第 05 讲 尺规作图（1 个知识点+7 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
①掌握尺规作图的方法； ①掌握尺规作图的方法；
②学会用尺规作图画角、画边； ②学会用尺规作图画角、画边；
知识点 01：尺规作图
尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、
2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、
3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高
作法：有规定名称时需格外注意字母的标注
注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·四川成都·期末）如图，已知 AOB ，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交
OA、OB于点E 、F ，再以点E 为圆心， EF 的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线OD ．若
AOB = 27°，则 AOD的度数为（ ）
A． 27° B．54° C．63° D．36°
【即学即练 2】
2．（24-25 七年级上·山东·随堂练习）如图，点C 在 AOB 的边OB上，用尺规作出了 NCE = AOD ，作
图痕迹中，弧 FG 是（ ）
A．以点C 为圆心，OD 为半径的弧 B．以点C 为圆心，DM 为半径的弧
C．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D．以点E 为圆心，DM 为半径的弧
【即学即练 3】
3．（23-24 七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出 AOB 的平分线OC
B．已知 a ，作 AOB ，使 AOB = 2 a ．
C．用刻度尺画线段 AB = 3cm
D．用三角板过点 P 作 AB 的垂线
【即学即练 4】
4．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，按如下步骤作图：①分别以点A 和 B 为圆心，以
1
大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线 EF ，分别交 AB，BC 于点 M，N；③连接
2
AN ，若 AM = 2,VACN 的周长为 12，则VABC 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
题型 01 尺规作一个角等于已知角
1．（23-24 八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段 a 和 a ．
作一个VABC ，使 AB = a ， AC = 2a ， BAC = a ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
2．（23-24 八年级上·陕西延安·期中）在VABC 中，点D是 AB 上一点，请用尺规作图法，在BC 边上找一点
E ，使得DE∥AC．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（21-22 八年级上·陕西铜川·期末）如图，点 B 是射线 AC 上一点，请用尺规作图法，求出线段 BE ，使得
BE∥ AD．（不写作法，保留作图痕迹）
4．（22-23 七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知 AOB ，利用尺规作 NMC ，使 NMC = 2 AOB．（保
留作图痕迹，不写作法）
5．（22-23 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角 a 和平角 AOB ，在 AOB 内部求作 AOC ，
使 AOC 与 a 互补．（不要求尺规作图）
题型 02 尺规作角的和、差
6．（21-22 七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知， a , b ，且 a 大于 b ，求作 AOB = a - b （不
写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）
7．（23-24 七年级下·山东青岛·单元测试）已知： AOB ，求作： COD，使 COD = 2 AOB．
8．（23-24 七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中 a = 60°, b = 45°，作
ABC =120°, DEF =15°．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
9．（23-24 七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 a、 b ，利用直尺和圆规画 AOB ，使 AOB 的
大小为 a + b ．（不写作法，保留作图痕迹．）
10．（23-24 七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 VABC 的三边长分别为 a，b，c， B = a， C = b ，
利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作线段EF = a - c；
(2)作 POQ = a + b ．
题型 03 过直线外一点作这条直线的平行
11．（23-24 七年级下·福建福州·期末）如图，已知 MON ，A、B 分别是射线OM，ON 上的点．
(1)尺规作图；在 MON 的内部确定一点 C，使得BC∥OA且BC = OA（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）中，连接OC ，仅用无刻度直尺在线段OC 上确定一点 D，使得OD = CD ，并证明．
12．（23-24 七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在VABC 中，D 为 AB 的中点，E 是BC 上一点，
DEB = ACB．
(1)过点 D 作DF∥BC 交 AC 于点 F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： AF = DE ．
13．（23-24 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知Rt△ABC ， B = 90°用尺规过点 A 作直线MN ，使得
MN∥ BC ．（保留作图痕迹，不写作法）
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形 ABCD中，点 P 为边 AD 上一点，请用尺规作图法，在边BC
上求作一点 Q，使得 P、Q 到 AB 的距离相等．
15．（23-24 七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形 ABC ，点 E 是 AB 上一点．
(1)尺规作图：在BC 上找到一点 F，使得 BFE = C ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CE，若 EFC =110° ，且CE平分 ACB ，求 FEC 的度数．
题型 04 尺规作图——作三角形
16．（23-24 七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图：
如图，线段BC 和一副三角尺，其中 a = 60°, b = 45°．
求作：以线段BC 为一条边作VABC ，使得 ABC = 60°, BAC = 75°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
17．（24-25 八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段 a、b 、 c．求作：VABC，使得BC = a ，
AC = b ， AB = c．(保留作图痕迹，不写作法)
18．（23-24 七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知 b 和线段 a，求作VABC ，使得 A = b ，
B = 2 b ，边 AB = a ．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
19．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段 a，b 和 a
求作：VABC 使BC = a ， AC = b ， BAC = a
20．（23-24 九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第 37—38 页告诉我们作一个三角
形与已知三角形全等的方法：
已知：VABC ．
求作：VA B C ，使得VA B C ≌VABC ．
作法：如图．
（1）画 DA E = A；
（2）在射线 A D 上截取 A B = AB ，在射线 A E 上截取 A C = AC ；
（3）连接线段B C ，则VA B C 即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
ìA B = AB
证明：由作图可知，在VA B C 和VABC 中， í DA E =
A C =
∴△A B C ≌______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
题型 05 结合尺规作图的全等问题
21．（22-23 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：
(1)画出所有与格点VABC （顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与VABC 有且只有一条公共边，你画
