第 1 章 三角形的初步认识 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟，试题共 24 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．（22-23 八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所
学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
2．（22-23 九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段 BE 是VABC 的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24 八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知三角形的两边长分别为 a， a +1，那么这个三角形的周长C
的取值范围是（ ）
A． 2a < C < 4a + 2 B． 2a + 2 < C < 4a + 2
C． 2 < C < 4a + 2 D． 2 < C < 2a + 2
4．（2024·浙江杭州·一模）将一把含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过
A)，若 1 = 75°．则 CAF 的度数是（ ）
A．10° B． 20° C．15° D． 25°
5．（23-24 七年级下·新疆阿克苏·期中）下列命题中，是假命题的是（）
A．两点确定一条直线 B．若 x = 3，则 x = ±3
C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
6．（23-24 七年级下·浙江温州·期末）将一副直角三角板（ B = 45°， E = 30°）按如图所示摆放，点D在
BC 上且点F 在 AC 的延长线上．若 AB∥DE ，则 CFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
7．（23-24 七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图 1 是便携式折叠自行车，图 2 是其示
意图． AB∥CD ， AE∥BD ，CE平分 ACD．若 D = 70°， ACD = 60°，则 AEC = ( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
8．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， D = 90°， ABC 与 BCD
的平分线交 AD 于点E ，若 BC = 16， AD =12 ，则四边形 ABCD的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
9．（23-24 八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角VABC 中， BAC = 60°, BD 平分 ABC,CE 平分 ACB, BD
与CE相交于点O，则下列结论① BOC =120°；②连接ED，则ED∥BC ；③BC = BE + CD；④若
BO = AC ，则 ABC = 40°．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
10．（21-22 七年级下·湖南娄底·期末）如图，VABC 中，BD平分 ABC ，E 是BC 的中点，过点E 作BC 的
垂线交BD于点F ，连接CF ，若 DFC = 60°， ACF = 40°，则 A的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
二、填空题（6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
11．（23-24 七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写
成 ．
12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，若△ABC ≌△DEF ，B、E、C、F在同一直线上，BC = 7cm,CE = 4cm，
则CF 的长是 cm．
13．（23-24 八年级上·北京西城·期中）如图，点O是 VABC 内一点， BO平分 ABC ，OD ^ BC 于点 D，
连接OA．若OD = 3， AB =10，则VAOB的面积是 ．
14．（23-24 七年级下·浙江温州·期末）图 1 是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图 2 所示．折线B - D - E
是固定支架，且DE ^ AB，显示屏EF∥BD ， ABC = 65°，则 DEF = 度．当眼睛视线PF ^ EF ，且
瑞瑞身体PQ ^ AB 时， FPQ = 度．
15．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）已知VABC三边分别是 a、b 、 c， 化简
a + b - c - c - a + b + b - a - c =
16．（23-24 七年级上·浙江宁波·期末）如图，将VABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在点 A 处，恰好满足 A B平
分 ABC, A C 平分 ACB ，若 1 =122°，则 2度数为 ．
三、解答题（8 小题，共 68 分）
17．（23-24 八年级上·浙江温州·期中）已知：如图， AC，BD 交于点O， A = D = 90°， AB = CD．求证：
AC = BD．
18．（22-23 九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在8 8的网格中，已知VABC 的顶点均在格点上．请按要
求在图 1 和图 2 的网格内画图（图 1，图 2 在答题纸上）
(1)在图 1 中画出格点△PAC ，使得△PAC 与VABC 全等（点 P 不与点 B 重合）．
(2)在图 2 中画出VABC 的外心E ．
19．（23-24 七年级下·浙江杭州·期末）如图， AB∥CD ，点 E，P，F 分别在 AB ， AC ，CD 上，连结 EP，
