第 12 讲 特殊三角形必考题型汇总（17 大题型）
【精选浙江地区最新考试题型】
【必考题型一 根据轴对称图形的特征进行求解】
1．如图，VABC 与VA B C 关于直线 l对称， A = 45°, B =110° ，则 C 度数为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．35°
2．如图，点 P 是 AOB内部一点，点P ，P 分别是点 P 关于OA，OB 的对称点，且P P = 8cm，则VPMN
的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
3．如图，在VABC 中，点 D，E 分别在边 AB ，BC 上，点 A 与点 E 关于直线CD对称．若 AB = 7 ，
AC = 9，BC =13，则VDBE的周长为 ．
4．如图，在VABC 中， C = 90°， AC = BC = 4，射线 BC 上有一点 P ，M ， N 分别为点 P 关于直线 AB ，
AC 的对称点，连接 BM ，若BM = 3BN ，则BP的长为 ．
5．如图，在8 8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一格点VABC （即三角形的顶点
都在格点上）．
(1)在图中作出VABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1；
(2)若有一格点 P 到点 A，B 的距离相等，则网格中满足条件的点 P 有__________个；
(3)在直线 l 上找到一点 Q，使QB + QC 的值最小．
6．如图，VABC 和VADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．
(1)图中点C 的对应点是点 ， B 的对应角是 ；
(2)若DE = 5，BF = 2，则CF 的长为 ；
(3)若 BAC =108° ， BAE = 30°，求 EAF 的度数．
【必考题型二 等腰三角形的判定】
1．在VABC 中， AB = AC ， A = 36°，D 为线段 AC 上一点，且点 D 到 AB 、BC 距离相等，则△ABD 的
形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
2．VABC 的三边分别是 a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． A : B : C = 2 : 2 : 3 B． a : b : c = 2 : 2 : 3
C． B = 50°， C = 80° D． 2 A = B + C
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，则VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
4．如图， AD 是VABC 的边BC 上的高，下列条件中能推出VABC 是等腰三角形的是 ．（把所有正
确答案的序号都填写在横线上）
① BAD = ACD ；② BAD = CAD ；③ AB + BD = AC + CD．
5．如图，在锐角VABC 中，点 E 是 AB 边上一点，BE = CE ， AD ^ BC 于点 D， AD 与 EC 交于点 G．
(1)求证：△AEG 是等腰三角形．
(2)若BE =10，CD = 3，G 为CE中点，求 AG 的长．
6．已知：如图VABC 中 AC = 6cm，AB = 8cm，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，过 D 作直线平行于BC
交 AB ， AC 于 E，F．
(1)求证：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周长．
【必考题型三 等腰三角形的性质】
1．如图，点 D 是等腰RtVABC 的边BC 上的一点，过点 B 作BE ^ AD于点 E，连接 ，若 AE = 4，则 SVAEC
的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点F ，交BC 于点E ，若VABC
周长为 16， AC = 6 ，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
3．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，连结CD．若
ACD = 20°，则 A = °．
4．如图，将等腰VABC ( A是锐角)沿BD对折，使得点A 落在射线BC 上的E 点处，再将△DCE 沿CD对
折得到VDCF ，若DF 刚好垂直于BC ，则 A的大小为 ° .
5．如图，在VABC 与VADE 中，E 在BC 边上， AD = AB ， AE = AC ， 1 = 2，
(1)求证：△ABC ≌△ADE．
(2)若 EAC = 36°，求 BED的度数．
6．如图，已知 AB = AD ， BAD = CAE ， B = D， AD 与BC 交于点 P ，点C 在DE 上．
(1)求证： AC = AE ；
(2)若 B = 36°， APC = 72°．
①求 E的度数；
②求证：CP = CE ．
【必考题型四 等边三角形的判定】
1．在VABC 中， A = 60°，添加下列一个条件后，仍不能判定VABC 为等边三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角
形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．在VABC 中， AB = AC ，要使VABC 是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出
一种情况）
4．如图，在VABC 中， AB = AC， A =120°，DE ，GF 分别是 AB ， AC 的中垂线，BC = 30cm ，则
EG = cm．
5．如图所示，在 VABC 中， B = 60°，AB = AC ，点D，E分别在BC，AB 上，且 BD = AE，AD 与CE
交于点 F．
(1)求证： VABC 是等边三角形；
(2)求证： AD = CE；
(3)求 ∠DFC 的大小．
6．如图，点 E 在VABC 的外部，点 D 在BC 上，DE 交 AC 于点 F， 2 = 3， AE = AC ，DE = BC ．
(1)求证：△ABC ≌△ADE ．
(2)若 2 = 60°，猜想△ABD 的形状并证明．
【必考题型五 等边三角形的性质】
1．如图，△DAC 和VEBC 均是等边三角形，A、C、B 三点共线，AE 与 BD 相交于点 P，AE 与 BD 分别与
CD，CE 交于点 M，N．则下列结论：①VACE≌VDCB ；②DC∥EB；③ AC = DN ；④ EM = BN ；⑤
CMN = 80°．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．如图，过边长为3的等边VABC 的边 AB 上一点 P ，作PE ^ AC 于E ，Q为BC 延长线上一点，且
CQ = PA，连接 PQ交 AC 于点D，则DE 的长为（ ）
3 5
A．1 B． C． 2 D．
2 2
3．如图，点 P、M、N 分别在等边三角形 ABC 的各边上，且MP ^ AB 于点 P，MN ^ BC 于点 M， NP ^ AC
于点 N，若 AB =16cm，则CM 的长为 ．
4．如图，在等边VABC中，D 为 BC 延长线上一点，E 为 上一点，过点 B 作 BF P AC ，连接 DF ， EF ，
且 DFE = 60°．若BF = 5 ，BD = 5，则BE的长度是 ．
5．以VABC 的边 AB、AC 为边向外分别作等边△ABD 、等边△ACE，连接DC、BE ，DC 与 BE 交于 O，
连接 AO ．
(1)求证：BE = CD；
(2)求证：OA平分 DOE ；
(3)请问线段DO 与线段BO、AO之间有什么数量关系？请说明理由．
6．如图，点 O 是等边VABC 内一点，D 是VABC 外的一点， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
连接OD ．
(1)求证：VOCD是等边三角形；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【必考题型六 格点中的等腰三角形】
1．如图，在3 3的方格中，A，B 两点都在小方格的格点上，若点 C 也在格点上，且VABC 是等腰三角形，
那么点 C 的个数最多是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点 A，B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，如果以 A，B，C 为顶点的三
角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点 C 有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在3 4正方形的网格中，点 A，B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C ，且使VABC
是等腰三角形，则点C 的个数为
．
4．如图，由 36 个完全相同的小正方形组成的网格中，点 A，B 在格点上，在网格的格点上找到点 C，使VABC
为等腰三角形，这样的点 C 共有 个．
5．在如图所示的方格纸中，VABC 是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
(1)在图 1 中画一个△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等．
(2)在图 2 中画一个等腰VABE ，使得VABE 和VABC 的面积相等．
6．在如图的5 5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为 1，如图，VABC 的顶点均在格点上，请按
要求作格点图形．
(1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点 P，使得△APC 与VABC 全等；
(2)在图（乙）中，在 AC 右侧的小正三角形顶点上求作点 G（除 E 点外），使VACG 为等腰三角形且
GA = GC ．
【必考题型七 逆命题和逆定理】
1．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等．
C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形．
2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
3．命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”）
4．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
5．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图
形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图， ABP = CBP，点 D 在射线BP上， ，
求证： ．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按小颖的想法写出证明过程．
(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
6．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们
进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知
和求证．
已知：如图，直线 l 为线段 AB 的垂直平分线，点 P 为 l 上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
【必考题型八 含 30°角的直角三角形】
1．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交 于点
E、D，则 DCE 的值为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
2．如图，已知 AOB = 60°，OC 平分 AOB，点 P 在OC 上，PD ^ OA于点 D，OP = 6，点 E 是射线OB
上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
3．如图，一副三角板拼在一起，O 为 AD 的中点， AB = 4．将VABO 沿 BO 对折至△A BO ，M 为 BC 上的
动点，则 A'M 的最小值为 ．
4．如图 MAN = 60°，若VABC的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB = 2 ，动点C 从点A 出发，以每秒1个单位沿
射线 AN 运动．
（1）当运动时间 t是 秒时，VABC是直角三角形．
（2）当运动时间 t的取值范围是 秒时，VABC是钝角三角形．
5．如图，VABC 中，D 是BC 边的中点，BE ^ AC ，CF ^ AB，垂足分别是点 E，F，连接DE ，DF ．
(1)求证：DE = DF ．
(2)若 A = 75°， BC = 8，连接EF ，求VDEF 的面积．
6．如图 1，VABC 是等边三角形，D，E 为 AC 上两点，且 AD = CE ，延长BC 至点F ，使CF = CD ，连结
BD, EF ．
(1)如图 2，当 D，E 两点重合时，求证：BD = DF ；
(2)如图 3，延长FE交线段 于点G ．
①求 DGE 的度数；
②若 AD = 2, AB = 6，求点 C 到EF 的距离．
【必考题型九 斜边的中线等于斜边的一半】
1．如图， AD ， BE 均为VABC 的高，且 AB = AC ，连结DE 交 AB 于点 O，若 C = 28°，则 OEB的度数
为（ ）
A．62° B．60° C．58° D．56°
2．如图，在Rt△ABC 中，BC 的中垂线与BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 BE ，F 为 BE 的中点，若
DF = 2，则 AE 的长为（ ）
A．5 B． 2 3 C．4 D．3
3．如图，在四边形 ABCD中，O 是CD的中点， AC = AD, CAD = CBD = 90°，若CD = 2AB ，则
DCB = ．
4．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D为 AB 的中点， B = 30°，点E 在BC 上，且CE = AC ，则 CDE
的大小为 ．
5．在VABC 中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC
1
、 BE 边上的中点，且 BD = AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
6．如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AB 上的一点，E 是CB 延长线上一点，连接CD、DE ，已知
EDB = ACD ．
(1)求证：VDEC 是等腰三角形．
(2)当 BDC = 5 EDB ，EC = 8时，求△EDC 的面积．
【必考题型十 直角三角形全等的判定】
1．如图，在VABC 中，AB =10cm，AC =14cm，边BC 的垂直平分线DE 交VABC 的外角 CAM 的平分线
于点 D，垂足为 E，DF ^ AC 于点 F，DG ^ AM 于点 G，连接CD．则 AG 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90o ，BP平分 ABC 交 AC 于点 P，PE ^ AB于点E ，若 BC = 8，
AC = 6 ，则△AEP 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图， AE 是 CAM 的角平分线，点 B 在射线 AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，则 BEF = ．
4．如图，在VABC 中， AD ^ BC 于点 D，在 AD 上取点 F，使得BF = AC =10, DF = CD = 6，连接 BF 并延
长交 AC 于点 E，则BE = ．
5．如图，已知 AD ， AF 分别是两个钝角VABC 和VABE 的高，如果 AD = AF ， AC = AE ．
求证：
(1) BD = BF
(2) BC = BE
6．如图，在VABC 中， AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB于 E，BD = DF ．
(1)求证：CF = EB．
(2)若 BAD = 20°，求 CDF 的度数．
【必考题型十一 勾股定理的证明方法】
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发
现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出
了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在四边形 ABDE 中， AB∥DE ， AB ^ BD，点C 是边 上一点， BC = DE = a ，CD = AB = b，
1 1 1
AC = CE = c．下列结论：①VABC ≌ VCDE；② ACE = 90 2° 2；③ a + b - c = 2 ab ；④该图可以验
2 2 2
证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形 ACFG 沿分割线 JK ，LM 分割
