第 04 讲 等腰三角形的判定定理（2 个知识点+12 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.掌握等腰三角形的判定定理；
1.等腰三角形的判定定理；
2.学会用等腰三角形的判定定理证明等腰三角形；
3、掌握等腰三角形的判定定理并灵活运用；
知识点 01：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）
总结：
【即学即练 1】已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为11cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B． 27cm C．21cm D．21cm 或 27cm
【即学即练 2】如图，在DABC中， AB = AC ， AD = BD ，DE ^ AB于点 E，若BC = 4，DBDC 的周长为
10，则 AE 的长为（ ）
A． 2.5 B．3 C．3.5 D．4
知识点 02：等边三角形的判定
1、判定：
①三条边都相等的三角形是做等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定
图形 等腰三角形 等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
形
判
定
三个角都相等的三角形是等边三角
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
形
等边三角形的判定方法：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
【即学即练 3】下列四个说法中，正确的有（ ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【即学即练 4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
题型 01 格点中画等腰三角形
1．如图，在3 3的网格中，以 AB 为一边，点 P 在格点处，使VABP为等腰三角形的点 P 有（ ）个
A．2 个 B．5 个 C．3 个 D．1 个
2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B 分别在格点处，若 C 也是图中的格点，且使得VABC
是以 AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点 C 有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B 是网格中的两个格点，如果 C 也是网格中
的格点，且使VABC 为等腰三角形，那么符合条件的点 C 有 个．
4．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图中已有两个阵点分别标
为 A，B，请在此点阵中找一个阵点 C，使得以点 A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点
C 有 个．
5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为 1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点
上．
(1)在图 1 中画一个以 AB 为直角边且面积为 3 的直角三角形．
(2)在图 2 中画一个以 AC 为腰的等腰三角形．
题型 02 找出图中的等腰三角形
1．如图，在VABC 中， AB = AC ， B = 72°，CD平分 ACB 交 AB 于点D，DE∥ AC 交BC 于点E ，则
图中共有等腰三角形（ ）
A．3个 B． 4个 C．5个 D．6 个
2．如图，已知线段 AB 的端点 B 在直线 l上（ AB 与 l不垂直）请在直线 l上另找一点C ，使VABC 是等腰三
角形，这样的点能找（ ）
A． 2个 B．3个 C． 4个 D．5个
3．如图，在VABC 中，已知边 AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点 P ，连接PA、PB、PC ，则图
中有 个等腰三角形．
4．如图，已知VABC 中， AB = 3，BC = 7 ，在VABC 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为 3 的等腰
三角形，则这样的直线最多可画 条．
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：AB+BE=CD．
（2）若 AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
题型 03 根据等角对等边证明等腰三角形
1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A． 40°，70° B．30°，90°
C．60°，50° D． 40°， 20°
2．在VABC 中， A = 36°， B = 72°，则VABC 是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，则VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
4．在VABC 中， A = 90°，当 B = 度时，VABC 是等腰三角形．
5．如图，在VABC 中， BAC = 60°, C = 40°, ABC 的平分线 交 AC 于点D．判断△BCD是否为等腰三
角形 请说明理由．
题型 04 根据等角对等边证明边相等
1．如图，在VABC 中，BC = 6，边 AB 的垂直平分线交BC 于M ，点 N 在MC 上，连接 AM ， AN ，
C = NAC ，则△MAN 的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
2．在VABC 中， AD 平分 BAC， B = 2 ADB，AB = 3，CD = 5，则 AC 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在VABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交 AB 于M ，交 AC 于
N ，若BM + CN = 8，则线段MN 的长为 ．
4．如图，在VABC 中， AB = 4， AC = 6 ， ABC 和 ACB 的平分线交于 O 点，过点 O 作BC 的平行线交
AB 于 M 点，交 AC 于 N 点，则VAMN 的周长为 ．
5．如图，VABC 中，CA = CB ，点 D 在BC 的延长线上，连接 AD，AE 平分 CAD交 于点 E，过点 E 作
EF ^ AB，垂足为点 F，与 AC 相交于点 G．．
(1)求证：CG = CE ；
(2)若 B = 30°， CAD = 40°，求 AEF 和 D的度数；
(3)求证： D = 2 AEF ．
题型 05 根据等角对等边求边长
1．如图，在VABC 中， B = C ， AB = 4，则 AC 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在VABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD = 6，过点 D 作DE∥BC 交 AB 于点 E，若△AED
的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．16
3．如图，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿过点 A 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E
1
处，折痕为 AD ，若 ADE = C ，则BD的长是 ．
2
4．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC =10， BC =12，点 D 是 AC 边的中点，点 E 是 BC 边上一动点，
将VCDE沿DE 折叠得到VC DE，连接BC ，当△BEC 是直角三角形时， BE 的长为 ．
5．如图， BAC = 100°, B = 40°， D = 20°，AB = 3，求CD的长．
题型 06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
1．点 A，B 在直线 l 同侧，若点 C 是直线 l 上的点，且VABC 是等腰三角形，则这样的点 C 最多有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为 (3, 4) ，点 P 是坐标轴上的一点，使VOAP为等腰三
角形的点 P 的个数有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
3．如图，点O在直线 l上，点A 在直线 l外.若直线 l上有一点 P 使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点
P 位置有 个.
4．如图，已知Rt△ABC 中， C = 90°, A = 30° .在直线BC 或 AC 上取一点 P，使得VPAB 是等腰三角形，
则符合条件的 P 点有 个.
5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点 B ，点C 在直线EF 上， 是以 AB 、 AC 为腰的等腰三
角形．
（1）在图中画出
（2）已知 BAF = 40°，求 BCA
题型 07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．已知VABC 中， AB = AC ． A =108°，在平面内找一点 P ，使得VPAB ，VPAC ，VPBC 都是等腰三角
形，则这样的 P 点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知：如图VABC 中， B=60°， C = 80°，在直线 BA 上找一点 D，使VACD或△BCD为等腰三角形，
则符合条件的点 D 的个数有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
3．如图，在VABC 中， B = 25°, A = 100°，点 P 在VABC 的三边上运动，当VPAC 成为等腰三角形时，
其顶角的度数是 ．
4．如图， AOB = 60°，C 是OB 延长线上一点，若OC = 18cm，动点 P 从点C 出发沿CB 以 2cm/ s的速度
移动，动点Q从点O沿OA以1cm/ s 的速度移动，如果点 P 、Q同时出发，用 t(s)表示移动的时间，当 t = s
时，△POQ 是等腰三角形？
5．如图，在VABC 中， AB = AC = BC ，VABC 所在的平面上有一点 P （如图中所画的点P1），使VPAB ，
△PBC ， VPAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 P 有几个（包括点P1）？在图中画出来．
题型 08 作等腰三角形（尺规作图）
1．如图，已知直线m P n，线段 AC 分别与直线 m，n 相交于点 B 、点C ，以点A 为圆心， 的长为半径画
弧交直线m 于点 B 、点D．若 A = 70°，则a 的度数为（ ）
A． 45° B．50° C．55° D．60°
2．如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P，过点 P 作直线 l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，
连接 CD，则∠ACD 的度数是 ．
4．如图，直线 a，b 相交于点O， 1＝50°，点A 是直线上的一个定点，点 B 在直线b 上运动，若以点O，
A ， B 为顶点的三角形是等腰三角形，则 OAB的度数是 ．
5．已知：线段 a，h，求作等腰VABC ，使底边 BC = a，高 AD = h，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，
不必写作法和证明）．
题型 09 等腰三角形的性质和判定
1．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点F ，交BC 于点E ，若VABC
周长为16，AC = 6，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．如图，在VABC中， AB = AC =16，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作 AB，AC 的平行线，交 AC
于点F ，交 于点D，则四边形 ADEF 的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
3．如图，在VABC 中，BD和CD分别是 ABC 和 ACB 的平分线，EF 过点 D，且EF∥BC ，若
BE = 3，CF = 4，则EF 的长为 ．
4．如图，在Rt△ABC 中， A = 90°， C = 30°，作边BC 的垂直平分线，交 AC 于点D，交BC 于点E ．若
AD = 3，则 的长为 ．
5．如图，在VABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在BC 上，BD = BE ， BAD = BCE ， AD 与CE相交于点 F．
(1)证明：BA = BC ；
(2)求证：VAFC 为等腰三角形．
题型 10 三角形边角的不等关系
1．若等腰三角形的一边长等于 2，另一边长等于 3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7 或 8
2．如图，VABC 中， AB = 5, AC = 9, BC = 10, EF 垂直平分BC ，点 P 为直线EF 上的任一点，则VABP周长
的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
3．等腰三角形周长为 20，一边长为 4，则另两边长为 ．
4．等腰三角形的一边是 7，另一边是 4，其周长等于 .
5．已知 a、b 、 c为VABC 的三边长， a、b 满足 (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，且 c为方程 | x - 6 |= 3的解，求VABC
的周长并判断VABC 的形状.
