ACF = AEH
CF = EH
∴VACF≌VAEH SAS ，
∴ AF = AH ， S△ACF = S△AEH ，
∵ AG ^ FH ，
FH 2FG 2 5∴ = = = 5，
2
S 1∴ △AFH = FH
1
AG = 5 4 =10，
2 2
∴四边形 ACFE的面积= S△ACF + S△AFE = S△AEH + S△AEF = S△AFH =10．
题型 07 添加条件使三角形全等
1．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图， B ，E ，C ，F 四点在同一条直线上， AC = DE ，
ACB = DEF ，添加一个条件，不一定能使△ABC ≌△DFE 的是（ ）
A．BE = FC B． B = F C． AB = DF D． A = D
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、添加BE = FC ，则BC = EF ，可利用边角边证明△ABC ≌△DFE ，故本选项不符合题意；
B、添加 B = F ，可利用角角边证明△ABC ≌△DFE ，故本选项不符合题意；
C、添加 AB = DF ，满足边边角，无法证明△ABC ≌△DFE ，故本选项符合题意；
D、添加 A = D ，可利用角边角证明△ABC ≌△DFE ，故本选项不符合题意；
故选：C
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，VABC 中，D 是 AB 上一点，CF ∥ AB，D、E、F 三点共线，请
添加一个条件 ，使得 AE = CE ．（只添一种情况即可）
【答案】DE = EF 或 AD = CF （答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根
据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵CF ∥ AB
∴ A = ECF ， ADE = CFE ，
∴添加条件DE = EF ，可以使得VADE≌VCFE AAS ，
添加条件 AD = CF ，也可以使得VADE≌VCFE ASA ，
∴ AE = CE ；
故答案为：DE = EF 或 AD = CF （答案不唯一）．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上， AE∥BF ， AE = BF ．
若________，则 AB = CD．
请从①CE∥DF ；②CE = DF ；③ E = F 这 3 个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并
说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出 A = FBD, D = ECA，再由
全等三角形的判定和性质得出 AC = BD，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的
判定得出VAEC≌VBFD(SAS) ，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①CE∥DF ；
∵ AE∥BF ，CE∥DF ，
∴ A = FBD, D = ECA，
∵ AE = BF ，
∴VAEC≌VBFD(AAS)，
∴ AC = BD，
∴ AC - BC = BD - BC ，即 AB = CD；
选择②CE = DF ；
无法证明△AEC ≌△BFD ，
无法得出 AB = CD；
选择③ E = F ；
∵ AE∥BF ，
∴ A = FBD ，
∵ AE = BF ， E = F ，
∴VAEC≌VBFD ASA ，
∴ AC = BD，
∴ AC - BC = BD - BC ，即 AB = CD；
故答案为：①或③（答案不唯一）
题型 08 灵活选用判定方法证全等
1．（23-24 七年级下·广东揭阳·期末）在数学课上，老师给出三条边长分别为 a，b，c 的VABC ，其三个内
角的度数如图所示．下面是 4 名同学用不同方法画出的 4 三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一
定与VABC 全等的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可．
【详解】解：A、根据“SAS ”可证明与原三角形全等，不符合题意；
B、根据“ ASA ”可证明与原三角形全等，不符合题意；
C、与原三角形形成“边边角”对应相等，但是“边边角”对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意；
D. 根据“SSS ”可证明与原三角形全等，不符合题意．
故选：C．
2．（2024 八年级·全国·竞赛）下图网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以
格点为顶点的三角形称为格点三角形．VABC 就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出
个与VABC 全等的格点三角形（不包括VABC ）．
【答案】119
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
理解图示，根据全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：每相邻的两行有 28个，每相邻的两列有 4个，
∴共有3 28 + 4 9 -1 =119 （个）．
3．（23-24 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在VABC 和VDEF 中， B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下面
四个条件：① AB = DE ；② AB∥DE ；③BE = CF ；④ A = D ．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：①根据题意可得已知： AB = DE ， AB∥DE ，BE = CF ，求证 A = D ；
②根据题意可得已知： AB = DE ， AB∥DE ， A = D ，求证BE = CF ；
（2）解：选择①②③，证明④
∵ AB∥DE ，
∴ B = E，
∵BE = CF ，
∴BE + CE = CF + CE ，即BC = EF ，
又∵ AB = DE ，
∴△ABC≌△DEF SAS ，
∴ A = D ；
选择①②④，证明③
∵ AB∥DE ，
∴ B = E，
又∵ AB = DE ， A = D ，
∴△ABC≌△DEF ASA ，
∴BE = CF ，
∴BE + CE = CF + CE ，即BC = EF 。
题型 09 全等三角形综合问题
1．（22-23 八年级上·重庆江北·期末）如图，在VABC中， A = 60°， ABC 和 ACB 的平分线BD、CE相
交于点O，BD交 AC 于点D，CE交 AB 于点E ，若已知DABC周长为 20，BC = 7， AE : AD = 4 : 3，则 AE
长为（ ）
18 24 26
A． B． C7 ． D．47 7
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题
的关键．
【详解】解：如图，在BC 上截取 BH = BE ，连接OH ，
Q BD平分 ABC ，CE平分 ACB ，
\ ABD = CDB ， ACE = BCE ，
Q A = 60°，
\ ABC + ACB = 120°，
\ DBC + BCE = 60°，
\ BOC =120°，
\ BOE = COD = 60°，
在VBOE和VBOH 中，
ìBE = BH
í ABD = CBD ，
BO = BO
\VBOE≌VBOH SAS ，
\ EOB = BOH = 60°，
\ COD = COH = 60°，
在VCOD和VCOH 中，
ì ACE = BCE
íOC = OC ，
COD = COH
\VCOD≌VCOH ASA ，
\CD = CH ，
\BE + CD = BH + CH = BC = 7 ，
QVABC 周长为 20，
\ AB + AC + BC = 20 ，
\ AE + AD = 6，
Q AE : AD = 4 : 3，
\ AE 4 24= 6 = ．
7 7
故选：B．
2．（23-24 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在VABC 中，AD 平分 BAC 交BC 于点 D，且
AB = AC + CD，若BD = 5，CD = 2，则 AB = ．
10
【答案】 /3
1
3 3
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形判定与性质，作DM ^ AB, DN ^ AC ，垂足分别为 M、
N，借助面积得出 AB : AC = 5 : 2，在 AB 上截取 AE = AC ，连接DE ，证出CD = DE ，列出方程并解方程即
可解决．
【详解】解：作DM ^ AB, DN ^ AC ，垂足分别为 M、N，
Q AD 平分 BAC ，
\DM = DN ，
QBD = 5，CD = 2，
\SVADB : SVADC = 5 : 2 ，
1 AB × DM
\ 2 51 = ，AC × DN 2
2
\ AB : AC = 5 : 2 ，
在 AB 上截取 AE = AC ，连接DE ，
Q DAE = DAC, AD = AD ，
\△ADE≌△ADC ，
\CD = DE
Q AB = AC + CD, AB = AE + BE
\BE = DE = CD = 2
设 AC = 2x，则 AB = 5x，
\2 + 2x = 5x，
2
解得： x = ，
3
\ AC 4= ，
3
\ AB = AC + CD 4= + 2 10= ，
3 3
10
故答案为： ．
3
3．（23-24 七年级下·河南郑州·期末）已知在 VABC 中， C = 90°， AC = 5， BC = 8．点 D 为边 BC 上一点，
且BD = AC ，过点 B 作射线BP ^ BC ，动点 E 从点 B 出发，以 1 个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，
连接DE ．
(1)如图 1，当BE = CD时，线段 AD 与DE 相等吗 请说明理由．
(2)当线段DE 与△ABD 的其中一边垂直时，求出点 E 运动的时间 t 的值．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)3 或 8
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定
理是解题关键．
（1）证明VACD≌VDBE SAS ，即得出 AD = DE ；
（2）分类讨论：当DE ^ AD 时和DE ^ AB时，分别证明VACD≌VDBE ASA ，VACB≌VDBE AAS 即可