成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形 ABED 拼成大正方形BCHI ．若 AB = 2.BC = 29 ，则 AL
的长为 ．
4．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，
在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AC 和BC 为边，按如图所示的方式作正方形 ABKH ，ACIG 和BCFD ，KH
与CI 交于点 J， 与DF 交于点 E，KH 与CI 交于点 J，AB 与DF 交于点 E．若四边形BCFE 和VHIJ 的面
积和为 5，四边形 ACJH 和VBDE 的面积和为 12，则 AC + BC 的值为 ．
5．如图，对任意符合条件的直角三角形 BAC ，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得VDAE，所以 BAE = 90°，
且四边形 ACFD是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形 ABFE 面积等于Rt△BAE 和
Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
6．勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元 222 年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中
介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图 1 的大正方形，采用面积法证
明 c2 = a2 + b2 ．
（1）类比证明：伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）于 1876 年 4 月 1 日《新英格兰教育日志》上证明
勾股定理．在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，易证△ABC ≌△CDE ．
请你用两种不同的方法表示梯形 ABDE 的面积（图 2），并证明： c2 = a2 + b2 ；
（2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别
按下列要求画三角形．
①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三
角形，使它的面积为 4．
（3）拓展应用：如图 3，在直线 l 上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是 2、3，正放
三个正方形的面积依次是 S1， S2， S3 ，则 S1 + 2S2 + S3 = ______（直接写出答案）
【必考题型十二 用勾股定理解三角形】
1．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合
而成，如图，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，则 AC 2 - AD2 的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
2．如图，在等腰直角三角形 ABC 纸片中， C = 90°，D 是BC 的中点，将VABC 折叠，使点 A 与点 D 重
合，EF 为折痕．若 AB = 2 ，则 的长为（ ）
3 5 3
A B 1． ． C． D．
4 8 8 4
3．如图，VABC 是等边三角形，点E 为 AC 上一点，且 CBE =15° ，现将△CBE 沿直线 BE 折叠得到
VDBE，BD与 AC 交于F ，GH 垂直平分 BE ，若EC = 2，则BG = ．
4．如图，在VABC 中， ACB = 60°，BC = 3，分别以 ， AC 为边在VABC 外作等边△ABD 和等边
△ACE，连结BE， ．
（1）若 BEC = 25°，则∠CBE = °；
（2）若 AC = 4，则 的长为 ．
5．如图，在VABC 中 (AB < BC) ，过点C 作CD∥ AB ，在CD上截取CD = CB ，CB 上截取CE = AB ，连接
DE ，DB．
(1)求证：VABC≌VECD．
(2)若 A = 90°， AB = 3，CD = 5，求BD的长．
6．如图 1，VABC 2中，CD ^ AB 于 D，且BD : AD : CD = 2 : 3 : 4，若 SVACD = 24cm ．
(1)求BD和 AC 的长；
(2)如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒的速度沿线段BA向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿
线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点 M 运动的时间为 t（秒）．
①若VAMN 是以点 A 为顶点的等腰三角形时，求 t 的值；
②若点 E 是边 AC 上一点，且DE = EC ，问在点 M 运动的过程中，VMDE 能否成为等腰三角形？若能，求
出 t 的值；若不能，请说明理由．
【必考题型十三 勾股定理中的折叠问题】
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， C = 90°， AB = 5cm，BC = 3cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落在
直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为 AD ，则CD的长为（ ）
A．1cm 4
5
B． cm C3 ．1.5cm D． cm3
2．如图，在Rt△ABC 中， B = 90°，AB = 9，BC = 6．将VABC 折叠，使点A 落在BC 的中点D处，折痕
为MN ，则线段DN 的长为（ ）
A 3 13
9
． B． C．5 D．4
2 2
3．如图，在直角三角形纸片 ABC 中，∠C = 90o ，AC = 6 ，BC = 8，点D在边BC 上，以 AD 为折痕，将△ABD
折叠得到VAB D， AB 与边BC 相交于点E ．若 △DEB 为直角三角形， 则BD的长是
4．如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，点D是边BC 上一点，将△ABD 沿直线 AD 折叠，
点 B 的对应点为点B ，当 B D 平行于VABC 的一条边时，BD的长为 ．
5．如图，将长方形纸片 ABCD沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， AB = 4， BC = 8
(1)试判断折叠后重叠部分VAFC 的形状，并说明理由．
(2)求重叠部分VAFC 的面积．
6．如图，已知长方形纸片 ABCD，AB = 4，BC = 3，点 P 在BC 边上，将△CDP沿DP折叠，点C 落在点E
处，PE，DE 分别交 AB 于点O，F ，且OP = OF ．
(1)求证：△BOP≌△EOF ；
(2)求证：CP = BF ；
(3)求DF 的长．
【必考题型十四 勾股定理的逆定理】
1．如图，在VABC 中， AB = 2，BC = 3，以 AC 为边作正方形 ACDE ，若正方形 ACDE 的面积是 13，则阴
影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
2．已知VABC 的三边长分别为 a，b ， c，且 a - 6 + b -8 + c -10 2 = 0，则VABC 是（ ）
A．以 a为斜边的直角三角形 B．以b 为斜边的直角三角形
C．以 c为斜边的直角三角形 D．等边三角形
3．如图，正方形 ABDE 的面积是 169 平方厘米，正方形CAFG面积是 144 平方厘米，正方形BCHK 的面积
是 25 平方厘米，则阴影四边形 AGHP 的面积是 平方厘米．
4．如图，以VABC 的每一条边为边，在边 AB 的同侧作三个正三角形△ABD 、VBCE 和△ACF ．已知这三
个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则
FCE = °．
5．如图，在四边形 ABCD中， ABC = 90°， AB = 3 ，BC＝2 ，CD = 7 ，DA = 14 ，求四边形 ABCD
的面积．
6．笔直的河流一侧有一营地 C，河边有两个漂流点 A，B，其中 AB = AC ．由于周边施工，由 C 到 A 的路
现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点 H（A，H，B 在同一直线上），并新修一条路CH ，测
得BC =10千米，CH = 8千米，BH = 6 千米．
(1)判断VBCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线 AC 的长．
【必考题型十五 勾股定理的应用】
1．如图，在离水面点 A 高度为8m 的岸上点 C 处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17m，此
人以1m/ s的速度收绳，7s后船移动到点 D 的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）．
A．9 米 B．8 米 C．7 米 D．6 米
2．如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯
子外面的长度为 h，则 h 的取值范围是（ ）
A． h 17cm B． h 8cm C．15cm h 16cm D．7cm h 16cm
3．如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 160 米处有一所学校 A，当重型运输
卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心，100 米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡
车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 36 千米/时，
则对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离是 米；重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给
学校 A 带来噪声影响的时间是 秒．
4．《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几
何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高 1 丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端
落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面
上，则木杆长为 尺．”（说明：1 丈=10 尺）
5．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子
的长度未知，
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 1 米；
第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点 C，再测量绳子底端 C 与旗杆根部 B 点之间的距
离，测得距离为 5 米；
【问题解决】设旗杆的高度 为 x 米，通过计算请你求旗杆的高度．
6．如图一架 25 米长的梯子 AB 斜靠在一面墙上，梯子底端 B 到墙底的垂直距离BC 为 7 米．
(1)求这个梯子的顶端 A 到地面的距离 AC 的值；
(2)如果梯子的顶端 A 沿墙 AC 竖直下滑 4 米到点 D 处，求梯子的底端 B 在水平方向滑动了多少米？
【必考题型十六 最短路径问题】
1．如图，长方体的底面边长分别为 2 厘米和 4 厘米，高为 5 厘米．若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬
行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B．10 C．12 D．13
2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB =18cm，BC =12cm ，BF =10cm ，点 M 在棱 AB 上，
且 AM = 6cm ，N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短
路程为（ ）
A． 20cm B．2 106cm C． 12 + 2 34 cm D．18cm
3．如图，在公路 l 的一侧有 A，B 两个工厂，A，B 到公路的垂直距离分别为1km和3km ，A，B 之间的水平
距离为3km ．现要在公路 l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km．
4．如图，在VMNG中，MN = 4 2 ， M = 75°，MG = 3，点O是VMNG内一点，则点O到VMNG三个顶
点的距离和的最小值是 ．
5．如图，长方体的长为 20cm ，宽为10cm，高为15cm，点 B 与点C 之间的距离为5cm，一只蚂蚁要沿着长
方体的表面从点A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖．
(1)求点A 到点 B 的距离；
(2)蚂蚁从点A 爬到点 B 的最短路程是多少？
6．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝
招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信
息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为 30cm，从点 A 绕一圈到点 B，葛藤升高 40cm，则它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为 40cm，绕一圈爬行 50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？
【必考题型十七 特殊三角形压轴大题】
1．如图 1，在等边VABC 中，线段 AM 为BC 边上的高线．动点D在线段 AM （点D与点A 重合除外）上
时，以CD为一边且在CD的下方作等边VCDE，连结 BE ．
(1)判断 AD 与 BE 是否相等，请说明理由；
(2)如图 2，若 AB =12, P,Q 两点在直线 BE 上且满足CP = CQ =10，试求 PQ的长．
(3)在第（2）小题的条件下，当点D在线段 AM 的延长线（或反向延长线）上时，判断 PQ的长是否为定值，
若是，请画出图形并求出 PQ的长；若不是，请简单说明理由．
2．图，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm， BC =12cm ， AC = 20cm ， P 、Q是VABC 边上的两个动点，
其中点 P 从点A 开始沿 A B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点 B 开始沿B C A方向运动，且
速度为每秒 2cm ，它们同时出发，设出发的时间为 t秒．
(1) BP = _____（用 t 的代数式表示）
(2)当点Q在边BC 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以BC 或BQ为底边的等腰三角形？
3．
【基础巩固】（1）如图 1，在 VABC 与 VADE 中， AB = AC, AD = AE, BAC = DAE ，求证：
△AEC≌△ADB ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 VABC 与 VADE 中， AB = AC, AD = AE, BAC = DAE = 90°, B、D、E
三 点在一条直线上， AC 与 BE 交于点 F ，若点 F 为 AC 中点，
① 求 BEC 的大小； ②CE = 2 ，求 △ACE 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， VABC 与 VADE 中， AB = AC, DA = DE, BAC = ADE = 90°, BE 与 CA
交于点 F , DC = DF ,VBCF 的面积为 32，求 AF 的长．
4．如图 1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分别以 AB 、BC 为边向外作△ABD 与VBCE ，且 DA = DB ，
EB = EC ， ADB = BEC = 90°，连接DE 交 AB 于点F ．
(1)探究： AF 与 BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
(2)如图 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图 3，若 ADB = BEC = m ABC ，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接
写出m 的值．第 12 讲 特殊三角形必考题型汇总（17 大题型）
【精选浙江地区最新考试题型】
【必考题型一 根据轴对称图形的特征进行求解】
1．如图，VABC 与VA B C 关于直线 l对称， A = 45°, B =110° ，则 C 度数为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得 B = B =110°，再由三角
