第 08 讲 探索勾股定理（第 2 课时）（1 个知识点+12 大题型+18
道强化训练）
课程标准 学习目标
①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；
知识点 01：勾股定理的应用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【即学即练 1】
1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm 和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字
笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）
A．10cm B． 18 -10 2 cm C．8cm D．10 2cm
【答案】B
【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒
的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．
【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为 62 + 82 = 10 cm ，
∴笔筒的对角线长： 102 +102 =10 2 cm ，
∵签字笔长18cm，
∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是： 18 -10 2 cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【即学即练 2】
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，
中间可供滑行部分的截面是弧长为12m 的半圆，其边缘 AB = CD = 20m（边缘的宽度忽略不计），点E 在CD
上，CE = 4m.一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为（ ）
A． 28m B． 24m C． 20m D．18m
【答案】C
【分析】滑行的距离最短，即是沿着 AE 的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A 、 D、
E 三点构成直角三角形，AE 为斜边，AD 和DE 为直角边，写出 AD 和DE 的长，根据题意，由勾股定理即
可得出 AE 的距离．
【详解】解：将半圆面展开可得：
AD =12 米，DE = DC - CE = AB - CE =16米，
在Rt△ADE 中，
AE = 122 +162 = 20（米）．
即滑行的最短距离为 20米．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开 - 最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，
矩形的长等于 AB = CD = 20m.本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
题型 01 求梯子滑落高度
1．如图，将长为10m 的梯子 斜靠在墙上，使其顶端 A 距离地面 6m．若将梯子顶端 A 向上移动 2m，则
梯子底端 B 向左移动（ ）
A．10m B．6m C．4m D．2m
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出B C 即可求解.
【详解】解：如图所示：
由题意得： AC = 6 m， AB =10 m，
∴BC = AB2 - AC 2 = 8 m，
∵ A C = 6 + 2 = 8 m， A B =10 m，
∴B C = A B 2 - A C 2 = 6 m，
∴梯子底端 B 向左移动了：BC - B C = 2m
故选：D
2．如图：5 米长的滑梯 开始在 B 点距墙面水平距离 3 米，当向后移动 1 米，A 点也随着向下滑
一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于）1 米．
【答案】等于
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
直接利用勾股定理得出 AO 的长，进而求出OA 的长，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得： AB = 5m, BO = 3m ，
故 AO = 52 - 32 = 4(m) ，
∵当 B 向后移动 1 米，
\OB = 4m ，
\ A O = 52 - 42 = 3(m) ，
则 AA =1m．
故A 下滑的距离为 1 米，
故答案为：等于．
3．如图，一架 2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足 B 距底端 O 为 0.7m．
(1)求OA的长度．
(2)如果梯子下滑 0.4m，则梯子滑出的距离是否等于 0.4m？请通过计算来说明理由．
【答案】(1)OA的长度为 2.4m
(2)不等于，滑出的距离为 0.8m，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）直接利用勾股定理求出OA的长即可；
（2）勾股定理求出OD 的长，进而求出BD的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得： AOB = 90°,OB = 0.7m, AB = CD = 2.5m，
由勾股定理，得：OA = AB2 - OB2 = 2.4m；
（2）不等于，理由如下：
由题意，得： AC = 0.4m ，
∴OC = OA - AC = 2m，
在RtVCOD 中，由勾股定理，得：OD = CD2 - OC 2 =1.5m ，
∴BD = OD - OB = 0.8 0.4；
故不等于 0.4m．
题型 02 求旗杆高度
1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向
后退 6m后发现绳子末端到地面的距离为 2m，则旗杆的高度是（ ）
A．5m B．10m C．13m D．17m
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
【详解】解：如图，设旗杆的高度 AB 为 xm ，则绳子 AC 的长度为 xm ，过点 C 作CE ^ AB 于点 E，
则EC = BD = 6m，CD = EB = 2m ，
在Rt△AEC 中，
2
根据勾股定理可得 x - 2 + 62 = x2，
解得 x =10 ，
\旗杆的高度是10m，
故选：B．
2．如图 1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了 1 米，如
图 2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是 5
米，则旗杆 AB 的高度为 米
【答案】12
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为 x 米，则 AB = x 米，BC = x +1 米，在
Rt△ABC 中，由勾股定理得 x +1 2 = x2 + 52 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设旗杆的高度为 x 米，则 AB = x 米，BC = x +1 米，
由题意得： AC = 5米，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 ，
∴ x +1 2 = x2 + 52 ，
解得 x =12 ，
∴ AB =12米，
∴旗杆的高度为 12 米，
故答案为：12．
3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的
长为 12 米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 13 米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离
CD长为 1.5 米．
(1)求风筝到地面的距离线段 AD 的长；
(2)如果小龙想要风筝沿CA方向再上升 4 米，BC 和CD的长度不变，则他应该再放出_____米线．
【答案】(1)6.5
(2)2
【分析】本题考查勾股定理的应用．
（1）先用勾股定理求 AC ，再求 AD 即可；
（2）先求上升 4 米后的 AC 的长度，再用勾股定理求线长，最后求差即可．
【详解】（1）解：Q AC ^ BC
\ ACB = 90°
Q AB = 13, BC = 12
\ AC = 132 -122 = 5
QCD =1.5
\ AD = AC +CD = 5+1.5 = 6.5；
（2）Q风筝沿CA方向再上升 4 米
\ AC = 5+ 4 = 9
\ AB = 92 +122 =15
\他应该再放出线长为15 - 13 = 2 （米）．
故答案为：2．
题型 03 求小鸟飞行距离
1．如图，有两棵树 AB 和CD（都与水平地面 AC 垂直），树 AB 高 8 米，树梢 D 到树 AB 的水平距离DE
（DE ^ AB）的长度为 8 米， AE = CD = 2米，一只小鸟从树梢 D 飞到树梢 B，则它至少要飞行的长度为
（ ）
A．10 米 B．9 米 C．8 米 D．7 米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接BD，求出BE = 6
米，然后由勾股定理求出BD的长即可．
【详解】解：如图，连接BD，
∵DE ^ AB
∴ BED = 90°
∵树 AB 高 8 米， AE = CD = 2米，
∴BE = 6米，
∵DE = 8米，
∴BD = 62 + 82 =10米，
故选 A．
2．如图，有两棵树，一棵高为 20米，另一棵高为10米，两树相距 24米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．
【答案】26
【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点 B 作BA ^ CD ，交CD于点 A，由题意
可得CD = 20m，BE =10m，DE = 24m ，根据题意可证明四边形 ADEB 是矩形， AB = DE = 24m ，
AD = BE =10m，可得 AC =10m，在RtVBAC 中， BAC = 90°，根据勾股定理得BC = 26m，即可得，掌
握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点 B 作BA ^ CD ，交CD于点 A，
由题意可得CD = 20m，BE =10m，DE = 24m ，
∵ BAD = ADE = DEB = 90°，
∴四边形 ADEB 是矩形，
∴ AB = DE = 24m， AD = BE =10m，
∴ AC = CD - AD = 20 -10 =10(m)，
在RtVBAC 中， BAC = 90°，根据勾股定理得，
BC = AC 2 + AB2 = 102 + 242 = 26(m) ，
即一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 26m，
故答案为： 26．
3．如图，有两棵树，一棵树高 AC 是 10 米，另一棵树高 BD 是 4 米，两树相距 8 米（即 CD=8 米），一只
小鸟从一棵树的树梢 A 点处飞到另一棵树的树梢 B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【答案】小鸟至少飞行了 10 米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股
定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为 AC=10 米，小树高为 BD=4 米，
过点 B 作 BE⊥AC 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，连接 AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在RtVAEB中， AB = AE2 + BE2 =10（米），
答：小鸟至少飞行了 10 米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
题型 04 求大树折断前的高度
1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹
抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈
=10 尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？
（ ）
9 91 109
A．4 B． C． D．
2 20 20
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
【详解】解：设折断处离地面 x 尺，
根据题意可得： x2 + 32 = (10 - x)2 ，
91
解得： x = 20 ．
91
答：折断处离地面 尺．
20
故选：C．
2．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为0.8m，倒下后树顶端着地点A 距树底端 B 的距
离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A 处出发，以 20cm / min 的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C 所需的
时间为 min ．
【答案】8.5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出 AC 的长是解答此题的关键．
由勾股定理求出 AC 的长，即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC 中， BC = 0.8m， AB =1.5m，
\ AC = AB2 + BC 2 = 1.52 + 0.82 =1.7 m =170cm ，
\170 20 = 8.5(min)，
即爬到折断处C 所需的时间为8.5min，
故答案为：8.5.