求解．
【详解】（1）解：相等，理由如下：
∵BD = AC ， ACD = DBE = 90°，BE = CD，
∴VACD≌VDBE SAS ，
∴ AD = DE ；
（2）解：分类讨论：当DE ^ AD 时，如图，
∵DE ^ AD ，
∴ ADC + BDE = 90°．
∵ C = 90°，
∴ CAD + ADC = 90°，
∴ CAD = BDE ．
又∵ ACD = DBE = 90°，BD = AC ，
∴VACD≌VDBE ASA ，
∴BE = CD = BC - BD = BC - AC = 3，
∴ t = 3 1 = 3；
当DE ^ AB时，如图，
∵DE ^ AB，
∴ ABE + BED = 90°．
∵BP ^ BC ，
∴ ABC + ABE = 90°，
∴ ABC = BED ．
又∵ ACB = DBE = 90°，BD = AC ，
∴VACB≌VDBE AAS ，
∴BE = BC = 8，
∴ t = 8 1 = 8．
综上可知 t 的值为 3 或 8．
题型 10 角平分线的性质定理
1．（23-24 八年级下·陕西西安·期末）如图，OP平分 AOB， PC ^ OA于点C ，点 D在OB上．若 PC = 2，
OD = 5，则VPOD的面积为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点 P 作PE ^ OB 于 E，根据角平分线
上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：过点 P 作PE ^ OB 与点 E，
∵OP平分 AOB， PC ^ OA，PE ^ OB ，
∴PE=PC=2，
∵OD = 5，
1 1
∴则VPOD的面积为： OD × PE = 5 2 = 5，
2 2
故选：C
2．（23-24 七年级下·宁夏银川·期末）如图， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点 E，且
DE = 3cm, AB = 4cm, AC = 6cm．则VABC 的面积为 cm2 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了角平分线的定理，过点D作DF ^ AC ，根据角平分线的性质得DE = DF = 3cm，
再结合三角形的面积公式即可求解，根据题意和角平分线的定理得到DE = DF = 3cm是解答本题的关键．
【详解】解：过点D作DF ^ AC ，
∵ AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点 E，
∴DE = DF = 3cm，
∴ SVABC = SVABD + SVACD
1
= AB × DE 1+ AC × DF
2 2
1 1
= 4 3 + 6 3
2 2
= 15cm2 ，
故答案为：15．
3．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在VABC 中，点D在BC 边上，连接 AD ，有 BAD =100°， ABC
的平分线 BE 交 AC 于点E ，过点E 作EF ^ AB交BA的延长线于点F ，且 AEF = 50°， C =10°，连接
DE ．求 EDC 的度数．
【答案】65°
【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点
在角的平分线上是解答此题的关键．过点E 作EG ^ AD于点G ，EH ^ BC 于点 H ，先通过计算得出
FAE = CAD = 40°，根据角平分线的性质得 EF = EG ，EF = EH ，进而得EG = EH ，据此根据角平分线的
性质可得出结论
【详解】解：如图，过点E 作EG ^ AD于点G ，EH ^ BC 于点 H ，
QEF ^ AB ， AEF = 50°，
\ FAE = 90° - 50° = 40°，
Q BAD =100°，
\ CAD =180° -100° - 40° = 40°，
\ FAE = CAD = 40°，即 AC 为 DAF 的平分线．
又EF ^ AB，EG ^ AD，
\EF = EG．
QBE 是 ABC 的平分线，
\EF = EH ，
\EG = EH ，
\点E 在 ADC 的平分线上，
\DE 平分 ADC ．
\ EDC 1 = ADC 1= 180° - 40° -10° = 65°
2 2
题型 11 角平分线的判定定理
1．（23-24 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点D在BC 上，连接 AD ，
S△ACD : S△ABD = AC : AB，若 B = 54°，则 BAD 的度数为（ ）
A． 20° B．16° C．18° D．36°
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据
S 1 1△ACD = AC CD，S△ABD = AB DH ，以及 S△ACD : S△ABD = AC : AB，得出CD = DH ，证明 AD 是 CAB2 2
的角平分线，结合 C = 90°， B = 54°，得出 CAB =180° - 90° - 54° = 36°，即可作答．
【详解】解：如图：过点 D 作DH ^ AB
∵ C = 90°
1 1
∴ S△ACD = AC CD，S△ABD = AB DH2 2
∵ S△ACD : S△ABD = AC : AB
∴CD = DH
∴ AD 是 CAB 的角平分线
∴ BAD
1
= CAB
2
∵ C = 90°， B = 54°
∴ CAB =180° - 90° - 54° = 36°
∴ BAD 的度数为18°
故选：C．
2．（2024·北京东城·一模）在Rt△ABC 中， A = 90°，点 D 在 AC 上，DE ^ BC 于点 E，且DE = DA，连
接DB．若 C = 20°，则 DBE 的度数为 °．
【答案】35
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，
先证 ABD = EBD ，再求出 ABC = 90° - 20° = 70°即可求出结论．
【详解】解：∵ DE ⊥ AB ， A = 90°，且DE = DA，
\ ABD = EBD ，
Q A = 90°， C = 20°，
\ ABC = 90° - 20° = 70°
DBE 1\ = 70°= 35°，
2
故答案为：35．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由．
已知：如图，点D是射线 AP 上的一点，点E 、F 分别在 AB 、 AC 上，且DE＝DF ．
求证： AP 平分 BAC ．
证明：∵点D是射线 AP 上一点，且DE＝DF （已知），∴ AP 平分 BAC （在一个角的内部且到角两边距离
相等的点，在这个角的平分线上）．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
根据角平分线的判定方法补充条件解答即可．
【详解】解：不正确．需添加条件，DF ^ AC ，DE ^ AB，
证明：∵点D是射线 AP 上一点，且DE = DF ，DF ^ AC ，DE ^ AB，（已知），
∴ AP 平分 BAC （在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
题型 12 角平分线性质的实际应用
1．（24-25 八年级上·江苏·假期作业）如图，直线 l、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，
要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形
三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条
外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有 4 个．
【详解】解：作直线 l、l 、l 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，
如图所示：外角平分线分别相交于点P1,P2 ,P3 ，
且内角平分线相交于点P4，
∴角平分线的性质可得到这 4 个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
2．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在VABC 中，点O是 ABC ， ACB 的平分线的交点，AB + BC + AC =12，
过O作OD ^ BC 于点D，且OD = 2，则VABC 的面积是 ．
【答案】12
【分析】过点 O 作OE ^ AB于点 E，OF ^ AC 于点 F，连接OA，然后根据角平分线的性质定理及三角形的
面积计算公式可求解．
【详解】解：过点 O 作OE ^ AB于点 E，OF ^ AC 于点 F，连接OA，如图所示：
∵BO平分 ABC,OD ^ BC ，
∴OD = OE ，
同理可得：OD = OF ，
∵OD = 2，
∴OD = OE = OF = 2，
∵ AB + AC + BC = 12，
S 1∴ VABC = AB ×OE
1
+ AC ×OF 1+ BC ×OD 1= AB + BC + AC ×OD =12；
2 2 2 2
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
3．（22-23 七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄M ， N ，和两条相交的公路OA，OB，现计
划在 AOB 内修建一个物资仓库 P ，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确
定物资仓库 P 的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】见详解
【分析】先连接MN ，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作 AOB 的平分线两者交于
点 P，点 P 即为所求．
【详解】连接MN ，作线段MN 的垂直平分线，与 AOB 的平分线交于点 P，则点 P 到点M ，N 的距离相
等，到OA，OB的距离相等，作图如下，点 P 即为所求，
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握其性质是解题的关键．
题型 13 垂直平分线的性质
1．（23-24 八年级下·四川成都·期末）如图，DE 是VABC 的边BC 的垂直平分线，分别交边 AB ，BC 于点
D，E ，连接CD ，且 AB = 9， AC = 6 ，则VACD的周长是 ( )
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由DE 是VABC 的边BC 的垂直平分线，可得DB = DC ，则所求