题型 11 等边三角形的判定
1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等
边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边
三角形．正确的命题有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
2．在VABC 中， A = 60°，添加下列一个条件后，仍不能判定VABC 为等边三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
3．在VABC 中， B = C ，若添加一个条件使VABC 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一
个即可）
4．已知 a，b ， c为VABC 三边的长，当 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 时，则VABC 的形状是 ．
5．如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC ， B = D，点 E 在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证： E = ECD；
(2)若 E = 60°，CE平分 BCD，请判断VBCE 的形状并说明理由．
题型 12 等边三角形的判定和性质
1．如图， AOB = 30°，点 P 在 AOB的内部，点 C，D 分别是点 P 关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB
分别于点 E，F；若!PEF 的周长的为 9，则线段OP =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．75° B．15° C．30°或150° D．15°或75°
3．如图，已知 AOB = 30°， P 是 AOB内部的一个定点，且OP =1，点 E 、 F 分别是OA、OB 上的动点，
则!PEF 周长的最小值等于 ．
4．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 Q 是 AC 的中点，若动点 P 以 2cm /秒的速度从点 A 出发沿 A B A
方向运动设运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△APQ 是等腰三角形时，则 t 的值为 秒．
5．如图，D是等边VABC 外的一点，BC = 3，DB = DC ， BDC =120°，点E 、F 分别在 AB 和 AC 上．
(1)求证： AD 是BC 的垂直平分线
(2)若ED平分 BEF ，
①证明：FD 平分 EFC ；
②求△AEF 的周长．
1．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F，交BC 于点 E，若VABC
周长为 16， AC = 6 ，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC 于点D，BE ^ AC 于点E ，交 AD 于点F ，若
AF =10 ，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．如图，在VABC 中， AB = AC ， A =120°， BC = 6cm ， AB 的垂直平分线交 BC 于点M ，交 AB 于点 E ，
AC 的垂直平分线交BC 于点 N ，交 AC 于点F ，则MN 的长为（ ）
A． 4cm B．3cm C． 2cm D．1cm
4．如图，D为VABC 内一点，CD平分 ACB ，BD ^ CD， A = ABD，若 AC = 5，BC = 3，则BD的
长为（ ）
A．1 B．1.5 C． 2 D． 2.5
5．如图，在VAOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD，OA < OC ， AOB = COD = 36°．连接 AC、BD
交于点 M，连接OM ．下列结论：① BOM = COM ；② AC = BD；③OM 平分∠AMD；④
AOD =144°，⑤VMOC≌VMOD其中正确的结论个数有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，在四边形OAPB中， AOB =120°，OP 平分 AOB，且OP = 2 ，若点 M、N 分别在直线OA、OB
上，且VPMN 为等边三角形，则满足上述条件的VPMN 有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3 个以上
7．如图，VABC 中，BO、CO分别平分 ABC 和 ACB ，过点O平行于BC 的直线分别交 AB 、 AC 于点
D、E ，已知 AB = 9cm， AC = 8cm ，VADE 的周长为 ．
8．如图， AOB = 60°，C 是BO延长线上一点，OC = 12cm ，动点 M 从点 C 出发沿射线CB 以2cm / s的速
度移动，动点 N 从点 O 出发沿射线OA以1cm / s 的速度移动，如果点 M、N 同时出发，设运动的时间为 ts ，
那么当 t = s 时，△MON 是等腰三角形．
9．已知，在VABC 中， AB = AC ，BD ^ AC 于点 D， AE ^ BC 于点 E，若 BAC = 50°，则 DCO =
°．
10．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD 是VABC 的中线，点 E 在 AC 上，且 AE = AD，连接DE ，若
CDE = 20°，则 B 的度数为 °．
11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，
如图，VABC中， A = 36°, B为钝角，则使得VABC是特异三角形所有可能的 B的度数为 ．
12．已知在VABC 中， A = 40° ，D 为边 AC 上一点，△ABD 和△BCD都是等腰三角形，则 C 的度数可
能是 ．
13．如图，在VABC 中， AB = AC，D是BC 边上一点，以 AD 为边在 AD 右侧作VADE ，使 AE = AD，连
接CE， BAC = DAE =108°
(1)求证：VBAD≌VCAE ；
(2)若DE = DC ，求 CDE的度数．
14．如图，点 D、E 在VABC 的边BC 上， AD = AE ，BD = CE ．
(1)求证： AB = AC ．
(2)若 BAC =108°, 2 DAE + BAC =180° ，直接写出图中除VABC 与VADE 外所有等腰三角形．
15．如图，在等边VABC 中，点 D 在边BC 上，过点 D 作DE∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点 F．
(1)求 F 的度数；
(2)求证：DC = CF ．
16．如图，已知VABC 中，D 为BC 上一点， AB = AD ，E 为VABC 外部一点，满足 AC = AE ，连结 ，
与 AC 交于点 O，且 CAE = BAD ．
(1)求证：△ABC ≌△ADE；
(2)若 BAD = 25°，求 EDC 的度数．
17．如图，已知在VABC 中， AB = AC =10厘米， BC = 8厘米，点 D 为 AB 的中点，点 P 在线段BC 上以 3
厘米/秒如果点 P 在线段BC 上以 3 厘米每秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA上由 C 点向 A
点运动．
(1)若点 Q 的运动速度与点 p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理
由；
(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角
形CQP 全等？
18．（1）【问题提出】如图 1，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE ，已知 ACE = B = D = 90°， AC = CE ，B、C、
D 三点在一条直线上， AB = 5， DE = 6.5，则BD的长度为______．
（2）【问题提出】如图 2，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC = 4，过点 C 作CD ^ AC ，且CD = AC ，求△BCD
的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图 3 所示，在河流BD的周边规划
一个四边形 ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形 ABCD中， ABC = CAB = ADC = 45°，
AC = BC ，VACD面积为12km2 ，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为______ km2．第 04 讲 等腰三角形的判定定理（2 个知识点+12 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.掌握等腰三角形的判定定理；
1.等腰三角形的判定定理；
2.学会用等腰三角形的判定定理证明等腰三角形；
3、掌握等腰三角形的判定定理并灵活运用；
知识点 01：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）
总结：
【即学即练 1】已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为11cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B． 27cm C．21cm D．21cm 或 27cm
【答案】B
【分析】分别讨论腰，结合三角形三边关系即可得到答案；
【详解】解：①当5cm为腰时，三边分别是：5cm，5cm，11cm，
∵5+5 <11，
∴不存在此类情况，
②当11cm为腰时，三边分别是：5cm，11cm，11cm，
∵11-11 < 5 <11+11，
此时周长为：5+11+11=27，
故选 B；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键是分类讨论．
【即学即练 2】如图，在DABC中， AB = AC ， AD = BD ，DE ^ AB于点 E，若BC = 4，DBDC 的周长为
10，则 AE 的长为（ ）
A． 2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】根据已知可得BD + CD = 6 ，从而可得 AB = AC = 6 ，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
【详解】解：QBC = 4，且DBDC 的周长为 10，
\BD + CD =10 - 4 = 6，
Q AB = BD，
\ AD + DC = 6，
\ AC = 6，
QAB = AC，
\ AB = 6，
Q AD = DB，DE ^ AB，
AE 1\ = AB = 3
2 ．
故选 B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键
知识点 02：等边三角形的判定
1、判定：
①三条边都相等的三角形是做等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定
图形 等腰三角形 等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
形
判
定
三个角都相等的三角形是等边三角
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
形
等边三角形的判定方法：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
【即学即练 3】下列四个说法中，正确的有（ ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可判断．
【详解】解：①三个角都相等，则三个角都是60°，三边都相等，即该三角形是等边三角形，此说法正确．
②有两个角等于60°，则剩余的一个角为60°，三个角都是60°，三边都相等，即该三角形是等边三角形，
此说法正确．
③若顶角为60°，则两个底角相等，均为 180 - 60° 2 = 60°，三个角都是60°，三边都相等，即该三角形是
等边三角形；若底角为60°，则顶角为180° - 60° 2 = 60°，三个角都是60°，三边都相等，即该三角形是等
边三角形，此说法正确．
④若相等的两个角是底角，则这个等腰三角形不一定是等边三角形，此说法错误．
说法正确的是：①②③，共有 3 个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌
握基本知识．
【即学即练 4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【答案】D
【分析】根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】解：根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
【点睛】此题考查学生对有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形的运用．
题型 01 格点中画等腰三角形
1．如图，在3 3的网格中，以 AB 为一边，点 P 在格点处，使VABP为等腰三角形的点 P 有（ ）个
A．2 个 B．5 个 C．3 个 D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当 AB 为底边时，当 AB 为腰时，分别画出图形，即
可得出答案．
【详解】解：如图，当 AB 为底边时，以 AB 为底边的等腰三角形有 3 个，
；
如图，当 AB 为腰时，以 AB 为腰的等腰三角形有 2 个，
；
综上所述，使VABP为等腰三角形的点 P 有3 + 2 = 5个，
故选：B．
2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B 分别在格点处，若 C 也是图中的格点，且使得VABC
是以 AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点 C 有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
【答案】D
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，分别以A ，B 为顶点， AB 为腰，分
别作出图形可得出答案．解答本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形，再利用数形结合的思想来
求解．
【详解】解：当 AB 为等腰VABC 其中的一条腰时，符合条件的点C 有 4 个，与点A 、点 B 构成等腰直角三
角形，
即符合条件的点C 的个数为 4，
故选：D．
3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B 是网格中的两个格点，如果 C 也是网格中
的格点，且使VABC 为等腰三角形，那么符合条件的点 C 有 个．
【答案】8
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论 AB 为
等腰三角形 ABC 的底边时和 AB 为等腰三角形 ABC 其中的一条腰时的情况，即可解决．
【详解】解：如图，（1） AB 为等腰三角形 ABC 的底边时，符合条件的 C 点有 4 个；
（2） AB 为等腰三角形 ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 4 个；
故答案为 8．
4．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图中已有两个阵点分别标
为 A，B，请在此点阵中找一个阵点 C，使得以点 A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点
C 有 个．
【答案】5
【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别 AB 为腰找等腰三角形和 AB 为底找等腰三角形，