PF ，且满足EP ^ PF ．
(1)若 A =126°，求 ACF 的度数．
(2)若 AEP = m度， PFD = n 度，探索 m，n 之间的数量关系，并说明理由．
20．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在VABC 和VDEF 中，点 B，E，C，F 在同一条直线上，已知
B = DEF ，BE = CF ．下面给出四个条件：① AC = DF ；② AB = DE ；③ AC∥DF ；④ A = D ．请
你从中任选一个条件，使得△ABC ≌△DEF ，并写出证明过程．
21．（23-24 七年级下·全国·假期作业）如图，在VABC 中， AD ^ BC, AE平分 BAC, B = 70°, C = 30°．
(1)求 BAE 的度数；
(2)求 DAE 的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道 B与 C 的具体度数，只知道 B - C = 40°，也能得出 DAE 的度数，你
认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写
出求解过程；若不可以，请说明理由．
22．（23-24 七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与
镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图 1 中，有 1 = 2．
(1)如图 2，已知有两个平面镜镜面MO 与镜面ON ，入射光线 AB 能够经镜面ON，OM 形成反射，记反射光
线分别为 BC，CD．
①当 ABN = 50°， AB∥CD 时，求 MCD 的度数．
②记 ABN = a ， DCM = b ，当 AB∥CD 时，求a ，b 之间的等量关系．
(2)如图 3，已知有三个平面镜 AB，BC，CD ，其中镜面CD 放在水平地面上固定，调整镜面 AB 与镜面BC
的摆放角度，使得入射光线 EF 能够经镜面 AB，BC，CD 形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI ．
①当 AFE = 40°， ABC =110° ，FE∥HI 时，求 BCD的度数．
②记 AFE = m， BCD = n，当 m，n 存在怎样的等量关系时，有FE∥HI 成立，请写出关于 m，n 之间的
等量关系，并说明相应理由．
23．（23-24 七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践．
活
动
设计一款日常的多功能椅子
主
题
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供
舒适的工作和休息．
素
图 1 是某折叠式靠背椅的实物图，图 2 是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面
材
示意中分别对应CE、FG、BF 和 AD ，椅腿 AD，BC 可绕连结点 O 转动，椅面底部有一根可以绕点 H
1
转动的连杆HD ，靠背与椅腿的夹角 GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背 FG 平
行．注：三角形内角和为180°．
图 3 是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD 与椅腿 AD 夹角 HDA变小，使HD 与椅面CE贴合，此
时椅面CE与地面 AB 平行．
素
材
2
座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、
素
降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在
材
105° ~ 120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要
3
求．
通过将靠背GF 与椅腿 BF 的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加 2 个卡档，在椅面CE
素
下 H 点与 E 点之间设置成三个卡档，来调整靠背GF 和椅面CE的角度，以满足不同的需要．图 4 是
材
舒适档．椅面倾角a 为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角 β 为靠
4
背GF 的延长线与椅面 EC 的延长线的夹角．
24．（23-24 七年级下·浙江金华·期末）如图 1，一块三角板如图放置， G = 90°, AB∥CD，直线CD 分别交
AG, BG于点 N , E， BAG 的角平分线 AK 交CD 于点K ，交BG 于点M , F 是线段 AB 上的一点（不与 A, B
重合），连接 EF 交 AK 于点 H ．
(1)判断 AHE, FAH , KEH 之间的关系，并说明理由；
1
(2)若 BEF = BAK , BEC = n BEF ．
n
①用含 n的代数式表示 AHE 的度数；
②当 n = 2时，将△KHE 绕着点E 以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为 t ，当KE 边与射线ED重合时停
止，则在旋转过程中，当△KHE 的其中一边与△ENG 的某一边平行时，求出此时 t 的值．第 1 章 三角形的初步认识 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟，试题共 24 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．（22-23 八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所
学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了利用ASA证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即
可，理解利用ASA证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：∵由图可得三角形的两角及其夹边，
∴依据ASA可画出全等的三角形，