VACD的周长= AB + AC ，再将已知代入即可．
【详解】解：QDE 是VABC的边BC 的垂直平分线，
\DB = DC ，
\VACD 的周长 = AD + AC + CD = AD + BD + AC = AB + AC ，
Q AB = 9， AC = 6 ，
\VACD 的周长= 9 + 6 =15，
故选：B．
2．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在VABC 中， AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D，边 AC 的垂
直平分线EN 交BC 于点E ．已知VADE 的周长为8cm ，则BC 的长为 ；
【答案】8cm
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线
段两个端点的距离相等”可得 AD = BD, AE = CE ，然后利用VADE 的周长为8cm 和等量代换可得 BC = 8cm ，
即可解答．
【详解】解：∵ AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D，边 AC 的垂直平分线EN 交BC 于点E ．
∴ AD = BD, AE = CE ，
∵VADE 的周长为8cm ，
\ AD + DE + AE = 8cm ，
\ BD + DE + EC = 8cm，
\BC = 8cm ，
∴BC 的长为8cm ；
故选：8cm ．
3．（2024 七年级下·全国·专题练习）如图，VABC 中， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F，交BC 于点 E，
AD ^ BC ，垂足为 D，且BD = DE，连接 AE ．
(1)求证： AB = EC ；
(2)若VABC 的周长为 20cm ， AC = 7cm ，则DC 的长为多少？
【答案】(1)见解析
13
(2) cm
2
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质：
（1）根据线段垂直平分线的性质可得 AE = EC ， AB = AE ，等量代换可得 AB = EC ；
（2）先根据已知条件得出 AB + BC = 13cm，再通过等量代换得出 AB + BD = DE + EC = DC ，进而得出
AB + BC = AB + BD + DC = 2DC =13cm ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ EF 垂直平分 AC ，
∴ AE = EC ，
∵ AD ^ BC ，BD = DE，
∴ AB = AE ，
∴ AB = EC ；
（2）解：∵VABC 的周长为 20cm ，
∴ AB + BC + AC = 20cm，
∵ AC = 7cm ，
∴ AB + BC = 13cm，
∵ AB = EC，BD = DE ，
∴ AB + BD = DE + EC = DC ，
∵ AB + BC = AB + BD + DC = 2DC =13cm ，
∴DC
13
= cm．
2
题型 14 垂直平分线的判定
1．（23-24 八年级上·湖南益阳·期末）如图，在VABC 中，E 为 AB 边的中点，过点 E 作ED ^ AB 交BC 于点
D，若 AE = 3，△ADC 的周长为 20，则VABC 的周长为（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得ED垂直平分 AB ， AB = 2AE = 6，
进而得到BD = AD ，再由△ADC 的周长为 20，推出BC + AC = 20，据此可得答案．
【详解】解；∵E 为 AB 边的中点，ED ^ AB ，
∴ED垂直平分 AB ， AB = 2AE = 6，
∴BD = AD ，
∵△ADC 的周长为 20
∴ AD + CD + AC = 20，
∴BD + CD + AC = 20，
∴BC + AC = 20，
∴VABC 的周长= AB + AC + BC = 20 + 6 = 26，
故选；C．
2．（18-19 八年级上·广东潮州·期中）如图， AD 是VABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和VACD的
高，则下列结论：
① EF 垂直平分 AD ；② AD ^ EF ；③ AE + DF = AF + DE ；④O为 EF 的中点．其中一定正确的是
（填序号）
【答案】②③④
【分析】如果OA = OD，则 AE = DE ， AF = DF ， A = 90°，即可判断①．根据VAED≌VAFD ，判断出
AE = AF ，DE = DF，即可判断出 AE + DF = AF + DE 成立，即可判断③；然后根据全等三角形的判定方法，
判断出△AEO≌△AFO，即可判断出 AD ^ EF ， EO = FO ，即可判断②④．
【详解】解：如果 EF 垂直平分 AD ，
则点 O 是 AD 的中点，
∵DE、DF 分别是△ABD 和VACD的高，
∴ AE = DE ， AF = DF ，
∴ EAD = FAD = 45°，
∴ A = 90°，不符合题意；
∴①不正确；
∵ AD 是VABC 的角平分线，
∴ EAD = FAD ，
在△AED 和△AFD中，
ì EAD = FAD
í AED = AFD = 90° ，
AD = AD
∴△AED≌△AFD AAS ，
∴ AE = AF，DE = DF ，
∴ AE + DF = AF + DE ，
∴③正确；
在△AEO 和VAFO 中，
ìAE = AF
í EAO = FAO，
AO = AO
∴VAEO≌VAFO SAS ，
∴ EO = FO ，
∴O为 EF 的中点，
∴④正确．
又∵ AE = AF ，
∴ AO 是 EF 的中垂线，
∴ AD ^ EF ，
∴②正确；
综上，正确的是：②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定和性质，准确分
析判断是解题的关键．
3．（23-24 八年级下·陕西渭南·期中）如图，E 是VABC 边 AB 的延长线上一点， BCE = A + ACB．求证：
点E 在BC 的垂直平分线上．
【答案】见解析．
【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到
EBC = A + ACB，结合已知推出 BCE = EBC ，得到BE = CE ，即可得到结论．
【详解】证明：∵ BCE = A + ACB， EBC = A + ACB，
∴ BCE = EBC ，
∴BE = CE ，
∴点 E 在BC 的垂直平分线上．
A 夯实基础
1．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明△ADF
和VADE 的全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握SSS证明三角形全等是关键．
根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案
【详解】解：从角平分线的作法得出，△AFD与△AED 的三边全部相等，
则VAFD≌VAED SSS ．
故选：A．
2．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，OC 平分 AOB ，点 P 是射线OC 上一点，PM ^ OB 交于
点 M，点 N 是射线OA上的一个动点，连接PN ．若PM = 6，则PN 的长度不可能是（ ）
A．18 B．7.2 C．6 D． 4.5
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关
键．
过点 P 作PD ^ OA，如图所示，由角平分线的性质可得PD = PM = 6，根据点与直线上各点的距离中垂线段
最短可得PN PD = 6，从而得到答案．
【详解】解：过点 P 作PD ^ OA，如图所示：
Q OC 平分 AOB ，点 P 是射线OC 上一点，PM ^ OB 于点M ，PM = 6，
\由角平分线性质可得PD = PM = 6，
Q点 N 射线OA上的一个动点，连接PN ，
\由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得PN PD = 6，
\综合四个选项可知，PN 的长度不可能是 4.5，
故选：D．
3．（23-24 七年级下·山西太原·期末）如图， 1 = 2， AD = AB ，要使VADE≌VABC ，则可添加的一个条
件是 （写出一个即可）．
【答案】 AE = AC （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判
定定理有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
【详解】解：添加条件 AE = AC ，理由如下：
∵ 1 = 2，
∴ 1+ BAE = 2 + BAE ，即 BAC = DAE ，
又∵ AD = AB ， AE = AC ，
∴VADE≌VABC SAS ，
故答案为： AE = AC （答案不唯一）．
4．（23-24 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点 E, F 在 AC 上， AE = CF ， BE∥ DF ，添加一个条件，
使△ADF ≌△CBE ．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可）
【答案】 A = C （答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据 AE = CF 得 AF = CE ，由 BE∥ DF ，得 DFA = BEC ，因此，
只要再添加一组对应角相等即可．
【详解】解：Q AE = CF
\ AE + EF = CF + EF
即 AF = CE
Q BE∥ DF
\ DFA = BEC
因此，只要再添加一组对应角相等即 A = C 即可，
证明如下：
在DADF 和△CBE 中
ì A = C
íAF = CE
DFA = BEC
\△ADF ≌△CBE （ASA）．
故答案为： A = C ．
5．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 VABC 中，点 D在边 BC 上， BD = AC ， DE = CB， DE∥ AC ．求证：
BED = ABC ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△BDE ≌△ACB 即可求解．
【详解】证明：∵DE∥ AC ，
∴ BDE = ACB ，
∵BD = AC ，DE = CB，
∴△BDE ≌△ACB ，
∴ BED = ABC ．
6．（23-24 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，D是VABC 边 AB 上的一点，点E 是 AC 的中点，连接DE
