第 2 章 特殊三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟，试题共 24 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．（2024·浙江金华·模拟预测）2024 年金华“5·18 国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面
四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，
这样的图形是轴对称图形成为解题的关键．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（22-23 八年级上·浙江杭州·期末）VABC 三边长为 a、b、c，则下列条件能判断VABC 是直角三角形的
是（ ）
A． a = 7，b = 8， c =10 B． a = 3，b = 2 ， c = 15
C． a =12，b = 5， c =13 D． a = 3，b = 4 ， c = 6
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，如果三角形的三边长 a、b、c，满足 a2 + b2 = c2，那么这个三
角形就是直角三角形．
判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：A、∵72 + 82 102 ，∴VABC 不是直角三角形；
2
B、∵ 3 + 22 15 2 ，∴VABC 不是直角三角形；
C、∵52 +122 =132 ，∴VABC 是直角三角形；
D、∵32 + 42 62 ，∴VABC 不是直角三角形；
故选：C．
3．（23-24 八年级下·浙江金华·期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学
的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，
两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角
线长 1 丈，问它的高与宽各是多少（1 丈=10尺，1 尺=10寸）？设长方形门宽为 x 尺，则所列方程为
（ ）.
A． x2 + (x + 6.8)2 =102 B． x2 + (x - 6.8)2 = 102 C． (x + 6.8)2 - x2 = 102
D． x2 + 6.82 = 102
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
设门宽为 x 尺，则门的高度为 x + 6.8 尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于 x 的方程，此
题得解．
【详解】解：设矩形门宽为 x 尺，所列方程为 x2 + (x + 6.8)2 =102 ，
故选 A．
4．（23-24 八年级下·浙江台州·期中）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．如果 a = b，那么 a2 = b2
C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】D
【分析】本题主要考查了逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理
是解题的关键．
【详解】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故 A 不符合
题意；
B、“如果 a = b，那么 a2 = b2 ”的逆命题是“如果 a2 = b2 ，那么 a = b ”是假命题，故 B 不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故 C 不符合题意；
D、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故 D 符合题意；
故选：D．
5．（2023·浙江衢州·一模）如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与
桌沿撞击时，轨迹与桌沿成55°，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（ ）
A． 25° B．35° C． 45° D．55°
【答案】B
【分析】此题主要考查了两角互余的性质，理解反射角等于入射角，准确识图．根据两角互余的性质及反
射角等于入射角解决问题．
【详解】解：由题意得 1 = 55°，
∴ 2 = 1 = 55°，
∵∠2 +∠3 = 90°，
∴ 3 = 35°，
∴ 4 = 3 = 35°，
∴白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为35°，
故选：B
6．（23-24 八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯
子底端到左墙脚的距离OB 为 1.5 米，梯子顶端到地面距离 AB 为 2 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子
斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离CD为 2.4 米，则小巷的宽度BD为（ ）
A．2.2 米 B．2.3 米 C．2.4 米 D．2.5 米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在Rt△ABO中，
利用勾股定理计算出 AO 长，再在RtVCOD 中利用勾股定理计算出OD 长，然后可得BD的长．
【详解】解：在Rt△ABO中，
AO = AB2 + BO2 = 22 +1.52 = 2.5（米），
在RtVCOD 中，CO = AO = 2.5，
OD = CO2 - CD2 = 2.52 - 2.42 = 0.7 （米），
∴BD = BO + OD =1.5 + 0.7 = 2.2（米），
故选：A．
7．（22-23 七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm，BC = 8cm ．现
将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则CD等于（ ）
A．5cm B． 4cm C．3cm D． 2cm
【答案】C