故选：D．
2．（22-23 九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段 BE 是VABC 的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形
的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有 D 选项中线段 BE 是VABC 的高，
故选：D．
3．（23-24 八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知三角形的两边长分别为 a， a +1，那么这个三角形的周长C
的取值范围是（ ）
A． 2a < C < 4a + 2 B． 2a + 2 < C < 4a + 2
C． 2 < C < 4a + 2 D． 2 < C < 2a + 2
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的三边之间的关系及整式的加减，要注意三角形形成的条件：任意两边之和
大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长 C 的取值范围即可．
【详解】解：设第三边长 x．
根据三角形的三边关系，
得 a +1- a < x < a +1+ a，即1< x < 2a +1，
∴这个三角形的周长 C 的取值范围是 a + a +1+1 < C < a + a +1+ 2a +1，
即 2a + 2 < C < 4a + 2．
故选：B．
4．（2024·浙江杭州·一模）将一把含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过
A)，若 1 = 75°．则 CAF 的度数是（ ）
A．10° B． 20° C．15° D． 25°
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理等，如图，根据平行线的性质可得 1 = 2 = 75°，根
据对顶角相等可得 3 = 2 = 75°，再利用三角形内角和为 180 度即可求解．
【详解】解：如右图所示，
∵ 1 = 75°，DE∥AF ，
∴ 1 = 2 = 75°，
∴ 3 = 2 = 75°，
∴ CAF =180° - 3- C =180° - 75° - 90° =15°．
故选 C．
5．（23-24 七年级下·新疆阿克苏·期中）下列命题中，是假命题的是（）
A．两点确定一条直线 B．若 x = 3，则 x = ±3
C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
【答案】C
【分析】本题主要考查命题的真假判断，根据命题与定理进行一一判断可得答案．
【详解】解：A．两点确定一条直线，是真命题，不符合题意；
B．若 x = 3，则 x = ±3，是真命题，不符合题意；
C．相等的角不一定是对顶角，是假命题，符合题意；
D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题，不符合题意；
故选 C．
6．（23-24 七年级下·浙江温州·期末）将一副直角三角板（ B = 45°， E = 30°）按如图所示摆放，点D在
BC 上且点F 在 AC 的延长线上．若 AB∥DE ，则 CFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相
等，直角三角形两锐角互余．
先根据平行线的性质得出 B = BDE = 45°，再求出 EDF = 90° - E = 60°，则
CDF =180° - EDF - BDE = 75°，即可求解．
【详解】解：∵ B = 45°， AB∥DE ，
∴ B = BDE = 45°，
∵ E = 30°，
∴ EDF = 90° - E = 60°，
∴ CDF =180° - EDF - BDE = 75°，
∴ CFD = 90° - CDF =15°，
故选：B．
7．（23-24 七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图 1 是便携式折叠自行车，图 2 是其示
意图． AB∥CD ， AE∥BD ，CE平分 ACD．若 D = 70°， ACD = 60°，则 AEC = ( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得 ABD + D =180°， BAE + ABD =180°，
从而可得 BAE = D = 70°，再利用角平分线的定义可得 ACE = 30°，然后利用平行线的性质可得
BAC =120° ，从而利用角的和差关系可得 CAE = 50°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答，
根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解：Q AB∥CD，
\ ABD + D =180°，
Q AE∥BD ，
\ BAE + ABD =180°，
\ BAE = D = 70°，
QCE 平分 ACD，
1
\ ACE = ACD = 30°
2 ，
Q AB∥CD，
\ BAC = 180° - ACD = 120°，
\ CAE = BAC - BAE = 50°，
\ AEC = 180° - ACE - CAE = 100° ，
故选：C．
8．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD ， D = 90°， ABC 与 BCD
的平分线交 AD 于点E ，若 BC = 16， AD =12 ，则四边形 ABCD的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性
质是解决问题的关键．过点E 作EH ^ BC ，根据角平分线可证明△CED≌△CEH (AAS)，
VBEA≌△BEH (AAS)，得到CD = CH ，CD = CH ，从而推算出四边形 ABCD的周长等于 AD + 2BC ．
【详解】解：如下图所示，过点E 作EH ^ BC ，
Q DCB的平分线交 AD 于点 E，
∴ DCE = HCE ，
Q D = CHE = 90°，CE = CE ，
\VCED≌VCEH AAS ，
∴CD = CH ，
∵ AB∥CD ， D = 90°，