并延长至点F ，使EF = DE ，连接CF ．试说明：CF = AD．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由 AE = CE ，DE = FE ，夹角为对顶角，利用SAS得到
VAED≌VCEF ，利用全等三角形对应边相等得到 AD = CF ．
【详解】证明：在△AED 和△CEF 中，
ìAE = CE
í AED = CEF ，
DE = FE
\△AED≌△CEF (SAS) ，
\ AD = CF
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使
AB∥CD, BO = OC ，点 A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO ，从而可通过测量CD 的长度得
知小河的宽度 AB ．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO 的依据的是（ ）
A．SAS 或 SSS B．AAS 或 SSS
C．ASA 或 AAS D．ASA 或 SAS
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】根据题意可知 AOB = DOC ．
∵ AB∥CD ，
∴ ABO = DCO， BAO = CDO．
方法一：
在VABO 和VDCO中
ì ABO = DCO
í BAO = CDO
BO = CO
∴△ABO≌△DCO AAS ．
方法二：
在VABO 和VDCO中
ì ABO = DCO
íBO = CO
AOB = DOC
∴△ABO≌△DCO ASA ．
故选：C
2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）如图，在VABC 和VDEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，
B = E, BF = CE ，只添加一个条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A． AB = DE B． AC = DF C． A = D D． ACB = DFE
【答案】B
【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ B = E, BF = CE ，
∴BF + CF = CE + CF ，即：BC = EF ，
当 AB = DE 时，SAS可以证明△ABC ≌△DEF ；故选项 A 不符合题意；
当 AC = DF 时，不能判定△ABC ≌△DEF ；故选项 B 符合题意；
当 A = D 时，AAS可以证明△ABC ≌△DEF ；故选项 C 不符合题意；
当 ACB = DFE 时，ASA可以证明△ABC ≌△DEF ；故选项 D 不符合题意；
故选 B．
3．（23-24 九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在RtVABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点D为BC 上一
点，连接 AD ．过点 B 作 BE ^ AD于点 E ，过点C 作CF ^ AD 交 AD 的延长线于点 F ．若 BE = 5，CF = 2，
则EF 的长度为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明VABE≌VCAF (AAS)，根据
全等三角形的性质可得 AF = BE = 5， AE = CF = 2，进一步可得 EF 的长．
【详解】QBE ^ AD ，CF ^ AD ，
\ BEA = AFC = 90°，
\ BAE + ABE = 90°，
Q BAC = 90°，
\ BAE + FAC = 90°，
\ FAC = ABE ，
在VABE 和VCAF 中，
ì BEA = AFC
í ABE = FAC ，
AB = AC
∴VABE≌VCAF (AAS)，
\ AF = BE ， AE = CF ，
QBE = 5，CF = 2 ，
\ AF = BE = 5， AE = CF = 2，
\EF = AF - AE = 5 - 2 = 3，
故答案为：3．
4．（23-24 七年级下·河南郑州·期末）如图，VABC 中， AC 的垂直平分线交BC 于点 E，若VABE 的周长
14，VABC 的周长 24，则CD = ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得 AD = CD ，
AE = CE ，从而得到 AB + BE + CE = AB + BC =14，然后根据VABC 的周长 24，求出 AC =10，即可求解．
【详解】解：∵DE 垂直平分 AC ，
∴ AD = CD ， AE = CE ，
∴ AE + BE = BE + EC = BC ，
∵VABE 的周长为 14，
∴ AB + BE + CE = AB + BC =14，
∴VABC 的周长是 AB + BC + AC =14 + AC = 24，
∴ AC =10，
CD 1∴ = AC = 5．
2
故答案为：5．
5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，VABC 和VDEF 中，点 A，D，B，E 在一条直线上， ABC = DEF ．
(1)给出以下 3 个条件：① AD = BE ，② AC∥DF ，③ C = F 从中选择两个作为条件，另外一个作为结
论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
(2)请证明你的结论．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
（1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
（2）根据平行线的性质求出 A = EDF ，利用ASA证明△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质即可得
解；
或利用AAS证明△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
故答案为：①②，③；①③，②；
（2）证明：若选择的条件是①②，结论是③，
∵ AC∥DF ，
\ A = EDF ，
Q AD = BE ，
\ AD + BD = BE + BD ，
即 AB = DE ，
在VABC 和VDEF 中，
ì A = EDF
íAB = DE ，
ABC = DEF
\VABC≌VDEF ASA ，
∴ C = F ；
若选择的条件是①③，结论是②，
Q AD = BE ，
\ AD + BD = BE + BD ，
即 AB = DE ，
在VABC 和VDEF 中，
ì C = F
í ABC = DEF ，
AB = DE
\VABC≌VDEF AAS ，
\ A = EDF ，
∴ AC∥DF ．
6．（2024·浙江舟山·一模）如图，在VABC 中， B = 40°， C = 25°，过点A 作 AD ^ BC ，垂足为D，延
长DA至E ．使得 AE = AC ．在边 AC 上截取 AF = AB ，连结EF ．
(1)求∠EAF 的度数．
(2)求证：EF = BC ．
【答案】(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据 AD ^ BC 得出 ADC = 90°，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明VEAF≌VCAB SAS ，根据全等三角形的性质即可得出EF = CB．
【详解】（1）解：Q AD ^ BC ．
\ ADC = 90°．
Q C = 25°，
\ EAF = ADC + C =115°；
（2）证明：在VABC中， B = 40°， C = 25°，
\ CAB =180° - B - C =115°．
\ EAF = CAB ．
在VEAF 和VCAB 中，
ìAE = AC
í EAF = CAB，
AF = AB
\VEAF≌VCAB SAS ，
\EF = CB ．
C 综合素养
1．（23-24 七年级下·安徽宿州·期末）如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若 BE
交CF 于点D, AC 交 BE 于点M , AB交CF 于点 N ，则下列结论中错误的是（ ）
A． EAC = FAB B．CM = BN
C．VACN≌VABM D．FN = DN
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由△ABE≌△AFC ，根据全等三角形的性质可得 EAB = CAF , AC = AB, C = B，继而可得
EAC = FAB，可判断 A 正确；利用 ASA可证明VACN≌VABM ，可判断 C 正确；根据全等三角形的性质
可得 AM = AN ，可判断 B 正确，无法得到FN = DN ，由此即可得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△AFC ，
\ EAB = FAC, AC = AB, C = B，
\ EAB - CAB = FAC - CAB，
∴ EAC = FAB，故选项 A 正确；
在△ACN 与VABM 中
ì CAN = BAM
íAC = AB ，
C = B
∴VACN≌VABM ASA ，故选项 C 正确；
∴ AM = AN ，
∵ AC - AM = AB - AN ，
∴CM = BN ，故选项 B 正确；
无法得到FN = DN ，故选项 D 错误．
故选：D．
2．（23-24 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在△ACB中， ACB = 90°，VABC 的角平分线 AD 、BE 相交
于点 P ，过 P 作PF ^ AD 交BC 的延长线于点F ，交 AC 于点 H ． 有下列结论：① APB =135°；②
△ABP≌△FBP；③ AHP = ABC ；④ AH + BD = AB ；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得
PAB + PBA = 45°，继而得出 APB的度数，即可判断①；推出 APB = FPB，根据ASA证明即可，即
可判断②；证明VPAH≌VPFD ASA ，得 AH = FD ， AHP = FDP ，根据外角的性质可判断③；通过等
量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在VABC 中， ACB = 90°，
∴ CAB + CBA = 90°，
∵ AD 、 BE 分别平分 CAB 、 CBA，
PAC PAB 1∴ = = CAB ， PBF = PBA
1
= CBA，
2 2
∴ PAB
1 1
+ PBA = CAB + CBA = 90° = 45°，
