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3.3垂径定理七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用垂径定理判断命题
【经典例题1】下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．三点确定一个圆
【答案】B
【分析】要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断．
【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项是假命题；
B、相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，故本选项是真命题；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项是假命题；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项是假命题；
故选：B．
【变式训练1-1】下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误；
B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误；
C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误；
D、根据垂径定理得到，故该选项正确．
故选：D．
【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【答案】D
【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；
C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-3】下列说法正确的数量为（ ）
（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等
（2）一组对边平行的四边形是梯形
（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此题考查了三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论，根据三角形外心、梯形的定义、垂径定理及其推论进行判断即可.
【详解】解：（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等，说法正确，
（2）一组对边平行的四边形，另一组对边不平行的四边形是梯形，原说法错误，
（3）垂直平分弦的直径平分弦所对的弧，原说法错误，
说法正确的数量1个，
故选：B
【变式训练1-4】下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直弦的直线必过圆心
D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据不共线的三点确定一个圆，垂径定理及其推论，圆的对称性解答即可．
本题考查了确定圆的方法，垂径定理及其推论，圆的对称性，熟练掌握圆的基本性质和垂径定理是解题的关键．
【详解】解：A． 不共线的三点确定一个圆，不符合题意；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，不符合题意；
C．垂直且平分弦的直线必过圆心，不符合题意；
D． 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，
故选D．
【变式训练1-5】下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦，平分弦的直径垂直于弦；
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件；
C．数据4，9，5，7的中位数是6；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定．
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂径定理及其推论，多边形的外角和，中位数，方差的意义．熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据垂径定理及其推论，多边形的外角和性质，中位数判定计算，方差的意义，分别进行判断即可．
【详解】A．垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦，故此选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故此选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是6，故此选项正确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-6】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断，⑤根据等弧的定义判断，⑥根据圆的对称性质进行判断．
【详解】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，条件是在同圆或等圆中；
⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确．
∴正确的有②④⑥，共3个．
故选：C．
题型二：利用垂径定理求值
【经典例题2】如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：设的半径为r，
，，
，
为直径，
，
是的中点，
，
在中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【变式训练2-1】如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由且过圆心，得到再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
且过圆心，
在中，
在中，
在中，．
故答案为：．
【变式训练2-2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则 m．
【答案】8
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，，设的半径长为，再在中，利用勾股定理即可得的半径，进一步计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
在中，，
则，
故答案为：8．
【变式训练2-3】如图， 是的半径， 弦于点D，连接，若的半径为， 的长为， 则的长是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【变式训练2-4】如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于是方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：连接，设的半径为，则，
为的直径，弦，，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径是5，
故答案为：5．
【变式训练2-5】如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论；
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作，垂足为F．
∵，，，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
题型三：利用垂径定理求平行弦问题
【经典例题3】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
【详解】解：如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴E、O、F三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是14或2．
故选：C．
【变式训练3-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是2；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
【变式训练3-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
【答案】2或14
【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，
过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，，
∴；
②当弦与在圆心异侧时，如图，
过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，
同理，，
，
所以与之间的距离是2或14．
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【变式训练3-3】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ．
【答案】或/7或1
【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解．
【详解】解：如图，，，
过点作于，交于点，连，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，
，
同理可得，
当圆心在与之间时，与的距离；
当圆心不在与之间时，与的距离．
故答案为7或1．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式训练3-4】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式训练3-5】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．
(1)求证：直线；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
题型四：利用垂径定理求同心圆问题
【经典例题4】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式训练4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
【变式训练4-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【变式训练4-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．
（1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证；
（2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图，
由垂径定理可得，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即小圆的半径r为
【变式训练4-4】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【变式训练4-4】（1）PA与PB相等吗？请说明理由；
（2）若，求圆环的面积.
【答案】（1）相等，证明见解析；（2）圆环的面积为
【详解】试题分析：（1）PA=PB，连接OP，在大圆中利用垂径定理即可证明，
（2）连接OA，根据切线的性质和勾股定理可得：OA2﹣OP2=AB2，写出环形的面积表达式，把数值代入即可．
试题解析：（1）PA=PB，理由如下：
连接OP，
∵大圆的弦AB切小圆于点P，
∴OP⊥AB，
∴PA=PB，
（2）接OA，
∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切，
∴OP⊥AB，AP=4，
∴OA2﹣OP2=16，
∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π，
∴圆环的面积=16π．
题型五：利用垂径定理求最值问题
【经典例题5】如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，垂径定理，确定圆心，连接，则是等边三角形，即可得到，然后根据弦的中点得到，即可得到点在以为直径的圆上运动，然后计算最值即可．
【详解】解：连接.
∵ 为的中点,
，
∴点在以为直径的圆上运动.
，
是等边三角形，
，
取的中点，
则 的半径为,
∴的最小值为，
故选A．
【变式训练5-1】如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
过点的弦的长度最短为8．
故选：B．
【变式训练5-2】如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当时，最小，即最小，进而可得是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，连接，
∵垂直于
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴当时，最小，即最小，
∴是等腰直角三角形，
设，
则，
∵，
在中，
即
解得：（负值舍去）
故选：B．
【变式训练5-3】如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ．
【答案】 8 32
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键．
过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴点到距离的最大值为8，
∴面积的最大值为．
故答案为：8，32．
【变式训练5-4】如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值．
连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值．
【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
如图所示，作的中点，连接，连接，
∵点是的中点，为中点，
∴，
∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，
连接交于点，过点作，
∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小，
∵点是的中点，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴的最小值为 ，
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．
【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，，
由勾股定理得：．
，
．
，
，
在中，，
，
的最小值是，
故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键．
【变式训练5-6】如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，
∴，
∵，
∴，
∵D的坐标是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴P，
∴，
∴，
∴Q在M上，
∴当Q与重合时，最小，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
题型六：利用垂径定理的实际应用
【经典例题6】如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
【答案】D
【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得．
【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接，
由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长，
设圆的半径为，
由垂径定理得：，，
在中，，即，
解得，
即水面距管道底部的最大深度为米，
故选：D．
【变式训练6-1】在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，根据垂径定理、勾股定理求出即可
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，的延长线交于点C，连接，则，
在中，
∴
∴,
故选：A．
【变式训练6-2】唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
题意可得，
∵过圆心，且，
∴，
设该桨轮船轮子的半径为，则，，
∵在中，，
即，
解得，
∴该桨轮船轮子半径为.