3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求
折断处离地面的高度．
【答案】 4.55尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2．设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为 (10 - x)尺，根据勾股
定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为 (10 - x)尺，
根据勾股定理得 x2 + 32 = (10 - x)2 ，
解得： x = 4.55
答：折断处离地面的高度是 4.55尺．
题型 05 解决水杯中筷子问题
1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm ．若这支铅笔在
笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（ ） cm．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出 AC 的长度．然后结合题意即可求解．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可得图形： AB = 8cm, BC = 6cm,
在Rt△ABC 中： AC = AB2 + BC 2 =10cm ，
∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，
∴这支铅笔的长度是10 + 5 =15 cm ．
故选：B．
2．如图，已知钓鱼杆 AC 的长为 5 米，露在水面上的鱼线BC 长为 3 米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把
鱼竿 AC 转动到 AC 的位置，此时露在水面上的鱼线B C 长度为 4 米，则BB 的长为 米．
【答案】1
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求出 AB 和 AB ，再根据 BB = AB - AB 即可得
出答案，根据勾股定理求出 AB 和 AB 是解题的关键．
【详解】在Rt△ABC 中， AC = 5m，BC = 3m ，
∴ AB = AC 2 - BC 2 = 52 - 32 = 4 m ，
在Rt△AB C 中， AC = 5m ，B C = 4m，
∴ AB = AC 2 - B C 2 = 52 - 42 = 3 m ，
∴BB = AB - AB = 4 - 3 =1 m ，
故答案为：1．
3．如图，一个直径为10cm（即 BC =10cm ）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点 E 处竖直放一根筷子，
筷子露出杯子外1cm（即 FG = 1cm），当筷子GE 倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁 D，
求筷子GE 的长度．
【答案】13cm
【分析】设杯子的高度是 xcm，则筷子的高度为 x +1 cm ，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，
根据勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设杯子的高度是 xcm，则筷子的高度为 x +1 cm ，
∵杯子的直径为10cm，
∴DF = 5cm ，
在RtVDEF 中，由勾股定理得：
x2 + 52 = (x +1)2 ，
解得 x =12 ，
∴筷子EG =12 +1 =13 cm ．
答：筷子GE 的长度为13cm ．
题型 06 解决航海问题
1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向东直行，1min
后两只蜗牛相距（ ）
A．5m B．3 2m C． 4 2m D． 4.5m
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，分别计算一分钟两只蜗牛行走的路程，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：3 1 = 3， 4 1 = 4，
∵一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向东直行，
∴夹角为直角，
∵32 + 42 = 52，
∴1min 后两只蜗牛相距5m，
故选：A．
2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里 / 时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°
方向航行， 2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达 B 岛，若C ， B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海
里 / 时．
【答案】40
【分析】根据已知判定 CAB 为直角，根据路程公式求得 AC 的长．再根据勾股定理求得 的长，从而根
据公式求得其速度．
本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答．
【详解】解：如图，
Q甲的速度是30海里 / 时，时间是 2小时，
\ AC = 60海里．
Q EAC = 35°， FAB = 55°，
\ CAB = 90°．
QBC =100海里，
\ AB = BC 2 - AC 2 = 1002 - 602 = 80海里．
Q乙船也用 2小时，
\乙船的速度是 40 海里 / 时，
故答案为：40．
3．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从 A，B 两地发出的求救信号．搜救中心及
时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口 O 出发，甲搜救艇以 12 海里/时的速度沿北偏东 40°的方向向 A 地出发，
乙搜救艇以 16 海里/时的速度沿南偏东50°的方向向 B 地出发，2 小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险
船只 A，B 处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 AB ．
【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 AB 是 40 海里
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出 1 = 40°， 2 = 50°，
OA = 2 12 = 24（海里），OB = 2 16 = 32（海里），证明VAOB 为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即
可．
【详解】解：由题意，得：
1 = 40°， 2 = 50°，OA = 2 12 = 24（海里），OB = 2 16 = 32（海里），
∴ AOB =180° - 1- 2
=180° - 40° - 50°
= 90°，
在RtVAOB 中，由勾股定理得： AB2 = OA2 + OB2 =1600 ，
∴ AB = 1600 = 40（海里），
答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 AB 是 40 海里．
题型 07 求河宽
1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024 年昭通市某学校
的 156 班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由
于水流的影响，实际上岸地点 F 与欲到达地点 E 相距 10 米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽
度EH 多 2 米，则河的宽度EH 是（ ）．
A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知△EFH 为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出
直角边EH 的长度．
【详解】解：根据题意可知 EF =10 米，
设EH = x ，则HF = x + 2，
Rt△EFH 中，由勾股定理得FH 2 = EF 2 + EH 2 ，
x + 2 2即 =102 + x2，
解得 x = 24．
∴该河的宽度EH 为 24 米．
故选：D．
2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读 kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广
几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D到门槛 AB
的距离DE 为 1 尺（1 尺=10寸），双门间的缝隙CD为 2 寸，则门宽 AB 的长是 寸．
【答案】101
3．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织
八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．
项目主题 测量隧道的长度 AB
测量工具 测角仪、测距仪等
测量示意图
数据说明 ACB + ABC = 90°，BC = 750米， AC = 210米
特别说明 测量过程中注意保障人身安全！
请你根据以上测量结果，计算隧道的长度 AB ．
【答案】720 米
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意．
根据题意证明VABC 为直角三角形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：Q ACB + ABC = 90°，
\ BAC =180° - ACB + ABC = 90°，
\VABC 为直角三角形．
QBC = 750 米， AC = 210米，
\ AB = BC 2 - AC 2 = 7502 - 2102 = 720（米）．
即隧道的长度 AB 为 720 米．
题型 08 求台阶上地毯长度
1．如图，要为一段高为 5 米， 长为 13 米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）