形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：Q VABC 和VA B C 关于直线 l对称， B =110°，
\ B = B =110°，
又∵ A = 45° ，
\ C =180° - A - B =180° - 45° -110° = 25°，
故选：C．
2．如图，点 P 是 AOB内部一点，点P ，P 分别是点 P 关于OA，OB 的对称点，且P P = 8cm，则VPMN
的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可得PM = P M , PN = P N ，再根据三角形的周长计算方法即可解答．
【详解】解：∵点P ，P 分别是点 P 关于OA，OB 的对称点，
∴PM = P M , PN = P N ，
∴VPMN 的周长= PM + MN + PN = P M + MN + P N = P P = 8cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等．
3．如图，在VABC 中，点 D，E 分别在边 AB ，BC 上，点 A 与点 E 关于直线CD对称．若 AB = 7 ，
AC = 9，BC =13，则VDBE的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得 AD = DE ， AC = CE = 9 ，进而得出
BE = BC - CE = 4，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点 A 与点 E 关于直线CD对称，
∴ AD = DE ， AC = CE = 9 ，
∵BC =13，
∴BE = BC - CE =13- 9 = 4 ，
∴VDBE的周长= BD + DE + BE = BD + AD + BE = AB + BE = 7 + 4 =11．
故答案为：11．
4．如图，在VABC 中， C = 90°， AC = BC = 4，射线 BC 上有一点 P ，M ， N 分别为点 P 关于直线 AB ，
AC 的对称点，连接 BM ，若BM = 3BN ，则BP的长为 ．
【答案】6 或12 /12 或 6
【分析】分两种情形：如图 1 中，当点 N 在线段BC 上时，如图 2 中，当点 N 在CB 的延长线上时，分别求
解可得结论．
【详解】解：如图 1 中，当点 N 在线段BC 上时．
QM ， N 分别为点 P 关于直线 AB ， AC 的对称点，
\ BM = BP，CN = CP，
QBM = 3BN ，
\ PB = 3BN ，
\ BN = CN = PC = 2，
\PB = 6．
如图 2 中，当点 N 在CB 的延长线上时，同理可得 PB = 3BN ，
设 PC = CN = x ，则BN = x - 4，PB = 4 + x，
\4 + x = 3(x - 4) ，
\ x = 8，
\ PB = 4 + 8 = 12．
故答案为：6 或 12．
【点睛】本题考查轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
5．如图，在8 8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一格点VABC （即三角形的顶点
都在格点上）．
(1)在图中作出VABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1；
(2)若有一格点 P 到点 A，B 的距离相等，则网格中满足条件的点 P 有__________个；
(3)在直线 l 上找到一点 Q，使QB + QC 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)见解析
【分析】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴
对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出对应点 A1, B1,C1，然后顺次连接即可；
（2）利用网格，作线段 AB 的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点 P 的位置；
（3）连接CB1 ，交直线 l 于点 Q，连接BQ，此时QB + QC 的值最小．
【详解】（1）解：如图：△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图：P1，P2，P3，P4 满足到点 A，B 的距离相等，
∴网格中满足条件的点 P 有 4 个．
故答案为：4．
（3）解：如图，点 Q 即为所求．
6．如图，VABC 和VADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．
(1)图中点C 的对应点是点 ， B 的对应角是 ；
(2)若DE = 5，BF = 2，则CF 的长为 ；
(3)若 BAC =108° ， BAE = 30°，求 EAF 的度数．
【答案】(1)E， D
(2)3
(3)39°
【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：
（1）观察图形可直接得出答案；
（2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得△ABC ≌△ADE ，根据全等三角形对应边相等即可求解；
（3）根据 BAC =108° ， BAE = 30°，推出 CAE =108° - 30° = 78°，根据对称性得到 EAF = CAF ，推
EAF 1出 = CAE = 39°．
2
【详解】（1）解：∵VABC 和VADE 关于直线MN 对称，
∴图中点 C 的对应点是点 E， B 的对应角是 D；
故答案为：E， D．
（2）解：∵VABC 和VADE 关于直线MN 对称，
∴△ABC ≌△ADE ，
∴BC = DE = 5，
∵BF = 2，
∴CF = BC - BF = 3．
故答案为：3．
（3）解：∵ BAC =108° ， BAE = 30°，
∴ CAE =108° - 30° = 78°，
根据对称性知， EAF = CAF ，
1
∴ EAF = CAE = 39°．
2
【必考题型二 等腰三角形的判定】
1．在VABC 中， AB = AC ， A = 36°，D 为线段 AC 上一点，且点 D 到 AB 、BC 距离相等，则△ABD 的
形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【分析】根据等边对等角求出 ABC = 72°，再根据角平分线的判定得到点 D 在 ABC 的平分线上，即可求
出 ABD = A，即可证明等腰三角形．
【详解】解：∵ AB = AC ， A = 36°，
∴∠ABC =∠ACB
1
= 180° - 36° = 72°，
2
∵点 D 到 AB 、BC 距离相等，
∴点 D 在 ABC 的平分线上，
∴ ABD
1
= ABC = 36° = A，
2
∴△ABD 为等腰三角形，
故选 C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是利用等腰三角形的性质求
出相应角度，且能判定角平分线．
2．VABC 的三边分别是 a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． A : B : C = 2 : 2 : 3 B． a : b : c = 2 : 2 : 3
C． B = 50°， C = 80° D． 2 A = B + C
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
2 360
【详解】解：A、因为 A : B : C = 2 : 2 : 3， A + B + C =180°，所以 A = B =180° = 2 + 2 + 3 ÷ ÷
°，
è è 7
所以VABC 是等腰三角形；
B、因为 a : b : c = 2 : 2 : 3，所以设 a = b = 2x，则有两边相等的VABC 是等腰三角形；
C、因为 A + B + C =180°，所以 A =180° - B - C =180° - 50° -80° = 50°，则 A = B ，所以VABC
是等腰三角形；
D、因为 2 A = B + C ， A + B + C =180°，则 A + 2 A =180°，那么 A = 60°， B + C =120° ，
不能判定是等腰三角形．
故选：D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内
角和定理是解题的关键．
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，则VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得 A的度数，
从而得到 A = C ，进而得到BC = AB，即可求解．
【详解】解：∵ B = 50°，∠C = 65°，
∴ A =180° - B - C = 65°，
∴ A = C ，
∴BC = AB，
∴VABC 是等腰三角形．
故答案为：是
4．如图， AD 是VABC 的边BC 上的高，下列条件中能推出VABC 是等腰三角形的是 ．（把所有正
确答案的序号都填写在横线上）
① BAD = ACD ；② BAD = CAD ；③ AB + BD = AC + CD．
【答案】②③/③②
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和三角形全等的判定，解题关键是结合图形灵活解决问题．由
BAD = ACD 无法确定VABC 是等腰三角形；根据ASA 证明△ABD≌△ACD可判定VABC 是等腰三角形；
延长DB至点 E，使 BE = AB ，延长DC 至点 F，使CF = AC ，连接 AE, AF ．先证明 E = F ，再证明
∠ABC = ACB ，可判定VABC 是等腰三角形．
【详解】解：①无法判定VABC 是等腰三角形；
②当 BAD = CAD 时，
Q AD 是 BAC 的平分线，
∴ BAD = CAD ．
∵ AD 是边BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°．
∴ AD = AD，
∴VABD≌VACD ASA ，
∴ AB = AC ，
\VBAC 是等腰三角形；
③如答图，延长DB至点 E，使 BE = AB ，延长DC 至点 F，使CF = AC ，连接 AE, AF ．
Q AB + BD = CD + AC ，
\DE = DF ．
又Q AD ^ BC ，
∴ AD 是EF 的垂直平分线，
∴ AE = AF ，
\ E = F ．
Q AB = BE ，
\ ABC = 2 E ．
同理 ACB = 2 F ，
\ ABC = ACB ，
∴ AB = AC ，
VABC 是等腰三角形．
故答案为：②③．
5．如图，在锐角VABC 中，点 E 是 AB 边上一点，BE = CE ， AD ^ BC 于点 D， AD 与 EC 交于点 G．
(1)求证：△AEG 是等腰三角形．
(2)若BE =10，CD = 3，G 为CE中点，求 AG 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的
辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得 ADB = ADC = 90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
B + BAD = 90°， DCG + DGC = 90°，再利用等腰三角形的性质可得 B = DCG，然后利用等角的余
角相等可得 BAD = DGC ，再根据对顶角相等可得 AGE = DGC ，从而可得 BAD = AGE ，最后利用
等角对等边即可解答；
（2）如图：过点 E 作EF ^ AG ，垂足为 F，利用等腰三角形的三线合一性质可得 AG = 2FG，再根据线段
1
中点的定义可得 EG = GC = EC = 52 ，然后利用
AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得
FG = DG ，最后在Rt△CDG 中，利用勾股定理求出DG 的长，从而求出 FG 的长即可解答．
【详解】（1）证明：∵ AD ^ BC ，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ B + BAD = 90°， DCG + DGC = 90°，
∵EB = EC ，
∴ B = DCG，
∴ BAD = DGC ，
∵ AGE = DGC ，
∴ BAD = AGE ，
∴EA = EG，
∴△AEG 是等腰三角形；
（2）解：图：过点 E 作EF ^ AG ，垂足为 F，
∴ EFG = 90°，
∵EA = EG，EF ^ AG，
∴ AG = 2FG，
∵G 为CE中点，
∴EG = GC
1
= EC ，
2
∵EB = EC =10，
∴GC
1
= EC = 5，
2
∵ EFG = CDG = 90°， EGF = CGD ，
∴VEFG≌VCDG AAS ，
∴ FG = DG ，
在Rt△CDG 中，CD = 3，
∴DG = CG2 - CD2 = 52 - 32 = 4，
∴FG = DG = 4，
∴ AG = 2FG = 8，
∴ AG 的长为 8．
6．已知：如图VABC 中 AC = 6cm，AB = 8cm，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，过 D 作直线平行于BC
交 AB ， AC 于 E，F．
(1)求证：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14cm
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定
是解题的关键．
（1）首先根据平行线的性质可得 FDC = DCB ，再根据角平分线的定义可得 FCD= BCD ，可得
FCD = FDC ，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE = BE ，根据△AEF 的周长= AE + AF + DE + DF = AB + AC ，求解即可．
【详解】（1）证明：QEF P BC ，
\ FDC = DCB ，
QCD 平分 ACB ，
\ FCD = DCB，
\ FDC = FCD，
\FD = FC ，
∴△DFC 是等腰三角形；
（2）QEF P BC ，
\ EDB = DBC ，
Q BD平分 ABC ，
\ EBD = DBC ，
\ EDB = EBD ，
\ED = EB，
Q AC = 6cm， AB = 8cm，
∴△AEF 的周长为： AE+EF+AF
= AE+ED+FD+AF
= AE+EB+FC+AF
= AB+AC
= 8 + 6
=14 cm ．
【必考题型三 等腰三角形的性质】
1．如图，点 D 是等腰RtVABC 的边BC 上的一点，过点 B 作BE ^ AD于点 E，连接 ，若 AE = 4，则 SVAEC
的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形吗，三角形的面积，过C 作CH ^ AD于 H ，
由VABC是等腰直角三角形， 得到 BAC = 90°, AB = AC ， 由余角的性质推出 CAH = ABE ， 由AAS
推出VABE≌VCAH ， 得到CH = AE = 4，即可求出面积．
【详解】解：过C 作CH ^ AD于 H ，
∵VABC是等腰直角三角形，
∴ BAC = 90°, AB = AC ，
∵BE ^ AD于E ，
∴ CAH + BAE = ABE + BAE = 90°，
∴ CAH = ABE ，
∵ AHC = AEB = 90°, AB = AC ，
∴VABE≌VCAH AAS ，
∴CH = AE = 4，
S 1 1\ VACE = AE ×CH = 4 4 = 8，2 2
故选：B．
2．如图，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点F ，交BC 于点E ，若VABC
周长为 16， AC = 6 ，则DC 为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出 AB + BC ，
根据线段垂直平分线的性质得到EA = EC ，根据等腰三角形的性质得到BD = DE，结合图形计算，得到答
案．
【详解】解：QVABC 周长为 16，
\ AB + BC + AC = 16，
Q AC = 6，
\ AB + BC =10，
QEF 垂直平分 AC ，
\ EA = EC ，
Q AB = AE ， AD ^ BC ，
\BD = DE，
1
\ AB + BD = AE + DE = (AB + BC) = 5，
2
\DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，连结CD．若
ACD = 20°，则 A = °．
【答案】50
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．根据三角
形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：Q在Rt△ABC 中， ACB = 90°， ACD = 20°，
\ BCD = 70°，
∵BC = BD ，
∴ BDC = BCD = 70°，
∴ B =180° - BCD - BDC = 40°，
\ A =180° - B - ACB = 50°．
故答案为：50．
4．如图，将等腰VABC ( A是锐角)沿BD对折，使得点A 落在射线BC 上的E 点处，再将△DCE 沿CD对
折得到VDCF ，若DF 刚好垂直于BC ，则 A的大小为 ° .