2 2
∴ APB =180° - PAB + PBA =180° - 45° =135°，故结论①正确；
∴ BPD =180° - APB =180° -135° = 45°，
又∵PF ^ AD ，
∴ FPA = FPD = 90°，
∴ FPB = FPD + BPD = 90° + 45° =135°，
∴ APB = FPB，
在VABP和VFBP 中，
ì APB = FPB
íPB = PB ，
PBA = PBF
∴VABP≌VFBP ASA ，故结论②正确；
∴ BAP = BFP， AB = FB，PA = PF ，
∴ PAH = PFD，
在VPAH 和VPFD中，
ì PAH = PFD
íPA = PF ，
APH = FPD
∴VPAH≌VPFD ASA ，
∴ AH = FD ， AHP = FDP ，
∵ FDP 是△ABD 的外角，
∴ FDP > ABC ，
∴ AHP > ABC ，故结论③错误；
又∵ AH = FD ， AB = FB，
∴ AB = FB = FD + BD = AH + BD，
即 AH + BD = AB ，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
3．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，BD ^ CE
于D， AE ^ CE 于E ，DE = 4cm，BD = 6cm，则 AE 的长是 cm．
【答案】2
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
先证明VACE≌VCBD可得CE = BD = 6，再根据线段的和差计算即可．
【详解】解：Q ACB = 90°，BD ^ CE，
\ ACE = CBD，
在△ACE和△CBD中，
ì ACE = CBD
í AEC = CDB ，
AC = BC
\VACE≌VCBD AAS ，
\CE = BD = 6 ，
∴ AE = CD = CE - DE = 2cm．
故答案为：2．
4．（23-24 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在四边形 ABCD中， AB = AD ， BAD =140°， AB ^ CB于点
B， AD ^ CD 于点 D，E、F 分别是CB、CD 上的点，且 EAF = 70°，下列说法①DF = BE ；②FA平分
DFE ；③ AE 平分 FAB；④CF + CE > FD + EB ．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】②④/④②
【分析】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明
△EAG≌△EAF 是解题的关键．
由 E、F 分别是CB、CD 上的任意点，可知DF 与 BE 不一定相等，可判断①错误；延长CB到点 G，使
BG = DF ，连接 AG ，先证明△ABG≌△ADF ，得 AG = AF， BAG = DAF， G = AFD，由
BAD =140°， EAF = 70°，可以推导出 EAG = 70°，则 EAG = EAF ，即可证明△EAG≌△EAF ，得
G = AFE ，因为 AEB = AEF ，所以 AFD = AFE ，可判断②正确，③错误；由CF + CE＞EF ，且
EF = FD + EB ，得CF + CE > FD + EB ，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵E、F 分别是CB、CD 上的任意点，
∴DF 与 BE 不一定相等，
故①错误；
延长CB到点 G，使BG = DF ，连接 AG ，则 ABG =180° - ABE = 90°，
∴ ABG = D ，
在VABG 和△ADF 中，
ì AB = AD
í ABG = D ，
BG = DF
∴△ABG≌△ADF SAS ，
∴ AG = AF， BAG = DAF， G = AFD
∵ BAD =140°， EAF = 70°，
∴ EAG = BAE + BAG = BAE + DAF = BAD - EAF = 70° ，
∴ EAG = EAF ，
在△EAG 和△EAF 中，
ì AG = AF
í EAG = EAF ，
AE = AE
∴VEAG≌VEAF SAS ，
∴ G = AFE， AEB = AEF，EG = EF ， FAE = EAG，
∴ AFD = AFE，BE + DF = BE + BG = EG = EF ， FAE > BAE ，
故②正确，③错误；
∵CF + CE > EF，EF = FD + EB ，
∴CF + CE > FD + EB ，
故④正确，
故答案为：②④．
5．（2024 七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图 1，已知 AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分别为点 A，B．若
AC = PB，
AP = BD，探究PC 与PD的关系，并说明理由．
【尝试应用】如图 2， AB = 9cm，AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分别为点 A，B， AC = 7cm ．点 P 在线段 AB 上
以 2cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时点 Q 在射线BD上以同样的速度运动，它们运动的时间为（t s）（当
点 P 运动结束时，点 Q 运动随之结束）．当 t =1时，判断此时线段PC 和线段 PQ的关系，并说明理由．
【拓展提高】如图 3，在【尝试应用】的基础上，把“ AC ^ AB，BD ^ AB ”改为“ CAB = DBA ”，若点 Q
的运动速度为 xcm / s ，其它条件不变，当点 P，Q 运动到何处时有△ACP与VBPQ全等，求出相应的 x 的
值．
【答案】基础巩固：PC = PD，PC ^ PQ，理由见解析；尝试运用：PC = PD，PC ^ PQ；拓展提高当△ACP
28
与VBPQ全等时的 x 值为 2 或
9
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP≌△BQP ，解决此题的是注意分
类讨论．
基础巩固：根据SAS证明VACP≌VBPD ，进而解答即可；
尝试应用：根据SAS证明△ACP≌△BPQ ，进而解答即可；
拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类．
【详解】解：基础巩固：PC = PD，PC ^ PQ．
理由：Q AC ^ AB，BD ^ AB，
\ A = B = 90°，
Q AP = BD ， AC = BP，
在△ACP与△ BPD中，
ìAC = BP
í A = B
AP = BD
\VACP≌VBPD SAS ，
\PC = PD，
\ C = BPQ ，
\ C + APC = 90° ，
\ APC + BPQ = 90°，
\ CPQ = 90°，
\PC ^ PQ ；
尝试运用：
PC = PD，PC ^ PQ．
当 t =1s 时， AP = 2cm，BQ = 2cm，
\ AP = BQ，
Q AB = 9cm ，
\BP = 7cm = AC ，
由基础巩固中的结论可知：PC = PQ，PC ^ PQ；
拓展提高
①若设运动时间为 ys时△ACP≌△BPQ ，
则 AC = BP = 7cm，AP = BQ，
可得：7 = 9 - 2y ， 2y = xy，
\ x = 2，y =1；
②若设运动时间为 ys时，△ACP≌△BQP ，
则 AC = BQ，AP = BP，可得：7 = xy， 2y = 9 - 2y ，
x 28 9\ = ， y = ，
9 4
综上所述，当△ACP与VBPQ
28
全等时的 x 值为 2 或 ．
9
6．（23-24 七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图 1，已知VABC 中， AD 是BC 边上的中线．求证： AB + AC＞2AD
智慧小组的证法如下：
证明：如图 2，延长 AD 至 E，使DE = AD，
∵ AD 是BC 边上的中线，
∴BD = CD，
ìBD = CD
在△BDE 和△CDA 中， í BDE = CDA，
DE = DA
∴△BDE≌△ CDA（依据 1），
∴BE = CA，
在VABE 中， AB + BE＞AE （依据 2），
∴ AB + AC＞2AD ．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：
依据 1： ；依据 2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 AD ，使DE = AD，构造了一对全等三角形，将 AB ， AC ， AD 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
(2)任务二：如图 3， AB = 6， AC = 8，则 AD 的取值范围是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6 AD 8； C． 1＜AD＜7
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
1
如图 4，RtVABC 中， BAC = 90°，D 为BC 中点，求证： AD = BC ．
2
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断△BDA≌△CDF ，VABC≌VCFA即可．
【详解】（1）解：依据 1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS ”）；
依据 2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长 AD 至点E ，使DE = AD ,连接CE．
Q AD 是BC 的中线，
\ BD = CD ,
在△ABD 与VECD 中，
ì AD = ED
í ADB = EDC ,
BD = CD
\ VABD≌VCDE SAS ，
\ AB = EC = 6 ,
在△ACE中， AC - CE＜AE＜AC + CE ，
即8- 6＜2AD＜8 + 6，
\1＜AD＜7 ．
故选：C．
（3）证明：如图 4，延长 AD 至 F，使 AD = DF 连接CF ，
Q D是BC 的中点，
∴BD = CD ,
又Q ADB = CDF
∴△BDA≌△CDF SAS ，
\ B = DCF ， AB = CF ，
∵ BAC = 90°，
∴ B + ACB = 90° ,
\ DCF + ACB = 90° ,
即 ACF = BAC ，
又∵ AC = CA，
∴VABC≌VCFA SAS ，
∴ AF = BC ，
AD 1 AF 1∴ = = BC ．
2 2第 04 讲 三角形全等的判定（4 个知识点+14 大题型+18 道强化