【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 AB 的长，折叠，得到
AED = C = 90°, AE = AC,CD = DE ，设CD = x ，在Rt△DEB 中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ C = 90°， AC = 6cm，BC = 8cm ，
∴ AB = 62 + 82 = 10cm，
∵折叠，
∴ AED = C = 90°, AE = AC = 6cm,CD = DE ，
∴ DEB = 90°，BE = AB - AE = 4cm，
设CD = xcm ，则：DE = xcm, BD = BC - CD = 8 - x cm，
由勾股定理，得： 8 - x 2 = x2 + 42 ，
解得： x = 3；
∴CD = 3cm；
故选 C．
8．（22-23 八年级上·浙江丽水·期中）如图，VABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，且
ABD = 90°，则 BCD的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 22.5° D．30°
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角
形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键．
根据等边三角形性质可得， AB = BC ， ABC = 60°，根据等腰直角三角形性质可得， CBD =150°，
AB = BD ，得到BC = BD ，根据等腰三角形性质可得， BCD =15°．
【详解】∵VABC 为等边三角形，
∴ AB = BC ， ABC = 60°，
∵△ABD 为等腰直角三角形，且 ABD = 90°，
∴ CBD = ABC + ABD =150°，
∵ AB = BD ，
∴BC = BD ，
BCD 1∴ = 180° - CBD =15°．
2
故选：B．
9．（22-23 八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，D为 BAC 的外角平分线上一点并且满足BD = CD，
DBC = DCB ．过 D作 DE ^ AC 于 E ， DF ^ AB 交 BA的延长线于 F ，则下列结论：①VCDE≌VBDF ；
②CE = AB + AE；③ BDC = BAC ；④ DAF = CBD ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
根据角平分线的性质和HL定理判断全等即可；
【详解】解：∵ AD 平分 CAF ，DE ^ AC，DF ^ AB，
∴DE = DF ，
在Rt△CDE 和Rt△BDF 中，
ìBD = CD
íDE DF ， =
∴Rt△CDE≌Rt△BDF ，故①正确；
∴CE = BF ，
在RtVADE 和RtVADF 中，
ìAD = AD
í ，
DE = DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF ，
∴ AE = AF ，
∴CE = AB + AF = AB + AE ，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF ，
∴ DBF = DCE ，
又∵ AOB = DOC ，
∴ BDC＝ BAC ，故③正确；
∵ AD 平分 CAF ，
∴ DAF = DAE ，
∵ BAC + DAF + DAE =180°， BDC + DBC + DCB =180°， BDC＝ BAC ， DBC = DCB ，
∴ DAF + DAE = DBC + DCB ，
∴ DAF = CBD ，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故选 D．
10．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，VABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 AB 的垂线交BC
于点 E，作EF ^ DE交 AC 于点 F，作FG ^ AC 交BC 于点 G， FG ，DE 相交于点 M．若DM = ME ，
GE = 3，则 AB 的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】A
【分析】如图所示，过点 M 作MH ^ BC 于 H，先证明∠MGE =∠MEG = 30°，由含 30 度角的直角三角形
的性质求出ME，DE，EF ，进而求出BE、CE 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点 M 作MH ^ BC 于 H，
∵VABC 是等边三角形，
∴ B = C = 60°，
∵ED⊥AB，GF⊥AC ，
∴∠MGE =∠MEG = 30°，
∴GH = EH
1
= GE = 1.5，∠EMF = 60°，
2
MH 3 EH 3∴ = = ，
3 2
∴ME = 2MH = 3，
∵DM = EM ，
∴DE = 2ME = 2 3 ，
∴BD 3= DE = 2，
3
∴BE = 2BD = 4，
∵DE ^ EF ，
∴∠EFM = 30°， FEC = 60°，
∴EF = 3ME = 3，△CEF 是等边三角形，
∴CE = EF = 3，
∴ AB = BC = BE + CE = 7 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，
三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
11．（2024 八年级上·浙江·专题练习）命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”
或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题
是假命题举反例．
先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是如果 x2 1，那么 x 1，是假命题，
例如：当 x = -2时， (-2)2 >1，而-2 < 1，
故答案为：假．
12．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 边上的中线，若
