第 09 讲 直角三角形全等的判定（1 个知识点+5 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.用 HL 判断三角形全等； 1.掌握用 HL 证三角形全等；
2.全等的性质与 HL 的综合； 2.掌握全等的性质与 HL 的综合；
知识点 01：HL 证明三角形全等
定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形
状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两
个三角形前加上“Rt”.
【即学即练 1】
1．如图，在 VABC 中， C = 90°，D 是 AC 上一点， DE ^ AB于点 E， BE = BC ，连接 BD，若 AC = 8cm ，
则 AD + DE 等于（ ）
A．6cm B． 7cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】证明 Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出 CD=DE，则可得出答案．
【详解】解：∵ DE ⊥ AB ，
\ DEB = 90° ，
在RtVBCD和Rt△BED 中，
ìBD = BD
í
BE
，
= BC
\Rt△BCD @ Rt△BED(HL)，
\CD = DE ，
\ AD + DE = AD + CD = AC ，
Q AC = 8 cm，
\ AD + DE = AC = 8 cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【即学即练 2】
2．如图所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于点 E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE= 12 ∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，
求出∠CAB 的度数，然后即可求出∠AEC 的度数．
【详解】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于点 E，
∴△CAE≌△DAE，
∴∠CAE=∠DAE= 12 ∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°﹣28°=62°，
∵∠AEC=90° 1﹣ 2 ∠CAB=90°﹣31°=59°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键
是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
题型 01 用 HL 证明三角形全等
1．如图，O 是 BAC 内一点，且点 O 到 AB ， AC 的距离OE = OF ，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【分析】本题考查对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件
判定△AEO 和VAFO 是直角三角形．利用点 O 到 AB ， AC 的距离OE = OF ，可知△AEO 和VAFO 是直角
三角形，然后可直接利用HL 求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．
【详解】解：Q OE ^ AB，OF ^ AC ，
\ AEO = AFO = 90°，
又Q OE = OF ， AO 为公共边，
\ VAEO≌VAFO HL ．
故选：A．
2．如图， AB ^ BC ， AD ^ DC ，要根据“ HL ”证明Rt△ABC≌Rt△ADC ，还应添加一个条件是（ ）
A． 1 = 2 B． 2 = 4 C． AB = AD D． AB = AC
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出 D = B = 90°，再根据全等三角形的判定
定理推出即可．
【详解】解：还需要添加的条件是 AB = AD ，
理由是：∵ AB ^ BC ， AD ^ DC ，
\ D = B = 90°，
在Rt△ABC 和RtVADC 中，
ìAC = AC
íAB ， = AD
∴Rt△ABC≌Rt△ADC HL ，
故选：C．
3．如图，点 B 、 F 、C 、 E 在一条直线上， A = D = 90°， AB = DE ，若用“ HL ”判定△ABC ≌△DEF ，
则添加的一个条件是 ．
【答案】BC = EF
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件
和各个选项中的条件，可以写出用“ HL ”判断△ABC ≌△DEF 的依据
【详解】解：Q A = D = 90°， AB = DE ，
当添加条件BC = EF 时，Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) ，
故答案为：BC = EF ．
4．如图， AC ^ AB， AC ^ CD ，要使得△ABC ≌△CDA，若以“ HL ”为依据，需添加条件 ．
【答案】 AD = BC
【分析】本题考查直角三角形全等的判定内容．“ HL ”的内容是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三
角形全等，根据题目中的已知条件只需添加两条斜边相等即可．
【详解】解：Q AC ^ AB ， AC ^ CD ，
\ BAC = ACD = 90°，
\VABC 和VCDA是直角三角形，
QVABC 和VCDA有公共直角边 AC ，
\以“ HL ”为依据判定△ABC ≌△CDA需要添加斜边相等，即 AD = BC ，
故答案为： AD = BC ．
5．已知：如图， ABC = 45°， AD 为VABC 的高，E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F 且有 BF = AC ．求证：
Rt△BFD≌Rt△ACD ．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由 AD 为VABC 的高得到 ADB = ADC = 90°，根据等腰
三角形的判定得出 AD = BD ，再根据HL即可证明Rt△BFD≌Rt△ACD
【详解】证明：∵ AD 为VABC 的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∵ ABC = 45°，
∴ BAD = 45°，
∴ AD = BD ，
又∵BF = AC ，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．
题型 02 利用直角三角形全等的判定求角度
1．如图，已知DB ^ AN 于点 B ，交 AE 于点O，OC ^ AM 于点C ，且OB = OC ．若 ADB = 54°，则 OAB
的大小为（ ）
A．15° B．18° C． 22° D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由DB ^ AN 、OC ^ AM 得到
DBA = OCA = 90°，然后结合OB = OC ，OA = OA得证VOAB≌VOAC ，进而得到 OAB = OAC ，再利用
ADB = 54°求得 DAB 的大小，最后求得 OAB的大小．
【详解】解：QDB ^ AN ，OC ^ AM ，
\ DBA = OCA = 90°，
QOB = OC ，OA = OA，
\VOAB≌VOAC(HL)，
\ OAB = OAC ，
Q ADB = 54° ， DBA = 90°，
\ DAB = 90° - 54° = 36° ，
\ OAB = 18°．
故选：B．
2．如图，VABC 中， ABC 的平分线与 AC 边的垂直平分线交于点D，过D作DE ^ BC 于点E ，连接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，则 DCE 的度数为（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】过点D作DF ^ AB ，连接 AD ，如图所示，由中垂线的性质得到DA = DC ，结合等腰三角形的判
定与性质得到 DAC = ACD = 30°，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到
DCE = DAF = BAC + DAC ．
【详解】解：过点D作DF ^ AB ，连接 AD ，如图所示：
Q点D在线段 AC 的垂直平分线上，
\ DA = DC ，
\ DAC = ACD = 30°，
Q点D在 ABC 的角平分线上，
\DF = DE ，
Q DFA = 90° = DEC ，
\VDFA≌VDEC HL ，
\ DCE = DAF = BAC + DAC = 35° + 30° = 65°，
故选：C．
【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等
的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键．
3．如图，已知 PA ^ ON 于点 A，PB ^ OM 于点 B，且PA = PB ， MON = 50°， OPC = 20°，则 PCA = ．
【答案】 45° /45 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP 是本题的关键．由“ HL ”可证
1
Rt△OAP≌Rt△OBP ，可得 AOP = BOP = AOB = 25°，由外角可求解．
2
【详解】解：QPA ^ ON 于A ，PB ^ OM 于 B ，
\ PAO = PBO = 90°，
QPA = PB，OP = OP ，
\RtVOAP≌RtVOBP(HL)，
\ AOP = BOP 1= AOB = 25°
2 ，
\ PCA = AOP + OPC = 45° ，
故答案为： 45°