A．18 米 B．17 米 C．13 米 D．12 米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，熟练掌握勾股定理是解题关键．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后
求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 132 - 52 =12米，
Q地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12 + 5 = 17米．
故选 B．
2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为 30 元，楼梯宽为 2m，则地
毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元．
【答案】 7 420
【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需
的钱数．
【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是 3m，斜边是 5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是 52 - 32 =4(m)，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是 3+4=7(m)，
则面积是 2×7=14 (m2)，
总钱数是 14×30=420（元）．
故答案为：7；420．
【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
3．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为 18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面 8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为 432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和 C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点 A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点 C 处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为 2 分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程为 30 分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为 x 分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为 x 分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得 x＝2，
答：每一级台阶的高为 2 分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为 18 分米，宽为（2＋4）×4＝24 分米，
则蚂蚁沿台阶面从点 A 爬行到 C 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝ 182 + 242 = 30（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程为 30 分米．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和
宽即可解答．
题型 09 判断汽车是否超速
1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点 A 知道校车自点 B 处沿 x 轴向原点 O 方向匀速驶来，
她立即从 A 处搭一辆出租车，去截汽车．若点 A 的坐标为（2，3），点 B 的坐标为（8，0），汽车行驶速度
与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
17
A．（3，0） B．（3.5，0） C．（ ，0） D．（5，0）
4
【答案】C
【分析】在 D 点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为 AD，设 OD＝x，在直角△ACD 中，AD 为斜边，已
知 AC，CD，即可求 AD，且 BC＝OB﹣OC＝8，根据 BD＝AD 的等量关系可以求得 x，即可求相遇点 D 的
坐标．
【详解】解：作出题目中给出的图形：
已知 AC＝3，OC＝2，OB＝8，
在 D 点小蓓与汽车相遇，设 OD＝x，
则 CD＝x﹣2，
在直角△ACD 中，AD 为斜边，
则 AD2＝AC2+CD2，
AD＝ 32 + (x - 2)2
∵OD＝x，则 BD＝8﹣x，
存在 8﹣x＝ 32 + (x - 2)2 ，
两边平方得到，3x2+4x﹣16＝0
17
解得：x＝ ，
4
17
故 D 点坐标（ ，0）
4
故选 C．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了根据题意画出图形的能力，本题中找到汽车行
驶速度为摩托车速度的 2 倍的等量关系，并且根据其求 D 点坐标是解题的关键．
2．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m
的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m / s．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在Rt△ACB 中，根据题意 AC = 30, AB = 50，勾股定理求得BC ，再
根据路程除以时间等于速度，即可求解．
【详解】解：依题意，在RtVABC 中， AC = 30m， AB = 50m；
据勾股定理可得：BC = AB2 - AC 2 = 40 m ，
40
故小汽车的速度为 v = = 8m / s．
5
故答案为：8．
3．学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路
建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点 C，从观点 C 测
得一小车从点 A 到达点 B 行驶了10s．若测得 CAN = 45°， CBN = 60°，BC =100m ．此车超速了吗？请
说明理由．
【答案】此车没有超速，详见解析
【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，
1
过点 C 作CH ^ MN 于点 H．求出 BCH = 30°，得到BH = BC = 50m，勾股定理求出
2
CH = BC 2 - BH 2 = 50 3m，然后得到 AH = CH = 50 3m， AB = AH - BH = 50 3 -1 m ，然后求出小车
平均速度，然后比较求解即可．
【详解】解：过点 C 作CH ^ MN 于点 H．
∵ CBN = 60°
∴ BCH = 30°
BH 1∴ = BC = 50m，
2
∴CH = BC 2 - BH 2 = 50 3m
∵ CAN = 45°
∴ ACH = 45°
∴VACH 是等腰直角三角形
∴ AH = CH = 50 3m
∴ AB = AH - BH = 50 3 -1 m
AB 50 3 -1 ∴小车平均速度= = = 5 3 -1 m/s
10 10
而5 3 -1 < 5
∴此车没有超速．
题型 10 判断是否受台风影响
1．如图，铁路MN 和公路 PQ在点O处交会，公路 PQ上点A 距离点O是 270m，与MN 这条铁路的距离是
200m．如果火车行驶时，周围 250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km / h
的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）
A．15 秒 B．13.5 秒 C．12.5 秒 D．10 秒
【答案】A
【分析】过点 A 作 AC ^ ON ，设在点 B 处开始受噪音影响，在点 D 处开始不受噪音影响，则
AB = AD = 250m ，BD = 2BC ，根据勾股定理求出求出BC 的长，进而得到BD的长，即可得出居民楼受噪
音影响的时间．
【详解】解：如图：过点 A 作 AC ^ ON ，设在点 B 处开始受噪音影响，在点 D 处开始不受噪音影响，则
AB = AD = 250m ，BD = 2BC ，
∵公路 PQ上点A 距离点O是 270m，与MN 这条铁路的距离是 200m，
∴ AC = 200m ，
∵ AB = AD = 250m ，
∴由勾股定理得：BC = AB2 - AC 2 =150m，CD = AD2 - AC 2 =150m，
∴BD = BC + CD = 300m ，
∵ 72km/h = 20m/s ，
∴A 处受噪音影响的时间为：300 20 =15s ．
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
2．若有一列长为 460m的火车，沿铁路AB以50m / min 的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，AC = 300m，
BC = 400m， AB = 500m，已知距离火车 250m 以内会受到噪音的影响．
（1）学校 C 到铁路 AB 的距离是 m．
（2）火车在 AB 路段行驶时，学校 C 受到火车噪音影响的时间是 min ．
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在 10 分钟以内
（ t 10min），那么其行驶速度至少应增加到 m / min．
【答案】 240 12 60
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明VABC 为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求
解即可；
（2）利用勾股定理求出DE, DF 长度，继而得出EF 长，再利用时间等于路程除以速度求解即可；
（3）用EF 长加上火车长，除以 10 分钟即可求解．
【详解】（1）过点 C 作CD ^ AB ，垂足为 D，如图，
∵ AC = 300m，BC = 400m， AB = 500m，
∴ AB2 = AC 2 + BC 2 ，
∴VABC 是直角三角形，
S 1∴ VABC = AC × BC
1
= AB ×CD ，即300 400 = 500CD，
2 2
解得CD = 240m，
故答案为：240；
（2）如图，
当CE = CF = 250m 时，正好影响学校，