出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ；
(2)在DE 上画出点 P ，使得△PAC 的周长最小；
(3)若网格上的最小正方形的边长为1，直接写出VABC 的面积为______ ．
22．（20-21 七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法：
已知： AOB
求作： A O B ，使 A O B = AOB ，
作法：（1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点 C、D；
（2）画一条射线O A ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交O A 于点C ；
（3）以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧相交于点 D ；
（4）过点 D 画射线O B ，则 A O B = AOB ．
请你根据提供的材料完成下列问题．
(1)请你证明 A O B = AOB ．
(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．
23．（22-23 八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为 4 4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
边长均为 1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与VABC 全等，且位置不同．
24．（22-23 八年级上·江苏连云港·期中）如图，在8 5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，VABC
的三个顶点都在小正方形的顶点上．
(1)在图 1 中画△ABD （点 D 在小正方形的顶点上），使得△ABD 与VABC 全等，且点 D 在直线 AB 的下方
（点 D 与点 C 不重合）；
(2)在图 2 中画VABE （点 E 在小正方形的顶点上），使得VABE 与VABC 全等，且 AC P BE ；
25．（22-23 八年级上·湖北荆门·期中）如图，VABC 的顶点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，试在方格纸
上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与VABC 全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与VABC 全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与VABC 全等的三角形，且有一个公共角．
题型 06 作角平分线
26．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在VABC 中，请用尺规作图法作出 BAC 的平分线．（保留作
图痕迹，不写作法）
27．（23-24 六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点A 、O、 B 在一条直线上， AOC = 2 COD ．
(1)利用直尺和圆规作 BOD的平分线OE；
(2)如果 COE = 77o ，求 COD的大小．
28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知VABC ，请用尺规作图法，在线段BC 上方求作一点D，使得点D
到点 B 和点C 的距离相等，且到边 AC ，BC 的距离也相等．
29．（2024·陕西西安·一模）已知VABC ，请在 AB 边上确定一点 P ，使得点 P 到 AC、BC 的距离相等．（尺
规作图，不写做法，保留作图痕迹）
30．（23-24 八年级下·江西吉安·期末）如图，在VABC 中， ACB = 90°，BC = 2AC ，将VABC 向右平移一定
距离后，得到VDEF ，且 E 为BC 的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图 1 中，作出 ACB 的平分线CP；
(2)在图 2 中，作一个以 C 为顶点的直角（已知直角除外）
题型 07 作垂线
31．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图，在VABC 中， AB =10cm， AC = 6cm．
(1)利用尺规作BC 边的垂直平分线，交 AB 于点D，交BC 于点E ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CD ，求VACD的周长．
32．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，已知点 A、点 B 以及直线 l．
(1)用尺规作图的方法在直线 l上求作一点 P ，使PA = PB ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若 AM = PN ，BN = PM ，求证： MAP = NPB ．
33．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt△ABC 中，请用尺规作图法作 AB 边上的高CD 交 AB 于
点 D．(不写作法，保留作图痕迹)
34．（23-24 七年级下·北京怀柔·期末）如图，点 O 在直线 l 外，点 A 在直线 l 上，连接OA．选择适当的工
具作图．
(1)在直线 l 上作点 B，使得OB ^ l 于点 B；
(2)连接OB；
(3)在直线 l 上取一点 C（不与 A，B 重合），连接OC ；
(4)在OA，OB，OC 中，线段 最短，依据是 ．
35．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，VABC 中， AB = AC ．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 A的角平分线，交BC 于点 H；
②作 AB 边的垂直平分线，垂足为点 D，交 AH 于点 O；
(2)连接BO，OC ，求证：OA = OC ．
A 夯实基础
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是VABC 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．（23-24 七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（ ）
A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
3．（22-23 八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到 AB ，CD ，EF 三条公路
距离相等的加油站 P，则加油站的选址共有 种选择．
4．（23-24 八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知 AOB ，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分
别交OA，OB于点E ，F ，再以点E 为圆心， EF 的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD ．若
AOB = 26°，则 AOD的度数为 ．
5．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形 ABCD，利用尺规作图法作 ABC 的平分线交CD
于点E ．（不写作法，保留作图痕迹）
6．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出VABC 的BC 边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕
迹，不要求写出作法）
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，按如下步骤作图：①分别以点A 和 B 为圆心，以
1
大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线 EF ，分别交 AB，BC 于点 M，N；③连接
2
AN ，若 AM = 2,VACN 的周长为 12，则VABC 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在VABC 中， C = 90°，以顶点A 为圆心，取适当长为半径画弧，分
1
别交 AC ， AB 于点M ， N ，再分别以点M ， N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作
2
射线 AP 交边BC 于点D，若CD = 3，则点D到 AB 的距离是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1
3．（23-24 七年级下·广东茂名·期末）如图，在VABC 中，分别以点A 和点 B 为圆心，大于 AB的长为半径
2
作弧，两弧相交于点 M 、 N 两点，作直线 MN ，直线 MN 分别与 BC 、 AB 相交于 D、 E 两点，连接 AD ，
则图中长度一定与 AD 相等的线段是 ．
4．（23-24 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，以顶点 A 为圆心，适当长
为半径画弧，分别交边 AC、AB于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画两条弧，两
弧交于点 P，作射线 AP 交边BC 于点 D，若CD = 4， AB = 20 ，则△ABD 的面积是 ．