4．如图，VABC 中， AC = BC ，且点D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分线上，连接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，则 A = °．
【答案】 72
【分析】过C 作CM ^ BD，交 BD的延长线于M ，过 D作 DN ^ AC 于 N ，证明RtVDNC≌RtVDMC HL ，
得 DCM = ACD =12°，求出 ACB 的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出 A的度数．
【详解】解：如图，过C 作CM ^ BD，交BD的延长线于M ，过D作DN ^ AC 于 N ，
∵点D在 AC 的垂直平分线上，
∴DN 垂直平分 AC ，
1
∴ NC = AC ，
2
∵ AC = BC ，
∴ NC
1
= BC ，
2
在Rt△ BMC 中， DBC = 30°，
∴CM
1
= BC ，
2
∴CM = CN ，
在Rt△DNC 和RtVDMC 中，
ì CD = CD
∵ í
CN
，
= CM
∴RtVDNC≌RtVDMC HL ，
∴ DCM = ACD =12°，
∵ DBC = 30°，
∴ MCB = 60°，
∴ ACB = 60° -12° 2 = 36°，
又∵ AC = BC ，
A 1∴ = 180° - 36° = 72°，
2
故答案为： 72．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟
知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．
5．如图， AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD 交 AD 的延长线于点 F，在 AB 上有一点 M，且
CM = CD，
(1)若 AF =12， DF = 4，求 AM 的长．
(2)试说明 CDA与 CMA的关系．
【答案】(1) AM = 8或 AM =16
(2) CDA + CMA = 180° 或 CAD = CMA
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两
边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等．
（1）根据角平分线的性质得出CE = CF ，通过证明RtVACF≌RtVACE HL ，得出 AF = AE =12 ，通过证明
RtVCFD≌RtVCEM HL ，得出DF = ME = 4 ，再进行分类讨论：当点 M 在点 E 左边时，当点 M 在点 E 右
边时；
（2）根据全等的性质得出 CDF = CME ，ME = DF ，再进行分类讨论即可：当点 M 在点 E 右边时，当点
M 在点 E 左边时，即可解答．
【详解】（1）解：∵ AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD ，
∴CE = CF ，
在Rt△ACF 和RtVACE 中，
ìCE = CF
íAC ， = AC
∴RtVACF≌RtVACE HL ，
∴ AF = AE =12 ，
∵在RtVCFD和Rt△CEM 中，
ìCM = CD
í
CE = CF
，
∴RtVCFD≌RtVCEM HL ，
∴DF = ME = 4 ，
当点 M 在点 E 左边时， AM1 = AE - ME =12 - 4 = 8，
当点 M 在点 E 右边时， AM1 = AE + ME =12 + 4 =16，
综上： AM = 8或 AM =16 ．
（2）解：由（1）可得RtVCFD≌RtVCEM HL ，
∴ CDF = CME ，ME = DF ，
当点 M 在点 E 右边时，∵ CDA + CDF =180°，
∴ CDA + CME = 180°，即 CDA + CMA = 180° ；
当点 M 在点 E 左边时，∵ CDF = CME ， CDF + CDA = CME + CMA =180°，
∴ CDA = CMA，
综上： CDA + CMA = 180° 或 CDA = CMA．
题型 03 利用直角三角形全等的判定求长度
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC 的平分线 AE 交BC 于点E, ED ^ AB于点 D，若VABC 的周长为
12,VBDE 的周长为 6，则 AC =（ ）
A．4 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两
边距离相等，全等三角形的判定方法与性质，以及线段之间的等量关系．
根据角平分线的性质得出CE = DE ，进而求证RtVADE≌RtVACE HL 推出 AD = AC ，根据三角形的周长，
得出BE + BD + DE = 6， AB + AC + BC = 12，结合线段之间的和差关系，即可解答．
【详解】解：∵ AE 平分 BAC ， C = 90°，ED ^ AB ，
∴CE = DE ，
在RtVADE 和RtVACE 中，
ìCE = DE
í ，
AE = AE
∴RtVADE≌RtVACE HL ，
∴ AD = AC ，
∵VBDE 的周长为 6，
∴BE + BD + DE = 6
∵VABC 的周长为12，
∴ AB + AC + BC = AD + AC + BD + CE + BE = 2AC + BD + DE + BE =12，
∴ 2AC + 6 =12，
解得： AC = 3，
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC = 6 ， BC = 8，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC ，
1
AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，射线 AP 与BC 交
2
于点D，DE ^ AB，垂足为E ，则BE为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质．
由勾股定理可求得 AB =10，由作图可得 AD 是 CAB 的角平分线，根据角平分线的性质得到DC = DE ，从
而证得RtVADC≌RtVADE HL ，根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中， AC = 6 ，BC = 8，
∴ AB = AC 2 + BC 2 =10，
由作图可得 AD 是 CAB 的角平分线，
∵ C = 90°，DE ^ AB，
∴DC = DE ，
∴在RtVADC 和RtVADE 中，
ìAD = AD
íCD ED ， =
∴RtVADC≌RtVADE HL ，
∴ AE = AC = 6，
∴BE = AB - AE = 4．
故选：B
3．如图，VABC 的外角 DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于 P 点，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E．若
AB = 6cm ， AC = 10cm ，则 AD 的长是 ．
【答案】 2cm /2 厘米
【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，连接PB, PC ，角平分线的
性质，得到PD = PE ，证明VPDA≌VPEA，得到 AD = AE ，证明VPDB≌VPEC ，得到BD = CE ，再利用线
段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵ AP 平分 DAC ，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E，
∴PD = PE ， PDA = PEA = PEC = 90°，
∵ AP = AP ，
∴VPDA≌VPEA，
∴ AD = AE ，
连接PB, PC ，
∵ PQ垂直BC ，
∴PB = PC ，
∵PD = PE ， PDA = PEC = 90° ，
∴VPDB≌VPEC ，
∴BD = CE ，
∴ AB + AD = AC - AE = AC - AD，即： 6 + AD =10- AD ，
∴ AD = 2cm ；
故答案为： 2cm
4．如图，在VABC 中，DE ^ AC 于点D，且 AD = CD ， ABE + CBE = 180°，EF ^ BC 于点F ，若
AB = 7 ，BF =1，则BC = ．
【答案】9
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形．
由线段垂直平分线的性质得到 AE = CE ，由补角的性质推出 EBF = EBH ，由 AAS证明VEBH≌VEBF ，
得到EH = EF ，BH = BF = 1，又CE = AE ，推出RtVCEF≌RtVAEH (HL) ，得到FC = AH ，求出 AH = 8，即可
得到 BC = CF + BF = 8 +1 = 9．
【详解】解：过E 作EH ^ AB 交 AB 延长线于 H ，连接EA，
QDE ^ AC 于点D，且 AD = CD ，
\ AE = CE ，
Q ABE + CBE = 180° ， ABE + EBH = 180°，
\ EBF = EBH ，
QEF ^ BC 于点F ，
\ EFB = EHB = 90° ，
QEB = EB，
\VEBH≌VEBF (AAS)，
\EH = EF ， BH = BF = 1，
QCE = AE ，
\RtVCEF≌RtVAEH (HL)，
\ FC = AH ，
Q AH = AB + BH = 7 +1 = 8，
\FC = 8，
\ BC = CF + BF = 8 +1 = 9 ．
故答案为：9．
5．已知：如图， BAC 角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点 D，DE ^ AB，DF ^ AC ，垂足分别为
E、F．
(1)求证：BE = CF ；
(2)若 AB = 8， AC = 6 ，求 BE 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) BE =1．