即可．
【详解】解：如图，分别 AB 为腰画出等腰三角形和 AB 为底画出等腰三角形，
符合条件的点 C 有 5 个，
故答案为：5．
5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为 1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点
上．
(1)在图 1 中画一个以 AB 为直角边且面积为 3 的直角三角形．
(2)在图 2 中画一个以 AC 为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是
学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型；
（1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)．
【详解】（1）解：如图即为所求；
（2）解：如图即为所求．
题型 02 找出图中的等腰三角形
1．如图，在VABC 中， AB = AC ， B = 72°，CD平分 ACB 交 AB 于点D，DE∥ AC 交BC 于点E ，则
图中共有等腰三角形（ ）
A．3个 B． 4个 C．5个 D．6 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性
质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ AB = AC ， B = 72°，
∴VABC 为等腰三角形， B = ACB = 72°， A = 36°
∵DE∥ AC
∴ DEB = ACB = B = 72°，
∴BD = DE，VBDE 为等腰三角形，
∵ 平分 ACB ，
∴ ACD = DCB = 36° = A，
∴ AD = CD ，VACD为等腰三角形，
BDC = A + DCA = 72o = B ，
∴BC = CD ，△BCD为等腰三角形，
∵ ACD = DCB = 36° = A，DE∥ AC ，
∴ EDC = ACD = DCB = 36°
∴DE = EC ，VDEC 为等腰三角形．
综上所述：共有 5 个等腰三角形．
故选 C．
2．如图，已知线段 AB 的端点 B 在直线 l上（ AB 与 l不垂直）请在直线 l上另找一点C ，使VABC 是等腰三
角形，这样的点能找（ ）
A． 2个 B．3个 C． 4个 D．5个
【答案】C
【分析】直线 AB 可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论．
【详解】解：当为腰长时，存在3个角等腰三角形；
如图
同理当为底边时，有1个．
如图
所以题中共有 4个点使其为等腰三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线 AB 可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答．
3．如图，在VABC 中，已知边 AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点 P ，连接PA、PB、PC ，则图
中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边 AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点 P ，
\ AP = PB, PB = PC ，
\ AP = PC ，
∴VABP,VBPC,VAPC 都是等腰三角形；
故答案为：3．
4．如图，已知VABC 中， AB = 3，BC = 7 ，在VABC 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为 3 的等腰
三角形，则这样的直线最多可画 条．
【答案】4
【分析】
此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，
根据等腰三角形的性质分别利用 AB 为底以及 AB 为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】
如图所示，当 AB = AF = 3，BA = BD = 3，AB = AE = 3，BG = AG 时，都能得到符合题意的等腰三角形．
∴这样的直线最多可画 4 条．
故答案为：4．
5．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：AB+BE=CD．
（2）若 AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得 AB=DE，BD=CD，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得 BD=CD，AD=EC=BC，可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC．
在△ABD 和△EDC 中，
ì ABD = EDC
í DB = DC ，
1 = 2
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∴DE+BE=BD，
∵BD=CD，
∴AB+BE=CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AD=EC，
∵AD=BC，BD=CD，
∴AD=BC=EC，
∴△BCD 是等腰三角形，△BCE 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的
关键．
题型 03 根据等角对等边证明等腰三角形
1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A． 40°，70° B．30°，90°
C．60°，50° D． 40°， 20°
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理求出另外一个内
角的度数，再根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形进行判断即可．
【详解】解：A、另外一个内角的度数为180° - 40° - 70° = 70°，则该三角形是等腰三角形，符合题意；
B、另外一个内角的度数为180° - 30° - 90° = 60°，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
C、另外一个内角的度数为180° - 60° - 50° = 70°，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
D、另外一个内角的度数为180° - 40° - 20° = 120°，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
故选：A．
2．在VABC 中， A = 36°， B = 72°，则VABC 是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出 C = B = 72° 即可判断．
【详解】在VABC 中， A = 36°， B = 72°，
∴ C = 180° - A - B = 72° = B，
∴VABC 是等腰三角形，
故选：B．
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，则VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得 A的度数，
从而得到 A = C ，进而得到BC = AB，即可求解．
【详解】解：∵ B = 50°，∠C = 65°，
∴ A =180° - B - C = 65°，
∴ A = C ，
∴BC = AB，
∴VABC 是等腰三角形．
故答案为：是
4．在VABC 中， A = 90°，当 B = 度时，VABC 是等腰三角形．
【答案】45
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，熟知等角对等边是解题的关键．
【详解】解：∵在VABC 中， A = 90°，
180° -∠A
∴当∠C =∠B = = 45°，VABC 是等腰三角形
2
∴当∠B = 45度时，VABC 是等腰三角形，
故答案为： 45．
5．如图，在VABC 中， BAC = 60°, C = 40°, ABC 的平分线 交 AC 于点D．判断△BCD是否为等腰三
角形 请说明理由．
【答案】△BCD是等腰三角形，理由见解析
1
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意求得 CBD = ABC = 40°即可求证．
2
【详解】解：△BCD是等腰三角形，理由如下：
∵ BAC = 60°, C = 40°,
∴ ABC =180° - BAC - C = 80°
∵BD平分 ABC
1
∴ CBD = ABC = 40°
2
∴ CBD = C
∴DB = DC
∴△BCD是等腰三角形
题型 04 根据等角对等边证明边相等
1．如图，在VABC 中，BC = 6，边 AB 的垂直平分线交BC 于M ，点 N 在MC 上，连接 AM ， AN ，
C = NAC ，则△MAN 的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据
C = NAC ，得出 AN = NC ，结合垂直平分线的性质，得出 AM = BM ，即可作答．
【详解】解：∵ C = NAC
∴ AN = NC
∵边 AB 的垂直平分线交BC 于M
∴ AM = BM
∵△MAN 的周长= AM + MN + AN
∴△MAN 的周长= BM + MN + NC = BC = 6
故选：A
2．在VABC 中， AD 平分 BAC， B = 2 ADB，AB = 3，CD = 5，则 AC 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键
是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
在 AC 上截取 AE = AB ，连接DE ，证明VABD≌VAED，得到 B = AED，再证明CD = EC ，进而代入数值
解答即可．
【详解】解：在 AC 上截取 AE = AB ，连接DE ，
Q AD 平分 BAC ，
\ BAD = EAD ，
在△ABD 和△AED 中，
ìAB = AE
í BAD = EAD，
AD = AD
\VABD≌VAED SAS ，
\ B = AED ， ADB = ADE ，BD = DE，
又 B = 2 ADB，
\ AED = 2 ADB ，
而 BDE = ADB + ADE = 2 ADB ，
\ BDE = AED ，
\ CED = EDC ，
\CD = CE ，
\ AC = AE +CE = AB +CD = 3+5 = 8 ．
故选：C ．
3．如图，在VABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交 AB 于M ，交 AC 于
N ，若BM + CN = 8，则线段MN 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得∠MBE =∠EBC ，
ECN = ECB ，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得∠MBE =∠MEB ， NEC = ECN ，
然后即可求得结论．解题的关键是证明 BM = M E ，EN = CN ．
【详解】解：∵ ABC 和 ACB 的平分线交于点E ，BM + CN = 8，
∴∠MBE =∠EBC ， ECN = ECB ，
∵MN ∥BC ，
∴ EBC = MEB， NEC = ECB ，
∴∠MBE =∠MEB ， NEC = ECN ，
∴ BM = M E ，EN = CN ，
∴MN = ME + EN = BM + CN = 8，
∴线段MN 的长为8．
故答案为：8．
4．如图，在VABC 中， AB = 4， AC = 6 ， ABC 和 ACB 的平分线交于 O 点，过点 O 作BC 的平行线交
AB 于 M 点，交 AC 于 N 点，则VAMN 的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将
周长转换为 AB + AC 是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB = MO ，
NC = NO ，将三角形周长转化为 AB + AC ，求出即可．
【详解】解：QBO 为 ABC 的平分线，CO为 ACB 的平分线，
\ ABO = CBO， ACO = BCO，
Q MN ∥BC ，
\ MOB = OBC ， NOC = BCO ，
\ ABO = MOB ， NOC = ACO ，
\ MB = MO ， NC = NO ，
\ MN = MO + NO = MB + NC ，
Q AB = 4， AC = 6 ，
\ VAMN 周长为 AM + MN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC =10，
故答案为：10
5．如图，VABC 中，CA = CB ，点 D 在BC 的延长线上，连接 AD，AE 平分 CAD交 于点 E，过点 E 作
EF ^ AB，垂足为点 F，与 AC 相交于点 G．．
(1)求证：CG = CE ；
(2)若 B = 30°， CAD = 40°，求 AEF 和 D的度数；
(3)求证： D = 2 AEF ．
【答案】(1)见解析
(2) AEF = 40°， D = 80°
(3)见解析
【分析】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关
系是解题关键．
（1）根据等边对等角得出 B = CAB，再由等角的余角相等得出 BEF = AGF ，利用等角对等边即可证
明；
（2）根据角平分析及等边对等角得出 CAB = B = 30°，再由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据三角形内角和定理得出 AEF = 90° - CAB + EAC ， D =180° - 2 CAB + EAC ，即可证
明．
【详解】（1）证明：∵CA = CB ，
∴ B = CAB ．
∵EF ^ AB，
∴ AFE = EFB = 90°．
∴ B + BEF = 90°， CAB + AGF = 90°，
∴ BEF = AGF ．
∵ AGF = EGC ，
∴ CEG = EGC ．
∴CG = CE ．
（2）解：∵ AE 平分 CAD，
∴ EAD EAC
1 CAD 1= = = 40° = 20°．
2 2
∵CA = CB ，
∴ CAB = B = 30°．
在△AEF 中， AEF =180° - AFE - CAB - EAC = 40°．
在△ABD 中， D =180° - B - CAB - CAD = 80°．
（3）证明：在△AEF 中，
AEF =180° - AFE - CAB - EAC = 90° - CAB + EAC ．
在△ABD 中，
D =180° - B - CAB - CAD =180° - 2 CAB + EAC ．
∴ D = 2 AEF ．
题型 05 根据等角对等边求边长
1．如图，在VABC 中， B = C ， AB = 4，则 AC 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可．
【详解】解：Q B = C ，
\VABC 是等腰三角形，
\ AB = AC = 4，
故选：C．
2．如图，在VABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD = 6，过点 D 作DE∥BC 交 AB 于点 E，若△AED
的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．16
【答案】A
【分析】由题意可知 ABD = DBC ， EDB = DBC ，有 ABD = EDB ，可知BE = DE ，由三角形的周
长可求 AE + ED的值，由 AB = AE + BE = AE + DE可求 AB 的值．
【详解】解：Q BD是 ABC 的平分线
\ ABD = DBC
∵DE∥BC
∴ EDB = DBC
∴ ABD = EDB
∴BE = DE