∴ED = CE2 - CD2 = 2502 - 2402 = 70m = FD ，
∴EF =140m，
∵有一列长为 460m的火车，沿铁路 AB 以50m / min 的速度从点 A 行驶到点 B，
∴ 140 + 460 50 =12min ，
故答案为：12；
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在 10 分钟以内
（ t 10min），
∴ 140 + 460 10 = 60m / min ，
∴其行驶速度至少应增加到60m / min ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键．
3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，
当 AC ^ BC 时，A 点到 B，C 两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围 250km以内为受
影响区域．
(1)求BC ；
(2)海港 C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为35km / h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1) 400km
(2)海港 C 受台风影响，理由见解析；
(3)4 小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）依据三角形中三边的关系确定 ACB 的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港 C 是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：Q AC ^ BC ，
\ ACB = 90°，
Q AB = 500km ， AC = 300km，
\BC = AB2 - AC 2 = 5002 - 3002 = 400 km ；
（2）解：海港 C 受台风影响，理由如下：
过点 C 作CD ^ AB ，
Q 1 AC 1 BC = CD AB，
2 2
\300 400 = 500 CD ，
\CD = 240 km ，
Q以台风中心为圆心周围 250km以内为受影响区域，
\海港 C 受台风影响；
（3）解：当EC = 250km，FC = 250km时，正好影响 C 港口，
QED = EC 2 - CD2 = 70 km ，FD = FC 2 - CD2 = 70 km ，
\ EF = 140km，
Q台风的速度为35km / h，
\140 35 = 4小时，
答：海港 C 受台风影响的时间会持续 4 小时．
题型 11 选址使两地距离相等
1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D为两村庄，已知DA = 4km，CB = 6km．DA ^ AB于
A ，CB ^ AB于 B ，现要在 AB 上建一个服务站E ，使得C 、D两村庄到E 站的距离相等，则EA的长是
（ ） km．
A．4 B．5 C．6 D． 20
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
根据题意设出 BE 的长为 xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设BE = x ，则 AE = 10 - x km，
由勾股定理得：在RtVADE 中，DE2 = AD2 + AE2 = 42 + (10 - x)2 ，
在RtVBCE 中，CE2 = BC 2 + BE2 = 62 + x2 ，
由题意可知：DE = CE ，
所以： 62 + x2 = 42 + (10 - x)2 ，
解得： x = 4km．
所以，EB的长是 4km．
所以，EA =10 - 4 = 6 km ．
故选：C．
2．如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C、D 为两村庄，DA = 8km ，CB =14km ，DA ^ AB于点
A，CB ^ AB于 B，现要在 AB 上建一个中转站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，求 AE = km．
13 3 133【答案】13.3 / /
10 10
【分析】设 AE = xkm，即可得到EB = (20 - x)km ，结合DA ^ AB于点 A，CB ^ AB于 B 根据勾股定理列式
求解即可得到答案；
【详解】解：设 AE = xkm，则EB = (20 - x)km ，
∵DA ^ AB，CB ^ AB，DA = 8km ，CB =14km ，
∴DE2 = x2 + 82 = x2 + 64，DE2 = (20 - x)2 +142 = x2 - 40x + 596，
∵C、D 两村到 E 站的距离相等，
∴ x2 - 40x + 596 = x2 + 64，解得： x = 13.3，
故答案为：13.3；
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．
3．如图，开州大道上A ， B 两点相距14km，C ，D为两商场，DA ^ AB于A ，CB ^ AB于 B ．已知
DA = 8km ，CB = 6km ．现在要在公路 AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D两商场到E 站的距离
相等，
(1)求E 站应建在离A 点多少 km处？
(2)若某人从商场D以5km / h的速度匀速步行到收购站E ，需要多少小时？
【答案】(1) E 站应建在离A 站6km处
(2)需要 2 小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得 A = B = 90°，再根据勾股定理可得 AE2 + AD2 = DE2 ，BE2 + BC 2 = CE2 ，
从而可得 AE2 + AD2 = BE2 + BC 2 ，设 AE = xkm，则BE = 14 - x km，据此建立方程，解方程即可得；
（2）由勾股定理求出DE ，用路程除以速度即可得出时间．
【详解】（1）解：∵使得C ，D两村到E 站的距离相等，
∴DE = CE ，
∵DA ^ AB，CB ^ AB，
∴ A = B = 90°，
∴ AE2 + AD2 = DE2 ，BE2 + BC 2 = CE2 ，
∴ AE2 + AD2 = BE2 + BC 2 ，
设 AE = xkm，则BE = AB - AE = 14 - x km ，
∵DA = 8km ，CB = 6km ，
∴ x2 + 82 = 14 - x 2 + 62，
解得： x = 6，
∴ AE = 6km ，
答：E 站应建在离A 站6km处；
（2）解：QDE = AE2 + AD2 =10km，
\10 5 = 2（小时）
答：需要 2 小时．
题型 12 最短路径问题
1．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，
沿着长方体的表面到长方体上和顶点A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A． 3+ 2 13 cm B． 97cm C． 85cm D． 109cm
【答案】C
【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本
题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．
【详解】解： AB 就是蚂蚁爬的最短路线．
但有三种情况：
当： AD = 3， DB = 4 + 6 = 10．
AB = 32 +102 = 109cm ．
当 AD = 4， DB = 6 + 3 = 9．
AB = 97cm ．
当 AD = 6， DB = 3 + 4 = 7
AB = 85cm．
∵ 109 > 97 > 85
∴第三种情况最短．
故选：C．
2．如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm ，在杯子内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿 2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁 B 处的
最短距离为 cm．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点 A 关于直线EF 的对称点 A ，作
A D ^ BE 交 BE 延长线于 E，连接 A B交EF 于 F，则 A B的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解；如图所示，将圆柱展开，
作点 A 关于直线EF 的对称点 A ，作 A D ^ BE 交 BE 延长线于 E，连接 A B交EF 于 F，
1
由题意得， A D = 24 = 12cm，BD = 2 +18 - 4 = 16cm ，
2
∴由勾股定理得 A B = A D2 + BD2 = 20cm ，
故答案为： 20．
3．【问题背景】如图 1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有
一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改
造，要求步道离小岛至少 40 米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图 2，记小岛
为点 P，首先在笔直的步道 l1上找一处 A（ AP ^ l1），一工人沿步道 l1从点 A 出发直走 80 米到达 B 处，又继
续前行 80 米到达点 C 处，接着从 C 处沿与步道 l1垂直的方向行走，当到达 D 处时，P、B、D 刚好在同一
直线上，最后工人测得CD的长为 75 米．
请根据以上信息，回答下面的问题：
【问题探究】
（1）求小岛离步道 l1的垂直距离PA．
【问题拓展】
（2）在第（1）问的条件下，如图 3，有相邻的另一条笔直步道 l2，小岛 P 到 l2的距离PM = a 米，点 A 到 L
的距离 AN = 80 - a 米，在MN 之间有一任意点 E，当PE + AE的最小值为 100 米时，
①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道 l2是否符合要求？请用学过的
数学知识说明原因．
【方法迁移】
（3）若将 x，3- x ，2，2 分别看作四条线段的长，结合图 2，构造适当的几何图形求代数式
x2 + 4 + 3- x 2 + 4 的最小值为 （直接写出）．
【答案】（1）75 米；（2）①60 米；②不符合，理由见解析；（3）5