∴ A = 90°，
同理可得：VBEA≌△BEH (AAS)
\ AB = BH ，
∵ AB + DC = BH + CH = BC =16，
∴四边形 ABCD的周长为 AD + AB + DC + BC = AD + BC + BC =12 +16 +16 = 44，
故选：C．
9．（23-24 八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角VABC 中， BAC = 60°, BD 平分 ABC,CE 平分 ACB, BD
与CE相交于点O，则下列结论① BOC =120°；②连接ED，则ED∥BC ；③BC = BE + CD；④若
BO = AC ，则 ABC = 40°．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知
识点，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．①根据 BOC =180° - OBC + OCB 即可判断；②
假设ED∥BC ，可推出EB = ED = CD得到 AB = AC ，即可判断；③在BC 上取一点F ，使得BF = BE ，证
△EBO≌△FBO 、△COF≌△DOF 即可判断；④作 BG ^ CG,CH ^ AB，证VBGO≌VCHA VBEG≌VCEH ，
设 EBG = ECH = x，根据 EBC = ECB即可判断．
【详解】解：∵ BAC = 60°,
∴ ABC + ACB =120°
∵BD平分 ABC,CE 平分 ACB,
1
∴ OBC + OCB = ABC + ACB = 60°
2
∴ BOC =180° - OBC + OCB =120°，故①正确；
如图 1 所示：
∵BD平分 ABC,CE 平分 ACB,
∴ EBD = CBD, ECD = BCE
若ED∥BC ，
则 EDB = CBD, DEC = BCD
∴ EBD = CBD = EDB, ECD = BCE = DEC
∴EB = ED = CD
∵ED∥BC ，
∴ AB = AC ，与题目条件不符，故②错误；
在BC 上取一点F ，使得BF = BE ，如图 1 所示：
∵ EBD = CBD, BO = BO
∴△EBO≌△FBO
∴ EOB = FOB =180° - BOC = 60°
∴ FOC = BOC - FOB = 60°
∵ DOC =180° - BOC = 60°
∴ FOC = DOC
∵ ECD = BCE ，CO = CO
∴△COF≌△DOF
∴CD = CF
∵BC = BF + CF
∴BC = BE + CD，故③正确；
作BG ^ CG,CH ^ AB，如图 2 所示：
∵BO = AC ， BOG = CAH = 60°, BGO = CHA = 90°，
∴VBGO≌VCHA
∴BG = CH , OBG = ACH = 90° - 60° = 30°
∵BG = CH ， BEG = CEH , BGE = CHE = 90°，
∴VBEG≌VCEH
∴EB = EC, EBG = ECH
即： EBG + EBO = 30°
∴ EBC = ECB
1
= ACB
2
设 EBG = ECH = x，则 x + EBO = 30°
∵ EBO
1
= EBC
2
x 1∴ + EBC = 30°, EBC = 60° - 2x
2
∵ ECB = ACE = ECH + ACH = x + 30°
∴60° - 2x = x + 30°
解得： x =10°
∴ EBC = 60° - 2x = 40°，故④正确；
故选：C
10．（21-22 七年级下·湖南娄底·期末）如图，VABC 中，BD平分 ABC ，E 是BC 的中点，过点E 作BC 的
垂线交BD于点F ，连接CF ，若 DFC = 60°， ACF = 40°，则 A的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据已知条件得到 FE垂直平分 BC ，求得 BF = CF ，根据等腰三角形的性质得到 FBC = FCB，
求得 FBC = FCB = 30°，得 ACB = ACF + BCF = 70°，根据角平分线的性质得到
ABC = 2 FBC = 60°，根据三角形的内角和定理即可得到 A = 180° - ABC - ACB = 50° ．
【详解】QE 是BC 的中点，过点E 作BC 的垂线交BD于点F ，
\FE 垂直平分BC ，
\BF = CF ，
\ FBC = FCB ，
Q CFD = FBC + FCB = 60°，
\ FBC = FCB = 30°，
Q ACF = 40°，
\ ACB = ACF + BCF = 70° ，
Q BD平分 ABC ，
\ ABC = 2 FBC = 60°，
\ A =180° - ABC - ACB = 50°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质．
二、填空题（6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
11．（23-24 七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写
成 ．
【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．
【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么
这两个角相等”；
故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．
12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，若△ABC ≌△DEF ，B、E、C、F在同一直线上，BC = 7cm,CE = 4cm，
则CF 的长是 cm．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到EF = BC = 7cm，再根据
CF = EF - CE ，进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，
∴EF = BC = 7cm，
∴CF = EF - CE = 3cm ；
故答案为：3．
13．（23-24 八年级上·北京西城·期中）如图，点O是 VABC 内一点， BO平分 ABC ，OD ^ BC 于点 D，