【分析】（1）连接CD，先由垂直平分线的性质得出BD = CD，再由角平分线的性质得出DE = DF ，然后
由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF ，即可得出结论；
（2）由HL证得RtVADE≌RtVADF ，得出 AE = AF ，则 AB - BE = AC + CF ，推出
BE + CF = AB - AC = 2，即可得出结果．
本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
【详解】（1）证明：连接CD，
∵D 在BC 的垂直平分线上，
∴BD = CD，
∵DE ^ AB，DF ^ AC ， AD 平分 BAC，，
∴DE = DF ，
BED = DFC = 90°，
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
ìBD = CD
íDE DF ， =
∴RtVBDE≌RtVCDF(HL)，
∴BE = CF ；
（2）解：在RtVADE 和RtVADF 中，
ìAD = AD
í
DE = DF
，
∴RtVADE≌RtVADF(HL)，
∴ AE = AF ，
∴ AB - BE = AC + CF ，
∴BE + CF = AB - AC = 8 - 6 = 2 ，
∵BE = CF ，
1
∴BE = 2 =1．
2
题型 04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加
1．如图， AD 是VABC 的角平分线，DF ^ AB 于点 F，且DE = DG ， S△ADG = 26 ， S△AED = 18，则VDEF
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性，过点 D 作DH ^ AC 于 H，根据角平分
线上的点到角的两边距离相等可得DF = DH ，然后利用“ HL ”证明Rt△DEF 和Rt△DGH 全等，根据全等三
角形的面积相等可得 SVEDF = SVGDH ，然后根据 SV ADF = SV ADH 列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点 D 作DH ^ AC 于 H，
∵ AD 是VABC 的角平分线，DF ^ AB ，DH ^ AC
∴DF = DH ，
在Rt△DEF 和Rt△DGH 中，
ì DE = DG
íDF DH ， =
∴RtVDEF≌RtVDGH HL ，
∴ SVEDF = SVGDH ，
同理RtVADF ≌RtVADH ，
∴ SV ADF = SV ADH ，
∴18 + S△DEF = 26 - S△DGH ，
解得SVDEF = 4．
故选：C．
2．如图，在四边形 ABCD中，DE ^ BC ，BD平分 ABC ，AD = CD ，BE = 4，DE = 3，CE = 1，则△ABD
的面积是（ ）
A． 4.5 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质
求出 AB 是解此题的关键．可以过 D 作DF ^ AB ，交BA的延长线于 F，证明VDBE≌VDBF 得出
DF = DE = 3，BF = BE = 4，再证明RtVCDE≌RtVADF ，得出 AF = CE =1，求出 AB ，求出△ABD 的面积
即可．
【详解】解：过 D 作DF ^ AB ，交BA的延长线于 F，
∵BD平分 ABC ，
∴ DBF = DBE ，
在VDBE和VDBF 中，
ì DFB = DEB = 90°
í DBF = DBE ，
DB = DB
∴VDBE≌VDBF
∴DF = DE = 3，BF = BE = 4，
ìAD = CD
在Rt△CDE 和RtVADF 中 íDF DE ， =
∴RtVCDE≌RtVADF ，
∴ AF = CE =1，
∴ AB = BF - AF = 3
1
∴△ABD 的面积为 3 3 = 4.5，
2
故选：A．
3．如图， AE 是 CAM 的角平分线，点 B 在射线 AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，则 BEF = ．
【答案】 46° /46 度
【分析】连接CE，过 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出
CE = BE ，ER = EF ，根据全等求出 RCE = EBF ，求出 EBF = 44°，即可求出答案．
【详解】解：连接CE，过 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，
∵DE 是线段BC 的中垂线，
∴ EDC = 90°，CE = BE ，
∴ ECB = CBE ，
∵ CBE = 21°，
∴ ECB = 21°，
∴ DEB = CED = 90°- 21°= 69°，
∵ER ^ AC ，ED ^ BC ，
∴ QRC = QDE = 90°，
∴ ACB + CQR = 90°， EQD + QED = 90°，
∵ CQR = EQD，
∴ ACB = QED ，
∵ ACB = 23° ，
∴ QED = 23°，
∵ AE 平分 CAM ，ER ^ AC ， EF ^ AM ，
∴ER = EF ，
在RtVERC 和Rt△EFB 中，
ìCE = BE
í
ER = EF
，
∴RtVERC≌RtVEFB HL ，
∴ EBF = ACE = ACB + ECD = 23°+ 21°= 44°，
∵ EFB = 90°，
∴ BEF = 90°- EBF = 90°- 44°= 46°，
故答案为： 46°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角
和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点
到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
4．如图，四边形 ABCD中， AC 平分 BAD ，BC = DC，CE ^ AD于点 E， AD =12，AB = 7 ，则DE 的长
为 ．
5
【答案】
2
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点 C 作CF ^ AB交 AB 的延长
线于点 F，证明RtVACF≌RtVACE HL ，则 AE = AF = AB + BF ，证明RtVBCF≌RtVDCE HL ，则
DE = BF ，得到 AD = AB + 2DE ，即可得到DE 的长．
【详解】解：过点 C 作CF ^ AB交 AB 的延长线于点 F，
∵ AC 平分 BAD ，CE ^ AD于点 E，CF ^ AB于 F，
∴CE = CF ，
∵ AC = AC，
∴RtVACF≌RtVACE HL ，
∴ AE = AF = AB + BF ，
∵CE = CF ，BC = DC，
∴RtVBCF≌RtVDCE HL
∴ DE = BF ，
∴ AD = AE + DE = AB + BF + DE = AB + 2DE ，
∴12 = 7 + 2DE
∴DE
5
= ，
2
5
故答案为：
2
5．如图，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 6
【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
（1）作CF ^ AB交 AB 的延长线于F ，证明VCDE≌VCBF AAS ，得出CE = CF ，再由角平分线的判定定
理即可得证；
（2）由（1）可得：BF = DE = 4，证明RtVACE≌RtVACF HL 得出 AE = AF = 10，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，作CF ^ AB交 AB 的延长线于F ，
∵CE ^ AD，
∴ DEC = BFC = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ CBF = D ，
∵CB = CD ，
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得：BF = DE = 4，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í ，
AC = AC
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 10，
∴ AB = AF - BF = 6．
题型 05 全等的性质和 HL 综合
1．如图，在VABC 中， P 为 BC 上一点， PR ^ AB，垂足为 R，PS ^ AC ，垂足为 S，AQ = PQ，PR = PS ，
下面结论：① AS = AR；②QP∥ AR ；③△ARP ≌△ASP，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】连接 AP ，直接证明VAPS≌VAPR(HL)，即可求证①③，再利用等腰三角形的性质导角，可以判
定QP∥ AR ，可判断②．
【详解】证明：连接 AP ，
∵PR ^ AB，PS ^ AC ，
∴△APR和△APS 均为直角三角形，
∵ AP = AP ，PR = PS
∴VAPS≌VAPR(HL)，故③符合题意；
∴ AS = AR，故①符合题意；
∵ AQ = PQ ，
∴ 1 = 2，
∵VAPS≌VAPR ，
∴ 1 = 3
∴ 3 = 2，
∴QP∥ AR ， 故②符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握基础知识是解
本题的关键．
1
2．如图，在等边VABC 中， AD ^ BC 于 D，延长BC 到 E，使CE = BC ，F 是 AC 的中点，连接EF 并延
2
长EF 交 AB 于 G，BG 的垂直平分线分别交BG，AD于点 M，点 N，连接GN，CN ，下列结论：①
ACN = BCN 1；②GF = EF ；③ GNC =120°；④GM = CN ；⑤EG ^ AB ，其中正确的个数是（ ）
2
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确；
②设 AG = x，则 AF = FC = CE = 2x，表示EF 和 FG 的长，可判断②正确；
