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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）利用课本上如图所示的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：显示结果为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．2
2．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（23-24七年级上·浙江·期中）下列四个判断：①有理数和数轴上的点是一一对应；②无限小数都是无理数；③负数没有立方根；④只有非负数才有平方根；其中正确的是（ ）
A．仅①和②正确 B．仅③和④正确 C．仅①和④正确 D．仅④正确
4．（2023·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·安徽·期中）有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
7．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数的小数部分是（ ）
A． B．5 C． D．
8．（2023·浙江· 七年级期末）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
9．（2024·平泉市七年级期中）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
10．（23-24七年级下·北京·期中）对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）．
A． B．3 C．6 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）的平方根是 ，的立方根是 ．
12．（23-24七年级下·山东济宁·期末）计算： ．
13．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）在数轴上离最近的整数是 ．
14．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
15．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
16．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”）
(1) ；(2) ．
17．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，.（1） ；（2）若，则的取值范围是 .
18．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，应该在第 行．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级下·云南红河·阶段练习）（1）计算：．
（2）
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．
(1) (2)
21．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
22．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和．
(1)若，求的值；(2)若，求的值．
23．（23-24七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子：
，，
和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以 （填空）
（1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？
（2）运用以上结论，计算：的值．
24．（2024·浙江·七年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
25．（22-23八年级上·重庆万州·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．
请回答下列问题：
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
(2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根．
26．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）利用课本上如图所示的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：显示结果为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】此题主要考查了计算器 基础知识，求一个数的立方根，解答此题的关键是熟练掌握科学计算器的使用方法．
根据科学计算器的使用方法，求出64的立方根即可．
【详解】解：由操作得，，
故选：C．
2．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据平方根及算术平方根的定义进行判断即可．
【详解】解：0的平方根为0，负数没有平方根，则①错误；
是1的一个平方根，则②正确；，是有理数，则③错误；
，其平方根是，则④正确；，其算术平方根是2，则⑤正确；
综上，正确的有3个，故选：B．
3．（23-24七年级上·浙江·期中）下列四个判断：①有理数和数轴上的点是一一对应；②无限小数都是无理数；③负数没有立方根；④只有非负数才有平方根；其中正确的是（ ）
A．仅①和②正确 B．仅③和④正确 C．仅①和④正确 D．仅④正确
【答案】D
【分析】本题考查实数的有关概念，实数与数轴上的点一一对应；无限不循环小数是无理数；任意实数都有立方根；一个正实数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根为零．据实数的有关概念完成即可．
【详解】①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数的立方根是负数，故③错误；④只有非负数才有平方根，故④正确；∴仅④正确．故选：D．
4．（2023·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A．根据实数减法的运算方法判断即可；B．根据绝对值的非负性判断即可；
C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；D．根据一个数的立方根的求法判断即可．
【详解】解：A、∵，∴选项A不正确；
B、∵，∴选项B不正确；C、∵，∴选项C不正确；
D、∵，∴选项D正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．
5．（23-24七年级下·安徽·期中）有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数，无理数，根据有理数与无理数的定义一一判断即可．
【详解】解：①是有理数， 正确，②是分数，错误，是无理数．
③…（两个之间依次增加一个）是无理数，正确，
④是无理数，正确，综上：①③④正确，故选：B
6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查倒数的概念：注意在求分数的倒数时，把分子、分母交换位置即可，求无理数的倒数要进行分母有理化，化为最简二次根式．
根据倒数的定义进行求解即可．
【详解】解：的倒数为：，故选：C．
7．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数的小数部分是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出整数部分．
先算出整数部分，然后求出小数部分；
【详解】解：，∴，∴的整数部分是5，
则无理数的小数部分是，故选：A．
8．（2023·浙江· 七年级期末）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【详解】被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，故选：B．
【点睛】本题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，解题关键是能准确理解运用相关的规律．
9．（2024·平泉市七年级期中）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
【答案】D
【分析】观察图形，大正方形的面积等于小正方形的面积，小正方形的面积为1，根据面积相等求得大正方形的边长即可．
【详解】大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则．故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键．
10．（23-24七年级下·北京·期中）对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）．
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．根据新定义先计算，进而计算，即可求解．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，；故选A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）的平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、平方根、立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义计算即可得出答案．
【详解】解：∵，∴的平方根是，的立方根是，故答案为：，．
12．（23-24七年级下·山东济宁·期末）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，故答案为：．
13．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）在数轴上离最近的整数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法先得到，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，∴在数轴上离最近的整数是，故答案为：．
14．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式的非负性，乘方运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为：1．
15．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．
按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：若1次运算输出的值是时，，，解得：或；
若2次运算输出的值是时，，，解答：或；
若3次运算输出的值是时，，，解答：或；
，且取负整数，或，故答案为：或．
16．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”）
(1) ；(2) ．
【答案】(1)＜(2)＞
【分析】本题主要考查实数的大小比较，正确掌握实数丝袜大小的方法是解题的关键．
（１）首先得出，进而比较得出答案；
（２）直接利用负数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，∴，∴；故答案为：＜；
（2）解：∵，∴．故答案为：＞．
17．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，.（1） ；（2）若，则的取值范围是 .
【答案】 1 /
【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义：
（1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可；
（2）根据的意义得到，进而得出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵，∴，∴，故答案为：1；
（2）∵，∴，∴，∴，故答案为：．
18．（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，应该在第 行．
【答案】45
【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案．
【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，
∵，，
∴在第45行，故答案为：45．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级下·云南红河·阶段练习）（1）计算：．
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查了实数的运算与二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则与步骤是解题关键．
（1）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根分别计算即可．
（2）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根及二次根式的加减分别计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．
(1) (2)
【答案】(1)(2)或
【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键；
（1）将等式整理为，再直接开平方计算求值即可；
（2）直接开平方计算求值即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
或
21．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解；
（2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，
∴，解得，
∵的算术平方根是4，
∴，
又∵，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴，
∴，，；
（2）解：把，，代入得
，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键．
22．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和．
(1)若，求的值；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；
（2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：正实数的两个平方根分别是和，
，
，
若，则；
（2）解：正实数的两个平方根分别是和，
，
，
，即，
，
是正实数，即，
．
23．（23-24七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子：
，，
和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以 （填空）
（1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？
（2）运用以上结论，计算：的值．
【答案】（1）；（2）120
【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键．
（1）直接利用算术平方根的定义得出答案；
（2）直接利用得出答案．
【详解】解：，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以；
（1）根据题意，当时，
则；
（2）．
24．（2024·浙江·七年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，
故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（22-23八年级上·重庆万州·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．
请回答下列问题：
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
(2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根．
【答案】(1)的值为1；(2)的平方根是．
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键．
（1）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求解即可；
（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】（1）解：，∴，∴的小数部分为：，
，∴，∴的整数部分为：
∴∴的值为1；
（2）解：，∴，∴，
∵，∴，，
∴，
的平方根是，∴的平方根是．
26．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
【答案】(1)(2)①两；②7；③2；④27(3)这个正方形棱长是72
【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提．
（1）根据立方根的意义进行计算即可；（2）利用题目提供的方法进行计算即可；
（3）利用立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考：
①∵，而，
∴，由此得是两位数；
②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3，∴的个位上的数是7；
③∵，且，所以的十位上的数字是2；
④综合以上可得，；
（3）解：设这个正方形棱长是x，根据题意得：，故，求解如下：
第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2；
第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7；综合以上可得，，故这个正方形棱长是72．
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