【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正
确解决本题的关键．
（1）根据题意，证明VPBA≌VCBD ASA ，即可得出结论；
（2）①延长PM 至 Q，使PM = MQ = a 米，连接 AQ ．过 Q 作QH ∥ l2交 AN 的延长线于 H，过 P 作PG ^ AN
于 G，当 A、Q、E 三点共线时PE + AE有最小值 AQ ，利用勾股定理即可求出；
HQ = MN = PG = 60 MP 1 PQ 35 35②由①可知， 米，用勾股定理计算出 = = 米， < 40，即可判断步道 l 不
2 2 2 2
符合要求；
（3）将 x，3- x ，2，2 分别看作四条线段的长，结合图 2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值．
【详解】解：（1）由题可知，PA ^ l1，DC ^ l1，
\ PAB = DCB = 90°，
又∵P、B、D 三点在同一条直线上，
\ PBA = DBC ，
又Q AB = BC = 80米，
\VPBA≌VCBD ASA ，
\PA = CD = 75米
（2）①MN = 60米
如图 3，延长PM 至 Q，使PM = MQ = a 米，连接 AQ ．
过 Q 作QH ∥ l2交 AN 的延长线于 H，过 P 作PG ^ AN 于 G，
∵PM ^ l2，PM = MQ 即 l2垂直平分 PQ，
\ PE = EQ ，
\PE + AE = QE + AE AQ，
当 A、Q、E 三点共线时PE + AE有最小值 AQ ，
即 AQ = 100米
∵ AN ^ l2，QH ∥ l2
\ AN ^ QH 即 AHQ = 90°，
∴四边形MNHQ 和四边形MNGP均为长方形，
\HN = QM = MP = NG = a 米，HQ = MN = PG ，
∴HA = HN + NA = a + 80 - a = 80 米
∴在Rt△AHQ中，HQ2 = AQ2 - AH 2 =1002 -802 = 602 即HQ = 60 米，
\MN = 60 米，
②QPG ^ AN ，
\ PGA = 90°，
由①可知，HQ = MN = PG = 60米，
∴在Rt△PGA中，GA2 = PA2 - PG2 = 752 - 602 =135 15，
\GA = 45米，
\GH = AH - AG = 80 - 45 = 35米，
\PQ = 35米，
MP 1 PQ 35∴ = = 米，
2 2
35
显然， < 40，
2
∴步道 l2不符合要求．
（3）由（2）同理可得，Q x2 + 4 + 3- x 2 + 4 = x - 2 2 + 0 - 2 2 + 3 - x 2 + 0 - 2 2 = 5，
\ x2 + 4 + 3 - x 2 + 4 的最小值为 5．
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是这个台阶上两个相对
的端点，点 A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为（ ）
A． 481dm B． 20dm C． 25dm D．35dm
【答案】C
【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，
再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先
将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm，
2 2 2由勾股定理得： x = 20 + é 2 + 3 3ù = 252，
解得： x = 25 dm ．
故选：C．
2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口 2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内
表面距离右侧管口5cm的点 N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的
最短距离是（ ）
A．5cm B． 4cm C．9 5cm D．15cm
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股
定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作点 N 关于右侧管口的对称点 N1 ，连接MN1，
由题意得： AM = BC = 2cm，BD = 15cm， ND = N1D = 5cm，
∴CN1 =15 + 5 - 2 =18 cm ，
∵钢管横截面的周长为18cm，
∴MC = 9cm，
在RtVMN1C 中，由勾股定理得：MN 2 21 = MC + N1C = 9
2 +182 = 9 5 cm ，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是9 5cm．
故选：C ．
3．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合
而成，如图，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，则 AC 2 - AD2 的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE = BE ，
AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，再结合平方差公式可得答案；
【详解】解：∵ AB = AD , AE ^ BD ，
∴DE = BE ， AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，
∴ AC 2 - AD2 = CE2 - DE2
= CE + DE CE - DE
= CE + BE ×CD
= BC ×CD
∵BC =10,CD = 6，
∴ AC 2 - AD2 =10 6 = 60；
故选 D
4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，
踏板 B 离地的垂直高度BE = 0.8m ，将它往前推3m 至 C 处时(即水平距离CD = 3m )，踏板离地的垂直高度
CF = 2.6m ，它的绳索始终拉直，则绳索 AC 的长是（ ）
A．3.4m B．3.6m C．3.8m D． 4.2m
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，DE = CF = 2.6m ，
BE = 0.8m ，CD = 3m，设 AB = AC = x m ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，DE = CF = 2.6m ，BE = 0.8m ，CD = 3m，
\ BD = 1.8m ，
设 AB = AC = x m ，则 AD = x -1.8 m，
由勾股定理得： AD2 + CD2 = AC 2 ，
\ x -1.8 2 + 32 = x2 ，
解得： x = 3.4 ，
即绳索 AC 的长是3.4m，
故：A．
5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．将一根长18cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔
的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为 acm ，则 a的取值范围是（ ）
A．9 < a <12 B．6 a 12 C．3 < a < 9 D．3 a 6
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，
即可得出答案．
【详解】解：Q将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
\在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
\当杯子中筷子最短是等于杯子的高时， a =18 -12 = 6 cm ，
最长时等于杯子斜边长度是： 122 + 92 =15 cm ，
此时 a =18 -15 = 3 cm ，
\h 的取值范围是：3 a 6，
故选：D．
6．如图，钓鱼竿 AB 的长为 2 2 米，露在水面上的鱼线BC 长为 1 米．当钓鱼者把钓鱼竿 AB 转到 AB 的位
置时，露在水面上的鱼线B C 长为 2 米，则CC 的长为（ ）
A．1 米 B． ( 7 - 2) 米 C． 7 米 D． (2 2 - 2) 米
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理分别求出 AC, AC ，即可得到CC 的长度，熟练掌
握勾股定理的计算是解题的关键
【详解】解：在Rt△ABC 中， ACB = 90°, AB = 2 2, BC =1，
∴ AC = AB2 - BC 2 = 7 ，
在Rt△AB C 中， AC B = 90°, AB = 2 2, B C = 2 ，
∴ AC = AB 2 - B C 2 = 2
∴CC = AC - AC = 7 - 2 米，
故选 B
7．如图，象棋盘中各个小正方形的边长为 1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，
走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．
【答案】 2 5
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为 A 处，最远距离为 42 + 22 = 2 5 ．
故答案为： 2 5 ．
8．如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与
之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为 ．
【答案】13cm /13 厘米
【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．
【详解】解：把圆柱沿母线展开，点 B 展开后的对应点为B ，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最
短路径为 AB ，如图所示：
由题意，得： AC =12cm, B C
1
= 10 = 5cm，
2
在Rt△ACB 中，由勾股定理，得： AB = 52 +122 =13cm；
故答案为：13cm ．
9．如图，已知 A，B，C 是海上的三座小岛，岛 B 在岛 A 的北偏东38°方向上，距离为 12 海里，岛 C 在岛
A 的北偏东方向上，距离为 13 海里，岛 B 和岛 C 之间的距离为 5 海里，则岛 B 在岛 C 的北偏西 方
向上.