③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得 NH = NM ，由线段垂直平分线的性质得
BN = CN = NG ，证明RtVNGM ≌RtVNCH（HL），可判断③正确；
④分别表示 NG 和 FG 的长，可判断④不正确；
⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得 E = 30°，由 B=60°，可得EG ^ AB ，可判断⑤错误．
【详解】解：QVABC 是等边三角形，
\ BAC = ACB = 60°，AC = BC ，
QCE 1= BC，F 是 AC 的中点，
2
\CF = CE ，
\ E = CFE ，
Q ACB = E + CFE = 60°，
\ E = 30°，
\ BGE = 90°，
\EG ^ AB，故⑤正确；
设 AG = x，则 AF = FC = CE = 2x，
\FG = 3x ，BE = 6x ，
Rt△ BGE 中，BG = 3x，EG = 3 3x，
\EF = EG - FG - 3 3x - 3x = 2 3x ，
GF 1\ = EF ，故②正确；
2
③如图，过 N 作 NH ^ AC 于 H，连接BN ，
在等边三角形 ABC 中，
Q AD ^ BC ，
\ AD 平分 BAC，BN = CN ，
QMN ^ AB，
\ NH = NM ，
QMN 是BG 的垂直平分线，
\ BN = NG ，
\BN = CN = NG，
在Rt△NGM 和Rt△NCH 中，
ìMN = NH
í
GN = NC
\RtVNGM≌RtVNCH HL ，
\ GNM = CNH ，
\ MNH = CNG ，
Q ANM = ANH = 60°，
\ CNG =120°，故③正确；
QMN 是BG 的垂直平分线，
\BN = GN ，
等边VABC 中， AD ^ BC ，
\BN = CN ，
\GN = CN ，故④错误；
QBN = CN = NG，
\ DCN = DBN， NBM = NGM ，
Q ACN = ACB - DCN = 60° - DBN = ABN = NGM ，
Q ABC = ACB ，
\ ACN = BGN BCN ，故①错误；，
综上所述，正确的②③⑤，共 3 个，
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性
质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图所示，在VABC 中， P，Q分别是 BC，AC 上的点，作 PR ^ AB， PS ^ AC ，垂足分别为点 R，S ，
若 AQ = PQ ， PR = PS ，QD ^ AP．现有下列结论：① AS = AR；② AP 平分 BAC ；③△BRP≌△CSP；
④PQ∥ AR ．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②④
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三
角形的外角性质，证明RtVASP≌RtVARP HL 即可判断①；由角平分线的判定定理即可判断②；由全等三
角形的判定定理即可判断③；由角平分线的定义和三角形的外角性质得到 BAC = CQP ，即可判断④；掌
握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵PR ^ AB，PS ^ AC ，
∴ ASP = ARP = 90°，
在Rt△ASP 和Rt△ARP 中，
ìPS = PR
í ，
AP = AP
∴RtVASP≌RtVARP HL ，
∴ AS = AR，故①正确；
∵PR ^ AB，PS ^ AC ，PR = PS ，
∴点 P 在 BAC 的平分线上，
即 AP 平分 BAC ，故②正确；
在△BRP 和△CSP中， BRP = CSP = 90° ，PR = PS ，无法找到满足全等的第三个条件，所以无法判断
△BRP≌△CSP，故③错误；
∵ AP 平分 BAC ，
∴ BAC = 2 QAP ，
∵ AQ = PQ ，
∴ QAP = QPA，
∴ CQP = QAP + QPA = 2 QAP，
∴ BAC = CQP ，
∴PQ∥ AR ，故④正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
4．如图，VABC 的两条外角平分线 AP，CP 相交于点 P，PH ^ AC 于点 H．若 ABC = 60°，则下面的结
论：① ABP = 30°；② APC = 60°；③PB = 2PH ；④ APH = BPC ．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查角平分线的判定定理和性质定理．全等三角形的判定和性质等知识，如图，作PM ^ BC
于 M， PN ^ BA于 N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得 PB是 ABC 的平分线，由VPAN≌VPAH ，
VPCM≌VPCH ，推出 APN = APH ， CPM = CPH ，由 MPN =180° - ABC =120°，推出
1
APC = MPN = 60°，由 BPN = CPA = 60°，推出 CPB = APN = APH 即可一一判断．
2
【详解】解：如图，作PM ^ BC 于 M， PN ^ BA于 N．
∵ PAH = PAN，PN ^ AD，PH ^ AC ，
∴PN = PH ，
同理，PM = PH，
∴PN = PM ，
∴ PB平分 ABC ，
∴ ABP 1= ABC = 30° ，故①正确，
2
∵在Rt△PAH 和Rt△PAN 中，
ìPA = PA
í ，
PN = PH
∴VPAN≌VPAH ，
同理可证，VPCM≌VPCH ，
∴ APN = APH， CPM = CPH ，
∵ MPN =180° - ABC =120°，
∴ APC
1
= MPN = 60°，故②正确，
2
在RtVPBN 中，∵ PBN = 30°，
∴PB = 2PN = 2PH ，故③正确，
∵ BPN = CPA = 60°，
∴ CPB = APN = APH ，故④正确，
故答案为：①②③④．
3
5．如图，已知在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 4， BC = 8，D 是 AC 上的一点，CD = ．点 P 从 B 点
2
出发沿射线BC 方向以每秒 1 个单位的速度向右运动．设点 P 的运动时间为 t，连接 AP ．
(1)当 t = 3秒时，求 AP 的长度；
(2)当点 P 在线段 AB 的垂直平分线上时，求 t 的值；
(3)过点 D 作DE ^ AP于点 E．在点 P 的运动过程中，当 t 为何值时，能使DE = CD？请直接写出 t 的值．
【答案】(1) 41
(2) t = 5
(3) t = 5或11
【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题的关
键．
（1）求出PC ，再用勾股定理解RtVACP即可；
（2）由垂直平分线的性质得BP = AP，设 AP = BP = x，则PC = 8 - x，用勾股定理解RtVACP即可；
（3）分 P 在线段 BC 上、在线段 BC 的延长线上两种情况，先证RtVPED ≌RtVPCD HL ，推出 PE = PC ，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当 t = 3时，PC = BC - BP = 8 -1 3 = 5，
在RtVACP中， ACP = 90°，
∵ AC = 4， PC = 5，
∴ AP = AC 2 + PC 2 = 42 + 52 = 41；
（2）∵点 P 在线段 AB 垂直平分线上，
∴BP = AP，
设 AP = BP = x，
∵ BC = 8，
∴PC = 8 - x，
在Rt△APC 中， ACP = 90°，
∴ AC 2 + PC 2 = AP2 ，
∴ 42 + (8 - x)2 = x2 ，
解得 x = 5，
∴ BP = 5
∴ t = 5 1 = 5；
（3）解：5 或 11
①当 P 在线段BC 上时，连接PD，
∵ DE ^ AP，DC ^ PC ，DE = DC ，
∴ 在RtVPED和Rt△PCD中，
ìDE = DC
í
PD = PD
，
∴RtVPED ≌RtVPCD HL ，
∴PE = PC ，
AD 5 3∵在Rt△AED 中， = ，DE = DC = ，
2 2
AE 5
2 3 2
= ∴ 2 ÷
- ÷ = 2，
è è 2
∵BP = t ，PC = PE = 8 - t，
∴PA = PE + AE = 8 - t + 2 =10 - t ，
∵在RtVACP中， AC 2 + PC 2 = AP2 ，
∴ 42 + (8 - t)2 = (10 - t)2
解得 t = 5；
②当 P 在线段BC 延长线上，连PD，
同①可证PE = PC ， AE = 2，
则PC = PE = t -8， AP = PE + AE = t -8 + 2 = t - 6 ，
∵在RtVACP中，PC 2 + AC 2 = AP2
∴ (t -8)2 + 42 = (t - 6)2 ，
解得 t = 11，
综上： t = 5或 11．
1．如图，在VABC 中， AC = BC ， C = 90°， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点E ．若CD =1，则
AB 的长为（ ）
A． 2 B．1+ 2 C． 2 + 2 D． 2 2 + 2
【答案】C
【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到 B = BAC = 45° ，利用角平分线性质得到
DE = CD =1，利用三角形内角和定理得到 BDE = 45° = B，进而得到BE = DE = 1，利用勾股定理得到BD，
进而得到 AC ，再证明VACD≌VAED HL ，利用全等三角形性质得到 AE ，即可求得 AB 的长．
【详解】解：Q AC = BC ， C = 90°，
\ B = BAC = 45° ，