5．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，已知点 A、点 B 以及直线 l．
(1)用尺规作图的方法在直线 l上求作一点 P ，使PA = PB ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若 AM = PN ，BN = PM ，求证： MAP = NPB ．
6．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，点D在BC 边上．
(1)求作 VDEF ，使VDEF≌VABC ，并满足点 E 在 BC 的延长线上， DF P AB ．（请用尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）
(2)根据你的作图方法，说明VDEF≌VABC 的理由．
C 综合素养
1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 AD 平分 BAC 的
是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
2．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形 ABCD中，在 AD、AC 上分别截取 AE、AF ，使
1
AE = AF ，分别以 E、F 为圆心、以大于 EF 长为半径作弧，两弧在 DAC 内交于点 G，作射线 AG ；又分
2
1
别以 A、C 为圆心，以大于 AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线MN ；射线 AG 和直线MN
2
交于点 P，则 a 的度数为（ ）
A．68° B．56° C．54° D．45°
3．（23-24 七年级下·安徽宿州·期末）如图，在VABC 中， AB = AC ，BC = 3cm，分别以点 A，C 为圆心，
1
以大于 AC 为半径作弧，两弧分别交于点 M，N，过点 M，N 作直线MN 交 AB 于点 P，连接CP．若VABC
2
的周长比VBCP 的周长大5cm，则VBCP 的周长为 cm．
4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 ABC 中， AD 是边BC 上的高，在BA，BC 上分别截取线段
1
BE ， BF ，使 BE = BF ；分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，在 ABC 内，两弧交于点 P，
2
作射线BP，交 AD 于点 M，过点 M 作MN ^ AB 于点 N．若MN = 2， AD = 4MD，则 AM = ．
5．（2024·广西南宁·二模）如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，过点 C 作CE∥ AB，连接 AE ．
(1)基本尺规作图：作 ABF = EAC ，交线段 AC 于点 F（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)求证：BF = AE ．
6．（23-24 八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平
分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图 1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 CAD = DAB 的依
据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图 2，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， B = 90°, BAD 和 CDA的平分线 AE, DE交于边BC 上一点
E ．过点E 作EF ^ AD 于点F ．若BC =12cm ，则EF = _________ cm；
②巧翻折，造全等
如图 3，在VABC 中， AB < AC, AD是VABC 的角平分线，请说明 B > C ；小明在 AC 上截取 AE = AB ．连
接DE ，则VABD≌VAED SAS ．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图 4，在VABC 中， A = 60°, BE,CF 是VABC 的两条角平分线，且BE,CF 交于点 P ．请
判断PE与PF 之间的数量关系，并说明理由．第 05 讲 尺规作图（1 个知识点+7 大题型+18 道强化训练）
课程标准 学习目标
①掌握尺规作图的方法； ①掌握尺规作图的方法；
②学会用尺规作图画角、画边； ②学会用尺规作图画角、画边；
知识点 01：尺规作图
尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
1.基本作图 作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、
2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、
3.作三角形 知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高
作法：有规定名称时需格外注意字母的标注
注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。
【即学即练 1】
1．（23-24 七年级下·四川成都·期末）如图，已知 AOB ，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交
OA、OB于点E 、F ，再以点E 为圆心， EF 的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线OD ．若
AOB = 27°，则 AOD的度数为（ ）
A． 27° B．54° C．63° D．36°
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据作图过程可得OD = OE = OF ，EF = DE ，利用SSS证明VODE≌VOFE ，即可得出结果．
【详解】解∶由作图过程可得OD = OE = OF ，EF = DE ，
∴VODE≌VOFE SSS ，
∴ EOD = EOF = 27° ，
故选∶A．
【即学即练 2】
2．（24-25 七年级上·山东·随堂练习）如图，点C 在 AOB 的边OB上，用尺规作出了 NCE = AOD ，作
图痕迹中，弧 FG 是（ ）
A．以点C 为圆心，OD 为半径的弧 B．以点C 为圆心，DM 为半径的弧
C．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D．以点E 为圆心，DM 为半径的弧
【答案】D
【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握其作法是解题的关键，弧 FG 是以点E 为圆心，以DM 为
半径作的弧，运用作一个角等于已知角可得答案．
【详解】解：根据作一个角等于已知角可得弧 FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧．
故选：D ．
【即学即练 3】
3．（23-24 七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出 AOB 的平分线OC
B．已知 a ，作 AOB ，使 AOB = 2 a ．
C．用刻度尺画线段 AB = 3cm
D．用三角板过点 P 作 AB 的垂线
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．根据尺规作图的定义，逐项分
析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图
【详解】解：A．用量角器画出 AOB 的平分线OC 借助了量角器，不符合题意
B.借助直尺和圆规作 AOB ，使 AOB = 2 a ，符合题意；
C.画线段 AB = 3cm ，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意；
D．用三角尺过点 P 作 AB 的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意；
故选：B．
【即学即练 4】
4．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，按如下步骤作图：①分别以点A 和 B 为圆心，以
1
大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线 EF ，分别交 AB，BC 于点 M，N；③连接
2
AN ，若 AM = 2,VACN 的周长为 12，则VABC 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了基本作图—垂直平分线作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线
的性质；
根据作图可知MN 为 AB 的垂直平分线，进而可得 AB = 2AM = 2BM = 4，AN = BN ，即可求解
【详解】解：根据作图可知：MN 为 AB 的垂直平分线，
\ AB = 2AM = 2BM = 4，AN = BN
QCVACN = AN + CN + AC =12
\BN + CN + AC =12
\ CVABC = AB + BN +CN + AC = 4+12 =16
故选：A
题型 01 尺规作一个角等于已知角
1．（23-24 八年级上·山东菏泽·期中）尺规作图：已知线段 a 和 a ．
作一个VABC ，使 AB = a ， AC = 2a ， BAC = a ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图，根据尺规作一个角等于已知角和尺规作线段的步骤画图即可．
【详解】解：如图，VABC 即为所求作：