B = 25°，则 ADB的度数为 °．
【答案】130
【分析】根据直角三角形的性质得到DA = DB ，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是直角三角
形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AD 是BC 边上的中线，
\ DA = DB 1= BC
2 ，
\ B = BAD ，
Q B = 25°，
\ BAD = B = 25°，
\ ADB = 180° - 25° - 25° = 130°．
故答案为：130．
13．（23-24 八年级下·广西南宁·期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到
地面还多出了 2 米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部 6
米（如图所示），则旗杆的高度为 米．
【答案】8
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为 x 米，则 AB = x 米， AC = x + 2 米，在
Rt△ABC 2中，由勾股定理得 x + 2 = x2 + 62 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设旗杆的高度为 x 米，则 AB = x 米， AC = x + 2 米，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 ，
∴ x + 2 2 = x2 + 62 ，
解得 x = 8，
∴ AB = 8米，
∴旗杆的高度为 8 米，
故答案为：8．
14．（22-23 八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片 ABC 中， ACB = 90°， BC = 5 ， AB =12，点
E 在线段 AB 上，将VABC 沿着CE折叠，CA的对应边CD刚好过点 B，则 BE 的长 ．
10 1
【答案】 /3
3 3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先
根据勾股定理求出 AC 的长，再根据折叠的性质得CD = AC =13，ED = EA，设 BE 为 x，将ED用含 x 的代
数式表示出来，然后在VBDE 中根据勾股定理列方程即可求出 BE 的长．
【详解】解：∵在VABC 中 ACB = 90°， BC = 5 ， AB =12
\ AC = AB2 + BC 2 =13，
根据折叠的性质得CD = AC =13，ED = EA，
∴BD = CD - BC =13- 5 = 8，
设BE = x ，则DE = AE =12 - x，
在 Rt Rt△BDE 中，根据勾股定理得BE2 + BD2 = DE2
\ x2 + 82 = 12 - x 2 ，
x 10解得 =
3
10
故答案为： ．
3
15．（22-23 八年级上·重庆合川·期末）如图，在VABC 中， AD 为BC 边的中线，E 为 AD 上一点，连接 BE
并延长交 AC 于点F ，若 AEF = FAE ，BE = 4， EF = 1.6 ，则CF 的长为 ．
【答案】2.4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长 AD 至G ，使DG = AD ，连接
BG ，可证明VBDG≌VCDA SAS ，则BG = AC ， CAD = G，根据 AF = EF ，得 CAD = AEF ，可证
出 G = BEG ，即得出 AC = BE = 4 ，然后利用线段的和差即可解决问题．
【详解】解：如图，延长 AD 至G ，使DG = AD ，连接BG ，
在VBDG 和VCDA中，
ìBD = CD
í BDG = CDA，
DG = DA
∴VBDG≌VCDA SAS ，
∴BG = AC， CAD = G ，
∵ AEF = FAE ，
∴ CAD = AEF ，
∵ BEG = AEF ，
∴ CAD = BEG ，
∴ G = BEG ，
∴BG = BE = 4，
∴ AC = BE = 4 ，
∵ AEF = FAE ，
∴ AF = EF =1.6 ，
∴CF = AC - AF = 4 -1.6 = 2.4 ．
故答案为：2.4．
16．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在VABC 中， C = 90°，BC = 30cm,CA = 40cm ，动点 P 从点
C 出发，以5cm/s的速度沿折线C A B移动到 B，当点 P 在CA上运动时，则点 P 出发 秒时，
VBCP 为等腰三角形；当点 P 在 AB 上运动时，则点 P 出发 秒时，VBCP 为等腰三角形．
6 12 13 54【答案】 或 或
5
【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点 P 在CA上运动时，
CP = 5t，VBCP 为等腰三角形， C = 90°，则CP = BC ，即可求出 t 的值；当点 P 在 AB 上运动时，VBCP
为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当点 P 在CA上运动时，CP = 5t，
∵VBCP 为等腰三角形， C = 90°，
∴CP = BC ，
∴5t = 30，
解得： t = 6，
故答案为：6
当点 P 在 AB 上运动时，
∵ AB = 302 + 402 = 50 cm
∴PB = 90 - 5t ，
当VBCP 为等腰三角形时，
有三种情况∶①当PB = BC 时
∴90 - 5t = 30，
解得： t =12；
②当CP = BP时，过点 P 作PE ^ PC ，如图，
∴E 是BC 的中点，
∴CE
1
= BC = 15 ,
2
1 1
设 AB 边上的高为 h,则 AB ×h = AC ×CB ,
2 2
h 120解得： = ，
5
∵ SVABC = SVACP + SVPCB
1 AC CB 1 AC CE 1∴ × = × + PB ×h ，
2 2 2
1 30 40 1 40 15 1 90 5t 120即 = + -
2 2 2 5
解得 t =13；
③当PC = BC 时，过点 C 作CF ^ BP ，如图∶
1 1
∵ AC × BC = AB ×CF ，
2 2
∴CF = 24，
∴BF = BC 2 - CF 2 =18
∴BP =18 2 = 36 ，
即90 - 5t = 36，