Q AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点E ，CD =1，
\DE = CD =1， BED = 90°，
\ BDE = 45° = B ，
\ BE = DE = 1，
\ BD = BE2 + DE2 = 2 ，
\ AC = BC = CD + BD =1+ 2 ，
Q AD = AD， AED = 90° = C ，
\VACD≌VAED HL ，
\ AE = AC =1+ 2 ，
\ AB = AE + BE = 2 + 2 ．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判
定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
2．如图，在VABC 中， C = 90°， AC = BC ， AD 平分 CAB ，交BC 于点D，DE ^ AB于点E ，且
AB = 6cm ，则VDEB的周长为（ ）
A． 4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质
并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD = DE ，利用“ HL ”证明VACD
和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AC = AE ，然后求出VDEB的周长．
【详解】解：Q AD 平分 CAB ， C = 90°，DE ^ AB，
\CD = DE ，
在VACD和△AED 中，
ìAD = AD
í
CD = DE
，
\VACD≌VAED(HL)，
\ AC = AE ，
\VDEB的周长= BD + DE + BE ，
= BD + CD + BE ，
= BC + BE ，
= AC + BE ，
= AE + BE ，
= ，
Q AB = 6cm ，
\VDEB的周长为6cm．
故选：B
3．如图， 在RtVABC 中， C = 90°， BAC 的平分线 AE 交BC 于点 E，ED ^ AB 于点 D， 若 VABC
的周长为 12，则 VBDE 的周长为 4 ，则 AC 为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得DE = EC ，
ADE = ACE = 90°，证得 RtVADE≌RtVACE HL ，可得 AD = AC ，再根据三角形周长可得 4 + 2AC = 12，
即可求解．
【详解】解：∵ AE 平分 BAC ，ED ^ AB ，EC ^ AC ，
∴DE = EC ， ADE = ACE = 90°，
又∵ AE = AE ，
∴RtVADE≌RtVACE HL ，
∴ AD = AC ，
∵VBDE 的周长为 4 ，VABC 的周长为 12，
∴BD + DE + BE = BD + EC + BE = BD + BC = 4，AB + AC + BC = AD + BD + AC + BC = BD + BC + 2AC = 12，
∴ 4 + 2AC = 12，
∴ AC = 4，
故选：B．
4．如图，VABC 中， ABC 的平分线与 AC 边的垂直平分线交于点D，过D作DE ^ BC 于点E ，连接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，则 DCE 的度数为（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】过点D作DF ^ AB ，连接 AD ，如图所示，由中垂线的性质得到DA = DC ，结合等腰三角形的判
定与性质得到 DAC = ACD = 30°，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到
DCE = DAF = BAC + DAC ．
【详解】解：过点D作DF ^ AB ，连接 AD ，如图所示：
Q点D在线段 AC 的垂直平分线上，
\ DA = DC ，
\ DAC = ACD = 30°，
Q点D在 ABC 的角平分线上，
\DF = DE ，
Q DFA = 90° = DEC ，
\VDFA≌VDEC HL ，
\ DCE = DAF = BAC + DAC = 35° + 30° = 65°，
故选：C．
【点睛】本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等
的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键．
5．如图，在VABC 中，延长BA到点E ，延长BC 到点F ． ABC, EAC 的角平分线BP,AP 交于点 P ，过点
P 分别作PM ^ BE,PN ^ BF ，垂足为M ,N ，则下列结论正确的有（ ）
①CP平分 ACF ；② ABC + 2 APC =180°；③∠ACB = 2∠APB；④ S△PAC = S△MAP + S△NCP ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】①过点 P 作PD ^ AC 于点D，根据角平分线的性质推出PD = PN 即可进行判断；②证
RtVPAM≌RtVPAD ，RtVPCD≌RtVPCN 即可进行判断；③根据“ PA平分 CAE ，BP平分 ABC ” 即可
进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】解：①如图，过点 P 作PD ^ AC 于点D，
∵ ABC， EAC 的平分线BP，AP 交于点 P， PM ^ BE ， PN ^ BF ，PD ^ AC ，
\PM = PN ，PD = PM ，
\PD = PN ，
∴ PN ^ BF ，PD ^ AC ，
∴CP平分 ACF ，故①正确；
②QPM ^ AB，PN ^ BC ，
\ ABC + 90° + MPN + 90° = 360°，
\ ABC + MPN = 180°，
在RtVPAM 和Rt△PAD 中，
ìPM = PD
í
PA = PA
\RtVPAM≌RtVPAD HL ，
\ APM = APD，
同理：RtVPCD≌RtVPCN HL ，
\ CPD = CPN ，
\ MPN = 2 APC ，
\ ABC + 2 APC = 180° ，故②正确；
③QPA平分 CAE ，BP平分 ABC ，
1
\ CAE = ABC + ACB = 2 PAM ， PAM =∠ABP +∠APB = ABC + APB2 ，
\ CAE = ABC + ACB = ABC + 2 APB
\ ACB = 2 APB ，③正确；
④由②可知RtVPAM≌RtVPAD HL ，RtVPCD≌RtVPCN HL ，
\SVAPD = SVMAP ， SVCPD = SVNCP ，
\SVPAC = SVAPD + SVCPD = SVMAP + SVNCP，故④正确．
综上分析可知，正确的有 4 个，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角
和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．如图，CA ^ AB ，垂足为点 A， AB = 8， AC = 4，射线BM ^ AB ，垂足为点 B，一动点 E 从 A 点出发
以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持ED = CB ，当
点 E 运动 t 秒时，VDEB与VBCA全等．则符合条件的 t 值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全
等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点 E 在线段 AB 上，且 AC = BE 时，②当点 E 在线段 AB
延长线上，且 AC = BE 时，③当点 E 在线段 AB 上，且 AB = BE时和④当点 E 在线段 AB 延长线上，且 AB = BE
时，再分别列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：分类讨论：①当点 E 在线段 AB 上，且 AC = BE 时，VBCA≌VDEB HL ，
∵动点 E 的速度为 2/秒，
∴BE = AB - AE = 8 - 2t ，
∴ 4 = 8 - 2t ，
解得： t = 2；
②当点 E 在线段 AB 延长线上，且 AC = BE 时，VBCA≌VDEB HL ，
∵动点 E 的速度为 2/秒，
∴BE = AE - AB = 2t -8，
∴ 4 = 2t -8，
解得： t = 6；
③当点 E 在线段 AB 上，且 AB = BE时，VBCA≌VEDB HL ，
∵动点 E 的速度为 2/秒，
∴BE = AB - AE = 8 - 2t ，
∴8 = 8 - 2t ，
解得： t = 0；
④当点 E 在线段 AB 延长线上，且 AB = BE时，VBCA≌VEDB HL ，
∵动点 E 的速度为 2/秒，
∴BE = AE - AB = 2t -8，
∴8 = 2t -8，
解得： t = 8．
综上可知符合条件的 t 值有 4 个．
故选 C．
7．如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC =1, AD 是 BAC 的平分线且交BC 于点 D，DE ^ AB于点
E，则VBDE 的周长为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求出 AB 的长，角平分
线的性质得到CD = DE ，证明△ADC ≌△ADE ，得到 AE = AC ，进而得到VBDE 的周长
= AB - AC + BC = AB ，即可得出结果．
【详解】解：∵ ACB = 90°， AC = BC =1，
∴ AB = 12 +12 = 2 ，
∵ AD 是 BAC 的平分线且交BC 于点 D，DE ^ AB于点 E，
∴DC = DE ，∠DEA =∠C = 90°，
∵ AD = AD，
∴△ADC ≌△ADE ，
∴ AE = AC ，
∴BE = AB - AE = AB - AC ，
∴VBDE 的周长BD + DE + BE = BD + CD + AB - AC = AB - AC + BC = AB = 2 ，