2．（23-24 八年级上·陕西延安·期中）在VABC 中，点D是 AB 上一点，请用尺规作图法，在BC 边上找一点
E ，使得DE∥AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】题考查基本尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，解题的关键是作 CAD = BDE ，由
同位角相等两直线平行即可得到DE P AC ．
【详解】如图，点E 即为所作．
3．（21-22 八年级上·陕西铜川·期末）如图，点 B 是射线 AC 上一点，请用尺规作图法，求出线段 BE ，使得
BE∥ AD．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，交 AD 、AC 于 F、G，以点 B 为圆心，AF 为半径作弧，交 AC
于点H，以点H为圆心，FG 为半径作弧，交前弧于点P，连接BP，如图1，延长BP到点E，可得 DAB = EBC ，
则BE∥ AD；如图 2，反向延长BP到点 E，可得 DAB = ABE ，则BE∥ AD．
【详解】解：如图 1，线段 BE 为所作．
如图 2，线段 BE 为所作．
【点睛】此题考查了尺规作图，作角等于已知角，平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，内错角相
等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4．（22-23 七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知 AOB ，利用尺规作 NMC ，使 NMC = 2 AOB．（保
留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据尺规作图，即倍角作图，即可作图．
【详解】解：如图， NMC 即为所作，
【点睛】本题考查了尺规作图知识，解题关键是理解 NMC = 2 AOB．
5．（22-23 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知锐角 a 和平角 AOB ，在 AOB 内部求作 AOC ，
使 AOC 与 a 互补．（不要求尺规作图）
【答案】见解析
【分析】以 O 为顶点，OB为一边，作 BOC = a ，即可得出 AOC ．
【详解】解：如图所示， AOC 即为所求．
．
【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角及互为补角的两个角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角是
解题关键．
题型 02 尺规作角的和、差
6．（21-22 七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知， a , b ，且 a 大于 b ，求作 AOB = a - b （不
写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可．
【详解】解：如图， AOB 即为所求．
7．（23-24 七年级下·山东青岛·单元测试）已知： AOB ，求作： COD，使 COD = 2 AOB．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图， 关键是熟练掌握基本作图的方法．
先利用尺规作一个等于已知角的方法作出 MOC = AOB ，然后作出 MOD = AOB 即可．
【详解】如图所示， COD即为所求．
8．（23-24 七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中 a = 60°, b = 45°，作
ABC =120°, DEF =15°．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键．
【详解】解：如图， ABC, DEF 即为所求；
9．（23-24 七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 a、 b ，利用直尺和圆规画 AOB ，使 AOB 的
大小为 a + b ．（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．先作 AOC = a ，再作 BOC = b ，即可求
解．
【详解】解：如图， AOB 即为所求．
10．（23-24 七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 VABC 的三边长分别为 a，b，c， B = a， C = b ，
利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作线段EF = a - c；
(2)作 POQ = a + b ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作一个与已知角相等的角以及线段：
（1）先画出一条射线，以端点 O 为圆心，分别以 AB，BC 为半径画弧，与射线的交点分别为 E 点和 F 点，
即可作答．
（2）先画出一条射线，以端点 O 为圆心，取MC 的长度为半径，画弧，交点为M ，再以点M 为圆心，MN
的长度为半径，画弧，交点为 N ，此时 N OM = b ；以端点 O 为圆心，取BP 的长度为半径，画弧，交
点为P ，再以点P 为圆心，Q P 的长度为半径，画弧，交点为Q ，此时 P OQ = a ；故 POQ = a + b
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图所示：
题型 03 过直线外一点作这条直线的平行
11．（23-24 七年级下·福建福州·期末）如图，已知 MON ，A、B 分别是射线OM，ON 上的点．
(1)尺规作图；在 MON 的内部确定一点 C，使得BC∥OA且BC = OA（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）中，连接OC ，仅用无刻度直尺在线段OC 上确定一点 D，使得OD = CD ，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、尺规作图；熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定
及性质是解题的关键．
（1）根据尺规作图作角及线段的作法即可求解；
（2）利用AAS证得VAOD ≌VBCD ，进而可求证结论；
【详解】（1）解：如图所示，线段BC 即为所求．
（2）证明：连接 AB ，与 AC 交点即为 D 点，
∵BC∥OA，
∴ AOD = BCD，
又 ADO = BDC ，
由（1）得BC = OA，
∴在△AOD与△BCD中，
ì AOD = BCD
í ADO = BDC ，
BC = OA
∴VAOD≌VBCD AAS ，
∴OD = CD ．
12．（23-24 七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在VABC 中，D 为 AB 的中点，E 是BC 上一点，
DEB = ACB．
(1)过点 D 作DF∥BC 交 AC 于点 F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： AF = DE ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明 AC∥DE ，得到 A = BDE ，再由平行线的性质得到 ADF = B ，由线段中点的定义得到
AD = DB ，则可证明VADF≌VDBE ASA ，即可证明 AF = DE ．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵ DEB = ACB，
∴ AC∥DE ，
∴ A = BDE ，
∵DF∥BC ，
∴ ADF = B ，
∵点 D 为 AB 的中点，
∴ AD = DB ，
∴VADF≌VDBE ASA ，
∴ AF = DE ．
13．（23-24 七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知Rt△ABC ， B = 90°用尺规过点 A 作直线MN ，使得
MN∥ BC ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，直线MN 即为所求．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形 ABCD中，点 P 为边 AD 上一点，请用尺规作图法，在边BC
上求作一点 Q，使得 P、Q 到 AB 的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点 P 作PQ∥AB交BC 于 Q，则点 Q 即为所
求．
【详解】解：如图所示，过点 P 作PQ∥AB交BC 于 Q，则点 Q 即为所求．
由平行线间间距相等可得 P、Q 到 AB 的距离相等．
15．（23-24 七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形 ABC ，点 E 是 AB 上一点．
(1)尺规作图：在BC 上找到一点 F，使得 BFE = C ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CE，若 EFC =110° ，且CE平分 ACB ，求 FEC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图：
（1）如图所示，过点 E 作EF∥ AC 交BC 于 F，点 F 即为所求；
（2）根据平行线的性质得到∠FEC =∠ACE，∠ACF = 180° -∠EFC = 70°，再由角平分线的定义即可得到
答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点 E 作EF∥ AC 交BC 于 F，点 F 即为所求；
（2）解：∵EF∥BC ，