【答案】45
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，外角的性质．由等腰三角形的性质可得
∠ABC = ACB ，由折叠的性质可得 A = E = F ， DCE = DCF ，由外角性质可求
BCF = A = E = F ，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：Q AB = AC ，
\ ABC = ACB ，
Q将等腰VABC ( A是锐角)沿BD对折，使得点A 落在射线BC 上的E 点处，
\ A = E，
Q将△DCE 沿CD对折得到VDCF ，
\ E = F ， DCE = DCF ，
Q DCE = ABC + A， DCF = ACB + BCF ，
\ BCF = A，
\ BCF = A = E = F ，
QDF ^ BC ，
\ BCF = F = 45°，
\ A = 45°，
故答案为： 45．
5．如图，在VABC 与VADE 中，E 在BC 边上， AD = AB ， AE = AC ， 1 = 2，
(1)求证：△ABC ≌△ADE．
(2)若 EAC = 36°，求 BED的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)36°．
【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC ≌△ADE．
（2）先根据全等三角形的性质得到 AE = AC ，则 AEC = C = 72°，根据平角的定义即可求出 BED的度
数．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）Q 1 = 2，
\ BAE + 1 = BAE + 2，即 BAC = DAE ，
ìAB = AD
在VABC 和VADE 中， í BAC = DAE，
AC = AE
\VABC ≌VADE(SAS)，
（2）Q AE = AC ，
\ AEC = C ，
又 EAC = 36°，
∴ AEC = C
1
= 180° - EAC = 72°，
2
又△ABC ≌△ADE ，
\ C = AED = 72°，
\ BED =180° - ( AED + AEC) =180° - (72° + 72°) = 36°．
6．如图，已知 AB = AD ， BAD = CAE ， B = D， AD 与BC 交于点 P ，点C 在DE 上．
(1)求证： AC = AE ；
(2)若 B = 36°， APC = 72°．
①求 E的度数；
②求证：CP = CE ．
【答案】(1)见解析
(2)①72° ②见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质：
（1）可证△BAC≌△DAE ，即可求得答案；
（2）①结合 BAD = APC - B， E = ACE 即可求得答案；②可先证△ACP≌△AEC ．
【详解】（1）∵ BAD = CAE ， BAC = BAD + DAC ， DAE = CAE + DAC ，
∴ BAC = DAE
在VBAC 和VDAE中，
ì B = D
íAB = AD ，
BAC = DAE
∴VBAC≌VDAE SAS ，
∴ AC = AE ．
（2）①∵ B = 36°， APC = 72°，
∴ BAD = APC - B = 36°
∴ CAE = BAD = 36°
∵ AC = AE ，
∴ E = ACE
1
= 180° - CAE = 72°；
2
②∵△BAC≌△DAE ，
∴ ACB = E ，
在△ACP和△AEC 中，
ì APC = ACE
í ACB = E
AC = AE
∴VACP≌VAEC AAS ，
∴CP = CE ．
【必考题型四 等边三角形的判定】
1．在VABC 中， A = 60°，添加下列一个条件后，仍不能判定VABC 为等边三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题
关键．根据选项所给条件逐一判断即可．
1
【详解】解：A、 AB = AC ，则 B = C = 180° - A = 60° ，VABC2 为等边三角形，不符合题意；
B、 AD ^ BC ，若D不是BC 的中点时，则VABC 不是等边三角形，符合题意；
C、 B
1
= C = 180° - A = 60° ，VABC2 为等边三角形，不符合题意；
D、 A = C = 60°，则 B=60°，VABC 为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角
形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为180°求得每个内角的度数为60°；④三边都
相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④；
故选 D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
3．在VABC 中， AB = AC ，要使VABC 是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出
一种情况）
【答案】 BAC = 60°（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形
的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判
定定理 2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案．
【详解】解：∵在VABC 中， AB = AC ，
∴VABC 是等腰三角形，
要使VABC 是等边三角形，只需添加 AB 、 AC 的夹角 BAC = 60°即可．
故答案为： BAC = 60°（答案不唯一）．
4．如图，在VABC 中， AB = AC， A =120°，DE ，GF 分别是 AB ， AC 的中垂线，BC = 30cm ，则
EG = cm．
【答案】10
【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判
1
定是解题的关键，连接 AE ， AG ，易证得△AEG 为等边三角形，即可得到EG = BC ，进而得到答案．
3
【详解】解：连接 AE ， AG ，如图所示，
∵ BAC =120° ， AB = AC ，
∴ B = C = 30° ，
∵DE ，GF 分别是 AB ， AC 的中垂线，
∴BE = AE, AG = CG ，
∴ B = EAB = 30°, C = GAC = 30° ，
∴ EAG = BAC - EAB - GAC = 120° - 30° - 30° = 60°，
在VABE 和VACG 中，
ì B = C
í EAB = GAC ，
AB = AC
∴VABE ≌ VACG，
∴ AE = AG，
∵ EAG = 60°，
∴△AEG 是等边三角形，
∴EG = AE = AG = BE = CG ，
EG 1 BC 1∴ = = 30 = 10 ，
3 3
故答案为：10．
5．如图所示，在 VABC 中， B = 60°，AB = AC ，点D，E分别在BC，AB 上，且 BD = AE，AD 与CE
交于点 F．
(1)求证： VABC 是等边三角形；
(2)求证： AD = CE；
(3)求 ∠DFC 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) DFC = 60°
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质．
（1）根据等边三角形的判定解答即可；
（2）求出 B = CAE，AC = AB，根据SAS证出VABD≌VCAE 即可；
（3）根据全等三角形的性质得出 BAD = ACE，根据三角形外角性质推出 DFC = BAC ，即可得出答
案．
【详解】（1）证明：∵ B = 60°，AB = AC ，
∴VABC 是等边三角形；
（2）∵VABC 是等边三角形，
∴ B = CAE = ACB = 60°，AC = AB ，
在△ABD 和VCAE 中，
ìAB = AC
í B = CAE ，
BD = AE
∴VABD≌VCAE SAS ，
∴ AD = CE ．
（3）∵VABD≌VCAE ，
∴ BAD = ACE，
∴ DFC = FAC + ACE = FAC + BAD = CAE = 60°．
6．如图，点 E 在VABC 的外部，点 D 在BC 上，DE 交 AC 于点 F， 2 = 3， AE = AC ，DE = BC ．
(1)求证：△ABC ≌△ADE ．
(2)若 2 = 60°，猜想△ABD 的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全
等的判定和性质．
（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）根据△ABC ≌△ADE ，得出 AB = AD ， B = ADE，求出 ADB
1
= BDE = 60°
2 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ 2 + AFE + E =180°，
∴ E = 180° - 2 - AFE ，
∵ 3+ CFD + C =180°，
∴ C = 180° - 3 - CFD，
∵ 2 = 3， AFE = CFD ，
∴ E = C ，
在VABC 和VADE 中，
ìAC = AE
í C = E ，
BC = DE
∴VABC≌VADE SAS ；
（2）解：△ABD 是等边三角形，理由如下：
∵ 3 = 2 = 60°，
∴ BDE = 180° - 3 = 120° ，
∵△ABC ≌△ADE ，
∴ AB = AD ， B = ADE，
∴ B = ADB，
∴ ADB = ADE ，
1
∴ ADB = BDE = 60°2 ，
∴△ABD 是等边三角形．
【必考题型五 等边三角形的性质】
1．如图，△DAC 和VEBC 均是等边三角形，A、C、B 三点共线，AE 与 BD 相交于点 P，AE 与 BD 分别与
CD，CE 交于点 M，N．则下列结论：①VACE≌VDCB ；②DC∥EB；③ AC = DN ；④ EM = BN ；⑤
CMN = 80°．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关
键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明VACE≌VDCB ，VCME≌VCNB．
根据SAS证明VACE≌VDCB 即可判断①正确；根据平行线的性质证明DC∥EB即可判断②正确；证明
VCME≌VCNB，得出ME = BN ，即可判断④正确；根据ME = BN ，AE = BD ，得出 AM = DN ，根据 AC > AM ，
得出 AC > DN ，即可判断③错误；根据CM = CN ， MCN = 60°，求出VCMN 为等边三角形，得出 CMN = 60°，
即可判断⑤错误．
【详解】解：∵△DAC 和VEBC 均是等边三角形，
∴ AC = DC ，CE = CB ， DAC = ACD = BCE = 60°，
∴ ACD + DCE = DCE + ECB，
∴ ACE = DCB ，
∴VACE≌VDCB SAS ，故①正确；
∵A、C、B 三点共线， DCA = CBE = 60°，
∴DC∥EB，故②正确；
∵VACE≌VDCB ，
∴ AE = BD ， AEC = DBC ，
∵ DCE =180° - 60° - 60° = 60°，
∴ MCE = NCB = 60°，
∵CE = CB ，
∴VCME≌VCNB，
∴CM = CN ，ME = BN ，故④正确；
∵ME = BN ， AE = BD ，
∴ AE - ME = DB - BN ，
∴ AM = DN ，
∵ AC > AM ，
∴ AC > DN ，故③错误；
∵CM = CN ， MCN = 60°，
∴VCMN 为等边三角形，
∴ CMN = 60°，故⑤错误；
综上分析可知，正确的有 3 个．
故选：C．
2．如图，过边长为3的等边VABC 的边 AB 上一点 P ，作PE ^ AC 于E ，Q为BC 延长线上一点，且
CQ = PA，连接 PQ交 AC 于点D，则DE 的长为（ ）
3 5
A．1 B． C． 2 D．
2 2
【答案】B
【分析】作PF P BC 交 AC 于点F ，利用等边三角形的性质和三线合一可得VAPF 是等边三角形、PE是
VAPF 的中线，则有 AE = EF
1
= AF 、PA = PF = AF = CQ，根据 AFP = ACB = 60°可得
2
PFD = QCD =120° FDP CDQ PFD QCD DF DC AC - AF 3- AF，又 = 可判定△ ≌△ ，则 = = = ，代入
2 2
DE = DF + EF 即可求解．
【详解】作PF P BC 交 AC 于点F ，
QVABC 是等边三角形，
\ A = ABC = ACB = 60°，
QPF∥BC ，
\ APF = ABC = 60° = ACB = AFP ，
\△APF 是等边三角形，
\PA = PF = AF ，
又QPE ^ AC ，
\PE 是VAPF 的中线，
\ AE = EF 1= AF
2 ，
QCQ = PA，
\PF = PA = CQ，
Q AFP = ACB = 60°，
\ PFD = QCD =120°，
Q在VPFD和VQCD中，
ì FDP = CDQ
í PFD = QCD
PF = QC
\VPFD≌VQCD AAS ，
\DF = DC AC - AF 3- AF= = ，
2 2
3- AF AF 3
\DE = DF + EF = + = ．
2 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键
是利用辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质判定全等后求DE 的长．
3．如图，点 P、M、N 分别在等边三角形 ABC 的各边上，且MP ^ AB 于点 P，MN ^ BC 于点 M， NP ^ AC
于点 N，若 AB =16cm，则CM 的长为 ．
16
【答案】 cm
3
【分析】由VABC 是等边三角形，MP ^ AB ，MN ^ BC ， PN ^ AC 可证明VPMN 是等边三角形，得出
PN = PM = MN ，进而证明△PBM≌△MCN≌△NAP ，得出PA = BM = CN ，PB = MC = AN ，再由
MPB = 90° ， PMB
16
= 30°，得出 BM = 2PB，结合 AB =16，可求出 PB = MC = 3 ．本题考查了全等三角形
的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
【详解】解：∵VABC 是等边三角形，
\ A = B = C = 60°，
QMP ^ AB，MN ^ BC ， PN ^ AC ，
\ MPB = NMC = PNA = 90°，
\ PMB = MNC = APN = 30°，
\ NPM = PMN = MNP = 60° ，
\VPMN 是等边三角形，
\ PN = PM = MN ，
\VPBM≌VMCN≌VNAP(AAS)，
\PA = BM = CN ，PB = MC = AN ，
\BM + PB = AB =16cm ，
Q MPB = 90°， PMB = 30°，
\ BM = 2PB ，
\2PB + PB =16cm ，
PB 16\ = cm ，
3
\MC 16= cm，
3
16
故答案为： cm
3
4．如图，在等边VABC中，D 为 BC 延长线上一点，E 为 上一点，过点 B 作 BF P AC ，连接 DF ， EF ，
且 DFE = 60°．若BF = 5 ，BD = 5，则BE的长度是 ．
【答案】5 - 5 / - 5 + 5
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在 的延长线上截取BG = BF ，
连接FG ，证明VBFG为等边三角形，然后推导VDFB≌VEFG ，即可解题．
【详解】解：在 的延长线上截取BG = BF ，连接FG ，
∵VABC是等边三角形，
∴ A = ACB = 60°，
∵BF P AC ，
∴ DBF = ACB = 60°， GBF = A = 60°，
又∵BG = BF ，
∴VBFG为等边三角形，
∴ GFB = G = 60° = DBF ，BF = FG = 5 ，
又∵ DFE = 60° = DBF ，
∴ DFB = EFG ，
∴VDFB≌VEFG ，
∴EG = DB = 5，
∴BE = GE - DG = 5 - 5 ．
5．以VABC 的边 AB、AC 为边向外分别作等边△ABD 、等边△ACE，连接DC、BE ，DC 与 BE 交于 O，
连接 AO ．
(1)求证：BE = CD；
(2)求证：OA平分 DOE ；
(3)请问线段DO 与线段BO、AO之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OD = OA + OB ，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、三角形内角
和综合：
（1）根据等边三角形的性质得 AB = AD ， AE = AC BAD = BDA = DBA = CAE = 60°，再利用SAS
证得△ABE≌△ADC ，进而可求证结论；
（2）过点A 分别作 AM ^ BE ， AN ^ DC ，由（1）知：△ABE≌△ADC ， SVABE = SVADC ，BE = DC ，进而
可证 AM = AN ，再根据角平分线的判定即可求证结论；
（3）在OD 上截取一点G ，使得OG = OA，由（1）知：△ABE≌△ADC ，可得 ADC = ABE ，进而可得
BDA = 60°，则可得 BOD = 60°，由（2）知： AOD = BOD = AOE = 60°，则可得VAOG 是等边三
角形，再利用SAS可得VDAG≌VBAO ，进而可得DG = BO ，根据OD = OG + DG = OA + OB即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：QVABD和△ACE都是等边三角形，
\ AB = AD， AE = AC ， BAD = BDA = DBA = CAE = 60°，
\ BAC + CAE = BAC + BAD ，