训练）
课程标准 学习目标
1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和
会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边” 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边
和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全 边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件
等； 判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归
验操作、归纳得出数学结论的方法. 纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察
养学生观察分析图形的能力及运算能力，培 分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良
养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题 好品质以及发现问题的能力.
的能力.
知识点一、全等三角形的判定
一、全等三角形判定 1——“边边边”
定理 1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果 A ' B '＝AB， A 'C '＝AC， B 'C '＝BC，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
二、全等三角形判定 2——“边角边”
定理 2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果 AB ＝ A ' B '，∠A＝∠ A '，AC ＝ A 'C '，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定 3——“角边角”
定理 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠ A '，AB＝ A ' B '，∠B＝∠ B '，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
四、全等三角形判定 4——“角角边”
定理 4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个
三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可
以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
ì ì找夹角 SAS
已知两边í找直角 HL
找另一边 SSS
ì边为角的对边 找任一角 AAS
ì找夹角的另一边 SAS
í已知一边一角í
边为角的邻边í找夹边的另一角 ASA
找边的对角 AAS
ì找夹边 ASA
已知两角í
找任一边 AAS
知识点 02：灵活运用全等判定定理
2、灵活运用全等判定定理
（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此
在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)
已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)
已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一．图 1 是一把油纸伞实物图，图 2
1
为其伞骨示意图．已知 AB = AC ， AE = AB，AF
1
= AC，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依据是（
3 3 ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【即学即练 2】
2．（23-24 七年级下·广东河源·期末）如图，已知△ABC 的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形
中不能证明和 VABC 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【即学即练 3】
3．（23-24 七年级下·重庆北碚·期末）如图点 B ， F ，C ， E 在同一条直线上，点A ， D在直线 BE 的两侧，
ACB = DFE ，BC = EF ，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC ≌△DEF （ ）
A． AB = DE B． AB∥DE
C． A = D D． AC = DF
【即学即练 4】
4．（23-24 七年级下·广东佛山·期末）如图， AD 平分 BAC, BD ^ AD ，若VABC 的面积是 9，则△ADC 的
面积是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【即学即练 5】
5．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，点A 、 B 分别在边OC 、OD 上， AD 与BC 交于点E ，
AD = BC ， D = C ，若OC = 5，OB = 2 ，则BD的长为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．7
【即学即练 6】
6．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在VABC 与△AEF 中，A、C、E 三点在一条直线上，
AEF + BAF =180°， BCE = BAF ， AB = AF ，若BC = 24，EF =14，则CE的长为（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
知识点 03：垂直平分线
3、线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
【即学即练 7】
7．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图，OC 平分 AOB ，在OC 上取一点 P ，过 P 作PD ^ OB ，垂足
为D，点M 是射线OA上一动点，连接PM ，若 PD = 7 cm ，则PM 的长度不可能是（ ）
A．9cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
【即学即练 8】
8．（23-24 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在VABC 中， C = 90°， B = 30°， AD 是 BAC 的平分线，
若 AD = 4，则点 D 到 AB 边的距离等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
知识点 04：角平分线
4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
【即学即练 9】
9．（21-22 八年级上·黑龙江佳木斯·期中）在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一
定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边垂直平分线的交点
【即学即练 10】
10．（23-24 七年级下·陕西西安·期末）在 VABC 中， AB，AC 的垂直平分线 FD，GE 分别交 BC 于点 D，E，
若 B = 30°， C = 48°，则 DAE 的度数为（ ）
A． 26° B．15° C． 24° D．30°
题型 01 用 SSS 证明三角形全等
1．（23-24 七年级下·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图 2是该雨伞部分骨架示意图．测得
AB = AC ，点E ，F 分别是 AB ， AC 的三等分点，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，VDEF 的 3 个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这
样的三角形叫做格点三角形，若在图中再画 1 个格点VABC （不包括△DEF ) ），使VABC 和VDEF 全等，这
样的格点三角形能画 个．
3．（21-22 八年级上·四川眉山·期中）如图，已知点 C，F 在直线 AD 上，AB = DE，CD = AF，BC = EF ．求
证：△ABC ≌△DEF ．
题型 02 全等的性质与 SSS 综合
1．（22-23 八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示， AOB 是
一个任意角，在边OA，OB上分别取OM = ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合，过
角尺顶点 C 的射线OC 即是 AOB 的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在VABC 的上方有一点D，连接 AD ，CD，AB = AD ，CB = CD ，
BCD = 50°，则 ACB 的度数为 °．
3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点A 、D、 B 、E 在同一条直线上， AD = BE ， AC = DF ，
BC = EF
(1)求证：△ABC ≌△DEF ；
(2)若 A = 55°， E = 45°，求 F 的度数．
题型 03 用 SAS 证明三角形全等
1．（24-25 七年级上·山东·随堂练习）如图，有一池塘，要测池塘两端A ， B 的距离，可先在地上取一个点
C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和 B ．连接 AC 并延长到点D，使CD = CA．连接BC 并延长到点
E ，使CE = CB ．连接DE ，根据两个三角形全等，那么量出DE 的长就是A ， B 的距离．判断图中两个三
角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，
小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条 AD 和BC
的中点O焊接在一起，制作了一把“ X 形卡钳”．根据“ X 形卡钳”的制作原理能判断△ABO≌△DCO ，从而
测量出 AB 的长就等于内径CD 的长．请写出VABO≌VDCO 的理由： ．