∴∠FEC =∠ACE，∠ACF = 180° -∠EFC = 70°，
∵CE平分 ACB ，
1
∴∠ACE = ∠ACF = 35° ，
2
∴ FEC = 35°．
题型 04 尺规作图——作三角形
16．（23-24 七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图：
如图，线段BC 和一副三角尺，其中 a = 60°, b = 45°．
求作：以线段BC 为一条边作VABC ，使得 ABC = 60°, BAC = 75°．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出 ABC = 60°， ACB = 45°即可．掌握尺规作角
的方法，是解题的关键．
【详解】因为 ABC = 60°， BAC = 75°
所以 ACB = 45°
如图所示，VABC 即为所求．
17．（24-25 八年级上·全国·假期作业）已知：如图，线段 a、b 、 c．求作：VABC，使得BC = a ，
AC = b ， AB = c．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图-作三角形，首先画 AB = c，再以 B 为圆心， a为半径画弧，以A 为圆心，b 为半
径画弧，两弧交于一点C ，连接BC ， AC ，即可得到VABC．
【详解】解：如图所示，VABC就是所求的三角形．
18．（23-24 七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知 b 和线段 a，求作VABC ，使得 A = b ，
B = 2 b ，边 AB = a ．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作射线
AM ，在射线 AN 上截取 AB = a ，在 AB 的上方分别作 EAB = b ， FBA = 2b ， AE 交 BF 于点C ，VABC 即
为所求．
【详解】解：如图，VABC 即为所求．
19．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段 a，b 和 a
求作：VABC 使BC = a ， AC = b ， BAC = a
【答案】见解析
【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
作 MAN = a ，在射线 AN 上截取线段 AC ，使得 AC = b ，以 B 为圆心，a 为半径作弧，交 AM 于点 B，
B ，连接BC ，B C ，VABC 或VAB C 即为所求．
【详解】解：如图，VABC 或VAB C 即为所求．
20．（23-24 九年级下·湖南长沙·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第 37—38 页告诉我们作一个三角
形与已知三角形全等的方法：
已知：VABC ．
求作：VA B C ，使得VA B C ≌VABC ．
作法：如图．
（1）画 DA E = A；
（2）在射线 A D 上截取 A B = AB ，在射线 A E 上截取 A C = AC ；
（3）连接线段B C ，则VA B C 即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
ìA B = AB
证明：由作图可知，在VA B C 和VABC
中， í DA E =
A C =
∴△A B C ≌______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
【答案】(1) A ； AC ；VABC
(2)③
【分析】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识：
（1）根据作图信息，利用“SAS ”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中证明可得结论．
【详解】（1）解：由作图可知，在VA B C 和VABC 中，
ìA B = AB
í DA E = A，
A C = AC
∴VA B C ≌VABC SAS ，
故答案为：A ； AC ；VABC
（2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SAS，
故答案为：③．
题型 05 结合尺规作图的全等问题
21．（22-23 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：
(1)画出所有与格点VABC （顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与VABC 有且只有一条公共边，你画
出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ；
(2)在DE 上画出点 P ，使得△PAC 的周长最小；
(3)若网格上的最小正方形的边长为1，直接写出VABC 的面积为______ ．
【答案】(1) 2；△ABF ，△BCF
(2)见详解
7
(3)
2
【分析】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。
1 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可；
2 作点C 关于直线DE 的对称点C ，连接 AC 交直线DE 于点 P ，连接CP，点 P 即为所求；
3 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，△ABF ，△BCF 即为所求．
故答案为： 2，△ABF ，△BCF ；
（2）如图，点 P 即为所求；
1 1 1 7
（3）VABC 的面积= 3 3- 1 3- 1 2 - 2 3 = ．
2 2 2 2
7
故答案为： ．
2
22．（20-21 七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法：
已知： AOB
求作： A O B ，使 A O B = AOB ，
作法：（1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点 C、D；
（2）画一条射线O A ，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交O A 于点C ；
（3）以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧相交于点 D ；
（4）过点 D 画射线O B ，则 A O B = AOB ．
请你根据提供的材料完成下列问题．
(1)请你证明 A O B = AOB ．
(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．
【答案】(1)见解析
(2)SSS
【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据SSS证明即可；
（2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
【详解】（1）解：证明：在△C O D 和△COD 中，
ìO C = OC
íO D = OD ，
C D = CD
\△C O D ≌△COD(SSS)，
\ A O B = AOB．
（2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
故答案为： SSS
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知
角的方法．
23．（22-23 八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为 4 4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
边长均为 1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与VABC 全等，且位置不同．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可；
（2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可．
【详解】（1）如图，VECB 即为所求
（2）如图，VDEF 即为所求
【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（22-23 八年级上·江苏连云港·期中）如图，在8 5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，VABC
的三个顶点都在小正方形的顶点上．
(1)在图 1 中画△ABD （点 D 在小正方形的顶点上），使得△ABD 与VABC 全等，且点 D 在直线 AB 的下方
（点 D 与点 C 不重合）；
(2)在图 2 中画VABE （点 E 在小正方形的顶点上），使得VABE 与VABC 全等，且 AC P BE ；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质找出点C 的对应点D，连接 AD ，BD即可；
（2）根据中心对称图形的性质找出点C 的对应点E ，连接 AE ， BE 即可．
【详解】（1）解：利用轴对称图形的性质找出点C 的对应点D，连接 AD ，BD，则△ABD 即为所求作的三
角形，如图所示：
（2）解：利用中心对称图形的性质找出点C 的对应点 E ，连接 AE ， BE ，则VABE 即为所求作的三角形，
如图所示：
【点睛】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，
解题的关键是确定点 D 和点 E 的位置．
25．（22-23 八年级上·湖北荆门·期中）如图，VABC 的顶点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，试在方格纸
上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可：
