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专题3.1.平方根
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.平方根的相关概念理解 3
考点2.求一个数的平方根 4
考点3.已知平方根求数 4
考点4.利用平方根解方程 5
考点5.求已知数的算术平方根 7
考点6.算术平方根的非负性 8
考点7.与算术平方根有关的规律问题 9
考点8.算术平方根的实际应用 10
模块3：能力培优 9
1）平方根的定义
如果一个数的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
一个正数的正平方根用表示（读作：根号）；的负平方根用-表示（读作：负根号）。
因此一个正数的平方根的就用表示（读作：负根号），其中叫做被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以平方运算来求一个数的平方根。
2）算术平方根的定义
正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。因此一个数（≥0）的算术平方根记为。
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
考点1.平方根的相关概念理解
例1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
变式1.（2024 浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
变式2.（23-24八年级上·山西晋城·期中）下列各数没有平方根的是（ ）
A． B．0 C．2 D．6
变式3.（2024·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
考点2.求一个数的平方根
例1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
变式1．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
变式2．（23-24八年级上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
变式3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
考点3.已知平方根求数
例1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与，
(1)求和的值．(2)求平方根．
变式1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．25 D．
变式2．（23-24八年级上·四川达州·期中）若正数的平方根分别是和，则_____．
变式3．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；(2)求的算术平方根．
考点4.利用平方根解方程
例1．（23-24七年级下·浙江·假期作业）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)；(2)．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
考点5.求已知数的算术平方根
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的算术平方根：(1)0.49；(2)；(3)；(4)．
变式1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．一个数的算术平方根一定是正数 D．算术平方根等于本身的数是1
变式2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）算术平方根等于它本身的数是（ ）
A．1和0 B．0 C．1 D．和0
变式3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）下列各数中，算术平方根为小数的是（ ）
A．1 B．4 C．5 D．9
考点6.算术平方根的非负性
例1．（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值为 。
变式1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）当 时，有最小值．
考点7.与算术平方根有关的规律问题
例1．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现规律填空：已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，那么的值为 .
变式2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______；
(2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______；
(3)已，，，则______，______．
考点8.算术平方根的实际应用
例1．（23-24七年级下·福建·期末）依依需要一块长、宽比为且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按下图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计）
(1)缝合后大正方形的边长为__________米；
(2)依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由．
变式1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ．
变式2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）某社区为了方便广大群众跳广场舞，决定在一块面积为1024平方米的正方形地块上修建一个长方形广场舞台．若要求舞台的面积为420平方米，长是宽的倍，舞台四周留出1米宽的通道，请你通过计算说明能否按照要求修建好该广场舞台．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）的平方根是( )
A．9 B． C．3 D．
4．（23-24八年级上·河北保定·期中）下面各数没有平方根（ ）
A．55 B． C．0 D．
5．（23-24八年级上·江苏·周测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0
6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列语句中，真命题为（ ）
A．的平方根为 B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数 D．一定没有平方根
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位
9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形的面积相等．则a的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·辽宁本溪·开学考试）的平方根是 .