故答案为： 2．
8．如图，在四边形 ABCD中， BD平分 ABC ， AD = CD ， DE ^ BC ，垂足为点 E，△ABD 的面积为 38，
△BCD的面积为 50，则VCDE的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质．
过点D作DF ^ AB 交BA的延长线于点F，由角平分线的性质得出 DF = DE ，利用“ HL ”证明RtVADF≌RtVCDE
和RtVBDF ≌RtVBDE ，再根据题意得出方程，解方程即可得出VCDE的面积．
【详解】解：如图，过点 D 作DF ^ AB 交BA的延长线于点 F，
∵BD平分 ABC ，DF ^ AB ，
∴DE = DF ，
在RtVADF 和Rt△CDE 中，
ìDA = DC
íDF DE ， =
∴RtVADF≌RtVCDE HL ，
∴ SV ADF = SVCDE ，
在Rt△BDF 和Rt△BDE 中，
ìBD = BD
íDF DE ， =
∴RtVBDF≌RtVBDE HL ，
∴ S△BDF = S△BDE ，
∴ SVABD + SVADF = SVBCD - SVCDE
设 SVCDE = SVADF = x ，
∴38 + x = 50 - x，
解得： x = 6，
∴VCDE的面积为 6．
故答案为：6
9．如图，VABC 中， ACB = 90°， AC 2 + BC 2 = AB2 ，点 D，E 分别在边BC ， AC 上，DE = DB，
DEC = B，若CE = 3， AB =15，则四边形 ABDE 的面积是 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析证明是解题的关键．过点 D 作
DF ^ AB ，证明VDCE≌VDFB得出DC = DF ，BF = CE = 3，证明RtVADC≌RtVADF HL ，得出
AC = AF =12，根据勾股定理求出BC = 9，设DC = DF = m，则DE = DB = 9 - m，根据勾股定理得出
9 - m 2 = m2 + 9，求出m = 4 ，得出答案即可．
【详解】解：过点 D 作DF ^ AB ，如图所示：
∴ DFB = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ DFB = ACB，DC ^ AC ，
在△DCE 和△DFB 中，
ì DCE = DFB
í DEC = B ，
DE = DB
∴VDCE≌VDFB，
∴DC = DF ，BF = CE = 3，
∵ AB =15，
∴ AF = AB - BF =15 - 3 =12，
∵CD = DF ， AD = AD，
∴RtVADC≌RtVADF HL ，
∴ AC = AF =12，
∵ AC 2 + BC 2 = AB2 ，
∴122 + BC 2 =152，
解得：BC = 9，负值舍去，
设DC = DF = m，则DE = DB = 9 - m，
在RtVDCE 中， DE2 = EC 2 +CD2，
9 - m 2即 = m2 + 9，
解得：m = 4 ，
∴ S S
1 1
=
四边形ABDE VABC - SVCDE = 12 9 - 3 4 = 48．2 2
故答案为：48．
10．如图，在VABC 中，D 为 AB 中点， DE ^ AB， ACE + BCE =180°， EF ^ BC 交 BC 于 F， AC = 8，
BC =12，那么BF = ．
【答案】10
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接 AE ，
过点E作EG ^ AC 交 AC 的延长线于点G，由角平分线的性质得EG = EF ，由HL可判定RtVEFC ≌RtVEGC ，
由全等三角形的性质得CF = CG ，同理可证BF = AG，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解
题的关键．
【详解】解：如图，连接 AE ，过点 E 作EG ^ AC 交 AC 的延长线于点 G，
QD为 AB 中点，DE ^ AB，
\EA = EB，
Q ACE + BCE =180°，
ACE + ECG =180°，
\ ECG = BCE ，
QEF ^ BC ，EG ^ AC ，
\EG = EF ，
在Rt△EFC 和RtVEGC 中，
ìCE = CE
í ，
EF = EG
\RtVEFC ≌RtVEGC （HL），
\CF = CG，
同理可证：RtVEFB≌RtVEGA，
\ BF = AG，
\12 - CF = 8 + CF ，
解得：CF = 2 ，
\BF =12 - 2 =10，
故答案：10．
11．如图，在VABC 中， AB = AC ，过点 A 作 AD∥BC ，连接DC ，点 E 是 AB 边上一点，DE = DC ，过
点 D 作DF ^ AC 于 F，若BE = 6，则 AF = ．
【答案】3
【分析】如图，过D作 DG ^ BA于G ，证明VADG≌VADF ，RtVDCF≌RtVDEG ，可得CF = EG ，再进一
步解答可得 2AF = BE = 6，从而可得答案．
【详解】解：如图，过D作 DG ^ BA于G ，
∵ AD∥BC ，
∴ DAG = B ， DAF = ACB，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∴ DAG = DAF ，
∵DF ^ AC ，
∴ G = AFD = 90°，
∵ AD = AD，
∴VADG≌VADF ，
∴DF = DG ，
∵DC = DE ，
∴RtVDCF≌RtVDEG ，
∴CF = EG ，
∴ AF = AC - CF = AB - EG = AB - AE + AG
= AB - AB - BE + AF = BE - AF ，
∴ 2AF = BE = 6，
∴ AF = 3，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线
是解本题的关键．
12．如图，VABC 中， AC = BC ，且点D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分线上，连接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，则 A = °．
【答案】 72
【分析】过C 作CM ^ BD，交 BD的延长线于M ，过 D作 DN ^ AC 于 N ，证明RtVDNC≌RtVDMC HL ，
得 DCM = ACD =12°，求出 ACB 的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出 A的度数．
【详解】解：如图，过C 作CM ^ BD，交BD的延长线于M ，过D作DN ^ AC 于 N ，
∵点D在 AC 的垂直平分线上，
∴DN 垂直平分 AC ，
1
∴ NC = AC ，
2
∵ AC = BC ，
1
∴ NC = BC ，
2
在Rt△ BMC 中， DBC = 30°，
CM 1∴ = BC ，
2
∴CM = CN ，
在Rt△DNC 和RtVDMC 中，
ì CD = CD
∵ í
CN
，
= CM
∴RtVDNC≌RtVDMC HL ，
∴ DCM = ACD =12°，
∵ DBC = 30°，
∴ MCB = 60°，
∴ ACB = 60° -12° 2 = 36°，
又∵ AC = BC ，
1
∴ A = 180° - 36° = 72°，
2
故答案为： 72．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟
知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．
13．如图，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 6
【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是
解此题的关键．
（1）作CF ^ AB交 AB 的延长线于F ，证明VCDE≌VCBF AAS ，得出CE = CF ，再由角平分线的判定定
理即可得证；
（2）由（1）可得：BF = DE = 4，证明RtVACE≌RtVACF HL 得出 AE = AF = 10，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，作CF ^ AB交 AB 的延长线于F ，
∵CE ^ AD，
∴ DEC = BFC = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ CBF = D ，
∵CB = CD ，
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得：BF = DE = 4，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í
AC = AC
，
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 10，
∴ AB = AF - BF = 6．
14．如图，CB = CD， D + ABC =180°，CE ^ AD 于 E，CF ^ AB交 AB 的延长线于点 F．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE = 8，DE = 2，求 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明VCDE≌VCBF AAS 是解题的
关键．
（1）VCDE≌VCBF AAS ，则CE = CF ，根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）由（1）可得BF = DE = 2 ，证明RtVACE≌RtVACF HL ，则 AE = AF = 8，即可得到 AB 的长．
【详解】（1）证明：∵CE ^ AD，CF ^ AB，
∴ DEC = CFB = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ D = CBF ，
在VCDE与VCBF 中，
ì D = CBF
í DEC = CFB ，
CD = CB