【答案】52° /52 度
【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得
ABC = 90°．
先根据勾股定理的逆定理得 ABC = 90°，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．
【详解】解：如图，过点 C 作CF∥EB
QAB =12海里， AC =13海里， BC = 5 海里，
\ AB2 + BC 2 = AC 2 ，
\ ABC = 90°，
Q BAD = 38° ， AD P BE ，
\ ABE = BAD = 38°，
\ CBE = 52°，
∵BE∥CF ，
\ BCF = CBE = 52°，
\岛 B 在岛C 的北偏西52°方向上．
故答案为：52°．
10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距 25km，C 、D为两村庄，DA =10km，CB =15km，DA ^ AB于A ，CB ^ AB
于 B ，现要在 AB 上建一个中转站E ，使得C 、D两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km．
【答案】15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE = CE ，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设 AE = xkm，则BE =( 25 - x) km，
QDE = CE ，
\ AD2 + AE2 = BE2 + BC 2 ，
故102 + x2 = (25 - x)2 +152 ，
解得； x =15．
故答案为：15．
11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底
部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径是 cm．
【答案】13
【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点 A ，根据两点之间线段最
短可知 A B的长度即为所求，利用勾股定理求出 A B即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短
路径是解题的关键．
【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点 A ，如图，
∵高为12cm，底面周长为10cm，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，
∴ A D = 5cm ，BD =12 - 3 + 3 =12cm，
连接 A B，则 A B即为最短距离，
∵ A B = A D2 + BD2 = 122 + 52 =13cm，
∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13cm ，
故答案为：13．
12．如图 1 是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有 6 根长度相等的支架，支点
O，P，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图 2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm，则支架 AD 的
长为 cm；鞋架斜放得图 3，此时调节杆 AL 的端点 L 正好卡在面板BH 的调节孔点 G 处，
AL =13cm，HG =10cm， AOB = 60°，则鞋架最高点 H 到地面MN 的距离是 cm．
【答案】 30 46 3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；过 O
作OK ^ AB ，由等腰三角形的性质得 AK = KB =12，由勾股定理得 AO = AK 2 + OK 2 即可求解；连接 AB ，
1
过H作HR ^ AB ，可判定VALB 是等边三角形，由直角三角形的特征得RB = HB，由勾股定理得HR = 3RB，
2
即可求解；掌握相关的性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的
关键．
【详解】解：如图，过 O 作OK ^ AB ，
\AK = KB =12，
OK = 54 6 = 9，
\ AO = AK 2 + OK 2
= 122 + 92
=15，
\ AD = 2AO = 30 （ cm）；
如图，连接 AB ，过 H 作HR ^ AB ，
Q ALB = AOB = 60°， LA = LB ，
\VALB 是等边三角形，
\ LBA = 60°，
\ RHB = 30°，
1
\RB = HB
2
1
= 10 +13
2
23
=
2 ，
\HR = HB2 - RB2
= 3RB
23 3
= ，
2
\H 到地面MN 的距离为：
4HR 4 23 3=
2
= 46 3 （ cm）；
故答案：30， 46 3 ．
13．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索 AB 的长度为 5 米，若将它往水平方向向前推进 3 米（即 DE = 3
米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．
【答案】木马上升的高度为 1 米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点 C 作CF ^ AB于点 F，则CF = DE = 3米，在Rt△ACF 中，
由勾股定理可得 BF 的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点 C 作CF ^ AB于点 F，则CF = DE = 3米，
由题意得： AC = AB = 5米，
在Rt△ACF 中，由勾股定理得：
AF = AC 2 - CF 2 = 52 - 32 = 4米，
则BF = AB - AF = 5 - 4 =1米，
即木马上升的高度为 1 米．
14．如图，一辆小汽车在一条限速 40 km/h 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A 的
正前方 60 m处的 C 点，测得小汽车所在的 B 点与车速检测仪 A 之间的距离为 100 m．
(1)求 B，C 间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)B，C 间的距离为 80 m
(2)这辆小汽车没有超速
【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求出 BC 的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】（1）解：在Rt△ABC 中，
∵ AC = 60，AB =100，
∴BC = AB2 - AC 2 = 1002 - 602 = 80，
答：B，C 间的距离为 80 m；
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵小汽车速度为80 8 =10 m/s = 36km/h，
36 < 40，
∴这辆小汽车没有超速．
15．一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为 24 米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了 8 米
【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑 4 米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股
定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．
【详解】（1）解：根据勾股定理：
梯子顶端距离地面的高度为： AB = 252 - 72 = 24m ；
（2）梯子下滑了 4 米，
即梯子顶端距离地面的高度为： 24 - 4 = 20米，
根据勾股定理得：BC = 252 - 202 =15米，
\CC =15- 7 = 8m．
即梯子的底端在水平方向滑动了 8 米．
16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学
习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为 15
米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为 25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为 21.6米；
(2)他应该往回收线 8 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE 的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB 中，
由勾股定理得，CD2 = BC 2 - BD2 = 252 -152 = 400，
所以，CD = 20（负值舍去），
所以，CE = CD + DE = 20 +1.6 = 21.6（米 ) ，
答：风筝的高度CE为 21.6米；
（2）解：由题意得，CM =12，
\DM = 8，
\BM = DM 2 + BD2 = 82 +152 =17（米 ) ，
\BC - BM = 25 -17 = 8（米 ) ，
\他应该往回收线 8 米．
17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点 A, B，其中 AB = AC ，由于某种原因，
由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（ A, D, B 在同一条直线
上），并新修一条路CD，测得CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米．
(1)求 CDB 的度数；
(2)求原来的路线 AC 的长．
【答案】(1)90°
(2)8.45 千米
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理推导△BCD为直角三角形，即可获得答案；
（2）设 AB = AC = x ，则 AD = x - 2.5，在Rt△ACD 中，利用勾股定理解得 x 的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可知CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米，
∵BD2 + CD2 = 2.52 + 62 = 42.25，CB2 = 6.52 = 42.25，
∴BD2 + CD2 = CB2，
∴△BCD为直角三角形， CDB = 90°；
（2）由（1）可知， CDB = 90°，即CD ^ AB ，
设 AB = AC = x ，则 AD = AB - BD = x - 2.5，
在Rt△ACD 中，可有 AD2 + CD2 = AC 2 ，
即 x - 2.5 2 + 62 = x2，解得 x = 8.45，
∴ AB = AC = 8.45千米，
即原来的路线 AC 的长为 8.45 千米．
18．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东60°方向走了500 3 米到达 B 点，然
后再沿北偏西30°方向走了 500 米到达目的地 C 点．
(1)判断VABC 的形状；
(2)求 A、C 两点之间的距离；
(3)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向．
【答案】(1)VABC 的形状是直角三角形，
(2) A 、C 两点之间的距离是 1000 米；
(3)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．
【分析】（1）求出 FBC ，根据平角的定义求出 CBA即可；
（2）根据勾股定理求出 AC 即可；
（3）根据 AC =1000，BC = 500，求出 CAB = 30°即可．
【详解】（1）解：VABC 的形状是直角三角形，
理由是：EF∥ AD ，
\ EBA = DAB = 60°，
Q FBC = 30°，
\ ABC = 180° - FBC - EBA = 90° ，
\VABC 的形状是直角三角形；
（2）解： AB = 500 3，BC = 500，由勾股定理得：
AC = AB2 + BC 2 = 1000，
答：A 、C 两点之间的距离是 1000 米；
