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3.4圆心角六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用弧、弦、圆心角之间的关系判断
【经典例题1】下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等
B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦，所对的弧相等
【变式训练1-1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等
C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等
【变式训练1-2】下列说法正确的个数有（ ）
①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-3】对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【变式训练1-4】下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
【变式训练1-5】下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等；
B．经过任意三点，可以画一个圆；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D．任意画一个三角形，其内角和为．
【变式训练1-6】下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：利用弧、弦、圆心角之间的关系求角度
【经典例题2】如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，中的度数为，是的直径，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，已知矩形的四个顶点都在圆上，且，则 ．
【变式训练2-6】如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ．
题型三：利用弧、弦、圆心角之间的关系求值
【经典例题3】如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（ ）
A．4cm B．5cm C． D．
【变式训练3-1】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练3-2】如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-4】如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ．
【变式训练3-5】已知扇形中，，，是上一点，是半径上一点，将扇形沿折叠，使点落在半径上点处．如果是中点（如图），那么折痕的长为 ．
题型四：利用弧、弦、圆心角之间的关系求最值
【经典例题4】如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
【变式训练4-1】如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．
【变式训练4-3】如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．
【变式训练4-4】如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ．
【变式训练4-5】如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ．
题型五：利用弧、弦、圆心角之间的关系求证
【经典例题5】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
【变式训练5-1】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练5-2】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【变式训练5-3】如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：．
【变式训练5-4】如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点．
(1)求证：是的中点；
(2)若，，求的半径．
【变式训练5-5】如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
【变式训练5-6】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径及的长．
题型六：圆周角探究题型
【经典例题6】在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．
(1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明）
(2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ．
【变式训练6-1】（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
【变式训练6-2】课本再现
如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．
（1）求证：四边形是菱形．
拓展延伸
（2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长．
【变式训练6-3】如图，已知
(1)用尺规作图作出的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若点C在的优弧上运动（不与A，B不重合），设的平分线与劣弧交于点P，试猜想点P在劣弧上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，设，的半径为5，那么四边形的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出四边形的面积的取值范围．
【变式训练6-4】如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且．
(1)当时， ， ；
(2)当点在上时，
①求的值；
②当为轴对称图形时，求的大小；
(3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值．
【变式训练6-5】请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线：
(1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D；
(2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明．
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3.4圆心角六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用弧、弦、圆心角之间的关系判断
【经典例题1】下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等
B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦，所对的弧相等
【答案】B
【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键．
【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意；
B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确；
C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意；
D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等
C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等
【答案】D
【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等， B不正确，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意；
D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列说法正确的个数有（ ）
①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．
由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案．
【详解】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意；
②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意；
④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-3】对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题；
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题
故选：A．
【变式训练1-4】下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆的基本性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、直径是弦，半圆是弧，故本选项错误，不符合题意；
B、同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项错误，不符合题意；