\ BAE = DAC ，
在VABE 和△ADC 中，
ì AB = AD
í BAE = DAC ，
AE = AC
\VABE≌VADC SAS ，
\BE = DC ．
（2）证明：过点A 分别作 AM ^ BE ， AN ^ DC ，如图：
由（1）知：△ABE≌△ADC ，
\SVABE = SVADC ，BE = DC ，
1
\ × BE 1× AM = × DC × AN ，
2 2
\ AM = AN ，
\点A 在 DOE 的平分线上，即OA平分 DOE ．
（3）OD = OA + OB ，理由如下：
在OD 上截取一点G ，使得OG = OA，如图：
由（1）知：△ABE≌△ADC ，
\ ADC = ABE ，
\ ADC + BDO = ABE + BDO = BDA = 60° ，
\ BOD =180° - BDO - DBA - ABE =180° - DBA - ADC + BDO =180° - 60° - 60° = 60°，
由（2）知： AOD = BOD = AOE = 60°，
QOG = OA，
\△AOG 是等边三角形，
\ AG = AO, GAO = 60°，
Q DAB = GAO = 60°，
\ DAG = BAO，
又Q AD = AB, AG = AO，
\VDAG≌VBAO SAS ，
\DG = BO，
\OD = OG + DG = OA + OB ．
6．如图，点 O 是等边VABC 内一点，D 是VABC 外的一点， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
连接OD ．
(1)求证：VOCD是等边三角形；
(2)当a =150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当a 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当a =125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识．
（1）根据全等三角形的性质得到OC = DC ， BCO = ACD，再证明 OCD = 60°，即可证明VOCD是等
边三角形；
（2）先求出 ODC = 60°，根据全等的性质得到 ADC =150°，即可求出 ADO = 90°，从而得到△AOD是
直角三角形；
（3）分别表示出 AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD =180° - AOD - ADO = 50°，分①
AO = AD，②DO = AD ，③ AO = DO 三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵VBOC≌VADC ，
∴OC = DC ， BCO = ACD，
∵VABC 是等边三角形，
∴ ACB = 60°，
∴ OCD = ACD + ACO = BCO + ACO = 60°，
∴VOCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵VOCD是等边三角形，
∴ ODC = 60°，
∵VBOC≌VADC ， a =150°，
∴ ADC = BOC = a = 150°，
∴ ADO = ADC - ODC =150° - 60° = 90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵VOCD是等边三角形，
∴ COD = ODC = 60°，
∵ AOB =110°， ADC = BOC = a ，
∴ AOD = 360° - AOB - BOC - COD = 360° -110° -a - 60° = 190° -a ，
ADO = ADC - ODC = a - 60°，
∴ OAD =180° - AOD - ADO =180° - 190° -a - a - 60° = 50°．
①当 AO = AD时，则 AOD = ADO ，即190° -a = a - 60°，∴a =125°；
②当DO = AD 时，则 AOD = OAD ，即190° -a = 50°，∴a =140°；
③当 AO = DO 时，则 ADO = OAD ，即a - 60° = 50°，∴a =110°．
综上所述：当a =125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．
【必考题型六 格点中的等腰三角形】
1．如图，在3 3的方格中，A，B 两点都在小方格的格点上，若点 C 也在格点上，且VABC 是等腰三角形，
那么点 C 的个数最多是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分 为腰和 为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，
解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
【详解】解：如图，当 为腰时，点 C 的个数有 2 个，
当 为底时，点 C 的个数有 1 个，
∴点 C 的个数有 3 个，
故选：C．
2．如图，点 A，B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，如果以 A，B，C 为顶点的三
角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点 C 有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况：当BA = BC 时；当 AB = AC 时；当CA = CB 时；即可
解答．
【详解】解：如图：
分三种情况：
当BA = BC 时，以点 B 为圆心，以BA长半径作圆，交正方形网格的格点为C1，C2 ；
当 AB = AC 时，以点A 为圆心，以 AB 长半径作圆，交正方形网格的格点为C3，C4 ；
当CA = CB 时，作 AB 的垂直平分线，交正方形网格的格点为C5 ，C6 ，C7 ，C8 ；
综上所述：满足条件的所有格点C 有 8 个，
故选：C ．
3．如图，在3 4正方形的网格中，点 A，B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C ，且使VABC
是等腰三角形，则点C 的个数为
．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点 C 即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点 C 在C1、C2 、C3、C4 位置上时， AC = BC ；
点 C 在C5 、C6 位置时， AB = AC ；
点 C 在C7 、C8 位置上时， AB = BC ，
即满足条件的点C 的个数为 8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形
是等腰三角形．
4．如图，由 36 个完全相同的小正方形组成的网格中，点 A，B 在格点上，在网格的格点上找到点 C，使VABC
为等腰三角形，这样的点 C 共有 个．
【答案】10
【分析】首先由勾股定理可求得 AB 的长，然后分别从BA = BC, AB = AC,CA = CB 去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图所示：
①若BA = BC ，则符合要求的有：C1,C2 共 2 个点；
②若 AB = AC ，则符合要求的有：C3,C4 共 2 个点；
③若CA = CB ，则符合要求的有：C5 ,C6 ,C7 ,C8 ,C9 ,C10 共 6 个点．
∴这样的 C 点有 10 个．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想．
5．在如图所示的方格纸中，VABC 是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
(1)在图 1 中画一个△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等．
(2)在图 2 中画一个等腰VABE ，使得VABE 和VABC 的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等等知识：
（1）根据“SSS ”可作△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等；
（2）过点 C 作 AB 的平行线，即可作等腰VABE ，同样，在 AB 的另一侧也可作等腰VABE
【详解】（1）解：如图，△ABD 即为所作：
（2）解：如图，等腰VABE 即为所作
6．在如图的5 5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为 1，如图，VABC 的顶点均在格点上，请按
要求作格点图形．
(1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点 P，使得△APC 与VABC 全等；
(2)在图（乙）中，在 AC 右侧的小正三角形顶点上求作点 G（除 E 点外），使VACG 为等腰三角形且
GA = GC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图（甲），在CE上取 P ，使CP = AB， 由 AB∥CP，可得 BAC = PCA，证明
VAPC≌VABC SAS ，则点 P 即为所求；
（2）如图（乙），连接DE ，则DE 是线段 AC 的垂直平分线，取DE 与格点的一个交点为G ，则 AG = CG ，
点G 即为所求．
【详解】（1）解：如图（甲），在CE上取 P ，使CP = AB，
由题意知， AB∥CP，
∴ BAC = PCA，
∵ AB = CP， BAC = PCA， AC = CA，
∴VAPC≌VCBA SAS ，
∴点 P 即为所求；
（2）解：如图（乙），连接DE ，
∵ AE=CE，AD=CD，
∴DE 是线段 AC 的垂直平分线，
取DE 与格点的一个交点为G ，连接 AG，CG ，
∴ AG = CG ，
∴点G 即为所求．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形
等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形是
解题的关键．．
【必考题型七 逆命题和逆定理】
1．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等．
C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆
定理，据此求解即可．
【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，
故选 D．
2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】C
【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题
的逆命题，根据逆命题的定义直接解答即可．
【详解】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三
角形，
故选：C．
3．命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题
是假命题举反例．
先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：命题“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命题是如果 x2 1，那么 x 1，是假命题，
例如：当 x = -2时， (-2)2 >1，而-2 < 1，
故答案为：假．
4．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】本题主要考查了判断一个三角形逆命题的真假，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的定
义，先把原命题的结论和条件互换写出原命题的逆命题，进而判断命题的真假即可．
【详解】解：原命题的逆命题为，一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，该命题是真命题，
根据题意可知该边上的高线垂直平分该边，则高线在的顶点到该边两端的距离相等，即此三角形是等腰三
角形，
故答案为：真．
5．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图
形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图， ABP = CBP，点 D 在射线BP上， ，
求证： ．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按小颖的想法写出证明过程．
(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．它是真命题，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质直接画图，直接填写已知条件和结论即可；
（2）通过证明全等三角形得到边相等即可；
（3）根据逆命题的定义直接写出逆命题，然后证明全等三角形，再证明角平分线即可．
【详解】（1）补全图形如图所示．
已知：如图， ABP = CBP，点 D 在射线BP上，DE ^ BA，DF ^ BC ，垂足分别为 E，F．
求证：DE = DF ．
（2）∵DE ^ BA， DF ^ BC ．
∴ DEB = DFB = 90°．
在VBED和△BFD 中，
ì DEB = DFB
í ABP = CBP
BD = BD
∴VBED≌VBFD(AAS)．
∴DE = DF ．
（3）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
它是真命题．
已知：如图，点 P 为 ABC 内一点，PD ^ AB，PE ^ BC ，垂足分别为 D，E，且PD = PE ．
求证：BP平分 ABC ．
证明：∵PD ^ AB，PE ^ BC ，垂足分别为 D，E．
∴ BDP = BEP = 90°．
在Rt△ DBP 和RtVEBP 中，
ìPD = PE
í
BP = BP
∴RtVDBP≌RtVEBP(HL)．
∴ 1 = 2（全等三角形的对应角相等）．
∴BP平分 ABC ．
【点睛】此题考查角平分线的性质和判定，解题关键是通过全等三角形证明对应边和对应角的等量关系
6．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们
进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知
和求证．
已知：如图，直线 l 为线段 AB 的垂直平分线，点 P 为 l 上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
【答案】PA = PB ，证明过程见解析
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】求证：PA = PB ，
证明：如图，设直线 l与 AB 的交点为D，
Q直线 l为线段 AB 的垂直平分线，
\PD ^ AB， AD = BD ，
\ ADP = BDP = 90°，
在DAPD 与DBPD 中，
ìAD = BD
í ADP = BDP，
PD = PD
∴VAPD @VBDP （SAS），
\PA = PB．
故答案为：PA = PB ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性
质定理是解题的关键．
【必考题型八 含 30°角的直角三角形】
1．如图，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交 于点
E、D，则 DCE 的值为（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，根据三角形内角和定理可得
B = 60°，根据高的性质可得 BCD = 30°，根据角平分线的性质可得 BCE = 45°，根据
DCE = BCE - BCD 即可求解．
【详解】解：∵VABC中， ACB = 90°， A = 30°，
∴ B = 60°，
∵ 是 ACB 的角平分线， 是高，
BCE 1∴ = ACB = 45°， BCD = 30°，
2
∵ DCE = BCE - BCD = 45° - 30° =15°，
∴ DCE的值为15°，
故选：A ．
2．如图，已知 AOB = 60°，OC 平分 AOB，点 P 在OC 上，PD ^ OA于点 D，OP = 6，点 E 是射线OB
上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】D
【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实
际应用．过 P 作PH ^ OB ，根据垂线段最短即可求出PE最小值．
【详解】解∶∵ AOB = 60°，OC 平分 AOB，
∴ AOC = 30°，
∵PD ^ OA，OP = 6，
∴ PD
1
= OP = 3
2 ，
过 P 作PH ^ OB 于点 H ，
∵PD ^ OA，OC 平分 AOB，
∴PD = PH = 3，
∵点E 是射线OB 上的动点，
∴PE的最小值为 3，
故选：C．
3．如图，一副三角板拼在一起，O 为 AD 的中点， AB = 4．将VABO 沿 BO 对折至△A BO ，M 为 BC 上的
动点，则 A'M 的最小值为 ．
【答案】 6 - 2 / - 2 + 6
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识．由折叠
的性质可得 AB = A B = 2, ABO = A BO，可证得VABO 是等边三角形，从而得到
A BM =135° - 60° - 60° =15°，根据题意得：当 A M ^ BC 时，A M 最短，过 M 作MH ^ A B 于 H，取 A B
的中点 N，连接MN ，根据直角三角形的性质可得BN = NM = A N = 2, B = NMB =15°， A NM = 30°，
1