∵△AED 的周长为 16，
∴ AE + ED + AD =16
∵ AD = 6，
∴ AE + ED =10
∴ AB = AE + BE = AE + DE =10
故选 A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键在于推导出BE = DE ．
3．如图，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿过点 A 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E
1
处，折痕为 AD ，若 ADE = C ，则BD的长是 ．
2
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9，
C = AED，进而证得 BDE = BED，得到BD = BE = 3．
【详解】解：由折叠的性质可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9， C = AED， ADE = ADC ，
QAB =12，
\BE = AB - AE = 3，
Q ADE 1= C ，即 C = 2 ADE2 ，
\ EDC = AED ，
\ BDE = BED ，
\BD = BE = 3，
故答案为：3．
4．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC =10， BC =12，点 D 是 AC 边的中点，点 E 是 BC 边上一动点，
将VCDE沿DE 折叠得到VC DE，连接BC ，当△BEC 是直角三角形时， BE 的长为 ．
26
【答案】 或 7
3
【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，
属于中考常考题型．分两种情形：如图 1 中，当 EC B = 90°时，如图 2 中，当 BEC = 90°时，分别求解
即可．
【详解】解：如图 1 中，当∠EC B = 90°时，
Q C = DC E = 90°，
\ DC E + EC A = 180°，
\ D ，C ， B 共线，
QCD = DB = 5，BC =12，
\AD = CD2 + BC2 = 52 +122 =13，
设CE = EC = x ，则BE =12 - x ，
在Rt△BEC 中，则有 (12 - x)2 = x2 + (13- 5)2
x 10解得 = ，
3
BE 12 10 26\ = - =
3 3 ；
如图 2 中，当 BEC = 90°时， CED = DEC = 45° ，
Q C = 90° ，
\ CDE = CED = 45°，
\CD = CE = 5 ，
\ BE = 15 - 2 = 7 ，
26
综上所述，满足条件的CE的值为 或 7．
3
26
故答案为： 或 7．
3
5．如图， BAC = 100°, B = 40°， D = 20°，AB = 3，求CD的长．
【答案】3
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理
求出 B = ACB = 40°，得到 AC = AB = 3，再由三角形外角的性质得到∠CAD = 20° = D ，则
CD = AC = 3．
【详解】解：∵ BAC = 100°, B = 40°，
∴ ACB =180° - BAC - B = 40°，
∴ B = ACB，
∴ AC = AB = 3，
∵ ACB = D + CAD = 40° ， D = 20°，
∴∠CAD = 20° = D ，
∴CD = AC = 3．
题型 06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
1．点 A，B 在直线 l 同侧，若点 C 是直线 l 上的点，且VABC 是等腰三角形，则这样的点 C 最多有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以 A 点为圆心，AB 为半径作弧交直线 l 于点C1、C2 ，再
先以 B 点为圆心，BA为半径作弧交直线 l 于点C3，C4，最后作 AB 的垂直平分线交直线 l 于点C5 ．
【详解】解：如图，点C1、C2、C3、C4、C5 为所作，
故答案为：A．
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为 (3, 4) ，点 P 是坐标轴上的一点，使VOAP为等腰三
角形的点 P 的个数有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．分别以O、A 为圆心，以OA长为半径作圆，
与坐标轴交点即为所求点 P ，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点 P ，作出图形，利
用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点 P 的个数为 8 个．
故选：D．
3．如图，点O在直线 l上，点A 在直线 l外.若直线 l上有一点 P 使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点
P 位置有 个.
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，
利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以O为圆心，OA长为半径画弧，与直线 l交于点P1、P2，
此时OA = OP1 = OP2 ，△AP1O 和VAP2O为等腰三角形，
②以A 为圆心，OA长为半径画弧，与直线 l交于点P3 ，
此时OA = OP2，VAP3O为等腰三角形，
③作OA的垂直平分线，与与直线 l交于点P4，
此时OP4 = AP4 ，VAP4O为等腰三角形，
即满足条件的点 P 位置有 4 个，
故答案为：4．
4．如图，已知Rt△ABC 中， C = 90°, A = 30° .在直线BC 或 AC 上取一点 P，使得VPAB 是等腰三角形，
则符合条件的 P 点有 个.
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第 1 个点在 AC 上，作线段 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 P，则有PA = PB ；
第 2 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP = AB ，交 AC 延长线上于点 P；
第 3 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP = AB ，在上边于CA延长线上交于点 P；
第 4 个点是以 B 为圆心，以BA长为半径截取BP = BA，与 AC 的延长线交于点 P；
第 5 个点是以 B 为圆心，以BA长为半径截取BP = BA，与BC 在左边交于点 P；
第 6 个点是以 A 为圆心，以 AB 长为半径截取 AP = AB ，与BC 在右边交于点 P；
故符合条件的点 P 有 6 个点．
故答案为：6．
5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点 B ，点C 在直线EF 上， 是以 AB 、 AC 为腰的等腰三
角形．
（1）在图中画出
（2）已知 BAF = 40°，求 BCA
【答案】（1）见解析；（2）70°或 20°
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）．
（2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求．
（2）在△ABC 中，∵∠CAB=40°，AB=AC，
1
∴∠ACB=∠ABC= （180°-40°）=70°．
2
在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′，
1
∴∠AC′B=∠ABC′= （180°-140°）=20°．
2
综上所述，∠ACB=70°或 20°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问
题，属于中考常考题型．
题型 07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．已知VABC 中， AB = AC ． A =108°，在平面内找一点 P ，使得VPAB ，VPAC ，VPBC 都是等腰三角
形，则这样的 P 点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点 A 为圆心， AB 为半径画圆，
以点 B 为圆心， AB 为半径画圆，以点 B 为圆心，BC 为半径画圆，
以点 C 为圆心， AC 为半径画圆，以点 C 为圆心，BC 为半径画圆，
再作 AB ， AC ，BC 的垂直平分线，分别得到 8 个点 P，
则满足条件的所有点 P 的个数为 8，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2．已知：如图VABC 中， B=60°， C = 80°，在直线 BA 上找一点 D，使VACD或△BCD为等腰三角形，
则符合条件的点 D 的个数有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
【答案】B
【分析】分VACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．
【详解】解：如图：当BC = BD 时，△BCD是等腰三角形；
∵ CBA=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC = BD = CD ；
当BC = BD1 时，△BCD是等腰三角形；
当 AC = AD2 = AD3 ，CA = CD4 ，当CD5 = D5 A时，VACD都是等腰三角形；
综上，符合条件的点 D 的个数有 6 个．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要
进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再
一一分析符合条件的图形．
3．如图，在VABC 中， B = 25°, A = 100°，点 P 在VABC 的三边上运动，当VPAC 成为等腰三角形时，
其顶角的度数是 ．
【答案】100°或 55°或 70°
【分析】作出图形，然后分点 P 在 AB 上与 BC 上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图 1，点 P 在 AB 上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图 2，点 P 在 BC 上时，若 AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图 3，若 AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为 105°或 55°或 70°．
故答案为：100°或 55°或 70°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
4．如图， AOB = 60°，C 是OB 延长线上一点，若OC = 18cm，动点 P 从点C 出发沿CB 以 2cm/ s的速度
移动，动点Q从点O沿OA以1cm/ s 的速度移动，如果点 P 、Q同时出发，用 t(s)表示移动的时间，当 t = s
时，△POQ 是等腰三角形？
【答案】6 或 18
【分析】分点 P 在线段 OC 上和点 P 在线段 OB 上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即
可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）点 P 在线段 OC 上时，若 ΔPOQ 是等腰三角形，则只有 OP=OQ 才满足
因此有 18 2t=t
解得 t=6(s)
（2）点 P 在线段 OB 上时，若 ΔPOQ 是等腰三角形，
∵ AOB = 60°
∴ΔPOQ 也是等边三角形
因此有 2t 18=t
解得 t=18(s)
综上，当 t 等于 6s 或 18s 时，ΔPOQ 是等腰三角形
故答案为：6 或 18．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
5．如图，在VABC 中， AB = AC = BC ，VABC 所在的平面上有一点 P （如图中所画的点P1），使VPAB ，
△PBC ， VPAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 P 有几个（包括点P1）？在图中画出来．
【答案】图见解析，10
【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点；
【详解】解：如图，在VABC 的边BC 的中垂线上有P1，P3 ，P6 和P8 四个点满足条件，而这样的对称轴有
三条，且三条对称轴都经过点P1，
，
所以满足条件的点 P 共有 4 3- 2 =10 个．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一
性质是解答关键．
题型 08 作等腰三角形（尺规作图）
1．如图，已知直线m P n，线段 AC 分别与直线 m，n 相交于点 B 、点C ，以点A 为圆心， 的长为半径画
弧交直线m 于点 B 、点D．若 A = 70°，则a 的度数为（ ）
A． 45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出 AB = AD ，
由等边对等角得出 ABD = ADB = 55°，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题
的关键．
【详解】∵以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧交直线 m 于点 B、点 D，
∴ AB = AD ,
∴ ABD = ADB ，
∵ A = 70° ,
∴ ABD = ADB
180° - 70°
= = 55° ，
2
∵m∥n，
∴ ABD = a = 55°，
故选：C．
2．如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P，过点 P 作直线 l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对
选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A 选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行，
B 选项利用同位角相等判定两直线平行，
C 选项无法判断两直线平行，
D 选项利用内错角相等即可证明两直线平行，
故选：C．
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，
连接 CD，则∠ACD 的度数是 ．
【答案】20°
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：Q在RtDABC中， ACB = 90°， A = 50°，
\ B = 40°，
QBC = BD，
\ BCD = BDC 1= (180° - 40°) = 70°
2 ，
\ ACD = 90° - 70° = 20°．
故答案为：20°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
4．如图，直线 a，b 相交于点O， 1＝50°，点A 是直线上的一个定点，点 B 在直线b 上运动，若以点O，
A ， B 为顶点的三角形是等腰三角形，则 OAB的度数是 ．
【答案】 25o ， 65o ，80o或50o
【分析】根据△OAB 为等腰三角形，所以需要分三种情况讨论：①OB=AB，作线段 OA 的垂直平分线，与
直线 b 的交点为 B，即可得到等腰三角形 OAB；②当 OA=AB 时，③当 OA=OB 时，以点 A 为圆心，OA 为
半径作圆，即可得到符合的点 B，即可得解．
【详解】要使△OAB 为等腰三角形分三种情况讨论：
①当 OB=AB 时，作线段 OA 的垂直平分线，与直线 b 的交点为 B，此时有 1 个；
OAB = 1 = 50o.