C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项正确，符合题意；
D、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【变式训练1-5】下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等；
B．经过任意三点，可以画一个圆；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D．任意画一个三角形，其内角和为．
【答案】C
【分析】根据题意并熟知事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，再逐一分析每个选项即可得到本题答案．
【详解】解：∵等腰三角形只有两个腰相等，故选项说法错误，即不可能事件，故A选项排除，
∵经过不在同一直线上三个点可以确定一个圆，故B选项不是必然事件，
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧必定相等，故C选项为必然事件，
∵三角形内角和为，故选项说为为不可能事件，故D选项排除．
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件，等腰三角形性质，圆的性质，圆心角和弧的关系，三角形内角和．
【变式训练1-6】下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤．
【详解】解：①半圆是弧，原说法正确，符合题意；
②面积相等的两个圆是等圆，原说法正确，符合题意；
③所对的弦长相等的两条弧不一定是等弧，例如同一条弦所对的优弧和劣弧不是等弧，原说法错误，不符合题意；
④等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；
⑤在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，原说法错误，不符合题意；
∴说法正确的有3个，
故选C．
题型二：利用弧、弦、圆心角之间的关系求角度
【经典例题2】如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练2-1】如图，中的度数为，是的直径，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的知识，等边对等角，三角形内角和定理，由中的度数为可得出，由平角的定义求出，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵中的度数为，
∴，
∵是的直径
，
∵，
∴，
故选：A．
【变式训练2-2】如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案．
【详解】连接，
∵弦平行于直径，
∴，
又∵，则，
∴，
∵
∴．
故选：A．
【变式训练2-3】如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出．
【详解】解：连接，
是直径，
，
，
，
是的中点，
．
故选：D．
【变式训练2-4】如图，已知矩形的四个顶点都在圆上，且，则 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了矩形的性质，圆心角和所对弧的关系．
连接，根据矩形的性质得出，则为直径，点O、B、D三点共线，再根据，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴为直径，点O、B、D三点共线，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-6】如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段延长线上时，
∵，
∴，
设，则
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
题型三：利用弧、弦、圆心角之间的关系求值
【经典例题3】如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（ ）
A．4cm B．5cm C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由弧，弦，圆周角之间的关系得到，，再由角平分线的性质得到，证明，得到，设的半径为，则，，在中由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接．
∵点D是的中点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴
设的半径为，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
故选：C．
【变式训练3-1】如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则．
【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-2】如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键．
【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，
∵平分，，
∴，，(圆内接四边形对角互补)，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，则，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
∴，
故选：D．
【变式训练3-3】在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作于点C，先求出弦所对的圆心角的度数，用含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理解求出，最后利用垂径定理即可求解．
【详解】解：如图，作于点C，
弦把分成的两段弧的长度比为，
，
，
，
，
，
，
故选D．
【变式训练3-4】如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案．
【详解】解：连接，作于点，
∵弧的度数为，弧的度数为，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点分别是弦，弦的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-5】已知扇形中，，，是上一点，是半径上一点，将扇形沿折叠，使点落在半径上点处．如果是中点（如图），那么折痕的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作于点，得出，勾股定理求得，进而求得，在中，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
由题意可得：是中点
∵
∴，，
∵
∴，
由折叠可得，
∴，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴，
设，则，
又∵，即
解得：
∴，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：．
题型四：利用弧、弦、圆心角之间的关系求最值
【经典例题4】如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，
则，；
∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
即的最小值为；
故选：B．
【变式训练4-1】如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可．
【详解】解：连接，，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即，
设的弧度为，
的弧度为：，
，
的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
的弧度为：，
点为弧中点，
的弧度为：，
的弧度为：，
即所对圆心角为，
设半圆的半径为r，
，
，
解得：
半径为2，
故选：C．
【变式训练4-2】如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，
此时，点为的最小值时的位置，
由题意得，
则，
∴，
，为直径，
为直径．则．
故答案是：．
【变式训练4-3】如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，
此时最小，连接，如图所示．
点和点关于对称，
．
点是半圆上一个三等分点，点是的中点，
，，
．
，
．
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，
此时，点为的最小值时的位置，
由垂径定理，，
∴，
∵，为直径，
∴为直径．则．
故答案为：16．
【变式训练4-5】如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可．
【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，．
可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即．
∵点C在上，，点D是的中点，
∴，
∵点D关于的对称点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
题型五：利用弧、弦、圆心角之间的关系求证
【经典例题5】如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数；
（2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证；
（3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，
，的度数为，
，
，
；
（2）证明：，
，，
又∵，
，
；
（3）解：连接，交于点，
，弦是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练5-1】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据证明：；