12．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）阅读：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作，读作“根号”，规定：0的算术平方根是0，即，如：，所以4是16的算术平方根，即，填空：17的算术平方根是 ，1的算术平方根是 ， ．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ．
14．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得．
解决问题：
（1）解 程．
解：，
，或 ．
．
（2）解 程：的根为 ．
15．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ．
16．（23-24七年级上·浙江·期中）当代数式取最大值时，x的值为 ．
17．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，，则 ．
18．（23-24七年级下·山东临沂·期中）一般的，如果，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为，若，则m= ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根：
(1)121；(2)；(3)；(4)．
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知与互为相反数，求的值．
21．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)．
22．（24-25八年级上·全国·课后作业）物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计．(1)把这个公式变形成用s表示t的公式；(2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
23．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；（2）求关于的方程的解．
24．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
25．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：①已知，则______；
②已知，则m＝______．
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专题3.1.平方根
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.平方根的相关概念理解 3
考点2.求一个数的平方根 4
考点3.已知平方根求数 4
考点4.利用平方根解方程 5
考点5.求已知数的算术平方根 7
考点6.算术平方根的非负性 8
考点7.与算术平方根有关的规律问题 9
考点8.算术平方根的实际应用 10
模块3：能力培优 9
1）平方根的定义
如果一个数的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
一个正数的正平方根用表示（读作：根号）；的负平方根用-表示（读作：负根号）。
因此一个正数的平方根的就用表示（读作：负根号），其中叫做被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以平方运算来求一个数的平方根。
2）算术平方根的定义
正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。因此一个数（≥0）的算术平方根记为。
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
考点1.平方根的相关概念理解
例1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方根的概念，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：A、当时，有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；
C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意；
D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D．
变式1.（2024 浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
【思路点拨】非负数必定有平方根．
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．
B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．
C、a+1有可能小于，故C不符合题意．
D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
变式2.（23-24八年级上·山西晋城·期中）下列各数没有平方根的是（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】A
【分析】本题考查平方根的性质，根据负数没有平方根，进行判断即可．
【详解】解：∵负数没有平方根，
又∵选项中只有A选项为负数，∴A选项没有平方根．故选：A．
变式3.（2024·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
【点睛】本题考查正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
考点2.求一个数的平方根
例1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查平方根．根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：16的平方根是，故选：D．
变式1．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根和平方根的区别，注意先求得的值，再求其平方根．
【详解】解：．4的平方根为．故选：C．
变式2．（23-24八年级上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据平方根的定义进行求解即可，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：，故选：B
变式3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据平方根定义求解即可．
【详解】解：的平方根是，故选：A．
考点3.已知平方根求数
例1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与，
(1)求和的值．(2)求平方根．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了平方根的概念和求一个数的平方根：
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可；（2）根据（1）求出的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：由（1）得，，∴，
∵36的平方根为，∴的平方根为．
变式1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．25 D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：，∴；故选C．
变式2．（23-24八年级上·四川达州·期中）若正数的平方根分别是和，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，根据平方根互为相反数，可得和的关系，根据解一元一次方程，可得的值，根据平方运算即可求值，解题的关键是正确理解平方根的概念．
【详解】解：∵一个数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数，
∴， ∴，即，，
∴，故答案为：．
变式3．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，(2)6
【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可；（2）根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，，解得，则．
（2）将与的值代入，得．则．故的算术平方根是6．
考点4.利用平方根解方程
例1．（23-24七年级下·浙江·假期作业）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)或(3)(4)或
【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先系数化1，再开平方根，即可作答．（2）开平方根，然后再移项运算，即可作答．
（3）先系数化1，再开平方根，即可作答．（4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答．
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得或；
（3）解：
解得
（4）解：
解得或．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)或
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．
（1）首先将原方程整理为，然后根据平方根的性质求解即可；
（2）首先将原方程整理为，然后根据平方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
或．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)或
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程：
（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
考点5.求已知数的算术平方根
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的算术平方根：
(1)0.49；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)0.7(2)3(3)(4)3
【分析】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
（1）根据算术平方根的定义计算即可；（2）根据算术平方根的定义计算即可；
（3）根据算术平方根的定义计算即可；（4）根据算术平方根的定义计算即可；
【详解】（1）解：∵，
∴0.49的算术平方根是0.7；
（2）解：，
∵，
∴的算术平方根是3；
（3）解：，
∵，
∴的算术平方根是；
（4）解：∵，