t 54解得： = ，
5
综上：当点 P 在 AB 上运动时，则点 P 出发 12
54
或 13 或 秒时，VBCP 为等腰三角形
5
12 13 54故答案为： 或 或 ．
5
三、解答题（8 小题，共 68 分）
17．（23-24 八年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC 中， C = 90°， BC = a， AC = b， AB = c
(1)若 a =1，b = 2 ，求 c．
(2)若a =15， c=17，求 b．并求斜边上的高．
【答案】(1) c = 5
(2)b 8
120
= ，斜边上的高是
17
【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是
斜边．
（1）由于所求边 c 是斜边，所以利用勾股定理直接可得 c = a2 + b2 ，代入 a，b 的值即可求得 c 的值；
（2）由于所求边 b 是直角边，所以利用勾股定理直接可得b = c2 - a2 ，代入 a，c 的值即可求得 b 的值，
借助面积求出斜边上的高．
【详解】（1）解：根据勾股定理，得 c2 = a2 + b2 =12 + 22 = 5，
∵ c > 0，
∴ c = a2 + b2 = 5 ．
（2）解：根据勾股定理，得b2 = c2 - a2 =172 -152 = 64．
∵b > 0，
∴b = c2 - a2 = 8，
设斜边上的高是 h，
S 1 1VABC = 8 15 = 17 h，2 2
h 120\ = ，
17
120
则斜边上的高是 ．
17
18．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，A ，E ， B ，D在同一直线上，FE ^ AD，CB ^ AD ，
AE = DB ， AC = DF ，若 D = 25°，求 C 的度数．
【答案】65°
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明Rt△ABC≌Rt△DEF HL ，得出
D = A = 25° ，再根据直角三角形两锐角互余得出答案即可．
【详解】解：∵FE ^ AD，CB ^ AD ，
∴ FED = CBA = 90°，
∵ AE = DB ，
∴ AE + EB = EB + BD ，
即 AB = DE ，
在Rt△ABC 与Rt△DEF 中
ìAB = DE
íAC DF ， =
∴Rt△ABC≌Rt△DEF HL ，
∴ D = A = 25° ，
∴ C = 90° - A = 65°．
19．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为 1，请按要求画出图
形．
(1)已知点 A 在格点上，画一条线段 AB ，使 AB = 10 ，且点 B 在格点上；（画出一个即可）
(2)以上题中所画线段 AB 为边画一个等腰直角VABC ，使点 C 在格点上．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定和性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，线段 AB 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图，VABC 即为所求（答案不唯一）；
或
20．（22-23 八年级上·浙江舟山·期末）在VABC 中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中
点，且 BD
1
= AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2) 71°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
（1）连接DE ，根据垂直定义可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得
DE = CE 1= AC ，从而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性质可得 C = EDC = 38°，
从而利用平角定义可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：连接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中线，
\ DE CE 1= = AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q点F 是 BE 的中点，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，点F 是 BE 的中点，
1
\ BDF = BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度数为 71°．
21．（22-23 八年级上·浙江丽水·期中）如图，在 Rt△ABC 中， ACB = 90°， A = 60°，D 是边 AB 的中点，
以点 D 为直角顶点向 AB 上方作等腰直角三角形DEF ，边DE 经过点 C，DF 与BC 交于点 G．
(1)求证：VACD是等边三角形；
(2)若 AC = 3 ，G 为DF 的中点，求CE的长．
【答案】(1)见详解
(2) 2 - 3
1
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出CD = AB = AD ，证出VACD是等边三角形；
2
（2）由等边三角形的性质得出 ACD = 60°，得出 DCG = 30°，由勾股定理求得DG = 1，得出
DF = 2DG = 2，由等腰直角三角形的性质得出DE = DF = 2，即可得出答案．
【详解】（1）证明： Q ACB = 90°，D是边 AB 中点，
CD 1\ = AB = AD ，
2
Q A = 60°，
\VACD 是等边三角形；
（2）解：QVACD是等边三角形，
\ ACD = 60°，CD = AC = 3
\ DCG = 30°，
Q EDF = 90°，
\2DG = CG ，
设DG = x，则CG = 2x ，
2 2∴由勾股定理得， x + 3 = 2x 2 ，
解得： x =1，
QG 为DF 的中点，
\DF = 2DG = 2，
QVDEF 是等腰直角三角形，
\ DE = DF = 2 ，
\CE = DE - CD = 2 - 3 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、