从而得到 MH = MN = 2，进而得到 NH = MN 2 - MH 2 = 3 ， A H = A N - NH = 2 - 3，再由勾股定理，2
即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得： AB = A B = 2, ABO = A BO，
∵O 为 AD 的中点，
∴OA = OB，
∵ A = 60°，
∴VABO 是等边三角形，
∴ ABO = A BO = 60°，
∵ ABD = 90°, CBD = 45°，
∴ ABC = ABD + CBD =135°，
∴ A BM =135° - 60° - 60° =15°，
根据题意得：当 A M ^ BC 时， A M 最短，
过 M 作MH ^ A B 于 H，取 A B的中点 N，连接MN ，如图，
在Rt△A BM 中，N 是斜边 A B的中点，
∴BN = NM = A N = 2 ，
∴ B = NMB =15°，
∴ A NM = 30°，
1
∴MH = MN = 2，
2
∴ NH = MN 2 - MH 2 = 3 ，
∴ A H = A N - NH = 2 - 3，
∴ A M = A H 2 + HM 2 = 6 - 2 ．
故答案为： 6 - 2
4．如图 MAN = 60°，若VABC的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB = 2 ，动点C 从点A 出发，以每秒1个单位沿
射线 AN 运动．
（1）当运动时间 t是 秒时，VABC是直角三角形．
（2）当运动时间 t的取值范围是 秒时，VABC是钝角三角形．
【答案】 1或 4 0 < t <1或 t > 4
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的分类；
（1）过 B 作BE ^ AN 于E ，BF ^ AM ， BF 交 AN 于F ，根据含30度角的直角三角形的性质求得 AE, AF
的长即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解．
【详解】解：如图，过 B 作BE ^ AN 于E ，BF ^ AM ， BF 交 AN 于F ，
则 AEB = 90°， ABF = 90°，
Q MAN = 60°，
\ ABE = 30°， AFB = 30°，
Q AB = 2 ，
\ AE 1= AB =1， AF = 2AB = 4，
2
∴当运动时间 t为1或 4时，VABC是直角三角形．
故答案为：1或 4．
（2）由（1）可得 AE =1， AF = 4 ；
\当运动时间 t的取值范围是0 < t <1或 t > 4秒时，VABC 是钝角三角形．
故答案为：1< t < 4．
5．如图，VABC 中，D 是BC 边的中点，BE ^ AC ，CF ^ AB，垂足分别是点 E，F，连接DE ，DF ．
(1)求证：DE = DF ．
(2)若 A = 75°， BC = 8，连接EF ，求VDEF 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，
解题的关键是：
1
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出DE = DF = BC ，即可得证；
2
（2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出 FDB + EDC =150°，进而求出∴ EDF = 30°，作
EG ^ DF ，垂足为 G，利用含30°的直角三角形的性质求出EG = 2 ，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：QBE ^ AC,CF ^ AB，点 D 是BC 的中点．
\DE 1= BC 1，DF = BD = BC ，
2 2
\DE = DF ，
\VDEF 为等腰三角形；
（2）解：连接EF ，
∵ A = 75°
∴ ABC + ACB =105°，
1
由（1）知BD = DF = BC ，
2
∴ DBF = BFD ，
∴ BDF =180° - 2 DBF ，
同理 EDC =180° - 2 BCA，
∴ FDB + EDC =180° - 2 ABC +180° - 2 BCA =150°，
∴ EDF =180° -150° = 30°，
作EG ^ DF ，垂足为 G，
∵ BC = 8
∴DE = 4 = DF ，
∴EG = 2 ，
S 1∴ △DEF = 4 2 = 4．2
6．如图 1，VABC 是等边三角形，D，E 为 AC 上两点，且 AD = CE ，延长BC 至点F ，使CF = CD ，连结
BD, EF ．
(1)如图 2，当 D，E 两点重合时，求证：BD = DF ；
(2)如图 3，延长FE交线段 于点G ．
①求 DGE 的度数；
②若 AD = 2, AB = 6，求点 C 到EF 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)①60° 2 21；②
7
1
【分析】（1）先根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得到 DBC = ABC = 30°， F = CDF ，再
2
根据三角形的外角性质得到 F = 30° = DBC ，进而利用等角对等边可证得结论；
（2）①过 D 作DH ∥BC 交 AB 于 H，证明VADH 是等边三角形，得到DH = AH = AD = CE ，进而
BH = CD = CF ，再证明VBDH≌VFEC SAS 得到 DBH = EFC ，利用三角形外角性质可求解；
②如图 3，过 F 作FM ^ AC 交 AC 延长线于 M，过 C 作CN ^ EF 于 N，先求得CE = AD = AH = 2，
CF = BH = AB - AH = 4，在Rt△CMF 中，利用含30度角的直角三角形求得CM = 2，MF = 2 3 ，在Rt△EMF
中，利用勾股定理求得EF = 2 7 ，然后利用等面积法求得CN 即可．
【详解】（1）证明：如图 2，∵VABC 是等边三角形，
∴ ABC = ACB = BAC = 60°， AB = BC = AC ，
∵ AD = CD = CF
∴ DBC
1
= ABC = 30°， F = CDF ，
2
∵ ACB = CDF + F = 2 F ，
∴ F = 30° = DBC ，
∴BD = DF ；
（2）解：①,如图 3，过 D 作DH ∥BC 交 AB 于 H，
∴ ADH = ACB = 60° ， AHD = ABC = 60°，
∴ AHD = ADH = A = 60°，
∴VADH 是等边三角形， BHD = ECF =120°，
∴DH = AH = AD = CE ，
∴ AB - AH = AC - AD，则BH = CD = CF ，
在△BDH 和VFEC 中，
ìDH = CE
í BHD = ECF ，
BH = CF
∴VBDH≌VFEC SAS ，
∴ DBH = EFC
∴ DGE = GBF + EFC = GBF + DBH = ABC = 60°；
②如图 3，过 F 作FM ^ AC 交 AC 延长线于 M，过 C 作CN ^ EF 于 N，
∵ AD = 2, AB = 6，
∴CE = AD = AH = 2，
∵VBDH≌VFEC ，
∴CF = BH = AB - AH = 4，
在Rt△CMF 中， CFM = ECF - M = 120° - 90° = 30°，
1
∴CM = CF = 2，
2 MF = CF
2 - CM 2 = 42 - 22 = 2 3 ，
在Rt△EMF 中，EM = CE + CM = 4，
∴EF = EM 2 + MF 2 = 42 + 2 3 2 = 2 7 ，
1 1
∵ SVECF = CE × MF = EF ×CN2 2
CN CE × MF 2 2 3 2 21∴ = = = ，
EF 2 7 7
即点 C 到 EF 2 21的距离为 ．
7
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形
的判定与性质、含 30 度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答
的关键．
【必考题型九 斜边的中线等于斜边的一半】
1．如图， AD ， BE 均为VABC 的高，且 AB = AC ，连结DE 交 AB 于点 O，若 C = 28°，则 OEB的度数
为（ ）
A．62° B．60° C．58° D．56°
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到 AD 垂直平
1
分线段BC ，得到BD = CD，结合直角三角形性质得到DE = BD = CD = BC ，利用等腰三角形性质得到
2
DEC = C = 28°，再根据 OEB = BEC - DEC 求解，即可解题．
【详解】解：Q AD 为VABC 的高，且 AB = AC ，
\ AD 垂直平分线段BC ，
\ BD = CD，
Q BE 为VABC 的高，即 BEC = 90°，
\DE = BD 1= CD = BC ，
2
Q C = 28°，
\ DEC = C = 28° ，
\ OEB = BEC - DEC = 62° ，
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC 中，BC 的中垂线与BC 交于点 D，与 AC 交于点 E，连接 BE ，F 为 BE 的中点，若
DF = 2，则 AE 的长为（ ）
A．5 B． 2 3 C．4 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中垂线的性质，等角对等边等性质，
首先根据中垂线的性质得到DE ^ BC ，BE = EC ，然后利用直角三角形的性质得到BE = 2DF = 4，进而证
明出 A = ABE ，即可得到 AE = BE = 4．
【详解】∵BC 的中垂线与BC 交于点 D，
∴DE ^ BC ，BE = EC
∵F 为 BE 的中点，
∴BE = 2DF = 4
∵BE = EC
∴ EBC = C
∵ ABC = 90°
∴∠ABE +∠CBE = 90°， A + C = 90°
∴ A = ABE
∴ AE = BE = 4．
故选：C．
3．如图，在四边形 ABCD中，O 是CD的中点， AC = AD, CAD = CBD = 90°，若CD = 2AB ，则
DCB = ．
【答案】75° /75 度
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，根据三线合一，
斜边上的中线推出VAOB 是等边三角形，得到 AOB = 60°，进而推出 COB = 90° - 60° = 30°，再根据等边
对等角，进行求解即可．
【详解】解：∵ AC = AD, CAD = 90°，
∴CO = DO = AO, AO ^ CD，
∴ AOC=90°，
∵CD = 2AB ，
∴ AB = CO = AO ，
∵ CBD = 90°，O 是CD的中点，
∴CO = DO = BO，
∴ AB = BO = AO，
∴VAOB 是等边三角形，
∴ AOB = 60°，
∴ COB = 90° - 60° = 30°，
∵CO = BO，
∴ DCB = OBC
1
= 180° - 30° = 75°．
2
故答案为：75°．
4．如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D为 AB 的中点， B = 30°，点E 在BC 上，且CE = AC ，则 CDE
的大小为 ．
【答案】75°
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
证明CD = CE ，求出 DCE = 30°，可得结论．
【详解】解：Q ACB = 90°，D是 AB 的中点，
\CD = AD = DB ，
\ DCB = B = 30°，
Q AB = 2AC ，
\CA = CD ，
QCA = CE ，
\CD = CE ，
CDE 1\ = CED = (180° - 30°) = 75°
2 ．
故答案为：75°．
5．在VABC 中， AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为 AC 、 BE 边上的中点，且 BD
1
= AC ．
2
(1)求证：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2) 71°
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
（1）连接DE ，根据垂直定义可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得
DE = CE 1= AC ，从而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性质可得 C = EDC = 38°，
从而利用平角定义可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：连接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中线，
1
\ DE = CE = AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q点F 是 BE 的中点，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，点F 是 BE 的中点，
BDF 1\ = BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度数为 71°．
6．如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AB 上的一点，E 是CB 延长线上一点，连接CD、DE ，已知
EDB = ACD ．
(1)求证：VDEC 是等腰三角形．
(2)当 BDC = 5 EDB ，EC = 8时，求△EDC 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的
性质，等腰三角形的判定与性质．
（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设 EDB = a ，则 BDC = 5a ，得 E = DCE = 60° -a ，根据三角形内角和定理可得a =15°，过 D
作DH ^ CE 于 H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH 的长，进而可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ABC 是等边三角形，
∴ ABC = ACB = 60°，
∵ E + EDB = ABC = 60°， ACD + DCB = 60°， EDB = ACD ，
∴ E = DCE ，
∴DE = DC ，
∴VDEC 是等腰三角形；
（2）解：设 EDB = a ，则 BDC = 5a ，
∴ E = DCE = 60° -a ，
∴6a+ 60° -a+ 60° -a=180° ，
∴a =15°，
∴ E = DCE = 45°，
∴ EDC = 90°，
如图，过 D 作DH ^ CE 于 H，
∵VDEC 是等腰直角三角形，
∴ EDH = E = 45°，
∴EH = HC = DH
1
= EC 1= 8 = 4，
2 2
1 1
∴ SVEDC = EC DH = 8 4 =16．2 2
【必考题型十 直角三角形全等的判定】
1．如图，在VABC 中，AB =10cm，AC =14cm，边BC 的垂直平分线DE 交VABC 的外角 CAM 的平分线
于点 D，垂足为 E，DF ^ AC 于点 F，DG ^ AM 于点 G，连接CD．则 AG 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适
当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接BD，证RtVBDG≌RtVCDF ，得出BG = CF ，再证RtVADG≌RtVADF ，得 AG = AF ，然后证
AC = 2AG + AB，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，
QDE 垂直平分BC ，
\BD = CD ，
Q AD 平分 CAM ，DF ^ AC ，DG ^ AM ，
\DG = DF ，
在Rt△BDG 和Rt△CDF 中
ìDG = DF
íBD ， = CD
\RtVBDG≌RtVCDF
\BG = CF ，
在RtVADG和RtVADF 中，
ìDG = DF
í ，
AD = AD
\RtVADG≌RtVADF ，
\ AG = AF ，
QAC = AF + CF ，BG = AB + AG ，BG = CF ，
\ AC = AF + AB + AG ，
\ AC = 2AG + AB
Q AB =10cm ， AC =14cm，
1
\ AG = AC - AB 1= 14 -10 = 2 cm ．
2 2
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90o ，BP平分 ABC 交 AC 于点 P，PE ^ AB于点E ，若 BC = 8，
AC = 6 ，则△AEP 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是
解题的关键．由∠C = 90o ，BC = 8， AC = 6 ，可得到 AB =10，由BP平分 ABC ，可得到PC = PE ，进而
得到△PBE ≌△PBC ，则可得BE = BC = 8， AE = 2，进而可得CVAEP = AE + AC ，即可得解．
【详解】∵Rt△ABC 中，∠C = 90o ， BC = 8， AC = 6 ，
\ AB = BC 2 + AC 2 = 82 + 62 = 10，
∵BP平分 ABC ，∠C = 90o ，PE ^ AB，
∴PE = PC ， PEB = C = 90° ，
又QPB = PB，
\VPBE≌VPBC(HL)，
∴ BE = BC = 8，
\ AE = AB - BE = 10 - 8 = 2 ，
\CVAEP = AE + AP + PE = AE + AP + PC = AE + AC = 2 + 6 = 8．