3．（23-24 八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 AD = AB，AC = AE， DAB = CAE，连接DC，BE．
(1)求证： VBAE ≌VDAC ；
(2)若 CAD =135°， D = 20°，求 E的度数．
题型 04 全等的性质与 SAS 综合
1．（23-24 七年级下·四川宜宾·期末）如图，在VABC 中， C = 90°， AC = 4，BC = 3， AB = 5，P、D 分
别是 AC、AB 上的动点，则BP + PD的最小值为（ ）
A．3 B．3.6 C． 4.2 D． 4.8
2．（23-24 七年级下·四川成都·期中）如图，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BD是高，E 是VABC 外一点，
BE = BA， E = C ，若DE = 5， AD =12 ，BD > DE，则△BDE 的面积为 ．
3．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，点C ，F 在线段 BE 上， AB∥DE ， AB = DE ，BF = EC ，试
说明：
(1)△ABC ≌△DEF ；
(2) AC∥DF ．
题型 05 用 ASA(AAS)证明三角形全等
1．（23-24 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在 AB 的垂线BF
上取两点C 、D，使BC = CD ，再作出BF 的垂线DE ，使点A 、C 、E 在同一条直线上，则可以说明
VABC≌VEDC ，得 AB = DE ，因此测得DE 的长就是 AB 的长，判定VABC≌VEDC ，最恰当的理由是( )
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
2．（23-24 八年级上·河南周口·期中）如图，在VABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 是 AC 边上的高，且 AD、BE
交于点 F，若BF = AC,CD = 4, BD =10，则线段 AF 的长为 ．
3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ， AE ^ CE 于点 E，BD ^ CE于点
D．
(1)求证：VACE≌VCBD；
(2)若 AE = 5， BD = 2，求DE 的长度．
题型 06 全等的性质与 ASA(AAS)综合
1．（23-24 七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是 2cm 的 10 个相同长方体小木块垒了两面与地面
垂直的木墙 AD 与 BE ，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点
A，B 重合，直角三角板的直角顶点C 与点D，E 均在水平地面上，点 A，B，C ，D，E 在同一竖直平面
内．已知 AC = BC ， ACB = 90°，则两面木墙之间的距离为（ ）
A．30cm B． 24cm C． 20cm D．18cm
2．（23-24 七年级下·宁夏中卫·期末）如图，在VABC 中，AB = AC ，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上一点，
过点 B 作BF∥ AC ，交ED的延长线于点 F，若 AD = 6，BF = 9 ，求CE的长 ．
3．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在VABC 和VADE 中， AED = BCA，BC = DE ，
AC = AE ．过A 作 AG ^ DE 于点G ，BC 的延长线与DE 交于点F ，连接 AF ．
【问题提出】（1）试说明： AB = AD ；
5
【问题解决】（2）延长FE至点 H ，使EH = CF ，连接 AH ，若FG = ， AG = 4，求四边形 ACFE的面积．
2
题型 07 添加条件使三角形全等
1．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图， B ，E ，C ，F 四点在同一条直线上， AC = DE ，
ACB = DEF ，添加一个条件，不一定能使△ABC ≌△DFE 的是（ ）
A．BE = FC B． B = F C． AB = DF D． A = D
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，VABC 中，D 是 AB 上一点，CF ∥ AB，D、E、F 三点共线，请
添加一个条件 ，使得 AE = CE ．（只添一种情况即可）
3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上， AE∥BF ， AE = BF ．
若________，则 AB = CD．
请从①CE∥DF ；②CE = DF ；③ E = F 这 3 个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并
说明理由．
题型 08 灵活选用判定方法证全等
1．（23-24 七年级下·广东揭阳·期末）在数学课上，老师给出三条边长分别为 a，b，c 的VABC ，其三个内
角的度数如图所示．下面是 4 名同学用不同方法画出的 4 三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一
定与VABC 全等的是（ ）
A． B． C．
D．
2．（2024 八年级·全国·竞赛）下图网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以
格点为顶点的三角形称为格点三角形．VABC 就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出
个与VABC 全等的格点三角形（不包括VABC ）．
3．（23-24 八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在VABC 和VDEF 中， B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下面
四个条件：① AB = DE ；② AB∥DE ；③BE = CF ；④ A = D ．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
题型 09 全等三角形综合问题
1．（22-23 八年级上·重庆江北·期末）如图，在VABC中， A = 60°， ABC 和 ACB 的平分线BD、CE相
交于点O，BD交 AC 于点D，CE交 AB 于点E ，若已知DABC周长为 20，BC = 7， AE : AD = 4 : 3，则 AE
长为（ ）
18 24 26
A． B． C7 ． D．47 7
2．（23-24 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，在VABC 中，AD 平分 BAC 交BC 于点 D，且
AB = AC + CD，若BD = 5，CD = 2，则 AB = ．
3．（23-24 七年级下·河南郑州·期末）已知在 VABC 中， C = 90°， AC = 5， BC = 8．点 D 为边 BC 上一点，
且BD = AC ，过点 B 作射线BP ^ BC ，动点 E 从点 B 出发，以 1 个单位/秒的速度沿射线BP的方向运动，
连接DE ．
(1)如图 1，当BE = CD时，线段 AD 与DE 相等吗 请说明理由．
(2)当线段DE 与△ABD 的其中一边垂直时，求出点 E 运动的时间 t 的值．
题型 10 角平分线的性质定理
1．（23-24 八年级下·陕西西安·期末）如图，OP平分 AOB， PC ^ OA于点C ，点 D在OB上．若 PC = 2，
OD = 5，则VPOD的面积为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
2．（23-24 七年级下·宁夏银川·期末）如图， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点 E，且
DE = 3cm, AB = 4cm, AC = 6cm．则VABC 的面积为 cm2 ．
3．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在VABC 中，点D在BC 边上，连接 AD ，有 BAD =100°， ABC
的平分线 BE 交 AC 于点E ，过点E 作EF ^ AB交BA的延长线于点F ，且 AEF = 50°， C =10°，连接
DE ．求 EDC 的度数．
题型 11 角平分线的判定定理
1．（23-24 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，点D在BC 上，连接 AD ，
S△ACD : S△ABD = AC : AB，若 B = 54°，则 BAD 的度数为（ ）
A． 20° B．16° C．18° D．36°
2．（2024·北京东城·一模）在Rt△ABC 中， A = 90°，点 D 在 AC 上，DE ^ BC 于点 E，且DE = DA，连
接DB．若 C = 20°，则 DBE 的度数为 °．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由．
已知：如图，点D是射线 AP 上的一点，点E 、F 分别在 AB 、 AC 上，且DE＝DF ．
求证： AP 平分 BAC ．
证明：∵点D是射线 AP 上一点，且DE＝DF （已知），∴ AP 平分 BAC （在一个角的内部且到角两边距离
相等的点，在这个角的平分线上）．
题型 12 角平分线性质的实际应用
1．（24-25 八年级上·江苏·假期作业）如图，直线 l、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，
要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
2．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在VABC 中，点O是 ABC ， ACB 的平分线的交点，AB + BC + AC =12，
过O作OD ^ BC 于点D，且OD = 2，则VABC 的面积是 ．
3．（22-23 七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄M ， N ，和两条相交的公路OA，OB，现计
划在 AOB 内修建一个物资仓库 P ，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确
定物资仓库 P 的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
题型 13 垂直平分线的性质