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
又CE ^ AD,CF ^ AB ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得BF = DE = 2 ，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í
AC = AC
，
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 8，
∴ AB = AF - BF = 6．
15．如图，四边形 ABDC 中， D = ABD = 90°，点O为BD的中点，且OA平分 BAC ．
(1)求证：OC 平分 ACD；
(2)求证：OA ^ OC ；
(3)猜想 AB 、CD与 AC 的关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3) AB + CD = AC ，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助
线构造出全等三角形是解题的关键．
（1）过点O作OE ^ AC 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB = OE ，从而求出OE = OD，
然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用HL ，证明RtVABO≌RtVAEO，根据全等三角形对应角相等，可得 AOB = AOE ，同理可得
COD = COE ，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得 AB = AE ，CD = CE ，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结
论．
【详解】（1）证明：如图，过点O作OE ^ AC 于E ，
又∵ ABD = 90°，OA平分 BAC ，
∴OB = OE ，
∵点O为BD的中点，
∴OB = OD ，
∴OE = OD，
又∵ D = 90°，
∴OC 平分 ACD；
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO 中，
ìAO = AO
íOB OE ， =
∴RtVABO≌RtVAEO HL ，
AOE 1∴ AOB = AOE ， = BOE ，
2
在Rt△CEO 和Rt△CDO 中，
ìCO = CO
í ，
OE = OD
∴RtVCEO≌RtVCDO HL ，
1
∴ COD = COE ， COE = DOE ，
2
1
∴ AOC = AOE + COE = 1 BOE + DOE = 180° = 90°，
2 2
∴OA ^ OC ；
（3）解： AB + CD = AC ，理由如下：
∵RtVABO≌RtVAEO，
∴ AB = AE ，
∵RtVCEO≌RtVCDO，
∴CD = CE ，
∵ AE + CE = AC ，
∴ AB + CD = AC ．
16．如图，四边形 ABCD中， B = 90°，连接对角线 AC ，且 AC = AD，点E 在边BC 上，连接DE ，过点A
作 AF ^DE，垂足为F ，若 AB = AF ．
(1)求证：① DAC = FAB；
②DF = CE + EF ；
(2)若 AB = BC ， CDE = 20°，求 CAF 的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)5°
【分析】（1）①根据条件可证得Rt△ADF≌Rt△ACB，然后根据角的关系即可得证；②连接 AE ，根据条件
可证得Rt△AFE≌△Rt△ABE ，然后根据边长关系等量代换即可得解；
（2）由三角形全等的性质可得到 DAF = CAB = 45° ，根据等边对等角性质得到 CDA = DCA = 65°，
由三角形内角和计算出 DAC =180° - 65° - 65° = 50°，然后由 CAF = DAC - DAF 即可得解．
【详解】（1）证明：①Q B = 90°， AF ^DE，
\ AFD = ABC = 90°，
在RtVADF 和Rt△ACB 中，
ìAD = AC
í
AF = AB
，
\ RtVADF≌RtVACB HL ，
\ DAF = CAB，
\ DAF + FAC = CAB + FAC ，
即 DAC = FAB；
②连接 AE ，
Q B = 90°， AF ^DE，
\ AFE = ABC = 90°，
在RtVAFE 和Rt△ABE 中，
ìAE = AE
íAF AB ， =
\ RtVAFE≌VRtVABE HL ，
\EF = EB ，
由①知Rt△ADF≌Rt△ACB，
\ DF = CB ，
\DF = CE + BE = CE + EF ；
（2）解：Q AB = BC ，
\ BAC = BCA = 45°，
由①知Rt△ADF≌Rt△ACB，
\ DAF = CAB = 45°，
\ ADF = 90° - 45° = 45°，
Q CDE = 20°，
\ CDA = 20° + 45° = 65° ，
又Q AC = AD ，
\ CDA = DCA = 65°，
\ DAC =180° - 65° - 65° = 50°，
\ CAF = DAC - DAF = 50° - 45° = 5°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和等知识，熟练掌握相关知
识并采用等量代换的方法是解题关键．
17．图，已知CD = BE ，DG ^ BC 于点 G，EF ^ BC 于点 F，且DG = EF ．
(1)求证：△DGC ≌△EFB ；
(2)OB = OC 吗？请说明理由；
(3)若 B = 30°，△ADO 是什么三角形？
【答案】(1)见解析
(2)OB = OC ，见解析
(3)△ADO 是等边三角形
【分析】（1）由CD = BE ，DG ^ BC ，EF ^ BC ，DG = EF ，即可证明，
（2）由RtVEFB≌RtVDGC HL ，即可证明，
（3）根据题意由余角的性质可得 D = DAO = 60°，即可得到△ADO 是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全
等是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：∵DG ^ BC ，EF ^ BC ，
∴ DGC = EFB = 90°，
ìCD = BE
在Rt△EFB 和Rt△DGC 中， í
DG = EF
，
∴RtVEFB≌RtVDGC HL ，
（2）解：∵RtVEFB≌RtVDGC HL ，
B = C ，
∴OB = OC ；
（3）解：∵RtVEFB≌RtVDGC HL ，
∴ B = C = 30° ，DG ^ BC ，
∴ D = 60°= BAG ，
∴ D = DAO = 60°，
∴△ADO 是等边三角形．
18．已知：点 P 为 EAF 平分线上一点，PB ^ AE 于 B，PC ^ AF 于 C，点 M、N 分别是射线 AE 、 AF 上
的点，且PM = PN ．
(1)当点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 的延长线上时（如图 1）．求证：BM = CN ；
(2)在（1）的条件下，求证： AM + AN = 2AC ；
(3)当点 M 在线段 AB 的延长线上时（如图 2），若 AC : PC = 2 :1， PC = 4，则四边形 ANPM 的面积为
_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形 ANPM 的面积为 32．
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．注意掌握数形结
合思想与转化思想的应用．
（1）由点 P 为 EAF 平分线上一点，PB ^ AE 于B，PC ^ AF 于C ，根据角平分线的性质，可得
PB = PC ，又由PM = PN ，利用HL，即可判定RtVPBM≌RtVPCN ，则可证得结论；
（2）由角平分线的性质易证得 AB = AC ，又由 AM + AN = AM + CN + AC = AM + BM + AC = AB + AC ，即
可证得结论；
（3）由 AC：PC = 2：1，PC = 4，即可求得 AC 的长，又由
S ANPM = SVAPN + SV APB + SVPBM = SVAPN + SVAPB + SVPCN = S + S四边形 VAPC VAPB ，即可求得四边形 ANPM 的面积．
【详解】（1）证明：Q点 P 为 EAF 平分线上一点，PB ^ AE，PC ^ AF ，
\PB = PC， PBM = PCN = 90°，
在Rt△PBM 和Rt△PCN 中，
ìPM = PN
í
PB
，
= PC
\RtVPBM≌RtVPCN HL ，
\BM = CN ；
（2）证明：根据解析（1）可知：PB = PC ，BM = CN ，
∵PA = PA，
∴RtVPAB≌RtVPAC HL ，
∴ AB = AC ，
\ AM + AN = AM + CN + AC = AM + BM + AC = AB + AC = 2AC ；
（3）解：Q AC：PC = 2：1，PC = 4，
\ AC = 8，
\ AB = AC = 8，PB = PC = 4，
\S ANPM = SVAPN + S四边形 V APB + SVPBM
= SVAPN + SVAPB + SVPCN
= SVAPC + SVAPB
1 AC 1= × PC + AB × PB
2 2
1 1
= 8 4 + 8 4
2 2
= 32．第 09 讲 直角三角形全等的判定（1 个知识点+5 大题型+18 道
强化训练）
课程标准 学习目标
1.用 HL 判断三角形全等； 1.掌握用 HL 证三角形全等；
2.全等的性质与 HL 的综合； 2.掌握全等的性质与 HL 的综合；
知识点 01：HL 证明三角形全等
定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形
状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两
个三角形前加上“Rt”.