(1)在图（1）中画出与VABC 全等的三角形，且有条公共边：
(2)在图（2）中画出与VABC 全等的三角形，且有一个公共顶点：
(3)在图（3）中画出与VABC 全等的三角形，且有一个公共角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（SSS）为依据作图；
（2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（SAS）为依据作图．
【详解】（1）解：如图 1，VAB C 即为所求（答案不唯一），
；
（2）解：如图 2，△BEF 即为所求，
；
（3）解：如图 3，VCDE即为所求，
．
【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键．
题型 06 作角平分线
26．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在VABC 中，请用尺规作图法作出 BAC 的平分线．（保留作
图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，根据尺规作一个角的平分线的方法，进行作图即可．
【详解】解： AD 即为所求作的 BAC 的平分线．
27．（23-24 六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点A 、O、 B 在一条直线上， AOC = 2 COD ．
(1)利用直尺和圆规作 BOD的平分线OE；
(2)如果 COE = 77o ，求 COD的大小．
【答案】(1)见解析
(2) COD = 26°
【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线OE是解答的关
键．
（1）根据尺规作角平分线的作图方法即可；
（2）设 COD = x ，则 AOC = 2x ， BOD = 180° - 3x ，根据角平分线的定义得到
DOE 1 3= BOD = 90° - x，根据已知条件结合角的运算得到关于 x 的方程，然后求解 x 值即可．
2 2
【详解】（1）解：如图，射线OE即为所求作；
（2）解：∵ AOC = 2 COD ，
∴设 COD = x ，则 AOC = 2x ，
∴ BOD = 180° - AOC - COD = 180° - 3x ，
∵射线OE是 BOD的平分线，
∴ DOE
1
= BOD 3= 90° - x，
2 2
∵ COE = 77°，
x 90 3∴ + ° - x = 77°，解得 x = 26°，
2
即 COD = 26°．
28．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知VABC ，请用尺规作图法，在线段BC 上方求作一点D，使得点
D到点 B 和点C 的距离相等，且到边 AC ，BC 的距离也相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．根据线段垂直平分线的作法作出BC 的垂直平分线，再根据角平分线的作法作 ACB 的角平分线，两
线的交点即为所求．
【详解】作线段BC 的垂直平分线MN ，作CT 平分 ACB ，MN 交CT 于点D，
如图所示，D点即为所求，
29．（2024·陕西西安·一模）已知VABC ，请在 AB 边上确定一点 P ，使得点 P 到 AC、BC 的距离相等．（尺
规作图，不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点 P 到 AC、BC 的距离相等得出作角平分线，然后
作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键．
【详解】解：如图所示：点 P 即为所求．
30．（23-24 八年级下·江西吉安·期末）如图，在VABC 中， ACB = 90°，BC = 2AC ，将VABC 向右平移一定
距离后，得到VDEF ，且 E 为BC 的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图 1 中，作出 ACB 的平分线CP；
(2)在图 2 中，作一个以 C 为顶点的直角（已知直角除外）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线及作垂线，
（1）尺规作出 ACB 的平分线CP即可；
（2）尺规过点 C 作BC 垂线即可；
【详解】（1）解： ACB 的平分线CP即为所求；
（2） BCH 即为所求作直角．
题型 07 作垂线
31．（23-24 七年级下·山东枣庄·期末）如图，在VABC 中， AB =10cm， AC = 6cm．
(1)利用尺规作BC 边的垂直平分线，交 AB 于点D，交BC 于点E ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CD ，求VACD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16cm
【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质：
（1）根据作已知线段的垂直平分线的作法画出图形，即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得CD = BD，从而得到VACD的周长为：
AC + AD + CD = AC + AD + BD = AC + AB ，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线DE 即为所求；
（2）解：因为DE 是BC 的垂直平分线．
所以CD = BD．
所以VACD的周长为： AC + AD + CD = AC + AD + BD = AC + AB ，
因为 AB =10 cm ， AC = 6 cm ．
所以VACD的周长为： AC + AB = 6 +10 =16 cm ．
32．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，已知点 A、点 B 以及直线 l．
(1)用尺规作图的方法在直线 l上求作一点 P ，使PA = PB ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若 AM = PN ，BN = PM ，求证： MAP = NPB ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出 AB 的垂直平分线得出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：在VAMP 和△BNP中
ìAM = PN
Q íPM = BN ，
AP = BP
\VAMP≌VPNB(SSS)
\ MAP = NPB ．
33．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，在Rt△ABC 中，请用尺规作图法作 AB 边上的高CD 交 AB 于
点 D．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】见解析
【分析】本题考查作垂线，过点 C 作CD ^ AB 于点 D，则CD 为所求．
【详解】解：如图，线段CD 为所求．
34．（23-24 七年级下·北京怀柔·期末）如图，点 O 在直线 l 外，点 A 在直线 l 上，连接OA．选择适当的工
具作图．
(1)在直线 l 上作点 B，使得OB ^ l 于点 B；
(2)连接OB；
(3)在直线 l 上取一点 C（不与 A，B 重合），连接OC ；
(4)在OA，OB，OC 中，线段 最短，依据是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)OB；垂线段最短
【分析】本题考查作图-基本作图，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常
考题型．
（1）作OB ^直线 l即可；
（2）连接OB即可；
（3）在直线 l 上取一点 C（不与 A，B 重合），连接OC 即可；
（4）根据垂线段最短即可．
【详解】（1）解：如图，点 B 即为所求；
（2）解：如图，连接OB即可；
（3）解：如图，点C 即为所求；
（4）解：根据垂线段最短可知，线段OB最短，
故答案为：OB，垂线段最短．
35．（23-24 七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，VABC 中， AB = AC ．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 A的角平分线，交BC 于点 H；
②作 AB 边的垂直平分线，垂足为点 D，交 AH 于点 O；
(2)连接BO，OC ，求证：OA = OC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．
（1）利用尺规作图作出角平分线，线段垂直平分线即可；
（2）证明VBAO≌VCAO SAS ，得到OB = OC ，再根据线段垂直平分线的性质得到OB = OA ，即可证明
OA = OC ．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
；
（2）证明：由作图知 BAH = CAH ，又 AB = AC ， AO = AO，
∴VBAO≌VCAO SAS ，
∴OB = OC ，
∵OD 是 AB 边的垂直平分线，
∴OB = OA ，
∴OA = OC ．
A 夯实基础
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是VABC 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BD ^ AC ，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：BD ^ AC ，
∴线段BD一定是VABC 的高线；
故选 B