连接OA．若OD = 3， AB =10，则VAOB的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了角平分线的性质；过 O 作OE ^ AB于点 E，根据角平分线的性质求出OE，最后用三角
形的面积公式即可解答．
【详解】解：过 O 作OE ^ AB于点 E，
∵BO平分 ABC，OD ^ BC 于点 D，
∴OE =OD =3，
∴VAOB
1 AB OE 1的面积为： × = 10 3 =15，
2 2
故答案为：15．
14．（23-24 七年级下·浙江温州·期末）图 1 是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图 2 所示．折线B - D - E
是固定支架，且DE ^ AB，显示屏EF∥BD ， ABC = 65°，则 DEF = 度．当眼睛视线PF ^ EF ，且
瑞瑞身体PQ ^ AB 时， FPQ = 度．
【答案】 155 65
【分析】本题考查平行线的判定及性质，垂直的定义，三角形外角的性质．
延长ED，交 AB 于点 N，延长DE ，交FP于点 M．由DE ^ AB得到 DNB = 90°，再根据三角形外角的性
质得到 EDB = DNB + ABC =155°，由 EF∥BD ，即可求得 DEF = EDB =155°，进而 FEM = 25°，
又 F = 90°，则 PMN = F + FEM =115°，再由DE∥PQ 即可求得 FPQ =180° - PMN = 65°．
【详解】解：延长ED，交 AB 于点 N，延长DE ，交FP于点 M．
∵DE ^ AB，
∴ DNB = 90°，
∵ ABC = 65°，
∴ EDB = DNB + ABC = 90° + 65° =155°，
∵EF∥BD ，
∴ DEF = EDB =155°，
∴ FEM =180° - DEF =180° -155° = 25°，
∵PF ^ EF ，
∴ F = 90°，
∴ PMN = F + FEM = 90° + 25° =115°，
∵DE ^ AB，PQ ^ AB ，
∴DE∥PQ ，
∴ FPQ =180° - PMN =180° -115° = 65°．
故答案为：155；65
15．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）已知VABC三边分别是 a、b 、 c， 化简
a + b - c - c - a + b + b - a - c =
【答案】3a - b - c
【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于
第三边可得 a + b > c， a + c > b， c + b > a ，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运
算进行计算即可得解．
【详解】解：∵ a、b 、 c分别为VABC 的三边长，
∴ a + b > c， a + c > b， c + b > a
∴ a + b - c > 0，b - a - c < 0， c - a + b > 0，
∴ a + b - c - c - a + b + b - a - c
= a + b - c - c - a + b + -b + a + c
= a + b - c - c + a - b - b + a + c
= 3a - b - c
故答案为：3a - b - c ．
16．（23-24 七年级上·浙江宁波·期末）如图，将VABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在点 A 处，恰好满足 A B平
分 ABC, A C 平分 ACB ，若 1 =122°，则 2度数为 ．
【答案】64°
【分析】连接 AA ，过 A 作 A M ^ AB, A N ^ BC, A P ^ AC ，如图所示，利用角平分线的判定得到 AA 平分
BAC ，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得 BAC = 64°；再根据折叠可知，
得出DA = DA ，由等腰三角形性质得出 DAA = DA A = CAA ，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接 AA ，过 A 作 A M ^ AB, A N ^ BC, A P ^ AC ，如图所示：
∵ A B平分 ABC ， A C 平分 ACB ，
\ A M = A N = A P ，
∴ AA 平分 BAC ，则 DAA = EAA ，
∵ A B平分 ABC ， A C 平分 ACB ，
∴ A BC
1
= ABC 1， A CB = ACB，
2 2
Q 1 =122°，
\ A BC + A CB
= 180° - 1
=180° -122°
= 58°，
∴ ABC + ACB = 2 A BC + A CB =116°，则 BAC = 64°，
∵将VABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在点 A 处，
∴DA = DA ，
∴ DAA = DA A，
Q DAA = CAA ，
∴ DAA = DA A = CAA ，
Q 2是VA DA的一个外角，
∴ 2 = DA A + DAA = DAA + CAA = BAC = 64°，
故答案为：64°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，
熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°是解题的关键．
三、解答题（8 小题，共 68 分）
17．（23-24 八年级上·浙江温州·期中）已知：如图， AC，BD 交于点O， A = D = 90°， AB = CD．求证：
AC = BD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键．
在VABO，VDCO 中根据角角边可判定△ABO≌△DCO AAS ，可得 AO = DO，BO = CO，由此即可求解．
【详解】解：在VABO，VDCO 中，
∵ AOB = DOC ， A = D = 90°， AB = DC ，
∴△ABO≌△DCO AAS ，
∴ AO = DO，BO = CO，