（3）解：取 AC 的中点G ，连接BG ，
QBC = 500 ， AC =1000， ABC = 90°，
BG AG CG 1∴ = = = AC = 500，
2
∴VBCG 是等边三角形，
∴ ACB = 60°，
∴ CAB = 30°，
DAC = DAB - CAB = 60° - 30° = 30°，
即目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．
【点睛】本题综合考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，方向角，两点之间的距离等知识点，关键
是能熟练地根据性质进行推理和计算．第 08 讲 探索勾股定理（第 2 课时）（1 个知识点+12 大题型+18
道强化训练）
课程标准 学习目标
①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；
知识点 01：勾股定理的应用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【即学即练 1】
1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm 和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字
笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）
A．10cm B． 18 -10 2 cm C．8cm D．10 2cm
【即学即练 2】
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，
中间可供滑行部分的截面是弧长为12m 的半圆，其边缘 AB = CD = 20m（边缘的宽度忽略不计），点E 在CD
上，CE = 4m.一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为（ ）
A． 28m B． 24m C． 20m D．18m
题型 01 求梯子滑落高度
1．如图，将长为10m 的梯子 斜靠在墙上，使其顶端 A 距离地面 6m．若将梯子顶端 A 向上移动 2m，则
梯子底端 B 向左移动（ ）
A．10m B．6m C．4m D．2m
2．如图：5 米长的滑梯 开始在 B 点距墙面水平距离 3 米，当向后移动 1 米，A 点也随着向下滑
一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于）1 米．
3．如图，一架 2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足 B 距底端 O 为 0.7m．
(1)求OA的长度．
(2)如果梯子下滑 0.4m，则梯子滑出的距离是否等于 0.4m？请通过计算来说明理由．
题型 02 求旗杆高度
1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向
后退 6m后发现绳子末端到地面的距离为 2m，则旗杆的高度是（ ）
A．5m B．10m C．13m D．17m
2．如图 1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了 1 米，如
图 2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是 5
米，则旗杆 AB 的高度为 米
3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的
长为 12 米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AB 的长为 13 米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离
CD长为 1.5 米．
(1)求风筝到地面的距离线段 AD 的长；
(2)如果小龙想要风筝沿CA方向再上升 4 米，BC 和CD的长度不变，则他应该再放出_____米线．
题型 03 求小鸟飞行距离
1．如图，有两棵树 AB 和CD（都与水平地面 AC 垂直），树 AB 高 8 米，树梢 D 到树 AB 的水平距离DE
（DE ^ AB）的长度为 8 米， AE = CD = 2米，一只小鸟从树梢 D 飞到树梢 B，则它至少要飞行的长度为
（ ）
A．10 米 B．9 米 C．8 米 D．7 米
2．如图，有两棵树，一棵高为 20米，另一棵高为10米，两树相距 24米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．
3．如图，有两棵树，一棵树高 AC 是 10 米，另一棵树高 BD 是 4 米，两树相距 8 米（即 CD=8 米），一只
小鸟从一棵树的树梢 A 点处飞到另一棵树的树梢 B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？
题型 04 求大树折断前的高度
1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹
抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈
=10 尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？
（ ）
9 91 109
A．4 B． C． D．
2 20 20
2．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为0.8m，倒下后树顶端着地点A 距树底端 B 的距
离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A 处出发，以 20cm / min 的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C 所需的
时间为 min ．
3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求
折断处离地面的高度．
题型 05 解决水杯中筷子问题
1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm ．若这支铅笔在
笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（ ） cm．
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，已知钓鱼杆 AC 的长为 5 米，露在水面上的鱼线BC 长为 3 米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把
鱼竿 AC 转动到 AC 的位置，此时露在水面上的鱼线B C 长度为 4 米，则BB 的长为 米．
3．如图，一个直径为10cm（即 BC =10cm ）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点 E 处竖直放一根筷子，
筷子露出杯子外1cm（即 FG = 1cm），当筷子GE 倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁 D，
求筷子GE 的长度．
题型 06 解决航海问题
1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向东直行，1min
后两只蜗牛相距（ ）
A．5m B．3 2m C． 4 2m D． 4.5m
2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里 / 时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°
方向航行， 2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达 B 岛，若C ， B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海
里 / 时．
3．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从 A，B 两地发出的求救信号．搜救中心及
时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口 O 出发，甲搜救艇以 12 海里/时的速度沿北偏东 40°的方向向 A 地出发，
乙搜救艇以 16 海里/时的速度沿南偏东50°的方向向 B 地出发，2 小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险
船只 A，B 处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 AB ．
题型 07 求河宽
1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024 年昭通市某学校
的 156 班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由
于水流的影响，实际上岸地点 F 与欲到达地点 E 相距 10 米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽
度EH 多 2 米，则河的宽度EH 是（ ）．
A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米
2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读 kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广
几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D到门槛 AB
的距离DE 为 1 尺（1 尺=10寸），双门间的缝隙CD为 2 寸，则门宽 AB 的长是 寸．
3．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织
八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．
项目主题 测量隧道的长度 AB
测量工具 测角仪、测距仪等
测量示意图
数据说明 ACB + ABC = 90°，BC = 750米， AC = 210米
特别说明 测量过程中注意保障人身安全！
请你根据以上测量结果，计算隧道的长度 AB ．
题型 08 求台阶上地毯长度
1．如图，要为一段高为 5 米， 长为 13 米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）
A．18 米 B．17 米 C．13 米 D．12 米
2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为 30 元，楼梯宽为 2m，则地
毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元．
3．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为 18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面 8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为 432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和 C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点 A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点 C 处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点 A 爬行到点 C 的最短路程为多少分米？
题型 09 判断汽车是否超速
1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点 A 知道校车自点 B 处沿 x 轴向原点 O 方向匀速驶来，
她立即从 A 处搭一辆出租车，去截汽车．若点 A 的坐标为（2，3），点 B 的坐标为（8，0），汽车行驶速度
与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
17
A．（3，0） B．（3.5，0） C．（ ，0） D．（5，0）
4
2．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m