∴的算术平方根是3．
变式1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．一个数的算术平方根一定是正数 D．算术平方根等于本身的数是1
【答案】B
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，熟知平方根，算术平方根的定义是解题的关键，注意一个正数的平方根有两个，其中正的平方根叫做算术平方根．根据平方根，算术平方根的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、的平方根为，说法错误，不符合题意；
B、的的算术平方根是，说法正确，符合题意；
C、一个数的算术平方根一定是正数或零，说法错误，不符合题意；
D、算术平方根等于本身的数为1，0，说法错误，不符合题意．故选：B．
变式2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）算术平方根等于它本身的数是（ ）
A．1和0 B．0 C．1 D．和0
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义即可确定．
本题考查了算术平方根，关键是根据算术平方根的定义解答．
【详解】解：算术平方根等于本身的数有：0，1．故选：A．
变式3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）下列各数中，算术平方根为小数的是（ ）
A．1 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键；分别求出每个选项的算术平方根即可；
【详解】、1的算术平方根是1，故本选项不符合题意；
、4的算术平方根是2，故本选项不符合题意；
、5的算术平方根是，而是小数，故本选项符合题意；
、9的算术平方根是3，故本选项不符合题意；故选：．
考点6.算术平方根的非负性
例1．（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值为
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算，先得出，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，故答案为：1．
变式1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
【答案】；
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，且和互为相反数，
∴，，解得：，，
∴，∴的平方根是：，故答案为：．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）当 时，有最小值．
【答案】8
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据，当且仅当时取得等号可得答案．
【详解】解：∵，当且仅当时取得等号，
∴当，有最小值，故答案为：8．
考点7.与算术平方根有关的规律问题
例1．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根据你发现规律填空：已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
【答案】 0.02 0.2 2 20 26.83 0.02683 3800
【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；（2）根据计算找出规律即可得到答案．
【详解】（1），，，，填表如下：
a
（2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍，
，；
，，∵，．
故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．
变式1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，那么的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，准确熟练利用题意计算是解题的关键．
根据被开方数的小数点向左移动两位，它的算术平方根的小数点只向左移动一位，即可解答．
【详解】∵，
∴，故答案为：．
变式2．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______；
(2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______；
(3)已，，，则______，______．
【答案】(1)倍(2)；(3)；
【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；
（2）根据规律进行计算即可求解；（3）根据规律进行计算即可求解；
【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍；
（2）解：∵（精确到），∴；；
（3）解：∵∴；；
考点8.算术平方根的实际应用
例1．（23-24七年级下·福建·期末）依依需要一块长、宽比为且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按下图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计）
(1)缝合后大正方形的边长为__________米；
(2)依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由．
【答案】(1)(2)依依能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是解此题的关键．
（1）设大正方形的边长是米．由题意得出，求解即可得出答案；（2）设长方形的长为米，宽为米，由题意得出，计算即可得出长方形边长，再比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设大正方形的边长是米．
由题意得：解得：（舍去），
∴缝合后大正方形的边长为米；
（2）解：设长方形的长为米，宽为米
（舍去）∴
∵∴
答：依依能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布．
变式1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可．
【详解】解：分割图形如下：
这个正方形的面积为5，故这个正方形的边长是．故答案为：．
变式2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）某社区为了方便广大群众跳广场舞，决定在一块面积为1024平方米的正方形地块上修建一个长方形广场舞台．若要求舞台的面积为420平方米，长是宽的倍，舞台四周留出1米宽的通道，请你通过计算说明能否按照要求修建好该广场舞台．
【答案】能按要求在这块空地上建一个篮球场
【分析】本题考查了算术平方根的应用，先设篮球场的宽为x米，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了．
【详解】设篮球场的宽为x 米，则长为米，根据题意，得
，即，
∵x为正数，∴，∴（米）∴篮球场的长为28米，
∵，∴能按要求在这块空地上建一个篮球场．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级下·广西崇左·期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的计算，掌握运算法则是解答此题的关键．利用算术平方根的定义运算即可．
【详解】解：A．，所以此选项正确；B．，所以此选项错误；
C．，所以此选项错误；D．，所以此选项错误；故选：A．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了平方根．利用了开方运算，注意一个正数的平方根有两个．
【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0，故选：A．
3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）的平方根是( )
A．9 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了求算术平方根，求平方根，先化简，再求其平方根即可，理解算术平方根和平方根的定义是解题的关键．
【详解】解： ，9的平方根是．故选：D．
4．（23-24八年级上·河北保定·期中）下面各数没有平方根（ ）
A．55 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．
【详解】解：，，∵负数没有平方根，∴没有平方根．故选：D．
5．（23-24八年级上·江苏·周测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：负数没有平方根，故A、B均不符合题意；
平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意；
0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查平方根与算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列语句中，真命题为（ ）
A．的平方根为 B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数 D．一定没有平方根
【答案】A
【分析】此题考查了平方根的意义，根据平方根的意义进行解答即可．
【详解】解：A．的平方根为，故选项正确，符合题意；
B．正数和0都有平方根，故选项错误，不符合题意；
C．正数的平方根有两个，一个正根和一个负根，且互为相反数，故选项错误，不符合题意；
D．当时，，此时有平方根是0，故选项错误，不符合题意．故选：A．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵x，y满足，∴，解得，
∴，∴的平方根为．故选：D．
8．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可．
【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位；
故选：A．
9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形的面积相等．则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据面积公式和算术平方根的定义求解．
【详解】解：根据题意得：，∴．故选：C
10．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据题意得，，即，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，即，∴大正方形与小正方形的边长之比，故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·辽宁本溪·开学考试）的平方根是 .