2．（23-24 七年级下·广东佛山·期末）如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（ ）
A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
【答案】A
【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①⑤②④③．
故选：A．
3．（22-23 八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到 AB ，CD ，EF 三条公路
距离相等的加油站 P，则加油站的选址共有 种选择．
【答案】4
【分析】
本题考查了角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线的交点不要漏掉，思考问题要全面．加
油站到三条公路的距离相等，那么加油站应该建在VABC 的内角角平分线的交点处或外角的角平分线的交点
处，故满足要求的加油站位置共有 4 个，作出其中一个即可．
【详解】解：满足要求的加油站位置共有 4 个，如图所示，点P1即为所求．（答案不唯一，画出P2，P3 ，P4
也可以）
故答案为：4．
4．（23-24 八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知 AOB ，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分
别交OA，OB于点E ，F ，再以点E 为圆心， EF 的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD ．若
AOB = 26°，则 AOD的度数为 ．
【答案】 26° /26 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据作图过程可得OD = OE = OF ，EF = DE ，利用SSS证明△ODE≌△OFE ，即可得出结果．
【详解】解：根据作图过程可知：
OD = OE = OF ，EF = DE ，
∴VODE≌VOFE SSS ，
∴ AOD = AOB = 26°．
故答案为： 26°．
5．（23-24 七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形 ABCD，利用尺规作图法作 ABC 的平分线交CD
于点E ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线，熟悉作图步骤是解答的关键．根据作角平分线的方法步骤作图
即可．
【详解】解：如图，射线 BE 即为所求作：
6．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出VABC 的BC 边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕
迹，不要求写出作法）
【答案】作图见详解
【分析】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握 5 种基本作图是解决问题的关键．
利用基本作图，过 A 点作BC 的垂线即可．
【详解】解：如图，线段 AD 即为所求，
B 能力提升
1．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，按如下步骤作图：①分别以点A 和 B 为圆心，以
1
大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ；②作直线 EF ，分别交 AB，BC 于点 M，N；③连接
2
AN ，若 AM = 2,VACN 的周长为 12，则VABC 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了基本作图—垂直平分线作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线
的性质；
根据作图可知MN 为 AB 的垂直平分线，进而可得 AB = 2AM = 2BM = 4，AN = BN ，即可求解
【详解】解：根据作图可知：MN 为 AB 的垂直平分线，
\ AB = 2AM = 2BM = 4，AN = BN
QCVACN = AN + CN + AC =12
\BN + CN + AC =12
\ CVABC = AB + BN +CN + AC = 4+12 =16
故选：A
2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在VABC 中， C = 90°，以顶点A 为圆心，取适当长为半径画弧，分
1
别交 AC ， AB 于点M ， N ，再分别以点M ， N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作
2
射线 AP 交边BC 于点D，若CD = 3，则点D到 AB 的距离是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得 AP 是 BAC 的角平分线，，然后根据角平
分线的性质求解．
【详解】解：由题可知， AP 是 BAC 的角平分线，
\点 P 到 AB 和 AC 的距离相等，
Q C = 90° ，CD = 3，
\DC ^ AC ，
\点 D 到 AC 的距离为CD 的长，即点 D 到 AC 的距离为 3，
∴点 D 到 AB 的距离为 3．
故选：C．
1
3．（23-24 七年级下·广东茂名·期末）如图，在VABC 中，分别以点A 和点 B 为圆心，大于 AB的长为半径
2
作弧，两弧相交于点 M 、 N 两点，作直线 MN ，直线 MN 分别与 BC 、 AB 相交于 D、 E 两点，连接 AD ，
则图中长度一定与 AD 相等的线段是 ．
【答案】BD / DB
【分析】本题主要考查垂直平分线的做法及其性质，根据作图可知ED为线段 AB 的垂直平分线，则有
AD = BD 成立．
【详解】解：根据作图可知ED为线段 AB 的垂直平分线，则 AD = BD ，
故答案为：BD．
4．（23-24 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在Rt△ABC 中， C = 90°，以顶点 A 为圆心，适当长
为半径画弧，分别交边 AC、AB于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画两条弧，两
弧交于点 P，作射线 AP 交边BC 于点 D，若CD = 4， AB = 20 ，则△ABD 的面积是 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得 AD 平分 BAC ，则由
角平分线上的点到角两边的距离相等可得DH = CD = 4，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点 D 作DH ^ AB于 H，
由作图方法可知， AD 平分 BAC ，
∵ C = 90°，DE ^ AB，
∴DH = CD = 4，
S 1∴ VABD = AB × DE
1
= 4 20 = 40，
2 2
故答案为：40．
5．（24-25 八年级上·全国·假期作业）如图，已知点 A、点 B 以及直线 l．
(1)用尺规作图的方法在直线 l上求作一点 P ，使PA = PB ．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，若 AM = PN ，BN = PM ，求证： MAP = NPB ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出 AB 的垂直平分线得出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：在VAMP 和△BNP中
ìAM = PN
Q íPM = BN ，
AP = BP
\VAMP≌VPNB(SSS)
\ MAP = NPB ．
6．（23-24 七年级下·辽宁锦州·期末）如图，已知VABC ，点D在BC 边上．
(1)求作 VDEF ，使VDEF≌VABC ，并满足点 E 在 BC 的延长线上， DF P AB ．（请用尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）
(2)根据你的作图方法，说明VDEF≌VABC 的理由．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】题目主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
（1）根据题意先作 FDE = B，然后截取DE = BC ，以点 D 为圆心， AB 长为半径截取DF = AB，即可
得出图形；
（2）根据作图方法得出DF = AB， FDE = B，DE = BC ，即可证明全等．
【详解】（1）解：先作 FDE = B，然后截取DE = BC ，以点 D 为圆心， AB 长为半径截取DF = AB，如
图所示即为所求；
（2）根据作图得：DF = AB， FDE = B，DE = BC ，
∴VDEF≌VABC SAS ．
C 综合素养
1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 AD 平分 BAC 的
是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的
定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断 AD 平分 BAC ；
在图③中，利用作法得 AE = AF，AM = AN ， 可证明VAFM≌VAEN ，有 AMD = AND，可得
ME = NF ，进一步证明△MDE≌△NDF ，得 DM = DN ，继而可证明△ADM≌△ADN ，得 MAD = NAD，
得到 AD 是 BAC 的平分线；在图②中，利用基本作图得到 D 点为BC 的中点，则 AD 为BC 边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断 AD 平分 BAC ；