②当 OA=AB 时，以点 A 为圆心，OA 为半径作圆，与直线 b 的交点为 B，此时有 1 个；
OBA = 1 = 50o.
\ OAB =180o - 50o - 50o = 80o.
③当 OA=OB 时，以点 O 为圆心，OA 为半径作圆，与直线 b 的交点为 B，此时有 2 个，
OAB 1= 1 = 25o.
2
OAB 1 = 180o - 50o = 65o．
2
故答案为 25o ， 65o ，80o或50o
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
5．已知：线段 a，h，求作等腰VABC ，使底边 BC = a，高 AD = h，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，
不必写作法和证明）．
【答案】见解析
【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可．
本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下：
（1）作射线BG ；
（2）在射线BG 上截取 BC = a；
（3）作BC 的中垂线 AD ，交BC 于点 D；
（4）截取DA = h，
则等腰VABC 就是所求的三角形．
题型 09 等腰三角形的性质和判定
1．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点F ，交BC 于点E ，若VABC
周长为16，AC = 6，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，
根据VABC 周长为16， AC = 6 ，可得 AB + BC =10 ，根据垂直平分线的性质可得EA = EC ，根据
AB = AE 1，AD ^ BC ，可得BD = DE，所以 AB + BD = AE + DE = AB + BC = 5，由此即可求解．
2
【详解】解：∵VABC 周长为16，
∴ AB + BC + AC =16，
∵ AC = 6 ，
∴ AB + BC =10 ，
∵EF 垂直平分 AC ，
∴EA = EC ，
∵ AB = AE，AD ^ BC ，
∴BD = DE，
∴ AB + BD = AE + DE
1
= AB + BC = 5，
2
∴DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故选：A．
2．如图，在VABC中， AB = AC =16，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作 AB，AC 的平行线，交 AC
于点F ，交 于点D，则四边形 ADEF 的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得VABC，VBDE，VEFC 都是等腰
三角形，由此可得 AD + DE = AD + BD，AF + EF = AF + FC ，由此即可求解．
【详解】解：∵ AB = AC ，
∴VABC是等腰三角形，则 B = C ，
∵DE P AC，EF P AB ，
∴ DEB = C， FEC = B ，
∴ B = DEB = FEC = C ，
∴DB = DE，FE = FC ，
∵四边形 ADEF 的周长= AD + DE + EF + AF ，
= AD + DB + FC + AF
= AB + AC
= 32，
故选：A ．
3．如图，在VABC 中，BD和CD分别是 ABC 和 ACB 的平分线，EF 过点 D，且EF∥BC ，若
BE = 3，CF = 4，则EF 的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．根据角平分线与平行两个条件，可证出等
腰三角形即可解答．
【详解】解：∵BD和CD分别是 ABC 和 ACB 的平分线，
∴ ABD = DBC， ACD = DCB，
∵EF∥BC ，
∴ EDB = DBC， FDC = DCB ，
∴ ABD = EDB， ACD = FDC ，
∴EB = ED = 3，FD = FC = 4，
∴EF = ED + DF = 3+ 4 = 7，
故答案为：7．
4．如图，在Rt△ABC 中， A = 90°， C = 30°，作边BC 的垂直平分线，交 AC 于点D，交BC 于点E ．若
AD = 3，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质；根据题意得出
ABD = DBE ，进而根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：Q A = 90°， C = 30°，
\ ABC = 90° - C = 60°，
QDE 是BC 的垂直平分线，
\DB = DC ，
\ DBC = C = 30°，
\ ABD = ABC - DBC = 30°，
\ ABD = DBC = 30°，
\BD平分 ABC ，
QDA ^ AB ，DE ^ BC ，
\DA = DE = 3，
故答案为：3．
5．如图，在VABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在BC 上，BD = BE ， BAD = BCE ， AD 与CE相交于点 F．
(1)证明：BA = BC ；
(2)求证：VAFC 为等腰三角形．
【答案】(1)证明过程见解答
(2)证明过程见解答
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定．
（1）利用 AAS 证明VABD≌VCBE 可证得答案；
（2）由（1）易得 BAC = BCA，进而可求得 FAC = FCA，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在△ABD 和△CBE 中，
ì BAD = BCE
í B = B ，
BD = BE
∴VABD≌VCBE AAS ，
∴BA = BC ；
（2）证明：∵BA = BC ，
∴ BAC = BCA，
∵ BAD = BCE ，
∴ FAC = FCA，
∴FA = FC ，
∴VAFC 为等腰三角形．
题型 10 三角形边角的不等关系
1．若等腰三角形的一边长等于 2，另一边长等于 3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7 或 8
【答案】D
【分析】分边长 2 为腰和边长 3 为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可．
【详解】解：①当边长 2 为腰时，三边为 2、2、3，由 2+2＞3，则可组成三角形，即周长为 2+2+3=7；
②当边长 3 为腰时，三边为 3、3、2，由 2+3＞3，则可组成三角形，即周长为 2+3+3=8；
所以该等腰三角形的周长为 7 或 8．
故答案为 D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本
题的关键、也是解答本题的易错点．
2．如图，VABC 中， AB = 5, AC = 9, BC = 10, EF 垂直平分BC ，点 P 为直线EF 上的任一点，则VABP周长
的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
【答案】B
【分析】连接 PC，由题意易得BP = PC ，进而可得要使VABP周长为最小，则需满足BP + AP 为最小，即
PC + AP 为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点 A、P、C 三点共线时满足题意，最后问题可求解．
【详解】解：连接 PC，如图所示：
∵EF 垂直平分BC ，
∴BP = PC ，
∵ AB = 5, AC = 9, BC =10 ，
∴VABP的周长为 AB + BP + AP = 5 + BP + AP，
若使VABP周长为最小，则需满足BP + AP 为最小，即PC + AP 为最小，
∵PC + AP AC ，
∴当点 A、P、C 三点共线时，PC + AP 为最小，即为 AC 的长，
∴VABP的周长最小值为5 + BP + AP = 5 + 9 =14；
故选 B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性
质定理及三角形边角不等关系是解题的关键．
3．等腰三角形周长为 20，一边长为 4，则另两边长为 ．
【答案】8，8
【分析】从等腰三角形的腰为长为 4 与等腰三角形的底边为 4 两种情况去分析求解即可求得答案．
【详解】解：若等腰三角形的腰为长为 4，设底边长为 x，
则有 x+4×2=20，
解得：x=12，
此时，三角形的三边长为 4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为 4，设腰长为 x，
则有 2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另两边的长分别为 8，8．
故答案为：8，8．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
4．等腰三角形的一边是 7，另一边是 4，其周长等于 .
【答案】15 或 18
【详解】当 7 为底时，其它两边都为 4，7、4、4 可以构成三角形，周长为 15；
当 7 为腰时，其它两边为 4 和 7，4、7、7 可以构成三角形，周长为 18，
故答案是：18 或 15．
5．已知 a、b 、 c为VABC 的三边长， a、b 满足 (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，且 c为方程 | x - 6 |= 3的解，求VABC
的周长并判断VABC 的形状.
【答案】VABC 的周长为 8，VABC 为等腰三角形
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出 a，b 的值，再解方程 | x - 6 |= 3得到 c 可能的取值，进而
利用三角形三边关系确定 c 的值，求出△ABC 的周长和判断出其形状．
【详解】解：∵ (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，
∴a - 2 = 0，b - 3 = 0，
∴ a = 2，b = 3，
解方程 | x - 6 |= 3，
解得 x = 3或 x = 9 ，
∴c 可能为 3 或 9，
但是 c = 9时，不满足三角形三边关系定理，故舍去.
∴ a = 2，b = 3， c = 3，
∵ a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8，b = c，
∴VABC 的周长为 8，VABC 为等腰三角形.