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的平方与平方根；先计算出平方，再求平方根即可．
【详解】解：，而，
故答案为：．
12．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）阅读：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作，读作“根号”，规定：0的算术平方根是0，即，如：，所以4是16的算术平方根，即，填空：17的算术平方根是 ，1的算术平方根是 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，会利用算术平方根的定义求一个数的算术平方根是解题的关键．
【详解】解：17的算术平方根是，1的算术平方根是，；故答案：，，．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数，
这个数是，故答案为：．
14．（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得．
解决问题：
（1）解 程．
解：，
，或 ．
．
（2）解 程：的根为 ．
【答案】 0 2，
【分析】本题考查了利用平方根性质进行求解方程，熟练掌握平方根性质是解题关键．
（1）利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用开平方的方法解方程即可．
【详解】解：（1）解：，
，或．
0．
（2），
，
，
，或．
．
故答案为：；0；，．
15．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ．
【答案】6（答案不唯一）
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：．．故答案为：6（答案不唯一）．
16．（23-24七年级上·浙江·期中）当代数式取最大值时，x的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根为非负数，进行求解即可．
【详解】解：∵，∴代数式取最大值时，取得最小值，
即当时原式有最大值，故答案为：0．
17．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，，则 ．
【答案】31.9
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：，，
．故答案为：31.9．
18．（23-24七年级下·山东临沂·期中）一般的，如果，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为，若，则m= ．
【答案】±2
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【详解】解：∵，∴m4＝24，∴m＝±2．故答案为：±2．
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根：
(1)121；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数．
（1）根据开平方，可得答案；（2）根据开平方，可得答案；（3）根据开平方，可得答案；
（4）先求出，再根据开平方，可得答案；
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）∵，
∴的平方根是；
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知与互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再带入求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，，
，，
，，．
．
21．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解平方根的定义是解题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用平方根的定义解方程即可；
【详解】（1）移项，得，
开平方，得；
（2）开平方，得，
解得：或．
22．（24-25八年级上·全国·课后作业）物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计．
(1)把这个公式变形成用s表示t的公式；
(2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
（1）先将的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得；（2）将代入计算可得．
【详解】（1）解：，，；
（2）当时，，
答：它落到峡谷底经过了6秒时间．
23．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；（2）求关于的方程的解．
【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）
【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案；
（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．
【详解】解：（1）由题意得+=0，解得a=1，
∴这个正数是；
（2）将a=1代入方程，得-64=0，解得．
【点睛】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．
24．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
【答案】(1)(2)不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析
【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案．
【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，
大正方形的边长为；
（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
理由如下：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为，
∵，不符合题意，∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
25．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：①已知，则______；
②已知，则m＝______．
【答案】（1）0.1；10 （2）右；1 （3）① ②25
【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；（3）利用（2）中找出的规律求解．
【详解】解：（1），，故答案为：，10；
（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．故答案为：右，1；
（3）①已知，则，②已知，，则，∴
故答案为：①22.4；②25．
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