等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．（23-24 八年级上·浙江温州·期中）为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不
同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工
测量角度的仪器、皮尺等
具
测量小
第一小组 第二小组
组
测量方
案示意
图
如图 1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长
设计方
在地面确定点 C，并测得旗杆顶端 度FP为 2 米．
案及测
A 的仰角，即 ACB = 45°． 如图 2，绳子斜拉直后至末端点 P 位置，测量点 P 到地面的
量数据
距离PD为 1 米，以及点 P 到旗杆 AB 的距离PE为 9 米．
第一小组要测旗杆 AB 的高度，只需要测量的长度为线段
任务一 判断分析
______，并说明理由．
任务二 推理计算 利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度 AB ．
【答案】任务一：BC ，理由见解析；（2）任务二：13 米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，
（1）根据等腰三角形判定即可解决；
（2）设旗杆的长度为 x 米，在Rt△AEC 中，根据勾股定理列方程并解方程即可．
【详解】解：（1）BC ，理由如下：
在Rt△ABC 中， ACB = 45°，
\ BAC =180°- 90°- 45°= 45°= ACB ，
\BC = AB ，
故要测旗杆 AB 的高度，只需要测量的长度为线段BC 即可；
故答案为：BC ；
（2）设旗杆的长度为 x 米，则绳子的长度为 x + 2 米，
在Rt△AEC 中， AE = x -1 米，CE = 6米， AC = x + 2 米，
∴ x -1 2 + 92 = x + 2 2 ，
解得 x =13 ，
∴旗杆的高度为 13 米．
23．（21-22 八年级上·江苏淮安·阶段练习）图，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm，BC =12cm ，
AC = 20cm ， P 、Q是VABC 边上的两个动点，其中点 P 从点A 开始沿 A B 方向运动，且速度为每秒
1cm，点Q从点 B 开始沿B C A方向运动，且速度为每秒 2cm ，它们同时出发，设出发的时间为 t秒．
(1) BP = _____（用 t 的代数式表示）
(2)当点Q在边BC 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以BC 或BQ为底边的等腰三角形？
【答案】(1) (16 - t)cm
16
(2) 秒
3
(3)11 秒或 12 秒
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间 t表示出相应线段的长，
化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用 t可分别表示出BP；
（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP = BQ ，可得到关于 t的方程，
可求得 t；
（3）用 t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ = BC 和BQ = CQ三种情况，分别得到关于 t
的方程，可求得 t的值．
【详解】（1）由题意可知 AP = t ，BQ = 2t ，
Q AB =16cm ，
\ BP = AB - AP = (16 - t)cm，
故答案为： (16 - t)cm ；
（2）当点Q在边BC 上运动，△PQB 为等腰三角形时，则有BP = BQ ，
t 16即16 - t = 2t ，解得 = ，
3
\ 16出发 秒后，△PQB 能形成等腰三角形；
3
（3）①当△BCQ 是以BC 为底边的等腰三角形时：CQ = BQ，如图 1 所示，
则 C = CBQ ，
Q ABC = 90°，
\ CBQ + ABQ = 90°．
A + C = 90°，
\ A = ABQ，
\BQ = AQ，
\CQ = AQ = 10(cm) ，
\ BC + CQ = 22(cm) ，
\t = 22 2 = 11；
②当△BCQ 是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ = BC ，如图 2 所示，
则BC + CQ = 24(cm) ，
\t = 24 2 = 12 ，
综上所述：当 t为 11 或 12 时，△BCQ 是以BC 或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11 秒或 12．
24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图 1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分别以 AB 、BC 为边
向外作△ABD 与VBCE ，且DA = DB ，EB = EC ， ADB = BEC = 90°，连接DE 交 AB 于点F ．
(1)探究： AF 与 BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图 3，若 ADB = BEC = m ABC ，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接
写出m 的值．
【答案】(1) AF = 3BF ．理由见解析
(2) AF = 3BF 成立，理由见解析
(3) m = 2
【分析】（1）作DG ^ AB 于G ，证明VDFG≌VEFB，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法证明；
（3）作DH ^ AB于 H ，要使得结论 AF = 3BF 成立，则有 DGF = EBF = 90°，可得
1 (180° - m ABC) + ABC = 90°，可得m = 22 ．
【详解】（1）解：结论： AF = 3BF ．
理由：如图 1，过点D作DG ^ AB 于G ，则 DGB = 90°，
Q ACB = 90°， ABC = 45°，
\ AC = CB ，
\ AC 2 + BC 2 = AB2 ，