∴ AO + CO = DO + BO ，即 AC = BD．
18．（22-23 九年级下·浙江衢州·阶段练习）如图，在8 8的网格中，已知VABC 的顶点均在格点上．请按要
求在图 1 和图 2 的网格内画图（图 1，图 2 在答题纸上）
(1)在图 1 中画出格点△PAC ，使得△PAC 与VABC 全等（点 P 不与点 B 重合）．
(2)在图 2 中画出VABC 的外心E ．
【答案】(1)画图见详解
(2)画图见详解
【分析】（1）根据角边角的判定方法即可求解；
（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵△PAC 与VABC 全等，即 AC 是公共边，
∴过点A 作 AP∥BC ，过点C 作CP∥AB ，交于点 P ，如图所示，
∴△PAC 即为所求图形．
（2）解：三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，如图所示，分别作 AB, BC 的垂直平分线，交于点
E ，
∴点E 是VABC 的外心．
【点睛】本题主要考查格点图形的作图，掌握三角形全等的判定，三角形外心的定义是解题的关键．
19．（23-24 七年级下·浙江杭州·期末）如图， AB∥CD ，点 E，P，F 分别在 AB ， AC ，CD 上，连结 EP，
PF ，且满足EP ^ PF ．
(1)若 A =126°，求 ACF 的度数．
(2)若 AEP = m度， PFD = n 度，探索 m，n 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ACF = 54°；
(2) n - m = 90，理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．
（1）由平行线当性质推出 A + ACF =180°，即可求出 ACF = 54°．
（2）延长EP交CD 反向延长线于 K，由平行线的性质推出 PKC = AEP = m° ，由垂直的定义得到
FPK = 90°，由三角形外角的性质得到 n - m = 90．
【详解】（1）解：∵ AB∥CD ，
∴ A + ACF =180°，
∵ A =126°，
∴ ACF = 54°；
（2）解： n - m = 90，理由如下：
延长EP交CD 反向延长线于 K，
∵ AB∥CD ，
∴ PKC = AEP = m° ，
∵EP ^ PF ，
∴ FPK = 90°，
∵ PFD - PKC = FPK ，
∴ n - m = 90．
20．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在VABC 和VDEF 中，点 B，E，C，F 在同一条直线上，已知
B = DEF ，BE = CF ．下面给出四个条件：① AC = DF ；② AB = DE ；③ AC∥DF ；④ A = D ．请
你从中任选一个条件，使得△ABC ≌△DEF ，并写出证明过程．
【答案】选② AB = DE （答案不唯一），证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经
有条件 B = DEF ，BE = CF ，证明BC = EF ，再补充条件证明即可．
【详解】解：选一个条件；② AB = DE （答案不唯一），理由如下：
∵BE = CF ，
∴BC = EF ，
在VABC 与VDEF 中，
ìBC = EF
í B = DEF ，
AB = DE
∴△ABC≌△DEF SAS ．
21．（23-24 七年级下·全国·假期作业）如图，在VABC 中， AD ^ BC, AE平分 BAC, B = 70°, C = 30°．
(1)求 BAE 的度数；
(2)求 DAE 的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道 B与 C 的具体度数，只知道 B - C = 40°，也能得出 DAE 的度数，你
认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写
出求解过程；若不可以，请说明理由．
【答案】(1) BAE = 40°
(2) DAE = 20°
(3)可以， DAE = 20°
【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题
的关键．
（1）利用三角形的内角和定理求出 BAC = 80°，再利用角平分线定义即可解答；
（2）先利用三角形内角和定理可得 BAD = 20°，然后根据角的和差即可解答；
B - C
（3）用 B表示出 BAE 、 BAD ，然后根据角的和差可得 DAE = ，最后将 B - C = 40°代入
2
即可解答．
【详解】（1）解：∵ B = 70°， C = 30°，
∴ BAC =180° - 70° - 30° = 80° .
∵ AE 平分 BAC ，
BAE 1∴ = BAC = 40°；
2
（2）解：∵ AD ^ BC， B = 70°，
∴ BAD = 90° - B = 90° - 70° = 20°，
∴ DAE = BAE - BAD = 20°
（3）解：可以，理由如下：
∵ AE 平分 BAC ，
BAE 180° - B - C∴ = ，
2
∵ BAD = 90° - B ，
∴ DAE = BAE BAD
180° - B - C 90 B B - C- = - ° - = ，
2 2
若 B - C = 40°，则 DAE = BAE - BAD
B - C
= = 20°．
2
22．（23-24 七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与
镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图 1 中，有 1 = 2．
(1)如图 2，已知有两个平面镜镜面MO 与镜面ON ，入射光线 AB 能够经镜面ON，OM 形成反射，记反射光
线分别为 BC，CD．
①当 ABN = 50°， AB∥CD 时，求 MCD 的度数．
②记 ABN = a ， DCM = b ，当 AB∥CD 时，求a ，b 之间的等量关系．
(2)如图 3，已知有三个平面镜 AB，BC，CD ，其中镜面CD 放在水平地面上固定，调整镜面 AB 与镜面BC
的摆放角度，使得入射光线 EF 能够经镜面 AB，BC，CD 形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI ．