1．（23-24 八年级下·四川成都·期末）如图，DE 是VABC 的边BC 的垂直平分线，分别交边 AB ，BC 于点
D，E ，连接CD ，且 AB = 9， AC = 6 ，则VACD的周长是 ( )
A．12 B．15 C．16 D．18
2．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在VABC 中， AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D，边 AC 的垂
直平分线EN 交BC 于点E ．已知VADE 的周长为8cm ，则BC 的长为 ；
3．（2024 七年级下·全国·专题练习）如图，VABC 中， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F，交BC 于点 E，
AD ^ BC ，垂足为 D，且BD = DE，连接 AE ．
(1)求证： AB = EC ；
(2)若VABC 的周长为 20cm ， AC = 7cm ，则DC 的长为多少？
题型 14 垂直平分线的判定
1．（23-24 八年级上·湖南益阳·期末）如图，在VABC 中，E 为 AB 边的中点，过点 E 作ED ^ AB 交BC 于点
D，若 AE = 3，△ADC 的周长为 20，则VABC 的周长为（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
2．（18-19 八年级上·广东潮州·期中）如图， AD 是VABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和VACD的
高，则下列结论：
① EF 垂直平分 AD ；② AD ^ EF ；③ AE + DF = AF + DE ；④O为 EF 的中点．其中一定正确的是
（填序号）
3．（23-24 八年级下·陕西渭南·期中）如图，E 是VABC 边 AB 的延长线上一点， BCE = A + ACB．求证：
点E 在BC 的垂直平分线上．
A 夯实基础
1．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明△ADF
和VADE 的全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
2．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，OC 平分 AOB ，点 P 是射线OC 上一点，PM ^ OB 交于
点 M，点 N 是射线OA上的一个动点，连接PN ．若PM = 6，则PN 的长度不可能是（ ）
A．18 B．7.2 C．6 D． 4.5
3．（23-24 七年级下·山西太原·期末）如图， 1 = 2， AD = AB ，要使VADE≌VABC ，则可添加的一个条
件是 （写出一个即可）．
4．（23-24 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点 E, F 在 AC 上， AE = CF ， BE∥ DF ，添加一个条件，
使△ADF ≌△CBE ．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可）
5．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 VABC 中，点 D在边 BC 上， BD = AC ， DE = CB， DE∥ AC ．求证：
BED = ABC ．
6．（23-24 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，D是VABC 边 AB 上的一点，点E 是 AC 的中点，连接DE
并延长至点F ，使EF = DE ，连接CF ．试说明：CF = AD．
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使
AB∥CD, BO = OC ，点 A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO ，从而可通过测量CD 的长度得
知小河的宽度 AB ．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO 的依据的是（ ）
A．SAS 或 SSS B．AAS 或 SSS
C．ASA 或 AAS D．ASA 或 SAS
2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）如图，在VABC 和VDEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，
B = E, BF = CE ，只添加一个条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A． AB = DE B． AC = DF C． A = D D． ACB = DFE
3．（23-24 九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在RtVABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，点D为BC 上一
点，连接 AD ．过点 B 作 BE ^ AD于点 E ，过点C 作CF ^ AD 交 AD 的延长线于点 F ．若 BE = 5，CF = 2，
则EF 的长度为 ．
4．（23-24 七年级下·河南郑州·期末）如图，VABC 中， AC 的垂直平分线交BC 于点 E，若VABE 的周长
14，VABC 的周长 24，则CD = ．
5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，VABC 和VDEF 中，点 A，D，B，E 在一条直线上， ABC = DEF ．
(1)给出以下 3 个条件：① AD = BE ，② AC∥DF ，③ C = F 从中选择两个作为条件，另外一个作为结
论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
(2)请证明你的结论．
6．（2024·浙江舟山·一模）如图，在VABC 中， B = 40°， C = 25°，过点A 作 AD ^ BC ，垂足为D，延
长DA至E ．使得 AE = AC ．在边 AC 上截取 AF = AB ，连结EF ．
(1)求∠EAF 的度数．
(2)求证：EF = BC ．
C 综合素养
1．（23-24 七年级下·安徽宿州·期末）如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若 BE
交CF 于点D, AC 交 BE 于点M , AB交CF 于点 N ，则下列结论中错误的是（ ）
A． EAC = FAB B．CM = BN
C．VACN≌VABM D．FN = DN
2．（23-24 七年级下·上海浦东新·期末）如图，在△ACB中， ACB = 90°，VABC 的角平分线 AD 、 BE 相交
于点 P ，过 P 作PF ^ AD 交BC 的延长线于点F ，交 AC 于点 H ． 有下列结论：① APB =135°；②
△ABP≌△FBP；③ AHP = ABC ；④ AH + BD = AB ；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
3．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，BD ^ CE
于D， AE ^ CE 于E ，DE = 4cm，BD = 6cm，则 AE 的长是 cm．
4．（23-24 七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在四边形 ABCD中， AB = AD ， BAD =140°， AB ^ CB于点
B， AD ^ CD 于点 D，E、F 分别是CB、CD 上的点，且 EAF = 70°，下列说法①DF = BE ；②FA平分
DFE ；③ AE 平分 FAB；④CF + CE > FD + EB ．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
5．（2024 七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图 1，已知 AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分别为点 A，B．若
AC = PB，
AP = BD，探究PC 与PD的关系，并说明理由．
【尝试应用】如图 2， AB = 9cm，AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分别为点 A，B， AC = 7cm ．点 P 在线段 AB 上
以 2cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时点 Q 在射线BD上以同样的速度运动，它们运动的时间为（t s）（当
点 P 运动结束时，点 Q 运动随之结束）．当 t =1时，判断此时线段PC 和线段 PQ的关系，并说明理由．
【拓展提高】如图 3，在【尝试应用】的基础上，把“ AC ^ AB，BD ^ AB ”改为“ CAB = DBA ”，若点 Q
的运动速度为 xcm / s ，其它条件不变，当点 P，Q 运动到何处时有△ACP与VBPQ全等，求出相应的 x 的
值．
6．（23-24 七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图 1，已知VABC 中， AD 是BC 边上的中线．求证： AB + AC＞2AD
智慧小组的证法如下：
证明：如图 2，延长 AD 至 E，使DE = AD，
∵ AD 是BC 边上的中线，
∴BD = CD，
ìBD = CD
在△BDE 和△CDA 中， í BDE = CDA，
DE = DA
∴△BDE≌△ CDA（依据 1），
∴BE = CA，
在VABE 中， AB + BE＞AE （依据 2），
∴ AB + AC＞2AD ．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：
依据 1： ；依据 2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线 AD ，使DE = AD，构造了一对全等三角形，将 AB ， AC ， AD 转化到一个三角
形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
(2)任务二：如图 3， AB = 6， AC = 8，则 AD 的取值范围是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6 AD 8； C． 1＜AD＜7
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图 4，RtVABC
1
中， BAC = 90°，D 为BC 中点，求证： AD = BC ．
2