（2）连接，设的半径为r，由列出关于r的勾股方程即可求解；
【详解】（1）证明：∵点C为的中点，
∴，
∵是的直径，且
∴，
∴，
∴，
，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，连接，设的半径为r，
中，，即，
中，，即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴
∴．
【变式训练5-2】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得；
（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
（2）证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
【变式训练5-3】如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明；
（2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵为半圆的中点，
∴，即，
∴平行四边形为矩形．
∴，
∴．
（2）证明：连接，，交于，
由（1）可知平行四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-4】如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点．
(1)求证：是的中点；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）垂径定理，得到，进而得到，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得到，即可；
（2）勾股定理求出，设，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的弦，半径，
是的中点．
．
．
．
，
．
，．
．
．
．
即为的中点．
（2）如图，连接．
半径，垂足为，，
．
是的中点，，
．
．
在中，．
设，则，
．
，即的半径为．
【变式训练5-5】如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明，只要证明即可；
（2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据
得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【变式训练5-6】如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先利用已知条件和垂径定理证明，然后根据证明，然后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）如图：连接，设的半径为r,由，列出关于r方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵点C为的中点，
∴，
∵是的直径且，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴；
（2）解：如图:连接，设的半径为r,
在中，，即，
在中，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴或（舍去），
∴．
题型六：圆周角探究题型
【经典例题6】在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．
(1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明）
(2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ．
【答案】(1)
(2)存在，见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案；
（2）先证明，然后根据证明即可求解；
（3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵是等边三角形，
∴，．
∵的度数为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）当顺时针旋转时，如图，作于H，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
由（2）得：，
∴；
当逆时针旋转时，如图，作于H，
同理可求．
综上可知，的长为．
故答案为：．
【变式训练6-1】（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
【答案】（1）；（2）解析．
【分析】（1）根据垂径定理得，再根据勾股定理即可得解；
（2）任务：分别过、作直径和，连接，由得；
任务：连接，，，交于点，作射线交于点，由得，从而得是半圆，则为直径．
【详解】解：（）过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
解得，即到的距离为；
（2）选择任务1：如下图，，
选择任务：如图，如下图为直径．
【变式训练6-2】课本再现
如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．
（1）求证：四边形是菱形．
拓展延伸
（2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论；
（2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，C是的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-3】如图，已知
(1)用尺规作图作出的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若点C在的优弧上运动（不与A，B不重合），设的平分线与劣弧交于点P，试猜想点P在劣弧上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，设，的半径为5，那么四边形的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出四边形的面积的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)点P位置不会随点C的运动而变化，理由见解析
(3)四边形的面积不是定值，它的取值范围是
【分析】（1）三角形外接圆圆心即为三角形三条垂直平分线的交点，据此作图即可；
（2）由角平分线的定义得到，则，由此可得P是劣弧的中点；
（3）由（2）知的面积不是定值，的面积为定值，当经过圆心O时，此时面积最大，即四边形面积最大，当点C无限接近点A或点B时，四边形面积最小，据此求解即可.
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：点P位置不会随点C的运动而变化，理由如下：
∵平分，
∴，
∴，即P是劣弧的中点．
∴点P位置不会变化．
（3）解：由（2）知的面积不是定值，的面积为定值
∴四边形的面积不是定值．
如图，连接，交于E，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴当经过圆心O时，如图，C到距离最大，即的边上的最大高线是．
∵，
∴的最大面积是．
∴四边形的最大面积是．
综上所述，四边形的面积不是定值，它的取值范围是．
【变式训练6-4】如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且．
(1)当时， ， ；
(2)当点在上时，
①求的值；
②当为轴对称图形时，求的大小；
(3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①，②的大小为或，见解析
(3)
【分析】（1）当时，根据正方形的性质，结合，得到，利用等腰三角形的性质计算即可．
（2）根据（1）中的思路，用表示、、，进一步求解、，利用三角形内角和求解，可得；当为轴对称图形时，分析可得有两种情况或，若，则，求得，若，则，求得．
（3）点在上时，三点在以正方形对角线交点为圆心为半径的圆上，点在上时，移动到B时，点重合，面积最大为，当点在上时，的距离最大时面积最大，最大为，即可得出整个过程中的最大面积．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴；；
∴，
故答案为：．
（2）①∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴；；
∴
∴
∴
∴；
②为轴对称图形，
为等腰角形，
∴
∴有两种情况或，
若，
则即
解得，
若
则
又
∴
∴的大小为或
（3）当点在上时，
∵，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点在上时，，
∴整个运动过程中，
∴三点在圆上，弧所对的圆周角是，所对的圆心角是，
又∵正方形对角线互相垂直平分，
∴圆心为正方形对角线交点，半径为的长度，
∵，
∴，
∴，，
当点在上时，移动到B时，点重合，
面积最大为，
当点在上时，的距离最大时面积最大，
面积最大为，
∴面积最大为．
【变式训练6-5】请用无刻度直尺在以下两个图中画出对应射线：
(1)如图①，若，A、B在圆上，请画出对应的弧的中点D；
(2)如图②，若存在正六边形，连接、、，请画出和的垂直平分线，两者交于，连接，问和的关系并证明．
【答案】(1)见详解
(2)作图见详解，平分
【分析】本题考查了复杂作图，圆周角定理，掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据“在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”进行作图；
（2）先画出图形，再根据菱形的性质进行证明．
【详解】（1）如图1，作的平分线交圆于，点即为所求．
（2），即为所求；平分．
理由：正六边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
是菱形，
∴平分．
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