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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.4圆心角六大题型（一课一练）
1．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，根据圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵弦所对的劣弧为圆的，
∴的度数为，故正确，
的度数即为的度数，即，故正确，
∵，，
∴是等边三角形，故正确，
∵是等边三角形,
∴，
∵，都是半径，
∴弦的长等于这个圆的半径，故正确，
故选：．
2．已知，是的直径，弦，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键．
【详解】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵弦，
∴ ，
∴
∴的度数是；
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵弦，
∴ ，
∴
∴的度数是；
综上可知：的度数是或，
故选：．
3．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角．
故选：B．
4．如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
点是劣弧的中点，
，则，
，
，
故选：C．
5．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴，，故A正确；，
∴， ,
∴，故B正确；,
∴，故C错误；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
6．如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论．
【详解】连接，如图，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴，
∵
∴，即是等边三角形，
∴，
∴,
故选：D
8．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，连接，
又，
即，
，
，
∴，，
∴，，，
∵，即，
解得，
∴，
故选：C．
9．如图，是以为直径的半圆上一点，连接，分别以，为边向外作正方形，，，，，的中点分别是，，，．若，，则的长是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】如图，连接、，分别交，于、，连接、、、、，由的中点是，可得，由半径相等即可证明垂直平分，利用可证明，可得，可得点在的垂直平分线上，可得点、、、在同一条直线上，根据中位线的性质可得，同理可得，可得，根据得出，即可得出，根据正方形的性质可得，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，分别交，于、，连接、、、、，
∵的中点是，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴点、、、在同一条直线上，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∵点、是正方形边中点，、是正方形边的中点，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据题意首先证得，进而证明、、是等腰三角形解答即可．
【详解】解：根据题意可知，则，
，
，
，
，
，，故②④正确；
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故③错误；
故正确的结论是①②④．
故选：C．
11．如图，是直径，，，的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是 度．
【答案】60
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．
先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角．
【详解】解：如图，，
为等边三角形，
，
故答案为：60．
13．如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ．
【答案】 ，，，， ，
【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，，
∴；
又∵，
∴，，是全等的等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：，，，，；，．
14．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
【答案】/150度
【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解；
【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E，
设圆的半径为，
由题意可得：，
∴
∴
∴
∴
∴弧的度数是
故答案为：
15．如图，是的直径，，，则的大小为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解．
【详解】如图所示，连接，延长交分别为，
∵，为等腰直角三角形
∴，
∵弧的度数，
∴是等腰直角三角形，
则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
在中，
∴
即
整理得，
∴
故答案为：．
17．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ．
【答案】8
【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定．
连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答．
【详解】解：连接，，
则，
∵点A，B分别为半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：8
18．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，
根据轴对称的性质可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴，
又∵点B是的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案为：．
19．如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：．
【答案】见详解
【分析】连接，可得，再由得，，从而得出，则．
本题主要考查了圆的对称性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
21．操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使；
(2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等：
（1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求；
（2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求；
由角平分线的定义得到，则，则，则；
（2）解：设交于H，连接，
角平分线的定义得到，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握这些定理是解题的关键．
（1）连接，交于点，根据圆周角定理得，根据垂径定理得，所以，所以，再根据，所以，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，，所以，所以．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，
是半圆的直径，
，
，
是 的中点，是半径，
，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，，
在中，，
是半径且，
，
在中，，
，
在中，．
23．如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．
(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
【答案】(1)，证明见详解
(2)5
【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长交于点，连接，
，
，
；
（2）解：由（1）中结论，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，即的半径为5．
24．已知为的直径，弦和相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在上有一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接和，在上取一点，使，垂足为点，连接，在上取一点，使，在上取一点，连接和，若，与相交于点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆心角定理及等腰三角形三线合一求证；
（2）如图，连接和，过点O作垂足为点．由圆心角与圆周角关系定理及圆周角定理可证，进而证得，所以，进一步结合垂径定理求证结论．
（3）如图，由，设，可证，所以，进一步求证，从而得；由，得，于是，得，进一步证得；连接和相交于点与相交于点，求证，得；过点作垂足为点，则，进而，得；求证，得；解直角三角形得，，，所以．
【详解】（1）证明：如图，连接和OD．
（2）证明：如图，连接和，过点O作垂足为点．
即
（3）如图是的直径
设，则，
，
，
设，则
，
连接和相交于点与相交于点
过点作垂足为点，
解解得，
在中
在Rt中
，
连接
在Rt中
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3.4圆心角六大题型（一课一练）
1．在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：的度数为；；为等边三角形；弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是的直径，弦，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．或
3．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，是以为直径的半圆上一点，连接，分别以，为边向外作正方形，，，，，的中点分别是，，，．若，，则的长是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
11．如图，是直径，，，的度数是 ．
12．中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是 度．
13．如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ．
14．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是
15．如图，是的直径，，，则的大小为 ．
16．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ．
17．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ．
18．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
19．如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：．
20．如图，中，弦，相交于点，．
(1)比较与的长度，并证明你的结论；
(2)求证：．
21．操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使；
(2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积．
22．如图，半圆中，点是的中点，点在直径上，且，半径交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．
(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
24．已知为的直径，弦和相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在上有一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接和，在上取一点，使，垂足为点，连接，在上取一点，使，在上取一点，连接和，若，与相交于点，求的长．
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