【即学即练 1】
1．如图，在 VABC 中， C = 90°，D 是 AC 上一点， DE ^ AB于点 E， BE = BC ，连接 BD，若 AC = 8cm ，
则 AD + DE 等于（ ）
A．6cm B． 7cm C．8cm D．10cm
【即学即练 2】
2．如图所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于点 E，若∠B=28°，则∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
题型 01 用 HL 证明三角形全等
1．如图，O 是 BAC 内一点，且点 O 到 AB ， AC 的距离OE = OF ，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．如图， AB ^ BC ， AD ^ DC ，要根据“ HL ”证明Rt△ABC≌Rt△ADC ，还应添加一个条件是（ ）
A． 1 = 2 B． 2 = 4 C． AB = AD D． AB = AC
3．如图，点 B 、 F 、C 、 E 在一条直线上， A = D = 90°， AB = DE ，若用“ HL ”判定△ABC ≌△DEF ，
则添加的一个条件是 ．
4．如图， AC ^ AB， AC ^ CD ，要使得△ABC ≌△CDA，若以“ HL ”为依据，需添加条件 ．
5．已知：如图， ABC = 45°， AD 为VABC 的高，E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F 且有 BF = AC ．求证：
Rt△BFD≌Rt△ACD ．
题型 02 利用直角三角形全等的判定求角度
1．如图，已知DB ^ AN 于点 B ，交 AE 于点O，OC ^ AM 于点C ，且OB = OC ．若 ADB = 54°，则 OAB
的大小为（ ）
A．15° B．18° C． 22° D．30°
2．如图，VABC 中， ABC 的平分线与 AC 边的垂直平分线交于点D，过D作DE ^ BC 于点E ，连接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，则 DCE 的度数为（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
3．如图，已知 PA ^ ON 于点 A，PB ^ OM 于点 B，且PA = PB ， MON = 50°， OPC = 20°，则 PCA = ．
4．如图，VABC 中， AC = BC ，且点D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分线上，连接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，则 A = °．
5．如图， AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD 交 AD 的延长线于点 F，在 AB 上有一点 M，且
CM = CD，
(1)若 AF =12， DF = 4，求 AM 的长．
(2)试说明 CDA与 CMA的关系．
题型 03 利用直角三角形全等的判定求长度
1．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC 的平分线 AE 交BC 于点E, ED ^ AB于点 D，若VABC 的周长为
12,VBDE 的周长为 6，则 AC =（ ）
A．4 B．3 C．6 D．8
2．如图，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC = 6 ， BC = 8，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC ，
1
AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，射线 AP 与BC 交
2
于点D，DE ^ AB，垂足为E ，则BE为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
3．如图，VABC 的外角 DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于 P 点，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E．若
AB = 6cm ， AC = 10cm ，则 AD 的长是 ．
4．如图，在VABC 中，DE ^ AC 于点D，且 AD = CD ， ABE + CBE = 180°，EF ^ BC 于点F ，若
AB = 7 ，BF =1，则BC = ．
5．已知：如图， BAC 角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点 D，DE ^ AB，DF ^ AC ，垂足分别为
E、F．
(1)求证：BE = CF ；
(2)若 AB = 8， AC = 6 ，求 BE 的长．
题型 04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加
1．如图， AD 是VABC 的角平分线，DF ^ AB 于点 F，且DE = DG ， S△ADG = 26 ， S△AED = 18，则VDEF
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，在四边形 ABCD中，DE ^ BC ，BD平分 ABC ，AD = CD ，BE = 4，DE = 3，CE = 1，则△ABD
的面积是（ ）
A． 4.5 B．6 C．9 D．12
3．如图， AE 是 CAM 的角平分线，点 B 在射线 AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，则 BEF = ．
4．如图，四边形 ABCD中， AC 平分 BAD ，BC = DC，CE ^ AD于点 E， AD =12，AB = 7 ，则DE 的长
为 ．
5．如图，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的长．
题型 05 全等的性质和 HL 综合
1．如图，在VABC 中， P 为 BC 上一点， PR ^ AB，垂足为 R，PS ^ AC ，垂足为 S，AQ = PQ，PR = PS ，
下面结论：① AS = AR；②QP∥ AR ；③△ARP ≌△ASP，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
1
2．如图，在等边VABC 中， AD ^ BC 于 D，延长BC 到 E，使CE = BC ，F 是 AC 的中点，连接EF 并延
2
长EF 交 AB 于 G，BG 的垂直平分线分别交BG，AD于点 M，点 N，连接GN，CN ，下列结论：①
ACN 1= BCN ；②GF = EF ；③ GNC =120°；④GM = CN ；⑤EG ^ AB ，其中正确的个数是（ ）
2
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．如图所示，在VABC 中， P，Q分别是 BC，AC 上的点，作 PR ^ AB， PS ^ AC ，垂足分别为点 R，S ，
若 AQ = PQ ， PR = PS ，QD ^ AP．现有下列结论：① AS = AR；② AP 平分 BAC ；③△BRP≌△CSP；
④PQ∥ AR ．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
4．如图，VABC 的两条外角平分线 AP，CP 相交于点 P，PH ^ AC 于点 H．若 ABC = 60°，则下面的结
论：① ABP = 30°；② APC = 60°；③PB = 2PH ；④ APH = BPC ．其中正确的结论是 ．（填序号）
3
5．如图，已知在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 4， BC = 8，D 是 AC 上的一点，CD = ．点 P 从 B 点
2
出发沿射线BC 方向以每秒 1 个单位的速度向右运动．设点 P 的运动时间为 t，连接 AP ．
(1)当 t = 3秒时，求 AP 的长度；
(2)当点 P 在线段 AB 的垂直平分线上时，求 t 的值；
(3)过点 D 作DE ^ AP于点 E．在点 P 的运动过程中，当 t 为何值时，能使DE = CD？请直接写出 t 的值．
1．如图，在VABC 中， AC = BC ， C = 90°， AD 是VABC 的角平分线，DE ^ AB于点E ．若CD =1，则
AB 的长为（ ）
A． 2 B．1+ 2 C． 2 + 2 D． 2 2 + 2
2．如图，在VABC 中， C = 90°， AC = BC ， AD 平分 CAB ，交BC 于点D，DE ^ AB于点E ，且
AB = 6cm ，则VDEB的周长为（ ）
A． 4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．如图， 在RtVABC 中， C = 90°， BAC 的平分线 AE 交BC 于点 E，ED ^ AB 于点 D， 若 VABC
的周长为 12，则 VBDE 的周长为 4 ，则 AC 为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，VABC 中， ABC 的平分线与 AC 边的垂直平分线交于点D，过D作DE ^ BC 于点E ，连接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，则 DCE 的度数为（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
5．如图，在VABC 中，延长BA到点E ，延长BC 到点F ． ABC, EAC 的角平分线BP,AP 交于点 P ，过点
P 分别作PM ^ BE,PN ^ BF ，垂足为M ,N ，则下列结论正确的有（ ）
①CP平分 ACF ；② ABC + 2 APC =180°；③∠ACB = 2∠APB；④ S△PAC = S△MAP + S△NCP ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．如图，CA ^ AB ，垂足为点 A， AB = 8， AC = 4，射线BM ^ AB ，垂足为点 B，一动点 E 从 A 点出发
以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持ED = CB ，当
点 E 运动 t 秒时，VDEB与VBCA全等．则符合条件的 t 值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC =1, AD 是 BAC 的平分线且交BC 于点 D，DE ^ AB于点
E，则VBDE 的周长为 ．
8．如图，在四边形 ABCD中， BD平分 ABC ， AD = CD ， DE ^ BC ，垂足为点 E，△ABD 的面积为 38，
△BCD的面积为 50，则VCDE的面积为 ．
9．如图，VABC 中， ACB = 90°， AC 2 + BC 2 = AB2 ，点 D，E 分别在边BC ， AC 上，DE = DB，
DEC = B，若CE = 3， AB =15，则四边形 ABDE 的面积是 ．
10．如图，在VABC 中，D 为 AB 中点， DE ^ AB， ACE + BCE =180°， EF ^ BC 交 BC 于 F， AC = 8，
BC =12，那么BF = ．
11．如图，在VABC 中， AB = AC ，过点 A 作 AD∥BC ，连接DC ，点 E 是 AB 边上一点，DE = DC ，过
点 D 作DF ^ AC 于 F，若BE = 6，则 AF = ．
12．如图，VABC 中， AC = BC ，且点D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分线上，连接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，则 A = °．
13．如图，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的长．
14．如图，CB = CD， D + ABC =180°，CE ^ AD 于 E，CF ^ AB交 AB 的延长线于点 F．
(1)求证： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE = 8，DE = 2，求 AB 的长．
15．如图，四边形 ABDC 中， D = ABD = 90°，点O为BD的中点，且OA平分 BAC ．
(1)求证：OC 平分 ACD；
(2)求证：OA ^ OC ；
(3)猜想 AB 、CD与 AC 的关系，并说明理由．
16．如图，四边形 ABCD中， B = 90°，连接对角线 AC ，且 AC = AD，点E 在边BC 上，连接DE ，过点A
作 AF ^DE，垂足为F ，若 AB = AF ．
(1)求证：① DAC = FAB；
②DF = CE + EF ；
(2)若 AB = BC ， CDE = 20°，求 CAF 的度数．
17．图，已知CD = BE ，DG ^ BC 于点 G，EF ^ BC 于点 F，且DG = EF ．
(1)求证：△DGC ≌△EFB ；
(2)OB = OC 吗？请说明理由；
(3)若 B = 30°，△ADO 是什么三角形？
18．已知：点 P 为 EAF 平分线上一点，PB ^ AE 于 B，PC ^ AF 于 C，点 M、N 分别是射线 AE 、 AF 上
的点，且PM = PN ．
(1)当点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 的延长线上时（如图 1）．求证：BM = CN ；
(2)在（1）的条件下，求证： AM + AN = 2AC ；
(3)当点 M 在线段 AB 的延长线上时（如图 2），若 AC : PC = 2 :1， PC = 4，则四边形 ANPM 的面积为
_______．