在图③中，利用作法得 AE = AF，AM = AN ，
在△AFM 和△AEN 中，
ìAE = AF
í BAC = BAC ，
AM = AN
∴VAFM≌VAEN SAS ，
∴ AMD = AND，
Q AM - AE = AN - AF
\ME = NF
在VMDE 和VNDF 中
ì AMD = AND
í MDE = NDF ，
ME = NF
∴VMDE≌VNDF AAS ，
∴ DM = DN ，
∵ AD = AD, AM = AN ，
∴VADM≌VADN SSS ，
∴ MAD = NAD，
∴ AD 是 BAC 的平分线；
在图②中，利用基本作图得到 D 点为BC 的中点，则 AD 为BC 边上的中线．
则①③可得出射线 AD 平分 BAC ．
故选：B．
2．（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，在长方形 ABCD中，在 AD、AC 上分别截取 AE、AF ，使
1
AE = AF ，分别以 E、F 为圆心、以大于 EF 长为半径作弧，两弧在 DAC 内交于点 G，作射线 AG ；又分
2
1
别以 A、C 为圆心，以大于 AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线MN ；射线 AG 和直线MN
2
交于点 P，则 a 的度数为（ ）
A．68° B．56° C．54° D．45°
【答案】B
1
【分析】由平行线的性质得 CAD = ACB = 68°，由角平分线的定义得 CAP = CAD = 34°，求出
2
APN = 56°，然后根据对顶角的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥ BC ，
∴ CAD = ACB = 68°．
由作图知， AG 平分 CAD，
∴ CAP
1
= CAD = 34°．
2
由作图知，MN ^ AC ，
∴ APN = 90° - 34° = 56°，
∴a = APN = 56°．
故选 B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，尺规作图，直角三角形两锐角互余，以及对等角相等，理解作图的含
义是解答本题的关键．
3．（23-24 七年级下·安徽宿州·期末）如图，在VABC 中， AB = AC ，BC = 3cm，分别以点 A，C 为圆心，
1
以大于 AC 为半径作弧，两弧分别交于点 M，N，过点 M，N 作直线MN 交 AB 于点 P，连接CP．若VABC
2
的周长比VBCP 的周长大5cm，则VBCP 的周长为 cm．
【答案】8
【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得 AP = CP，根据VABC 的周长比VBCP 的周长
大5cm，求得 AB ，再根据周长公式计算即可得到答案．
【详解】解：由作图可知MN 是线段 AC 的垂直平分线，
\ AP = CP，
\BP = AB - AP = AB - CP ，
\ VBCP 的周长为BP + BC + CP = AB - CP + BC + CP = AB + BC ，
Q AB = AC ，
\ VABC 的周长为 AB + AC + BC = 2AB + BC ，
Q VABC 的周长比VBCP 的周长大5cm，
\ AB + BC + 5 = 2AB + BC ，
\ AB = 5cm，
\ VBCP 的周长为 AB + BC = 5 + 3 = 8cm，
故答案为：8．
4．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 ABC 中， AD 是边BC 上的高，在BA，BC 上分别截取线段
1
BE ， BF ，使 BE = BF ；分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，在 ABC 内，两弧交于点 P，
2
作射线BP，交 AD 于点 M，过点 M 作MN ^ AB 于点 N．若MN = 2， AD = 4MD，则 AM = ．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分 ABC ，根据角平分线的性
质可知 DM = MN = 2 ，结合 AD = 4MD求出 AD ， AM ．
【详解】解：作图可知BP平分 ABC ，
∵ AD 是边BC 上的高，MN ^ AB ，MN = 2，
∴MD = MN = 2，
∵ AD = 4MD，
∴ AD = 8，
∴ AM = AD - MD = 6，
故答案为：6．
5．（2024·广西南宁·二模）如图，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 90°，过点 C 作CE∥ AB，连接 AE ．
(1)基本尺规作图：作 ABF = EAC ，交线段 AC 于点 F（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)求证：BF = AE ．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了作图-基本作图、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握作图方法是解
答本题的关键．
（1）根据作一个角等于已知角的作图方法作出图形即可；
（2）根据平行线的性质可得 BAF = ACE = 90°，再证出VABF≌VCAE ，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图， ABF 即为所作．
（2）证明：∵CE∥ AB，
∴ BAF + ACE =180°，
∵ BAC = 90°，
∴ BAF = ACE = 90°，
在△ABF 和VCAE中，
ì BAF = ACE = 90°
íAB = CA ，
ABF = CAE
∴VABF≌VCAE ASA ，
∴BF = AE ．
6．（23-24 八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平
分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
【问题提出】（1）尺规作图：如图 1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 CAD = DAB 的依
据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是_________；
【问题探究】（2）①构距离，造全等
如图 2，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， B = 90°, BAD 和 CDA的平分线 AE, DE交于边BC 上一点
E ．过点E 作EF ^ AD 于点F ．若BC =12cm ，则EF = _________ cm；
②巧翻折，造全等
如图 3，在VABC 中， AB < AC, AD是VABC 的角平分线，请说明 B > C ；小明在 AC 上截取 AE = AB ．连
接DE ，则VABD≌VAED SAS ．请继续完成小明的解答．
【问题解决】（3）如图 4，在VABC 中， A = 60°, BE,CF 是VABC 的两条角平分线，且BE,CF 交于点 P ．请
判断PE与PF 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）SSS；（2）①6；②见解析；（3）PE = PF ，见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定
与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）直接利用SSS证明△AFD≌△AED即可得出 CAD = DAB ；
（2）①如图：过点E 作EF ^ AD ，垂足为点F ，利用角平分线的性质证得BE = EF = EC ，即E 为BC 的中
点，进而求得 EF 的长即可；
②在 AC 上截取 AE = AB ．连接DE ，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
（3）在BC 上截取BD = BF ，连接PD；再证明△BFP≌△BDP 得到PF = PD ， BPF = BPD ；再证明
△CDP≌△CEP，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）证明：根据作图可得 AE = AF ,FD = ED ，又 AD = AD，
\VAFD≌VAED SSS ，
\ FAD = EAD ，
即 CAD = DAB ；
故答案为：SSS；
（2）①如图：过点E 作EF ^ AD ，垂足为点F ，
Q BAD和 CDA的平分线 AE, DE交BC 于点E ，
\BE = EF = EC 1，即BE = BC = 6，
2
\EF = 6；
②如图：在 AC 上截取 AE = AB ．连接DE ，
Q AD 是VABC 的角平分线，
\ BAD = EAD，
又Q AD = AD ，
\VABD≌VAED SAS ．
\ B = AED ，
又Q AED = C + CDE ，
\ AED > C
\ B > C ；
（3）PE = PF ，理由如下：
Q A = 60°
\ ABC + ACB =180° - 60° =120°，
QBE,CF 是VABC 的两条角平分线，且BE,CF 交于点 P ．
\ CBE + BCF = 60°，
\ BPC = 180° - CBE + BCF = 120°；
在BC 上截取BD = BF ，连接PD，则VBFP≌VBDP SAS ，
\PF = PD, BPF = BPD，
Q BPC =120°
\ BPF =180° - BPC = 60°
\ BPD = 60°，
\ CPD = 120° - BPD = 60°，
又Q CPE = BPF = 60°，
\ CPD = CPE ，
QCF 是VABC 的角平分线，
\ DCP = ECP，
QCP = CP,VCDP≌VCEP ASA ，
\PD = PE ，
\PE = PF ．