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出 a 的值是解题关键．
题型 11 等边三角形的判定
1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等
边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边
三角形．正确的命题有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】C
【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．根据有一个角等于60°的等腰三
角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
【详解】解：①有一个外角是120°等腰三角形，即有一个内角是60°，故此三角形是一个内角为60°的等腰
三角形，是等边三角形，故正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，命题错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形不一定是等边三角形，命题错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确，
正确的命题有 2 个，
故选：C．
2．在VABC 中， A = 60°，添加下列一个条件后，仍不能判定VABC 为等边三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题
关键．根据选项所给条件逐一判断即可．
【详解】解：A、 AB = AC
1
，则 B = C = 180° - A = 60° ，VABC2 为等边三角形，不符合题意；
B、 AD ^ BC ，若D不是BC 的中点时，则VABC 不是等边三角形，符合题意；
C、 B = C
1
= 180° - A = 60° ，VABC2 为等边三角形，不符合题意；
D、 A = C = 60°，则 B=60°，VABC 为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
3．在VABC 中， B = C ，若添加一个条件使VABC 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一
个即可）
【答案】 B = A（答案不唯一）
【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三
角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形．
根据 B = C 得出 AC = AB ，结合等边三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：①当 AC = BC 时，
∵ B = C ，
∴ AC = AB ，
∴ AC = AB = BC ，即VABC 是等边三角形；
②当 B = A时，
∵ B = C ，
∴ A = B = C ，即VABC 是等边三角形；
③当 A = 60°时，
∵ B = C ，
∴ AC = AB ，
∵ A = 60°，
∴VABC 是等边三角形；
故答案为： B = A（答案不唯一）
4．已知 a，b ， c为VABC 三边的长，当 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 时，则VABC 的形状是 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用
完全平方公式变形，利用非负数的性质得出 a，b，c 之间的关系．
【详解】解：VABC 为等边三角形，理由如下：
∵ a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc ，
∴ a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 = 0，
∴ a - b 2 + b - c 2 = 0，
a - b 2 0, b - c 2∵ 0，
∴ a - b = 0，b - c = 0，
∴ a = b，b = c，
∴ a = b = c，
∴VABC 为等边三角形．
5．如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC ， B = D，点 E 在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证： E = ECD；
(2)若 E = 60°，CE平分 BCD，请判断VBCE 的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)VBCE 是等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到 EAD = B，已知 B = D，则 EAD = D，可判定BE P CD ，即可
得到 E = ECD；
（2）由 E = ECD， E = 60°，得到 ECD = E = 60°，由CE平分 BCD，得到 BCE = ECD ，进一
步可得 B = BCE = E ，即可证明VBCE 是等边三角形．
【详解】（1）证明：Q AD P BC
\ EAD = B
Q B = D
\ EAD = D
∴BE P CD
∴ E = ECD
（2）VBCE 是等边三角形
∵CE平分 BCD，
\ BCE = ECD
∵BE P CD
\ ECD = E = 60°
\ B =180° - E - BCE = 60°
\ B = BCE = E
∴VBCE 是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
题型 12 等边三角形的判定和性质
1．如图， AOB = 30°，点 P 在 AOB的内部，点 C，D 分别是点 P 关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB
分别于点 E，F；若!PEF 的周长的为 9，则线段OP =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质．连接OD ，OC ．证明△COD 是等边三角形，
进而可得结论．
【详解】解：连接OD ，OC ．
Q点C ，D分别是点 P 关于OA，OB 的对称点，
\OP = OC = OD， BOP = BOD， POA = AOC ， FD = FP，EP = EC ，
\ COD = 2 AOB = 60°，
\VCOD 是等边三角形，
\CD = OD，
QPF + EF + EP = DF + EF + EC = CD = 9，
\OP = 9．
故选：B．
2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．75° B．15° C．30°或150° D．15°或75°
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解
题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
当VABC 是锐角三角形时，然后证明出VADE≌VADC SAS ，得到 AE = AC ，证明出△AEC 是等边三角形，
得到 ACD = 60°，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当VABC 钝角三角形时，同理求解即
可．
【详解】解：如图①：VABC 是等腰三角形， AB = AC ，CD ^ AB ，延长CD使DE = CD，
∵CD ^ AB ，
∴ ADE = ADC = 90° ，
又∵DE = CD， AD = AD
∴VADE≌VADC SAS
∴ AE = AC
∵ AC = 2CD ，CE = 2CD
∴ AE = AC = EC
∴△AEC 是等边三角形
∴ ACD = 60°
∵CD ^ AB
∴ CAD =180° - ADC - ACD = 30°
∵ AB = AC
1
∴ B = C = 180° - BAC = 75°；
2
如图②：VABC 是等腰三角形， AB = AC ，CD ^ AB ，延长 AD 使DE = AD，
同理可得，△ACE是等边三角形
∴ CAD = 30°
∴ BAC =180° - CAD =150°
∵ AB = AC
∴ B = ACB
1
= 180° - BAC =15°
2
综上所述，这个三角形的底角为15°或75°．
故选：D．
3．如图，已知 AOB = 30°， P 是 AOB内部的一个定点，且OP =1，点 E 、 F 分别是OA、OB 上的动点，
则!PEF 周长的最小值等于 ．
【答案】1
【分析】本题考查轴对称求最短距离．作 P 点关于OA的对称点P ，作 P 点关于OB 的对称点P ，连接P P
交OA于点E 、交BO于点F ，连接OP 、OP ，此时!PEF 周长最小为P P ，由对称性可求VOP P 是等边
三角形，则可求P P 的长为 1．
【详解】解：作 P 点关于OA的对称点P ，作 P 点关于OB 的对称点P ，连接P P 交OA于点E 、交BO于
点F ，连接OP 、OP ，
由对称性可知，PE = P E ，PF = P F ，
\VPEF 周长 = PE + PF + EF = P E + P F + EF = P P ，
此时!PEF 周长最小，
QPO = OP ，OP = OP ，
\OP = OP ，
Q AOB = 30°，
\ P OP = 60°，
\ VOP P 是等边三角形，
QOP =1，
\ P P = 1，
故答案为：1．
4．如图，等边VABC 的边长为 4cm ，点 Q 是 AC 的中点，若动点 P 以 2cm /秒的速度从点 A 出发沿 A B A
方向运动设运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△APQ 是等腰三角形时，则 t 的值为 秒．
【答案】1 或 3/3 或 1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与
数形结合思想的应用．
由等边VABC 的边长为 4cm ，点Q是 AC 的中点，可求得 AQ 的长，然后 A = 60°，可得△APQ 为等边三角
形，分析△APQ 为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边VABC 的边长为 4cm ，点Q是 AC 的中点，
1
∴ AQ = AC = 2cm， A = 60°，
2
∴当△APQ 是等腰三角形时，可得三角形 APQ为等边三角形，
∴ AP = AQ = PQ ，
∵ AQ = 2 ，
∴ AP = 2 ，
∵动点 P 的速度为 2cm /秒，
∴当 P 从 A B 时， t = 2 2 =1，当 P 从B A时， t = 4 + 2 2 = 3．
故答案为：1 或 3．
5．如图，D是等边VABC 外的一点，BC = 3，DB = DC ， BDC =120°，点E 、F 分别在 AB 和 AC 上．
(1)求证： AD 是BC 的垂直平分线
(2)若ED平分 BEF ，
①证明：FD 平分 EFC ；
②求△AEF 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②△AEF 的周长为 6
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边三角形的性
质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得 AB = AC ，再结合DB = DC ，根据线段垂直平分线的判定定理可完成证明；
（2）①过点D作DM ^ EF 于点M ，结合（1）的结论，根据等边三角形的性质可得 AD 平分 BAC ，再
结合等边三角形的性质可证得DB ^ AB ，DC ^ AC ；然后利用角平分线的性质可得BD = DM ，进而可得
DM = DC ，再结合角平分线的判定定理可完成证明；
②证明VEBD≌VEMD，则BE = ME ，同理可得FC = FM ，进而可得△AEF 的周长= 2BC ，据此可完成解答．
【详解】（1）解：∵VABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，
∴点A 在BC 的垂直平分线上，
∵DB = DC ，
∴点D在BC 的垂直平分线上，
∴ AD 是BC 的垂直平分线．
（2）解：①：过点D作DM ^ EF ，
∵DB = DC ， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
又∵VABC 是等边三角形，
∴ ABC = ACB = 60°，
∴ ABD = ACD = 90°，
∴DB ^ AB ，DC ^ AC ，
∵ED平分 BEF ，
∴DB = DM ，
又∵DB = DC ，
∴DM = DC ，
∴FD 平分 EFC ．
②解：由①知，VBDE 、VMDE 、△MDF 、VCDF 都为直角三角形，且DB = DM = DC ，
在Rt△BDE 和Rt△MDE中，
∵DB = DM ，DE = DE ，
∴△BDE≌△MDE ，
∴BE = ME ，
同理：
CF = MF ，
∴ AE + AF + EF = AE + BE + AF + CF = AB + AC = 2BC = 6，
即△AEF 的周长为 6．
1．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F，交BC 于点 E，若VABC
周长为 16， AC = 6 ，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题
的关键．根据三角形的周长公式求出 AB + BC ，再根据题意得到EA = EC ，根据等腰三角形的性质得到
BD = DE，即可得到答案．
【详解】解：QVABC 周长为 16，
\ AB + BC + AC = 16，
Q AC = 6，
\ AB + BC =10，
QEF 垂直平分 AC ，
\ EA = EC ，
Q AB = AE, AD ^ BC ，
\BD = DE，
\ AB + BD = AE + DE 1= (AB + BC) = 5，
2
\DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故选：A．
