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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.3垂径定理七大题型（一课一练）
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
C．平分弦的直径垂直于弦
D．凸多边形的外角和都等于
2．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
6．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知的半径为，是的弦，，为中点，是圆上的一点不与、重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．
9．如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知的半径2，在直径AB上有一个异于端点的动点C，分别以线段和直径作，周长分别为，面积分别为，点D为中点，给出三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
11．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ．
12．如图，是的直径，弦于E，，，则的长为 ．
13．刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
14．圆内一弦与直径相交成，且分直径为和，则圆心到这条弦的距离为 ．
15．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ．
16．如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ．
17．如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 个．
18．如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ．
19．如图，是的两条弦，且，求证：．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心；
(2)点的坐标为 ．
21．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．）
22．如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：
(3)若，，求的半径．
23．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
24．根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．
解决问题
任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘．
任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘．
任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．
注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.3垂径定理七大题型（一课一练）
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
C．平分弦的直径垂直于弦
D．凸多边形的外角和都等于
【答案】D
【分析】本题考查判定命题的真假，分别根据平行公理、特殊平行四边形的性质、垂径定理、多边形的外角和分别判断即可．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项的命题是假命题，不合题意；
B、矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线不一定相等，故本选项的命题是假命题，不合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项的命题是假命题，不合题意；
D、凸多边形的外角和都等于，故本选项的命题是真命题，符合题意．
故选：D
2．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接，过点O作，垂足为H，
∴，
在中，
∴
即直尺的宽度为．
故选：C．
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
4．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选：B．
5．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故选C．
6．如图，在中，为直径，，点为弦的中点，点为上任意一点（点不与点重合），则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．连接，先求出，，设，则，，然后运用等腰三角形的性质分别求得和的值，然后即可解答．
【详解】解：连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为弦的中点，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即可能是．
故选：C．
7．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标．
【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心，
∴圆心的坐标是，
故选：B．
8．如图，已知的半径为，是的弦，，为中点，是圆上的一点不与、重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
连接、，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，计算即可．
【详解】解：由题意得，当点为劣弧的中点时，最小，
连接、，
由垂径定理得，点在上，，
在中，，
，
故选：．
9．如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先画出图形，再利用垂径定理与勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，记弦与圆的交点分别为，连接，
过作于，
∴，，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：D
10．如图，已知的半径2，在直径AB上有一个异于端点的动点C，分别以线段和直径作，周长分别为，面积分别为，点D为中点，给出三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】由周长公式得，故①正确；根据完全平方公式得，从而得即，，故②正确；利用勾股定理及垂径定理求出，故③错误．
【详解】解：∵的半径，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
，
∴即，
∴，故②正确；
如下图，当时，连接，则，，
∴，
∵点为中点，过圆心，
∴，
∴，，
∴，故③错误．
故选:A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，无理数大小的比较，完全平方公式，熟练掌握完全勾股定理，无理数大小的比较以及完全平方公式是解题的关键．
11．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，过O作于F，连接，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，过圆心O，
∴，
∴
故答案为：．
12．如图，是的直径，弦于E，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查垂径定理，由题意易得，，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2．
13．刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为 ．
【答案】10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
设圆心为O，连接，，，交于点F，证明四边形是矩形，得是切线，在求出，设，则有，解方程可得结论．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F．
， ，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
是切线，
，
，
，
设，则有，
，
故答案为：10．
14．圆内一弦与直径相交成，且分直径为和，则圆心到这条弦的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先画出对应的示意图，过点O作与H，连接，先求出，进而得到，则，可得答案．
【详解】解：如图所示，是的直径，弦与交于点E，，且，
如图所示，过点O作与H，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
15．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．
过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接，
∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，即的半径长是．
故答案为：．
16．如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ．
【答案】
【分析】连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系可得，从而可得，然后利用等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
∵M，N分别是弦的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 个．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．连接，过点作于点，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，求出的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
则，
在中，，，
故，
则，
∴线段的长度为整数的值有、、、，共个，
故答案为：．
18．如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性质，勾股定理解三角形，是解题的关键．
过点M作的垂线，垂足为N，连接，利用垂径定理证明四边形是矩形，令，则，利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】解：过点M作的垂线，垂足为N，连接，
则，
由旋转知，，，，
∴轴，
∴轴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
令，则，
在中，，
解得（舍负），
∴，
即．
又∵，
∴，
即．
所以点D的坐标为：，
故答案为：
19．如图，是的两条弦，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握等腰三角形的三线合一的性质成为解题的关键．
如图：过O作于M，于N，求出，根据角平分线的定理即可解答．
【详解】证明：如图：过O作于M，于N，则，
∵过O，
∴,
∵，
∴，
∵,
∴，
∴,即平分，
∵，
∴．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中画出经过 ，， 三点的圆弧所在圆的圆心；
(2)点的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，解决本题的关键是能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
（1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据点M的位置写出坐标即可．
【详解】（1）如图，点M即为所求，
（2）如图所示，则圆心为，
故答案为：．
21．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．）
【答案】此桥拱圆弧的半径约为
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，
由垂径定理可知，，
，，三点共线，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
此桥拱圆弧的半径约为．
22．如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】（1）首先由平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）过点作于点，由垂径定理可得，再根据垂直的定义可得，然后利用平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（3）由（2）知，，可得，在中，利用勾股定理即可求解
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分；
（2）如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，，
的半径为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识的综合运用，作出辅助线是解决本题的关键．
23．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)图见解析，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理：
（1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
（2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出
【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接，
∵，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴垂直平分，
由垂径定理：点P是的中点，
∴平分．
（2）解：过点O作，垂足为H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵
∴，
∴
又
∴
∴．
24．根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．
解决问题
任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘．
任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘．
任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．
注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．
【答案】任务1：5，5；任务2：；任务3：货船不能顺利通过此石拱桥
【分析】
任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可；
任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，记圆心为O，连结，．观察图形，得出，，的长，设，则，根据勾股定理，，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径；
任务3：根据垂径定理可知（肘），利用勾股定理求出，的长，即可判断答案．
【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘），
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则（肘），
故答案为：5，5．
任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，
记圆心为O，连结，，
A是拱圈的最高点，
圆心O在的延长线上，
观察图形，（肘），（肘），（肘），
设，则，
，，，
，
解得：，
，
石拱桥拱圈的半径为肘，
故答案为：．
任务3：
货船不能通过此石拱桥．理由如下：
由垂径定理得，（肘），
（肘），
（肘），
，
，
即（肘），
所以货船不能通过此石拱桥．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．
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