的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m / s．
3．学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路
建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点 C，从观点 C 测
得一小车从点 A 到达点 B 行驶了10s．若测得 CAN = 45°， CBN = 60°，BC =100m ．此车超速了吗？请
说明理由．
题型 10 判断是否受台风影响
1．如图，铁路MN 和公路 PQ在点O处交会，公路 PQ上点A 距离点O是 270m，与MN 这条铁路的距离是
200m．如果火车行驶时，周围 250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km / h
的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）
A．15 秒 B．13.5 秒 C．12.5 秒 D．10 秒
2．若有一列长为 460m的火车，沿铁路AB以50m / min 的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，AC = 300m，
BC = 400m， AB = 500m，已知距离火车 250m 以内会受到噪音的影响．
（1）学校 C 到铁路 AB 的距离是 m．
（2）火车在 AB 路段行驶时，学校 C 受到火车噪音影响的时间是 min ．
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在 10 分钟以内
（ t 10min），那么其行驶速度至少应增加到 m / min．
3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，
当 AC ^ BC 时，A 点到 B，C 两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围 250km以内为受
影响区域．
(1)求BC ；
(2)海港 C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为35km / h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
题型 11 选址使两地距离相等
1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D为两村庄，已知DA = 4km，CB = 6km．DA ^ AB于
A ，CB ^ AB于 B ，现要在 AB 上建一个服务站E ，使得C 、D两村庄到E 站的距离相等，则EA的长是
（ ） km．
A．4 B．5 C．6 D． 20
2．如图，在笔直的铁路上 A，B 两点相距 20km，C、D 为两村庄，DA = 8km ，CB =14km ，DA ^ AB于点
A，CB ^ AB于 B，现要在 AB 上建一个中转站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，求 AE = km．
3．如图，开州大道上A ， B 两点相距14km，C ，D为两商场，DA ^ AB于A ，CB ^ AB于 B ．已知
DA = 8km ，CB = 6km ．现在要在公路 AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D两商场到E 站的距离
相等，
(1)求E 站应建在离A 点多少 km处？
(2)若某人从商场D以5km / h的速度匀速步行到收购站E ，需要多少小时？
题型 12 最短路径问题
1．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，
沿着长方体的表面到长方体上和顶点A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A． 3+ 2 13 cm B． 97cm C． 85cm D． 109cm
2．如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm ，在杯子内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿 2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁 B 处的
最短距离为 cm．
3．【问题背景】如图 1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有
一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改
造，要求步道离小岛至少 40 米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图 2，记小岛
为点 P，首先在笔直的步道 l1上找一处 A（ AP ^ l1），一工人沿步道 l1从点 A 出发直走 80 米到达 B 处，又继
续前行 80 米到达点 C 处，接着从 C 处沿与步道 l1垂直的方向行走，当到达 D 处时，P、B、D 刚好在同一
直线上，最后工人测得CD的长为 75 米．
请根据以上信息，回答下面的问题：
【问题探究】
（1）求小岛离步道 l1的垂直距离PA．
【问题拓展】
（2）在第（1）问的条件下，如图 3，有相邻的另一条笔直步道 l2，小岛 P 到 l2的距离PM = a 米，点 A 到 L
的距离 AN = 80 - a 米，在MN 之间有一任意点 E，当PE + AE的最小值为 100 米时，
①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道 l2是否符合要求？请用学过的
数学知识说明原因．
【方法迁移】
（3）若将 x，3- x ，2，2 分别看作四条线段的长，结合图 2，构造适当的几何图形求代数式
x2 + 4 + 3- x 2 + 4 的最小值为 （直接写出）．
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是这个台阶上两个相对
的端点，点 A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为（ ）
A． 481dm B． 20dm C． 25dm D．35dm
2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口 2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内
表面距离右侧管口5cm的点 N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的
最短距离是（ ）
A．5cm B． 4cm C．9 5cm D．15cm
3．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合
而成，如图，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，则 AC 2 - AD2 的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，
踏板 B 离地的垂直高度BE = 0.8m ，将它往前推3m 至 C 处时(即水平距离CD = 3m )，踏板离地的垂直高度
CF = 2.6m ，它的绳索始终拉直，则绳索 AC 的长是（ ）
A．3.4m B．3.6m C．3.8m D． 4.2m
5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．将一根长18cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔
的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为 acm ，则 a的取值范围是（ ）
A．9 < a <12 B．6 a 12 C．3 < a < 9 D．3 a 6
6．如图，钓鱼竿 AB 的长为 2 2 米，露在水面上的鱼线BC 长为 1 米．当钓鱼者把钓鱼竿 AB 转到 AB 的位
置时，露在水面上的鱼线B C 长为 2 米，则CC 的长为（ ）
A．1 米 B． ( 7 - 2) 米 C． 7 米 D． (2 2 - 2) 米
7．如图，象棋盘中各个小正方形的边长为 1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，
走两步后的落点与出发点间的最远距离为 ．
8．如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与
之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为 ．
9．如图，已知 A，B，C 是海上的三座小岛，岛 B 在岛 A 的北偏东38°方向上，距离为 12 海里，岛 C 在岛
A 的北偏东方向上，距离为 13 海里，岛 B 和岛 C 之间的距离为 5 海里，则岛 B 在岛 C 的北偏西 方
向上.
10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距 25km，C 、D为两村庄，DA =10km，CB =15km，DA ^ AB于A ，CB ^ AB
于 B ，现要在 AB 上建一个中转站E ，使得C 、D两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km．
11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底
部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径是 cm．
12．如图 1 是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有 6 根长度相等的支架，支点
O，P，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图 2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm，则支架 AD 的
长为 cm；鞋架斜放得图 3，此时调节杆 AL 的端点 L 正好卡在面板BH 的调节孔点 G 处，
AL =13cm，HG =10cm， AOB = 60°，则鞋架最高点 H 到地面MN 的距离是 cm．
13．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索 AB 的长度为 5 米，若将它往水平方向向前推进 3 米（即 DE = 3
米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．
14．如图，一辆小汽车在一条限速 40 km/h 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A 的
正前方 60 m处的 C 点，测得小汽车所在的 B 点与车速检测仪 A 之间的距离为 100 m．
(1)求 B，C 间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
15．一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学
习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为 15
米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为 25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？
17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点 A, B，其中 AB = AC ，由于某种原因，
由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（ A, D, B 在同一条直线
上），并新修一条路CD，测得CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米．
(1)求 CDB 的度数；
(2)求原来的路线 AC 的长．
18．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东60°方向走了500 3 米到达 B 点，然
后再沿北偏西30°方向走了 500 米到达目的地 C 点．
(1)判断VABC 的形状；
(2)求 A、C 两点之间的距离；
(3)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向．