故选：C．
3．如图， AE 是 CAM 的角平分线，点 B 在射线 AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，则 BEF = ．
【答案】 46° /46 度
【分析】连接CE，过 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出
CE = BE ，ER = EF ，根据全等求出 RCE = EBF ，求出 EBF = 44°，即可求出答案．
【详解】解：连接CE，过 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，
∵DE 是线段BC 的中垂线，
∴ EDC = 90°，CE = BE ，
∴ ECB = CBE ，
∵ CBE = 21°，
∴ ECB = 21°，
∴ DEB = CED = 90°- 21°= 69°，
∵ER ^ AC ，ED ^ BC ，
∴ QRC = QDE = 90°，
∴ ACB + CQR = 90°， EQD + QED = 90°，
∵ CQR = EQD，
∴ ACB = QED ，
∵ ACB = 23° ，
∴ QED = 23°，
∵ AE 平分 CAM ，ER ^ AC ， EF ^ AM ，
∴ER = EF ，
在RtVERC 和Rt△EFB 中，
ìCE = BE
í
ER
，
= EF
∴RtVERC≌RtVEFB HL ，
∴ EBF = ACE = ACB + ECD = 23°+ 21°= 44°，
∵ EFB = 90°，
∴ BEF = 90°- EBF = 90°- 44°= 46°，
故答案为： 46°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角
和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点
到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
4．如图，在VABC 中， AD ^ BC 于点 D，在 AD 上取点 F，使得BF = AC =10, DF = CD = 6，连接 BF 并延
长交 AC 于点 E，则BE = ．
56
【答案】
5
【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，首先根据勾股定理求出 AD = 8，然后证
明出RtVCDA≌RtVFDB ，得到 CAD = FBD，BD = AD = 8，再证明BE ^ AC ，然后利用等面积法求出
BE 56= 即可．
5
【详解】解：∵ AD ^ BC ，
∴ CDA = FDB = 90°，
∵ AC =10，CD = 6，
∴ AD = AC 2 - CD2 = 8，
∵ CDA = FDB = 90°，CD = FD， AC = BF ，
∴RtVCDA≌RtVFDB HL ，
∴ CAD = FBD ，BD = AD = 8 ,
∴BC = BD + CD =14，
∵ CAD + C = 90°，
∴ FBD + C = 90°，
∴ BEC = 90°，
∴BE ^ AC ，
∴ S
1 1
VABC = AC × BE = BC × AD，2 2
∴10BE =14 8，
解得BE
56
= ，
5
56
故答案为： ．
5
5．如图，已知 AD ， AF 分别是两个钝角VABC 和VABE 的高，如果 AD = AF ， AC = AE ．
求证：
(1) BD = BF
(2) BC = BE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用HL的特殊方法证明三角形全等是解题
关键．
（1）证明RtVABD≌RtVABF ，即可求证；
（ 2）证明RtVADC≌RtVAFE 得CD = EF ，由（1）得BD = BF ，即可求证．
【详解】（1）证明：∵ AD ， AF 分别是两个钝角VABC 和VABE 的高，
∴ D = F = 90°，
在RtVABD 和RtVABF 中,
ì AB = AB
í
AD
，
= AF
∴RtVABD≌RtVABF HL ，
∴BD = BF ；
（2）证明：在RtVADC 和RtVAFE 中,
ì AC = AE
í
AD
，
= AF
∴RtVADC≌RtVAFE HL ，
∴CD = EF ，
由（1）得BD = BF ，
∴BD - CD = BF - EF ，
即BC = BE ．
6．如图，在VABC 中， AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB于 E，BD = DF ．
(1)求证：CF = EB．
(2)若 BAD = 20°，求 CDF 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2) 40°
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线
的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
（1）根据角平分线的性质得出DC = DE ，证明RtVCDF≌RtVEDB HL ，得出CF = EB即可；
（2）根据角平分线的定义得出 BAC = 2 BAD = 40°，根据锐角三角形两锐角互余得出
BDE = 90° - 50° = 40° ，根据Rt△CDF ≌ Rt△EDB ，得出 CDF 的度数即可．
【详解】（1）证明：∵ AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB，
∴DC = DE ，
在Rt△CDF 和RtVEDB中，
ìDF = DB
í
DC
，
= DE
∴RtVCDF≌RtVEDB HL ，
∴CF = EB；
（2）解：∵ AD 平分 BAC ， BAD = 20°，
∴ BAC = 2 BAD = 40°，
∴ B = 50°，
∵DE ^ AB，
∴ DEB = 90°，
∴ BDE = 90° - 50° = 40° ，
由（1）知：Rt△CDF ≌ Rt△EDB ，
∴ CDF = BDE = 40°．
【必考题型十一 勾股定理的证明方法】
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发
现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出
了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形面积为： c2 ，也可以看做是 4 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
1 ab 4 + b - a 2 = a2 + b2，∴ a2 + b2 = c2，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；2
1 1
B 2 2．梯形的面积为： a + b a + b = a + b
2 2 + ab，也可看作是 2 个直角三角形和一个等腰直角三角形组
1 1 2 1 2 1 2 1
成，则其面积为： ab 2 + c = ab + c ，∴ ab + c =
2 2 2 2 2 a
2 + b2 + ab，可以证明勾股定理，故本选项不
符合题意；
C 2．大正方形的面积为： a + b ，也可看作是 4 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
1 ab 4 + c2 = 2ab + c2，∴ a + b 2 = 2ab + c2，∴ a2 + b2 = c2故本选项不符合题意；2
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，在四边形 ABDE 中， AB∥DE ， AB ^ BD，点C 是边 上一点， BC = DE = a ，CD = AB = b，
1 1 1
AC = CE = c．下列结论：①VABC 2≌ VCDE 2；② ACE = 90°；③ a + b - c = 2 ab ；④该图可以验
2 2 2
证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明△ABC≌△CDE(SAS) ，由全等
三角形的性质可得出 BAC = DCE ， ACB = E ．再由图形的面积逐项分析判断即可求解．
【详解】解：Q AB∥DE ， AB ^ BD，
\DE ^ BD，
\ B = D = 90°．
在VABC 和VCDE中，
ìAB = CD
í B = D = 90°，
BC = DE
\△ABC≌△CDE(SAS)，
\ BAC = DCE， ACB = E ．
Q BAC + ACB = 90°，
∴ DCE + ACB = 90°．
Q DCE + ACB + ACE =180°，
\ ACE = 90°，
故①②正确；
Q梯形 ABDE 的面积-直角三角形 ACE 的面积=两个直角三角形的面积，
\ 1 (a b)2 1+ - c2 = 2 1 ab，
2 2 2
\a2 + b2 = c2 ， (a + b)2 c2 ，
故③④正确
故选：A．
3．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形 ACFG 沿分割线 JK ，LM 分割
成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形 ABED 拼成大正方形BCHI ．若 AB = 2.BC = 29 ，则 AL
的长为 ．
3
【答案】
2
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出 AG - AL = OP + ON 是解题的关键．
【详解】解：如图，
在直角VABC 中，由勾股定理得，
2
AC = BC 2 - AB2 = 29 - 22 = 5，
\ AG = AC = 5，
Q将正方形 ACFG 沿分割线 JK ， LM 分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形 ABED 拼成大正
方形BCHI ，
\OP = AL NP = GL，
\ AG - AL = OP + ON ，
\5 - AL = AL + 2，
\ AL 3= ．
2
3
故答案为： ．
2
4．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，
在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AC 和BC 为边，按如图所示的方式作正方形 ABKH ，ACIG 和BCFD ，KH
与CI 交于点 J， 与DF 交于点 E，KH 与CI 交于点 J，AB 与DF 交于点 E．若四边形BCFE 和VHIJ 的面
积和为 5，四边形 ACJH 和VBDE 的面积和为 12，则 AC + BC 的值为 ．
【答案】 42
【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明△AEF 与VHJI 全等，进而
得出VABC 的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形BCFD 和梯形 ACIH 的面积之和，用 AC 和BC
的长将其表示出来即可解决问题．
【详解】解：由题知，
令BC = a, AC = b ，
∵四边形 ABKH 和四边形 ACIG 是正方形，
∴ BAH = CAG = 90°, AB = AH , AC = AG ，
∴ BAH - CAH = CAG - CAH ，
即 BAC = HAG．
在VBAC 和△ HAG中，
ìAB = AH
í BAC = HAG ，
AC = AG
∴VBAC≌VHAG SAS ，
∴HG = BC = a ．
∵ AF = b - a, IH = b - a ，
∴ AF = IH ．
∵ HAG + AHG = AHG + JHI = 90°，
∴ HAG = JHI ，
∴ BAC = JHI ．
在△EAF 和VJHI 中，
ì EFA = I
íAF = IH ，
BAC = JHI
∴VAEF≌VHJI ASA ，
∴ SVAEF = SVHJI ．
又∵四边形BCFE 和VHIJ 的面积和为 5，
∴ S四边形BCFE + SVAEF = 5，
即 SVABC = 5，
1
∴ ab = 5，
2
则 ab =10 ．
又∵四边形BCFE 和VHIJ 的面积和为 5，四边形 ACJH 和VBDE 的面积和为 12，
将四部分的面积相加得，
S正方形BDFC + S =17梯形ACIH ，
a2 b2 1∴ + - ab =17，
2
则 a2 + b2 = 22．
2
∴ a + b = a2 + b2 + 2ab = 22 + 2 10 = 42，
则 a + b = 42 （舍负），
即 AC + BC 的值为 42 ．
故答案为： 42 ．
5．如图，对任意符合条件的直角三角形 BAC ，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得VDAE，所以 BAE = 90°，
且四边形 ACFD是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形 ABFE 面积等于Rt△BAE 和
Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【答案】证明见解析．
【分析】利用四边形 ABFE 面积等于Rt△BAE 和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．
【详解】解：由图可得：
S正方形ACFD = S四边形ABFE = SRtVBAE + SRtVBFE ，
即： S正方形ACFD = SRtVBAE + SRtVBFE ，
b2 1 c2 b + a b - a ∴ = + ，
2 2
整理得： a2 + b2 = c2．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据所给图形，找到相应的等量关系．
6．勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元 222 年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中
介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图 1 的大正方形，采用面积法证
明 c2 = a2 + b2 ．
（1）类比证明：伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）于 1876 年 4 月 1 日《新英格兰教育日志》上证明
勾股定理．在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，易证△ABC ≌△CDE ．
请你用两种不同的方法表示梯形 ABDE 的面积（图 2），并证明： c2 = a2 + b2 ；
（2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别
按下列要求画三角形．
①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三
角形，使它的面积为 4．
（3）拓展应用：如图 3，在直线 l 上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是 2、3，正放
三个正方形的面积依次是 S1， S2， S3 ，则 S1 + 2S2 + S3 = ______（直接写出答案）
【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（3）5
【分析】（1）先证△ABC ≌△CDE ，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论；
（2）①画三边分别为 3，4，5 的三角形即可；②画三边长为 5, 5, 10 的三角形；③根据面积画钝角三角
形即可；
（3）先证 S1 + S2 = 2 ，同理 S2 + S3 = 3，整体代入计算即可．
【详解】解：（1）在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，
\ ACB + DCE = 90° = ACB + BAC ，
\ DCE = BAC ，
Q B = D = 90°, AC = CE，
\VABC≌VCDE ，
\ AB = CD = a,BC = DE = b, AC = CE = c，
S 1\ ABDE = ab 2
1
+ c2 , S 1ABDE = a + b a + b梯形 梯形 ，2 2 2
1 a b a b 1 1\ + + = ab 2 + c2 ，
2 2 2
整理，得： a2 + b2 = c2；
（2）如下图：① AC = 4,BC = 3, AC = 5 ,VABC 即为所求；
②CD = DF = 22 +12 = 5,EF = 32 +12 = 10 , VDEF 即为所求；
③ S
1
VGHI = 2 4 = 4，VGHI 即为所求；2
（3）解： S1 + 2S2 + S3 = 5，理由如下：
如图，
∵图中的四边形均为正方形，
∴ ABD = 90°，AB = DB， ACB = 90°，
∴ ABC + DBE = 90°， ABC + CAB = 90°，
∴ CAB = DBE ，
在VABC 和VBDE 中，
ì ACB = BED
í CAB = DBE
AB = DB
∴VABC ≌VBDE ，
∴ AC = BE ，
∵DE2 + BE2 = DB2 ，
∴DE2 + AC 2 = DB2，
∵ S1 = AC
2，S2 = DE
2，DB2 = 2，
∴ S1 + S2 = 2 ，
同理， S2 + S3 = 3，
∴ S1 + 2S2 + S3 = S1 + S2 + S2 + S3 = 2 + 3 = 5．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质、勾股定理的证明及勾股定理与无理数，熟练勾股定理及证明
是解题关键．
【必考题型十二 用勾股定理解三角形】
1．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合