\ BC 2= AB，
2
QDA = DB， ADB = 90°，
\ DG = AG = BG 1= AB
2 ，
在RtVBEC 中， BEC = 90°，EB = EC ，
\ BE 2= BC 1= AB ，
2 2
\ DG = BE，
在VDFG 和△EFB 中，
ì DFG = EFB
í DGF = EBF ，
DG = BE
\VDFG≌VEFB AAS ，
\ FG = BF ，
Q AF = 3BF ；
（2）解：猜想： AF = 3FB．
证明：如图 2 中，过点D作DG ^ AB 于G ，则 DGB = 90°．
QDA = DB， ADB = 60°．
\ AG = BG ，VDBA是等边三角形．
\ DB = BA．
Q ACB = 90°， ABC = 30°，
AC 1\ = AB = BG
2 ．
\RtVDBG≌RtVBAC HL ．
\DG = BC ．
QBE = EC ， BEC = 60°，
\△EBC 是等边三角形．
\BC = BE ， CBE = 60°．
\ DG = BE， ABE = ABC + CBE = 90°．
Q DFG = EFB ， DGF = EBF ，
在VDFG 和△EFB 中，
ì DFG = EFB
í FGD = FBE ，
DG = BE
\VDFG≌VEFB AAS ．
\GF = BF ，
故 AF = 3FB；
（3）结论：m = 2 ，
理由：如图 3 中，过点D作DG ^ AB 于G ，则 DGB = 90°．
要使得结论 AF = 3BF 成立，则有 DGF = EBF = 90°，
\ 1 (180° - m ABC) + ABC = 90°
2 ，
\90 1° - m × ABC + ABC = 90°
2 ，
\m = 2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等
三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．第 2 章 特殊三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 120 分钟，试题共 24 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．（2024·浙江金华·模拟预测）2024 年金华“5·18 国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面
四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23 八年级上·浙江杭州·期末）VABC 三边长为 a、b、c，则下列条件能判断VABC 是直角三角形的
是（ ）
A． a = 7，b = 8， c =10 B． a = 3，b = 2 ， c = 15
C． a =12，b = 5， c =13 D． a = 3，b = 4 ， c = 6
3．（23-24 八年级下·浙江金华·期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学
的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，
两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角
线长 1 丈，问它的高与宽各是多少（1 丈=10尺，1 尺=10寸）？设长方形门宽为 x 尺，则所列方程为
（ ）.
A． x2 + (x + 6.8)2 =102 B． x2 + (x - 6.8)2 = 102 C． (x + 6.8)2 - x2 = 102
D． x2 + 6.82 = 102
4．（23-24 八年级下·浙江台州·期中）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的面积相等 B．如果 a = b，那么 a2 = b2
C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
5．（2023·浙江衢州·一模）如图所示，白球通过两次撞击桌沿，绕过黑球反弹后击中花球．若白球第一次与
桌沿撞击时，轨迹与桌沿成55°，那么白球第二次与桌沿撞击时轨迹与桌沿所成锐角度数为（ ）
A． 25° B．35° C． 45° D．55°
6．（23-24 八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯
子底端到左墙脚的距离OB 为 1.5 米，梯子顶端到地面距离 AB 为 2 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子
斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离CD为 2.4 米，则小巷的宽度BD为（ ）
A．2.2 米 B．2.3 米 C．2.4 米 D．2.5 米
7．（22-23 七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm，BC = 8cm ．现
将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则CD等于（ ）
A．5cm B． 4cm C．3cm D． 2cm
8．（22-23 八年级上·浙江丽水·期中）如图，VABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，且
ABD = 90°，则 BCD的度数为（ ）
A．10° B．15° C． 22.5° D．30°
9．（22-23 八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，D为 BAC 的外角平分线上一点并且满足BD = CD，
DBC = DCB ．过 D作 DE ^ AC 于 E ， DF ^ AB 交 BA的延长线于 F ，则下列结论：①VCDE≌VBDF ；
②CE = AB + AE；③ BDC = BAC ；④ DAF = CBD ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
10．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，VABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 AB 的垂线交BC
于点 E，作EF ^ DE交 AC 于点 F，作FG ^ AC 交BC 于点 G， FG ，DE 相交于点 M．若DM = ME ，