故选：C．
【变式训练6-3】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ．
【答案】
【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可．
【详解】解：取与的交点为点G，
由题意得，，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键．
【变式训练6-4】石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m．
【答案】10
【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键．
设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得．
【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得．
故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
【变式训练6-5】如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【答案】(1)2米；
(2)0.4米
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长至点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可．
【详解】（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于点，延长经过点，
则（米，
设的半径为米，在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过作于点，
则（米，米，
在中，（米，
（米，
（米，
即支撑杆的高度为0.4米．
【变式训练6-6】【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高．
素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离）
(3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据：
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)牌匾悬挂不能成功，见解析
(3)原方案可行
【分析】（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
（2）根据题意， 危险高度，安全最低高度为，计算出安全宽度，与方案宽度比较，计算判断即可．
（3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ，设圆的半径为，则，，利用垂径定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系，
由题意可知该抛物线顶点坐标为，，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意， 危险高度，安全最低高度为，
∵，
当时，，
解得，
∴匾额的最大长度为，
根据题意，方案的设计长度为，
由，
故牌匾悬挂不能成功．
若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为，
即把字间距由改为即可实现悬挂目标．
（3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，
∵，
设圆的半径为，则，，
根据勾股定理，得，
解得，
在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点，
连接，则，，
∴，
∴，
根据题意，方案的设计宽度为，
由，
故牌匾悬挂能成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
题型七：垂径定理的综合应用
【经典例题7】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：证明：如图，连接．
∵于点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
同理：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴
∴是的中点．
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三
角形．
【变式训练7-1】如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，详见解析
(3)或8
【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案；
（2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：，
，
是直径，
，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，
由（1）得，
四边形是菱形；
（3）解：，，
①如图1，当点在点左侧时，
，
，
，
在中，，
．
②如图2，当点在点右侧时，
，
，
，
在中，，
．
【变式训练7-2】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
【答案】(1)见解析
(2)的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论；
（2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，且过圆心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直径是．
【变式训练7-3】如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点．
(1)求证：；
(2)若，求圆的半径长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）与交于，连接，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可得证；
（2）可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由余弦函数得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，判定出是等边三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：与交于，连接，
，
，
是的垂直平分线，
，
同理可证：，
；
（2）解：由（1）得
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
圆的半径为．
【变式训练7-4】如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，．
(1)求证：．
(2)当时，求的度数．
(3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据证明即可；
（2）由（1）得：，则，又由可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，即的度数为．
（3）分两种情况：①当时，可得是等边三角形，则中，，，则可得，，则；②当时，可得．
【详解】（1）解：在和中，
，，，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
在中，，
即，
，
，
∴的度数为．
（3）解：①当时，如图：
，，
，
，
是等边三角形，
在中，，，
，
，
．
②当时，如图：
是等腰直角三角形，
．
综上，或．
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3.3垂径定理七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用垂径定理判断命题
【经典例题1】下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．三点确定一个圆
【变式训练1-1】下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【变式训练1-3】下列说法正确的数量为（ ）
（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等
（2）一组对边平行的四边形是梯形
（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练1-4】下列命题中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直弦的直线必过圆心
D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
【变式训练1-5】下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦，平分弦的直径垂直于弦；
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件；
C．数据4，9，5，7的中位数是6；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定．
【变式训练1-6】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：利用垂径定理求值
【经典例题2】如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【变式训练2-1】如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ．
【变式训练2-2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则 m．
【变式训练2-3】如图， 是的半径， 弦于点D，连接，若的半径为， 的长为， 则的长是 ．
【变式训练2-4】如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ．
【变式训练2-5】如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
题型三：利用垂径定理求平行弦问题
【经典例题3】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【变式训练3-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【变式训练3-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
【变式训练3-3】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ．
【变式训练3-4】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【变式训练3-5】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．
(1)求证：直线；
(2)求证：．
题型四：利用垂径定理求同心圆问题
【经典例题4】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【变式训练4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
【变式训练4-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【变式训练4-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
【变式训练4-4】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【变式训练4-4】（1）PA与PB相等吗？请说明理由；
（2）若，求圆环的面积.
题型五：利用垂径定理求最值问题
【经典例题5】如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练5-2】如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式训练5-3】如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ．
【变式训练5-4】如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．
【变式训练5-5】如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ．
【变式训练5-6】如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ．
题型六：利用垂径定理的实际应用
【经典例题6】如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
【变式训练6-1】在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ．
【变式训练6-4】石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m．
【变式训练6-5】如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【变式训练6-6】【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高．
素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离）
(3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据：
题型七：垂径定理的综合应用
【经典例题7】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
【变式训练7-1】如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【变式训练7-2】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
【变式训练7-3】如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点．
(1)求证：；
(2)若，求圆的半径长．
【变式训练7-4】如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，．
(1)求证：．
(2)当时，求的度数．
(3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离．
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