而成，如图，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，则 AC 2 - AD2 的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE = BE ，
AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，再结合平方差公式可得答案；
【详解】解：∵ AB = AD , AE ^ BD ，
∴DE = BE ， AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，
∴ AC 2 - AD2 = CE2 - DE2
= CE + DE CE - DE
= CE + BE ×CD
= BC ×CD
∵BC =10,CD = 6，
∴ AC 2 - AD2 =10 6 = 60；
故选 D
2．如图，在等腰直角三角形 ABC 纸片中， C = 90°，D 是BC 的中点，将VABC 折叠，使点 A 与点 D 重
合，EF 为折痕．若 AB = 2 ，则 的长为（ ）
3 5 3
A B 1． ． C． D．
4 8 8 4
【答案】C
【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这
些知识点是解题关键．
根据题意得出 AF = DF ，再由等腰直角三角形确定 AC = BC =1，设CF = x，则 AF = DF =1- x ，利用勾股
定理求解即可．
【详解】解：∵VDEF 是VAEF 翻折而成，
∴ AF = DF ，
∵VABC是等腰直角三角形， C = 90°， AB = 2 ，
∴ AC = BC =1，
∵D 是BC 的中点，
1
∴CD = ，
2
设CF = x，则 AF = DF =1- x ，
∴在RtVCDF 中，
2 2 1
2
由勾股定理得，CF + CD = DF 2，即 x2 + 2 2 ÷
= 1- x ，
è
x 3解得： = ，
8
故选：C．
3．如图，VABC 是等边三角形，点E 为 AC 上一点，且 CBE =15° ，现将△CBE 沿直线 BE 折叠得到
VDBE，BD与 AC 交于F ，GH 垂直平分 BE ，若EC = 2，则BG = ．
【答案】 2 3
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．连接GE ，则GB = GE ，推出
GBE = GEB = 15°，所以 DGE = 15° +15° = 30°，由折叠推出 D = C = 60°，DE = EC = 2，所以
DEG = 180° - 60° - 30° = 90°，即可求出GE = 2 3 ．
【详解】解：连接GE ．
∵VABC 是等边三角形，
∴ C = 60°，
由折叠可知， GBE = CBE =15° ， D = C = 60°，DE = EC = 2，
QGH 垂直平分 BE ，
\GB = GE ，
\ GBE = GEB = 15°，
\ DGE = 15° +15° = 30° ，
\ DEG = 180° - 60° - 30° = 90° ，
\DG = 2DE = 4，
\GE = DG2 - DE2 = 42 - 22 = 2 3 ，
\BG = 2 3 ．
故答案为： 2 3 ．
4．如图，在VABC 中， ACB = 60°，BC = 3，分别以 ， AC 为边在VABC 外作等边△ABD 和等边
△ACE，连结BE， ．
（1）若 BEC = 25°，则∠CBE = °；
（2）若 AC = 4，则 的长为 ．
【答案】 35° /35 度 37
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理
是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到 ACE = 60°，然后根据三角形的内角和定理解题即可；
（2）根据等边三角形的性质可以证明VDAC≌VBAE ，即可得到CD = BE ，过点 E 作EF ^ BC 于点 F，然
后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵△ACE是等边三角形，
∴ ACE = 60° = ACB ，
∴ BCE =120° ，
又∵ BEC = 25°，
∴ CBE =180° - BCE - BEC =180° -120° - 25° = 35°，
故答案为：35°；
（2）解：∵△ABD 和△ACE是等边三角形，
∴ AD = AB ， AE = AC = CE = 4， DAB = CAE = 60°，
∴ DAC = BAE ，
∴VDAC≌VBAE ，
∴CD = BE ，
过点 E 作EF ^ BC 于点 F，
∵ BCE =120° ，
∴ CEF = BCE - F =120° - 90° = 30°，
∴CF
1
= CE = 2，
2
∴EF = EC 2 - CF 2 = 42 - 22 = 2 3 ，BF = BC + CF = 3 + 2 = 5，
∴CD = BE = EF 2 + BF 2 = 22 3 + 52 = 37 ．
故答案为： 37 ．
5．如图，在VABC 中 (AB < BC) ，过点C 作CD∥ AB ，在CD上截取CD = CB ，CB 上截取CE = AB ，连接
DE ，DB．
(1)求证：VABC≌VECD．
(2)若 A = 90°， AB = 3，CD = 5，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2 5
【分析】（1）由CD∥ AB 得 ABC = ECD ，而CD = CB ，CE = AB ，即可根据全等三角形的判定定理
“SAS ”证明VABC≌VECD；
（2）由 A = 90°，根据全等三角形的对应角相等证明 BED = CED = A = 90°，然后利用勾股定理即可
解决问题．
此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）证明：QCD∥AB ，CD = CB ，
\ ABC = ECD，
在VABC 和VECD 中，
ì CB = CD
í ABC = DCE ，
AB = EC
\VABC≌VECD SAS ．
（2）解：Q A = 90°，
\ CED = A = 90°，
\ BED =180° - CED = 90°，
QVABC≌VECD ，
\EC = AB = 3，CD = BC = 5，
\DE = AC = BC 2 - AB2 = 52 - 32 = 4，
\BE = BC - CE = 2，
\BD = DE2 + BE2 = 42 + 22 = 2 5 ．
6．如图 1，VABC 中，CD ^ AB 于 D，且BD : AD : CD = 2 : 3 : 4 S 2，若 VACD = 24cm ．
(1)求BD和 AC 的长；
(2)如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒的速度沿线段BA向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿
线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点 M 运动的时间为 t（秒）．
①若VAMN 是以点 A 为顶点的等腰三角形时，求 t 的值；
②若点 E 是边 AC 上一点，且DE = EC ，问在点 M 运动的过程中，VMDE 能否成为等腰三角形？若能，求
出 t 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1) BD = 4cm， AC = 10cm
49
(2)① t = 5；②9 或 10 或
6
【分析】（1）设 BD = 2x，则 AD = 3x ，CD = 4x ，利用三角形的面积构造关于 x 的方程，可求出 BD、CD、
AD ，然后利用勾股定理求出 AC 即可；
（2）①由VAMN 是以点 A 为顶点的等腰三角形，得出 AM = AN ，则可列出关于 t 的方程，解方程即可；
②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出DE = AE = CE
1
= AC = 5cm ，由BD > DE可判断点 M
2
不在BD上，当点 M 在 AD 时，分DE = DM ，ED = EM ，MD = ME 三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵BD : AD : CD = 2 : 3 : 4，
∴设 BD = 2x，则 AD = 3x ，CD = 4x ，
∵CD ^ AB ， SVACD = 24cm
2
，
1
∴ 3x 4x = 24，
2
解得 x = 2（负值舍去），
∴BD = 4cm， AD = 6cm ，CD = 8cm，
∴ AC = AD2 + CD2 =10cm；
（2）解：由（1）知：①∵VAMN 是以点 A 为顶点的等腰三角形，
∴ AM = AN ，
即10 - t = t ，
∴ t = 5；
②∵DE = CE ，
∴ DCE = CDE ，
又CD ^ AB ，
∴ CDE + ADE = 90°， ACD + D = 90°，
∴ ADE = A，
∴ AE = DE
1
∴DE = AE = CE = AC = 5cm ，
2
当点 M 在BD上，即0 t < 4时，VMDE 为钝角三角形，但DM < BD < DE ；
当 t = 4时，点 M 运动到点 D，不构成三角形
当点 M 在DA上，即 4 < t 10时，VMDE 为等腰三角形，有 3 种可能．
如果DE = DM ，则 t - 4 = 5，
∴ t = 9；
如果ED = EM ，则点 M 运动到点 A，
∴ t =10；
如果MD = ME = t - 4，
过点 E 作EF ^ AB于 F，如图 3 所示：
∵ED = EA，
∴DF = AF
1
= AD = 3，
2
在RtVAEF 中，EF = 4；
∵BM = t，BF = 7，
∴FM = t - 7
则在Rt△EFM 中， t - 4 2 - t - 7 2 = 42，
t 49∴ = ．
6
49
综上所述，符合要求的 t 值为 9 或 10 或 ．
6
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助
线，合理分类讨论是解题的关键．
【必考题型十三 勾股定理中的折叠问题】
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， C = 90°， AB = 5cm，BC = 3cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落在
直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为 AD ，则CD的长为（ ）
A．1cm B 4． cm C．1.5cm
5
D cm
3 ． 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键．
由勾股定理求出 AC 值，根据折叠的性质可得出CE值，在Rt△CDE 中根据DE = 3- CD运用勾股定理可求
出CD长．
【详解】解：∵ C = 90°， AB = 5，BC = 3，
∴ AC = AB2 - BC2 = 4，
由折叠知， AE = AB = 5．
∴CE = AE - AC =1，
∵CD2 + CE2 = DE2 ，DE = BD = 3 - CD ，
∴CD2 +12 = 3- CD 2 ，
CD 4解得： = ，
3
CD 4的长为 cm3 ．
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC 中， B = 90°，AB = 9，BC = 6．将VABC 折叠，使点A 落在BC 的中点D处，折痕
为MN ，则线段DN 的长为（ ）
A 3 13
9
． B． C．5 D．4
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于 x 的
方程是解题的关键．
设BN = x，由翻折的性质可知 AN = DN = 9 - x，在RtVBDN 中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设BN = x，
由翻折的性质可知 AN = DN = 9 - x，
∵D 是BC 的中点，
BD 1= 6 = 3，
2
在RtVBDN 中，由勾股定理得：DN 2 = DB2 + BN 2
即 (9 - x)2 = x2 + 33，
解得： x = 4，
∴DN = 9 - x = 5，
故选：C．
3．如图，在直角三角形纸片 ABC 中，∠C = 90o ，AC = 6 ，BC = 8，点D在边BC 上，以 AD 为折痕，将△ABD
折叠得到VAB D， AB 与边BC 相交于点E ．若 △DEB 为直角三角形， 则BD的长是
【答案】2 或 5
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得 AB =10，以 AD 为折痕，将△ABD 折
叠得到VAB D，则 BD = DB ， AB = AB =10，分情况讨论问题：当 B DE = 90°时，过点 B 作 B F ^ AF ，
垂足为 F，设BD = DB = x ，则 AF = 6+x，FB = 8 - x ，在Rt△ AFB 中，由勾股定理得，
AB 2 = AF 2 + FB 2 ，即可得102 = (6 + x)2 + (8 - x)2，进行计算即可得 BD = 2，当 B DE = 90°时，点 C 与点 E
重合，根据 AB =10，AC = 6 得B E = 4，设BD = DB = x ，则CD = 8 - x，在RtVB DE 中，根据勾股定理得，
DB 2 = DE2 + B E2，可得 x2 = (8 - x)2 + 42 ，进行计算可得BD = 5，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，
能考虑到分情况讨论问题是解题的关键．
【详解】解：在RtVABC 中，∠C = 90o ， AC = 6 ， BC = 8，根据勾股定理得，
AB = AC 2 +BC 2 = 62 +82 =10，
∵以 AD 为折痕，将△ABD 折叠得到VAB D，
∴BD = DB ， AB = AB =10，
如图 1 所示，当 B DE = 90°时，过点B 作B F ^ AF ，垂足为 F，
设BD = DB = x ，则 AF = 6+x，FB = 8 - x ，
在RtVAFB 中，由勾股定理得， AB 2 = AF 2 + FB 2 ，
102 = (6 + x)2 + (8 - x)2，
100 = 36 +12x + x2 + 64 -16x + x2 ，
2x2 - 4x = 0，
x2 - 2x = 0，
x(x - 2) = 0
x1 = 2，x2 =（0 舍去），
∴ BD = 2，
如图 2 所示，当 B DE = 90°时，点 C 与点 E 重合，
∵ AB =10， AC = 6 ，
∴B E = 4，
设BD = DB = x ，则CD = 8 - x，
在RtVB DE 中，根据勾股定理得，DB 2 = DE2 + B E2，
x2 = (8 - x)2 + 42 ，
x2 = 64 -16x + x2 +16，
16x = 80，
x = 5，
∴BD = 5，
综上，BD的长为 2 或 5，
故答案为：2 或 5．
4．如图，在Rt△ABC 中， BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，点D是边BC 上一点，将△ABD 沿直线 AD 折叠，
点 B 的对应点为点B ，当 B D 平行于VABC 的一条边时，BD的长为 ．
【答案】1 或 3
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积的计算，
分两种情况进行讨论：当B D∥ AC 时，当B D∥AB时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当B D∥ AC 时，如图所示：
根据折叠可知： B = B ，AB = AB = 3，BD = B D ，
∵B D∥ AC ，
∴∠B =∠CAB ，
∴ CAB = B，
∵ B + C = 90°，
∴ CAB + C = 90°，
∴ AEC = 90°，
∴ AE ^ BC ，
∵在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AB = 3， AC = 4，
∴BC = AC 2 + AB2 = 5，
1
∵ SVABC = AB AC
1
= BC AE ，
2 2
AE AB AC 3 4 12∴ = = = ，
BC 5 5
B E 3 12 3∴ = - = ，
5 5
在Rt△ABE 中，根据勾股定理得：
2
BE = AB2 - AE2 = 32 12 9- ÷ = ，
è 5 5
9
设BD = B D = x ，则DE = - x，
5
在Rt△DB E 中，根据勾股定理得：DB 2 = DE2 + B E2，
2 2
即 x2 9 3= - x
÷ +
，
è 5 è 5 ÷
解得： x =1，
∴BD =1；
当B D∥AB时，如图所示：
根据折叠可知： ADB = ADB ，
∵B D∥AB，
∴ ADB = BAD ，
∴ ADB = BAD，
∴BD = AB = 3；
综上分析可知：BD =1或 3．
故答案为：1 或 3．
5．如图，将长方形纸片 ABCD沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， AB = 4， BC = 8
(1)试判断折叠后重叠部分VAFC 的形状，并说明理由．
(2)求重叠部分VAFC 的面积．
【答案】(1)VAFC 是等腰三角形．理由见解析
(2)重叠部分VAFC 的面积为 10．
【分析】此题考查了图形的折叠变换，等腰三角形的判定和勾股定理．
（1）先根据平行线的性质得到 DAC = ACB ，再由图形折叠的性质可得到 ACB = ACE ，继而可得出
DAC = ACE ，这即可判断出后重叠部分三角形的形状；
（2）设 AF 长为 x，则CF = x，FD = 8 - x，在直角三角形CDF 中，利用勾股定理可求出 x，继而利用三角
形面积公式进行计算求解．
【详解】（1）解：VAFC 是等腰三角形．理由如下：
∵四边形 ABCD是长方形，
∴ AD∥BC ，
∴ DAC = ACB ，
由图形折叠的性质可知： ACB = ACE ，
∴ DAC = ACE ．
∴VAFC 是等腰三角形；