①当 AFE = 40°， ABC =110° ，FE∥HI 时，求 BCD的度数．
②记 AFE = m， BCD = n，当 m，n 存在怎样的等量关系时，有FE∥HI 成立，请写出关于 m，n 之间的
等量关系，并说明相应理由．
【答案】(1)① 40°；②a + b = 90°；
(2)①130°；② n - m = 90° ，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理：
（1）①根据题意可得 1 = 2 = 50°，则由平角的定义得到 ABC = 80°，再由平行线的性质得到
DCB =100°，据此根据平角的定义可得答案；②根据平角的定义得到 ABC = 180° - 2 a ,
BCD = 180° - 2 b ，再由平行线的性质可得 ABC + BCD = 360° - 2 a + b =180°，据此可得答案；
（2）①先根据题意和平角的定义求出 5 = 100°， 2 = 3 = 30°，则 FGH =120°，过点 G 作GP∥EF ，
由平行线的性质得到 EGP = 80°，则 PGH 40°，再证明GP∥HI ，得到 6 =140°，则 7 = 20°，即可
得到 C =130°．②先求出 5 =180° - 2m，过点 G 作GQ∥EF ，则 EGQ + 5 =180°，证明GQ∥HI ，得
到 6 + QGH =180°，得到 EGH + 6 =180° + 2m ，进而推出 3+ 7 = 90° - m ，则 n + 90° - m =180°，即
n - m = 90° ．
【详解】（1）解：①∵ 1 = 2 = 50°，
∴ ABC = 80°，
∵ AB∥CD ，
∴ DCB = 180° -∠ABC = 100°，
∴ 3 = 4
1
= 180° - DCB = 40°，即 MCD = 40°．
2
②∵ 1= 2=a ， 3 = 4 = b ，
∴ ABC =180° - 1- 2 =180° - 2 a ,
BCD =180° - 3- 4 =180° - 2 b ，
∵ AB∥CD ，
∴ ABC + BCD =180°，
即，∴ ABC + BCD = 360° - 2 a + b =180°，
∴a + b = 90°．
（2）解：①∵ 1 = AFE = 40°，
∴ 5 = 100°，
∵ B =110°，
∴ 2 = 3 = 180° - 40° -110° = 30° ，
∴ FGH = 180° -∠2 -∠3 = 120°，
过点 G 作GP∥EF ，
∴ FGP + 5 = 180°，
∴ FGP = 80°，
∴ PGH 40°，
∵FE∥HI ，
∴GP∥HI ，
∴ 6 + PGH =180°，
∴ 6 =140°，
∴ 7 = 20°，
∴ C = 180° -∠3 -∠7 = 130° ．
② n - m = 90° ，理由如下：
∵ 1 = AEF = m ，
∴ 5 =180° - 2m，
过点 G 作GQ∥EF ，
∴ EGQ + 5 =180°，
∵FE∥HI ，
∴GQ∥HI ，
∴ 6 + QGH =180°，
∴ FEG + EGH + GHI = 360°，
∴ EGH + 6 =180° + 2m ，
∴ EGH =180° - 2 - 3 =180° - 2 3， 6 =180° - 2 7，
∴ EGH + 6 = 360° - 2 3 + 7 ，
∴ 3+ 7 = 90° - m ，
∵ C = n ，且 C + 3+ 7 =180°，
∴ n + 90° - m =180°，
∴ n - m = 90° ．
23．（23-24 七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践．
活
动
设计一款日常的多功能椅子
主
题
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供
舒适的工作和休息．
素
图 1 是某折叠式靠背椅的实物图，图 2 是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面
材
示意中分别对应CE、FG、BF 和 AD ，椅腿 AD，BC 可绕连结点 O 转动，椅面底部有一根可以绕点 H
1
转动的连杆HD ，靠背与椅腿的夹角 GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背 FG 平
行．注：三角形内角和为180°．
图 3 是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD 与椅腿 AD 夹角 HDA变小，使HD 与椅面CE贴合，此
时椅面CE与地面 AB 平行．
素
材
2
座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、
素
降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在
材
105° ~ 120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要
3
求．
通过将靠背GF 与椅腿 BF 的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加 2 个卡档，在椅面CE
素
下 H 点与 E 点之间设置成三个卡档，来调整靠背GF 和椅面CE的角度，以满足不同的需要．图 4 是
材
舒适档．椅面倾角a 为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角 β 为靠
4
背GF 的延长线与椅面 EC 的延长线的夹角．
【答案】任务 1：a = 80°；任务 2： FCE - FIB = 30°；任务 3：①q +115°；②25 度
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．
任务 1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
任务 2：过 F 作 FQ∥CE，则 FQ∥ AB ，根据平行线的性质得到 GFQ = FIB， CFQ + FCE = 180° ，
进而可由 GFC =150°推导出 FCE - FIB = 30°；