2．如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC 于点D，BE ^ AC 于点E ，交 AD 于点F ，若
AF =10 ，则BD的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
1
【分析】由题意得 DAC = BAC = 22.5
1
°， ABC = 180° - 45° = 67.5°，根据角度关系可得
2 2
1
EBC = 67.5 - 45° = 22.5°，进一步判定VAEF≌VBEC ，得出BC = AF =10，进一步得出BD = BC = 5即可．
2
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】：∵ AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC ，
1 1
∴ DAC = BAC = 22.5°， ABC = 180° - 45° = 67.5°，
2 2
∵ BAC = 45°，
∴ EBA = 45°，
∴ AE = BE ， EBC = 67.5 - 45° = 22.5°，
∴ EBC = DAE ，
又∵ BEC = AEB = 90°，
∴VAEF≌VBEC ASA ，
∴BC = AF =10，
∴BD
1
= BC = 5，
2
故选：B．
3．如图，在VABC 中， AB = AC ， A =120°， BC = 6cm ， AB 的垂直平分线交 BC 于点M ，交 AB 于点 E ，
AC 的垂直平分线交BC 于点 N ，交 AC 于点F ，则MN 的长为（ ）
A． 4cm B．3cm C． 2cm D．1cm
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出
辅助线是解答本题的关键．
此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与VCNA是等腰三角形，再证明VAMN 为
等边三角形即可．
【详解】解：连接 AM，AN ．
∵ AB 的垂直平分线交BC 于 M，交 AB 于 E， AC 的垂直平分线交BC 于 N，交 AC 于 F，
∴BM = AM，CN = AN ，
∴ MAB = B， CAN = C ．
∵ AB = AC ， A =120°，
∴ B = C = 30° ，
∴ BAM + CAN = 60°， AMN = ANM = 60°，
∴VAMN 是等边三角形，
∴ AM = AN = MN ，
∴BM = MN = NC ．
∵ BC = 6cm ，
∴MN = 2cm．
故选：C．
4．如图，D为VABC 内一点，CD平分 ACB ，BD ^ CD， A = ABD，若 AC = 5，BC = 3，则BD的
长为（ ）
A．1 B．1.5 C． 2 D． 2.5
【答案】A
【分析】延长BD与 AC 交于点E ，由题意可推出 BE = AE ，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的
1
内角和定理，可证得VBCE 为等腰三角形，于是可得BC = CE ，BD = BE ，根据 AC = 5，BC = 3即可推
2
出BD的长度．
【详解】解：如图，延长BD与 AC 交于点E ，
Q A = ABD，
\BE = AE ，
QBD ^ CD ，
\BE ^ CD，
\ CDB = CDE = 90°，
QCD 平分 ACB ，
\ BCD = ECD，
又Q CDB + BCD + CBD = CDE + ECD + CED =180°，
\ CBD = CED，
\△BCE 为等腰三角形，
\BC = CE ，
QBE ^ CD，
\BD 1= DE = BE ，
2
Q AC = 5，BC = 3，
\CE = BC = 3，
\ AE = AC -CE = 5- 3 = 2，
\BE = AE = 2，
\BD 1 BE 1= = 2 =1，
2 2
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理
等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键．
5．如图，在VAOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD，OA < OC ， AOB = COD = 36°．连接 AC、BD
交于点 M，连接OM ．下列结论：① BOM = COM ；② AC = BD；③OM 平分∠AMD；④
AOD =144°，⑤VMOC≌VMOD其中正确的结论个数有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角
相等的重要工具．证明VOAC 与VOBD 全等是解决问题的关键．先证明△OAC≌△OBD ，所以
OAC = OBD，AC = BD ，则可对②进行判断；由 AOC = BOD的大小不定，可对④进行判断；过 O 点
作OE ^ AC 于 E，OF ^ BD 于 F，如图，根据全等三角形的性质得到OE = OF ，则根据角平分线的性质定
理的逆定理得到MO 平分∠AMD，可对③进行判断；然后根据三角形内角和可对①进行判断；由SSA不能
判断VMOC≌VMOD，所以⑤错误．
【详解】解：∵ AOB = COD = 36°，
∴ AOB + BOC = BOC + COD ，
即 AOC = BOD，
在VOAC 和VOBD 中，
ì OA = OB
í AOC = BOD ，
OC = OD
∴VOAC≌VOBD SAS ，
∴ OAC = OBD， AC = BD，所以②正确；
∵ AOC = BOD的大小不定，
∴ AOD 不一定是144°，所以④错误；
过 O 点作OE ^ AC 于 E，OF ^ BD 于 F，
∵△OAC≌△OBD ，
∴OE = OF ， OCA = ODB，
∴MO 平分∠AMD，所以③正确；
则 OMA = OMD ，
∵OA < OC ，则 OAM OCA
∴ OAM ODM ，
而 OAM + AOB + BOM + OMA = ODM + COD + COM + OMD =180°，
∴ BOM COM ，所以①错误；
∵OC = OD， OCM = ODM ，OM = OM ，由SSA不能判断VMOC≌VMOD，所以⑤错误．
综上，②③正确；
故选：D．
6．如图，在四边形OAPB中， AOB =120°，OP 平分 AOB，且OP = 2 ，若点 M、N 分别在直线OA、OB
上，且VPMN 为等边三角形，则满足上述条件的VPMN 有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．3 个以上
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明
VPEM ≌VPON 是解题的关键．在OA、OB上截取OE = OF = OP ，作 MPN = 60°，证明VPEM ≌VPON ，
得出△PNM 是等边三角形，则只要 MPN = 60°，VPMN 就是等边三角形，则这样的三角形有无数个．
【详解】解：如图，在OA、OB上截取OE = OF = OP ，作 MPN = 60°．
∵OP 平分∠ AOB，
∴ EOP = POF = 60°，
∵OP = OE = OF ，
∴VOPE，VOPF 是等边三角形，
∴EP = OP， EPO = OEP = PON = MPN = 60°，
∴ EPM = OPN ，
在△PEM 和△PON 中，
ì PEM = PON
í PE = PO ，
EPM = OPN
∴VPEM ≌VPON ASA ．
∴PM = PN ，
∵ MPN = 60°，
∴△PNM 是等边三角形，
∴则只要 MPN = 60°，VPMN 就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
7．如图，VABC 中，BO、CO分别平分 ABC 和 ACB ，过点O平行于BC 的直线分别交 AB 、 AC 于点
D、E ，已知 AB = 9cm， AC = 8cm ，VADE 的周长为 ．
【答案】17cm
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即
可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵BO平分 ABC ，CO平分 ACB ，
∴ DBO = OBC ， ECO = OCB ，
∵DE∥BC ，
∴ DOB = OBC ， EOC = OCB ，
∴ DBO = DOB ， ECO = EOC ，
∴DB = DO，EC = EO ，
∴CVADE = AD + AE + DE
= AD + AE + DO + EO
= AD + AE + DB + EC
= AB + AC
= 9 + 8
=17 cm ，
∴三角形 ADE 的周长为17cm．
故答案为：17cm．
8．如图， AOB = 60°，C 是BO延长线上一点，OC = 12cm ，动点 M 从点 C 出发沿射线CB 以2cm / s的速
度移动，动点 N 从点 O 出发沿射线OA以1cm / s 的速度移动，如果点 M、N 同时出发，设运动的时间为 ts ，
那么当 t = s 时，△MON 是等腰三角形．
【答案】4 或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰
三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
由题意知，当0 < t 6时，OM =12 - 2t ；当6 < t 时，OM = 2t -12，ON = t ，由△MON 是等腰三角形，可
知当0 < t 6时，OM = ON ，即12 - 2t = t ，计算求解即可；当6 < t 时，证明△MON 是等边三角形，则
OM = ON ，即 2t -12 = t ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当0 < t 6时，OM =12 - 2t ；
当6 < t 时，OM = 2t -12，
ON = t ，
∵△MON 是等腰三角形，
∴当0 < t 6时，OM = ON ，即12 - 2t = t ，
解得， t = 4，
当6 < t 时，△MON 是等腰三角形，
∴△MON 是等边三角形，
∴OM = ON ，即 2t -12 = t ，
解得， t =12，
综上所述， t的值为 4 或12，
故答案为：4 或12．
9．已知，在VABC 中， AB = AC ，BD ^ AC 于点 D， AE ^ BC 于点 E，若 BAC = 50°，则 DCO =
°．
【答案】40
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判
180° - 50°
定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出 ABC = ACB = = 65°，再由BD ^ AC 于
2
点D可得出 ABD 的度数，进而得出 OBE 的度数，由线段垂直平分线的性质可得出 OBE = OCE，据
此可得出结论．
【详解】解：在VABC 中，Q AB = AC ， BAC = 50°，
ABC 180° - 50°\ = ACB = = 65°
2 ．
QBD ^ AC ，
\ ADB = 90°，
\ ABD = 90° - BAD = 90° - 50° = 40°，
\ OBE = ABC - ABD = 65° - 40° = 25°．
Q AB = AC ， AE ^ BC ，
\ AE 是线段BC 的垂直平分线，
\OB = OC ，
\ OBE = OCE = 25°，
\ DCO = ACB - OCD = 65° - 25° = 40°．
故答案为：40．
10．如图，在VABC 中， AB = AC ， AD 是VABC 的中线，点 E 在 AC 上，且 AE = AD，连接DE ，若
CDE = 20°，则 B 的度数为 °．
【答案】50
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与
性质，三角形外角的性质是解题的关键．由 AB = AC ， AD 是VABC 的中线，可得 B = C ， AD ^ BC ，
即 ADC = 90°，则 ADE = 90° - CDE = 70°，由 AE = AD，可得 AED = ADE = 70°，根据
B = C = AED - CDE ，求解作答即可．
【详解】解：∵ AB = AC ， AD 是VABC 的中线，
∴ B = C ， AD ^ BC ，即 ADC = 90°，
∵ CDE = 20° ，
∴ ADE = 90° - CDE = 70°，
∵ AE = AD，
∴ AED = ADE = 70°，
∴ B = C = AED - CDE = 50°，
故答案为：50．
11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，
如图，VABC中， A = 36°, B为钝角，则使得VABC是特异三角形所有可能的 B的度数为 ．
【答案】108°或126°或132°
【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用．
根据题意三角形得到VABD 和VCBD都是等腰三角形，讨论：①当 AB = AD 时，DB = DC ，利用等腰三角
形的性质和三角形外角性质可计算；②当DA = DB ，DB = DC 时，CD = CB 时；③当BA = BD时，
DB = DC ，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当BA = BD，DA = DC ，设设
BAD = x ，则 ADB = x ，根据题意列方程即可．
【解答】解：∵VABC是特异三角形，
∴VABD 和VCBD都是等腰三角形，
①当 AB = AD 时，则 ABD
1 1
= ADB = 180° - A = 180° - 36° = 72°，
2 2
若DB = DC ，则 C = CBD
1
= ADB = 36°，
2
此时 ABC = 72° + 36° =108°；
由于 CDB =108°，则CD = CB 与BD = BC 不成立；
②当DA = DB ，则 ABD = A = 36°，所以 CDB = 36° + 36° = 72°，