GE = 3，则 AB 的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
二、填空题（6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
11．（2024 八年级上·浙江·专题练习）命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”
或“假”）
12．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 边上的中线，若
B = 25°，则 ADB的度数为 °．
13．（23-24 八年级下·广西南宁·期中）在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到
地面还多出了 2 米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部 6
米（如图所示），则旗杆的高度为 米．
14．（22-23 八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片 ABC 中， ACB = 90°， BC = 5 ， AB =12，点
E 在线段 AB 上，将VABC 沿着CE折叠，CA的对应边CD刚好过点 B，则 BE 的长 ．
15．（22-23 八年级上·重庆合川·期末）如图，在VABC 中， AD 为BC 边的中线，E 为 AD 上一点，连接 BE
并延长交 AC 于点F ，若 AEF = FAE ，BE = 4， EF = 1.6 ，则CF 的长为 ．
16．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在VABC 中， C = 90°，BC = 30cm,CA = 40cm ，动点 P 从点
C 出发，以5cm/s的速度沿折线C A B移动到 B，当点 P 在CA上运动时，则点 P 出发 秒时，
VBCP 为等腰三角形；当点 P 在 AB 上运动时，则点 P 出发 秒时，VBCP 为等腰三角形．
三、解答题（8 小题，共 68 分）
17．（23-24 八年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC 中， C = 90°， BC = a， AC = b， AB = c
(1)若 a =1，b = 2 ，求 c．
(2)若a =15， c=17，求 b．并求斜边上的高．
18．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，A ，E ， B ，D在同一直线上，FE ^ AD，CB ^ AD ，
AE = DB ， AC = DF ，若 D = 25°，求 C 的度数．
19．（22-23 八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为 1，请按要求画出图
形．
(1)已知点 A 在格点上，画一条线段 AB ，使 AB = 10 ，且点 B 在格点上；（画出一个即可）
(2)以上题中所画线段 AB 为边画一个等腰直角VABC ，使点 C 在格点上．（画出一个即可）
20．（22-23 八年级上·浙江舟山·期末）在VABC 中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中
1
点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
21．（22-23 八年级上·浙江丽水·期中）如图，在 Rt△ABC 中， ACB = 90°， A = 60°，D 是边 AB 的中点，
以点 D 为直角顶点向 AB 上方作等腰直角三角形DEF ，边DE 经过点 C，DF 与BC 交于点 G．
(1)求证：VACD是等边三角形；
(2)若 AC = 3 ，G 为DF 的中点，求CE的长．
22．（23-24 八年级上·浙江温州·期中）为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不
同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工
测量角度的仪器、皮尺等
具
测量小
第一小组 第二小组
组
测量方
案示意
图
如图 1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长
设计方
在地面确定点 C，并测得旗杆顶端 度FP为 2 米．
案及测
A 的仰角，即 ACB = 45°． 如图 2，绳子斜拉直后至末端点 P 位置，测量点 P 到地面的
量数据
距离PD为 1 米，以及点 P 到旗杆 AB 的距离PE为 9 米．
第一小组要测旗杆 AB 的高度，只需要测量的长度为线段
任务一 判断分析
______，并说明理由．
任务二 推理计算 利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度 AB ．
23．（21-22 八年级上·江苏淮安·阶段练习）图，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm，BC =12cm ，
AC = 20cm ， P 、Q是VABC 边上的两个动点，其中点 P 从点A 开始沿 A B 方向运动，且速度为每秒
1cm，点Q从点 B 开始沿B C A方向运动，且速度为每秒 2cm ，它们同时出发，设出发的时间为 t秒．
(1) BP = _____（用 t 的代数式表示）
(2)当点Q在边BC 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以BC 或BQ为底边的等腰三角形？
24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图 1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分别以 AB 、BC 为边
向外作△ABD 与VBCE ，且DA = DB ，EB = EC ， ADB = BEC = 90°，连接DE 交 AB 于点F ．
(1)探究： AF 与 BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图 3，若 ADB = BEC = m ABC ，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接
写出m 的值．