任务 3：①根据平行线的性质得到 FCP = q +10° ，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②求出工作档时的 GFC ，进而作差即可得答案．
【详解】解：任务 1：
∵CE∥FG ， ECB =150°，
∴ GFC = ECB = 150° ，
∵a + OBA + 180° - GFC =180°， OBA = 70°，
∴a = 150° - 70° = 80° ；
任务 2：由题意， GFC =150°，CE∥ AB ，
如图，过 F 作FQ∥CE，则FQ∥ AB ，
∴ GFQ = FIB， CFQ + FCE = 180° ，
∴ GFC = GFQ + CFQ = FIB +180° - FCE = 150°，
∴ FCE - FIB = 30°；
任务 3：①如图， b =105° ，a =10°， B = q ，CK ∥ AB ，
∴ BCK = B = q ，
∴ FCP = BCE = q + a = q +10° ，
∵ b + FCP +180° - GFB = 180°，
∴105° +q +10° +180° - GFB = 180°，
∴ GFB = q +115°，
故答案为：q +115°；
②工作档时如图，已知 FPC = b = 95°， KCE = 5°， B = q ，CK ∥ AB ，
∴ BCK = B = q ，
∴ FCP = BCE = BCK - ECK = q - 5°，
∵ FPC + FCP +180° - GFB = 180° ，
∴95° +q - 5° +180° - GFB = 180°，
∴ GFB = q + 90°，
∵q +115° - q + 90° =115° - 90° = 25°
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF 需要转过 25 度．
24．（23-24 七年级下·浙江金华·期末）如图 1，一块三角板如图放置， G = 90°, AB∥CD，直线CD 分别交
AG, BG于点 N , E， BAG 的角平分线 AK 交CD 于点K ，交BG 于点M , F 是线段 AB 上的一点（不与 A, B
重合），连接 EF 交 AK 于点 H ．
(1)判断 AHE, FAH , KEH 之间的关系，并说明理由；
BEF 1(2)若 = BAK , BEC = n BEF ．
n
①用含 n的代数式表示 AHE 的度数；
②当 n = 2时，将△KHE 绕着点E 以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为 t ，当KE 边与射线ED重合时停
止，则在旋转过程中，当△KHE 的其中一边与△ENG 的某一边平行时，求出此时 t 的值．
【答案】(1) AHE = FAH + KEH ，理由见解析
AHE 60n + 30 (2)① = ÷°；②当VKEH 的其中一边与△ENG 的某一边平行时 t 的值为 5 秒或 20秒或 25秒
è n
35
或10秒或 秒
2
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应
用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
（1）作HP∥ AB ，根据 AB∥CD ，得出HP∥CD，根据平行线的性质得出
KEH = PHE， FAH = AHP ，即可求解；
（2）①设 BEF = x ，则 BAK = nx， BEC = nx ，根据 AB∥CD ，得出 ABE = BEC = nx，结合 AK 平
30
分 BAG ， AG ^ BE ，即可得出3nx = 90 x =
°，解得 ÷°，由（1）得 AHE = KEH + FAHn 即可求解；è
②当 n = 2时， BEF = 15°， KEH = 45°， HKE = 30°，分为（i）当KH ∥NG 时，（ii）当HK ∥EG时，
（iii）当KH ∥EN 时，即EK 与EG 在同一直线上时，（iv）当KE∥NG时，（v）当HE∥NG 时，分别画
图求解；
【详解】（1）解： AHE = FAH + KEH ．
理由如下：
作HP∥ AB ，
∵ AB∥CD ，
∴HP∥CD，
∴ KEH = PHE， FAH = AHP ，
∴ AHE = AHP + PHE = KEH + FAH ．
（2）解：①设 BEF = x ，则 BAK = nx， BEC = nx ，
∵ AB∥CD ，
∴ ABE = BEC = nx，
∵ AK 平分 BAG ，
∴ BAK = GAK = nx ，
∵ AG ^ BE ，
∴ AGB = 90°，
∴3nx = 90°，
∴ x
30
= ÷°n ，è
由（1）得 AHE = KEH + FAH = x + nx + nx
60n + 30
= n ÷
°；
è
②解：当 n = 2时， BEF = 15°， KEH = 45°， HKE = 30°，
（i）当KH ∥NG 时，延长KE 交GN 边于 P，
∵ EKH = EPG = 30° ，
∴ PEG = 90° - EPG = 60°，
∵ GEN = 90° - ENG = 30°，
∴ PEN = PEG - GEN = 30°，
∴ CEK = PEN = 30°，
∴当△KHE 绕 E 点旋转30°时，EK ∥GN ，
∴ t
30
= = 5s；
6
（ii）当HK ∥EG时，
∴ EKH = KEG = 30°，
∴ NEK = NEG + KEG = 60°，
∴ NEK = 60°，
∴ CEK =120°，
∴当△KHE 绕点 E 旋转120°时，HK ∥EG，
120
∴ t = = 20s ；
6
（iii）当KH ∥EN 时，即EK 与EG 在同一直线上时，
∴ CEK =150°，
∴当△KHE 绕点 E 旋转150°时，KH ∥EN ，
t 150∴ = = 25s ，
6
（iv）当KE∥NG时，
∵ GEN = 30°，
∴ CEK = 90° - GEN = 60°．
∴当△KHE 旋转60°时，KE∥NG．
60
∴ t = =10s ；
6
（v）当HE∥NG 时，
∵ GEN = 30°， KEH = 45°，
∴ CEK = CEH + HEK = 90° - GEN + HEK =105°．
∴当△KHE 旋转105°时，HE∥NG ．
t 105 35∴ = = s，
6 2
35
当VKEH 的其中一边与△ENG 的某一边平行时 t 的值为 5 秒或 20秒或 25秒或10秒或 秒．
2