1
若DB = DC ，则 C = CBD = 180° - 72° = 54°，
2
此时 ABC = 54° + 36° = 90°，不合题意舍去；
若CD = CB ，则 CBD = CDB = 72°，此时 ABC = 72° + 36° =108°；
③当BA = BD时，则 ADB = A = 36°， ABD =180°﹣36°﹣36° =108°，
若DB = DC ，则 C = CBD
1
= ADB =18°，此时 ABC =108° +18° =126°；
2
由于 CDB =144°，则CD = CB 与BD = BC 不成立；
④当BA = BD，DA = DC ，
设 BAD = x ，则 ADB = x ，
∵DC = DA，
∴ C = DAC
1
= x，
2
x 1∴ + x = 36°，解得 x = 24°，
2
∴ B =180° - 24° - 24° =132° ；
综上所述， B的度数为108°或126°或132°．
故答案为108°或126°或132°．
12．已知在VABC 中， A = 40° ，D 为边 AC 上一点，△ABD 和△BCD都是等腰三角形，则 C 的度数可
能是 ．
【答案】80°或50°或 20°或35°
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，分情况画出图形进行解答即可．
【详解】解：如图 1 所示：
当DA = DB 时，
∵ A = 40° ，
∴ ABD = 40°，
∴ ADB =180° - 40° 2 =100°，
∴ BDC =180° -100° = 80°，
当 BD = BC1 时， BC1D = BDC1 = 80°；
当DB = DC2 时， DBC2 = DC2B =（180° -80°） 2 = 50°；
当BC3 = DC3时， BC3D =180° -80° 2 = 20°；
如图 2 所示：
当 AB = AD 时，
∵ A = 40° ，
∴ ABD = ADB = 180° - 40° 2 = 70°，
∴∠BDC =180° - 70° =110°，
当DB = DC4 时， DBC4 = DC4B = 180° -110° 2 = 35°；
如图 3 所示：
当 AB = DB时，
∵ A = 40° ，
∴ ADB = 40°，
∴ BDC =180° - 40° =140°，
当DB = DC5 时， DBC5 = DC5B = 180° -140° 2 = 20°．
综上所述， C 的度数可能是80°或50°或 20°或35°
故答案为：80°或50°或 20°或35°．
13．如图，在VABC 中， AB = AC，D是BC 边上一点，以 AD 为边在 AD 右侧作VADE ，使 AE = AD，连
接CE， BAC = DAE =108°
(1)求证：VBAD≌VCAE ；
(2)若DE = DC ，求 CDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．
（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）证明 B＝ ACB＝ ACE＝36°，推出 DCE＝72°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决
问题即可．
【详解】（1）∵ BAC = DAE =108° ， BAC = BAD + DAC ， DAE = DAC + CAE ，
∴ BAD = CAE ，
在VBAD和VCAE 中
ì AB = AC
í BAD = CAE ，
AD = AE
∴VBAD≌VCAE SAS ；
（2）解：∵ AB = AC ， BAC =108° ，
∴ B = ACB = 36°，
∵VBAD≌VCAE ，
∴ B = ACE = 36°，
∴ DCE = BCA + ACE = 36° + 36° = 72°
∵DE = DC ，
∴ DEC = DCE = 72°，
∴ EDC =180° - 72° - 72° = 36°，
答： CDE的度数为36°．
14．如图，点 D、E 在VABC 的边BC 上， AD = AE ，BD = CE ．
(1)求证： AB = AC ．
(2)若 BAC =108°, 2 DAE + BAC =180° ，直接写出图中除VABC 与VADE 外所有等腰三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)除VABC 与VADE 外所有的等腰三角形为：VABD、VAEC、VABE、VADC
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是
解题的关键．
（1）过点 A 作 AF ^ BC 于点 F，根据等腰三角形的性质得到BF = CF ，再根据线段垂直平分线的性质证明
结论即可；
（2）由题意求出 DAE = 36°，再求出其他角的度数，即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点 A 作 AF ^ BC 于点 F，
Q AD = AE ，
\ DE = EF ，
QBD = CE ，
\BF = CF ，
\ AB = AC ；
（2）证明：解：Q BAC =108°, 2 DAE + BAC =180°，
\2 DAE = 72°，
\ DAE = 36°，
Q AD = AE ，
ADE 180° - 36°\ = AED = = 72°，
2
Q AB = AC ，
B C 180° -108°\ = = = 36°，
2
\ B = BAD, C = EAC, BAE = BEA, ADC = DAC ，
\除VABC 与VADE 外所有的等腰三角形为：VABD、VAEC、VABE、VADC ．
15．如图，在等边VABC 中，点 D 在边BC 上，过点 D 作DE∥ AB 交 AC 于点 E，过点 E 作EF ^ DE，交BC
的延长线于点 F．
(1)求 F 的度数；
(2)求证：DC = CF ．
【答案】(1)30°；
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识：
（1）由平行线的性质求出 EDC ，再由三角形的内角和定理解决问题即可.
（2）证VDEC 是等边三角形，得CE = CD，再证 CEF = F = 30° ，得EC = CF ，即可得出结论.
【详解】（1）解：∵VABC 是等边三角形，
∴ B=60°，
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∵DE ^ EF ，
∴ DEF = 90°，
∴ F = 90° - EDF = 90° - 60° = 30°；
（2）证明：∵VABC 是等边三角形，
∴ B = ACB = 60°，
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∴ EDC = ECD = DEC = 60°，
∴VDEC 是等边三角形，
∴CE = CD，
∵ ECD = F + CEF， F = 30° ，
∴ CEF = F = 30° ，
∴EC = CF ，
∴CD = CF ．
16．如图，已知VABC 中，D 为BC 上一点， AB = AD ，E 为VABC 外部一点，满足 AC = AE ，连结 ，
与 AC 交于点 O，且 CAE = BAD ．
(1)求证：△ABC ≌△ADE；
(2)若 BAD = 25°，求 EDC 的度数．
【答案】(1)证明见解答；
(2) EDC 的度数是 25°．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等是关键．
（1）根据“边角边”证明VABC≌VADE（SAS）即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形外角即可求解
【详解】（1）证明：∵∠CAE=∠BAD，
∴ CAE + CAD = BAD + CAD ，
∴ DAE = BAC ，
∵ AB = AD ， AC = AE
∴VABC≌VADE（SAS）．
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴ C = E ，
∴ EDC = COE - C = COE - E = CAE ，
∵ CAE = BAD = 25°，
∴ EDC = 25°，
∴ EDC 的度数是 25°．
17．如图，已知在VABC 中， AB = AC =10厘米， BC = 8厘米，点 D 为 AB 的中点，点 P 在线段BC 上以 3
厘米/秒如果点 P 在线段BC 上以 3 厘米每秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA上由 C 点向 A
点运动．
(1)若点 Q 的运动速度与点 p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理
由；
(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角
形CQP 全等？
【答案】(1)全等，理由见解析
15
(2)Q 的运动速度是 厘米/秒时，△BPD 与VCQP全等
4
【分析】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是关键．
（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度 时间公式，先求得点 P 运动的
时间，再求得点 Q 的运动速度．
【详解】（1）解：△BPD 与VCQP全等，
理由如下：
依题意得：BP = CQ = 3，PC = 8 - 3 = 5，
Q AB = AC ，
\ B = C ，
Q AB =10，D 为 AB 的中点，
\ BD = PC = 5，
在△BPD 与VCQP中，
ì BP = CQ
í B = C，
BD = PC
\VBPD≌VCQP（SAS）；
（2）QvP vQ ，
\BP CQ ，
又QVBPD≌VCPQ， B = C ，
\BP = PC = 4cm，CQ = BD = 5cm ，
BP 4
∴点 P，点 Q 运动的时间 t = = （秒），
3 3
\v CQ 5 15Q = =t 4
=
4 （厘米/秒）．
3
18．（1）【问题提出】如图 1，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE ，已知 ACE = B = D = 90°， AC = CE ，B、C、
D 三点在一条直线上， AB = 5， DE = 6.5，则BD的长度为______．
（2）【问题提出】如图 2，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC = 4，过点 C 作CD ^ AC ，且CD = AC ，求△BCD
的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图 3 所示，在河流BD的周边规划
一个四边形 ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形 ABCD中， ABC = CAB = ADC = 45°，
AC = BC ，VACD面积为12km2 ，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为______ km2．
【答案】（1）11.5（2）8（3）6
【分析】（1）易证得VABC≌VCDE AAS ，即可得到CD = AB = 5, ED = BC = 6.5，从而求得
BD = BC + CD = 6.5 + 5 =11.5．
（2）如图 1，过D作DE ^ BC 的延长线于 E，证明△ABC≌△CED(AAS)，则BC = ED = 4，根据
S 1VBCD = BC × DE ，计算求解即可；2
（3）如图 2，过A 作 AE ^ CD 于 E ，过 B 作 BF ^ DC 的延长线于 F ， 由VACD面积为12且CD的长为 6，
1
可得 6 × AE =12 ，可求 AE = 4，证明VADE 是等腰直角三角形，则DE = AE = 4，CE = CD - DE = 2，由
2
ABC = CAB = 45°，可得 ACB = 90°， AC = BC ，证明VACE≌VCBF AAS ，则BF = CE = 2，根据
S 1△BCD = CD × BF ，计算求解即可．2
【详解】（1）解：在Rt△ABC 和Rt△CDE ， ACE = B = D = 90°，
∴ ACB + ECD = 90° = BAC + ACB，
∴ ECD = BAC ，
又∵ AC = CE ，
∴VABC≌VCDE AAS ，
∴CD = AB = 5, ED = BC = 6.5，
∴BD = BC + CD = 6.5 + 5 =11.5．
（2）解：如图 1，过D作DE ^ BC 的延长线于 E，
∵DE ^ BC ，CD ^ AC ，
∴ E = ACD = 90° ，
∴ ACB = 90° - DCE = CDE ，
∵ ABC = E = 90°， ACB = CDE，AC = CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC = ED = 4，
1
∴ S△BCD = BC × DE = 8，2
∴△BCD的面积为 8；
（3）解：如图 2，过A 作 AE ^ CD 于E ，过 B 作BF ^ DC 的延长线于F ，
QVACD面积为12且CD的长为 6，
1
∴ 6 × AE =12 ，
2
解得， AE = 4，
Q ADC = 45°， AE ^ CD ，
∴VADE 是等腰直角三角形，
∴DE = AE = 4，CE = CD - DE = 2，
Q ABC = CAB = 45° ，
\ ACB = 90°， AC = BC ，
\ ACE = 90° - BCF = CBF ，
∵ AEC = F = 90°， ACE = CBF，AC = BC ，
∴VACE≌VCBF AAS ，
\BF = CE = 2，
1
∴ S△BCD = CD × BF = 6，2
∴△BCD的面积为6km2．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟
练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
