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专题3.2.实数
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.无理数的相关概念与识别 3
考点2.实数的概念理解及实数的分类 4
考点3.实数的性质 5
考点4.实数的估算 6
考点5.实数与数轴 7
考点6.实数的大小比较 9
模块3：能力培优 10
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数。无限不循环小数又叫无理数。
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③看似有规律，实则无循环节的数，如：1.313113111…….
2、实数
1）有理数和无理数统称为实数。
2）实数的分类
实数 实数
3）实数与数轴上的点的关系
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
故实数和数轴上的点一一对应。
4）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：。
5）两个实数比较大小
①在数轴上表示的两个实数，右边的数比左边的数大。
②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
6）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考点1.无理数的相关概念与识别
例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根
【答案】A
【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可．
【详解】解：A、16的平方根是，符合题意；
B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意；
C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意；
D、0的算术平方根是0，不符合题意，故选：A．
变式1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数，，，中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可；熟知无理数的常见形式是关键．
【详解】解：根据无理数的定义可知：，，是无理数；故选：．
变式2．（24-25八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．，，都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数都是实数
【答案】D
【分析】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】是有理数，故选项A和B错误；
π是无理数但不是开方开不尽的数，故选项C错误；
无理数都是实数，故选项D正确．故答案为：D．
变式3．（23-24七年级上·山东东营·期末）下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．两个无理数之积不一定是无理数
【答案】D
【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义和运算是解题关键．根据无理数的定义和运算逐项判断即可得．
【详解】解：A、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，此项错误；
B、无限不循环小数都是无理数，此项错误；
C、两个无理数的和不一定是无理数，如，此项错误；
D、两个无理数之积不一定是无理数，如，此项正确；故选：D．
考点2.实数的概念理解及实数的分类
例1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}
(3)非负整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}
【答案】(1)(2)，(3)0，227(4)，，
【分析】本题考查了有理数的分类：整数和分数的统称；有理数还可以分为0和正有理数、负有理数，据此作答即可．
【详解】（1）解：正有理数集合：{…}
（2）解：无理数集合：{，}
（3）解：非负整数集合：{0，227…}
（4）解：分数集合：{，，…}
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号
，0，，，，，，，，
正有理数集合：｛ …｝ 非正整数集合：｛ …｝
负分数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝
【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…}
【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可．
【详解】正有理数集合：{，，，…}非正整数集合：{，0，，…}；
负分数集合：{，，…}；无理数集合：{0.1010010001…，，…}．
【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义．
变式2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内．
正数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝非负整数集合：｛ …｝
【答案】；；；；
【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可．
【详解】解：∵，，，
正数集合： 无理数集合：
分数集合： 非负整数集合：．
【点睛】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键．
考点3.实数的性质
例1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值是；的相反数是
故答案为：；．
变式1．（2024·湖北武汉·模拟预测）实数的负倒数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查负倒数的定义，根据负倒数的定义，即可得答案，掌握乘积为的两个数互为负倒数是解答本题的关键．
【详解】解：的负倒数是：，故选：C．
变式2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）的相反数为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是进行解答即可．
【详解】解：的相反数为，故选：C．
变式3．（23-24七年级下·天津西青·期中）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值的计算．根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0即可计算出结果．
【详解】解：．故选：B．
考点4.实数的估算
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
【答案】C
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先计算出原式，再根据，可得，即可得．
【详解】解：原式，，，，故选：C．
变式1．（2023·江苏南京·一模）与最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
运用算术平方根的知识进行估算求解即可．
【详解】解： ，，即与最接近的整数是3，故选B．
变式2．（2024·陕西商洛·模拟预测）若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
【答案】9
【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，∴∴
由题意可知，a，b是两个连续的整数且，∴∴故答案为：9
变式3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了无理数的估算，找出整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为．
【详解】，，
整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为．
，，，故答案为：1．
考点5.实数与数轴
例1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数．
【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，∴，
∵，∴，∴，∴点C对应的实数是，故选：A．
变式1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴无理数也有无限个，故④项错误．∴正确的是②③．故选：B．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是实数与数轴，设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．
【详解】解：设C点表示的数为x，则1，解得：．故选：D．
变式3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此确定在数轴上点和点之间的所有整数有，再把这些整数求和即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，∴
∴在数轴上点和点之间的所有整数有，
∴在数轴上点和点之间的所有整数之和等于，故答案为：．
考点6.实数的大小比较
例1．（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
【答案】
【分析】本题考查实数比大小，能够熟练的将9写成的形式是解题的关键，然后再比较大小即可．
【详解】解：，，即，故答案为：．
变式2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可．
【详解】解：，，，，故答案为：
变式3．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数估值．先确定比小的最大整数，再根据题意写出符合的整数．
【详解】解：∵，，∴，，
则大于小于的整数有：2或3或4．故答案为：2（答案不唯一）．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）实数3.14，，，0.505005000…，中，无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数即为无理数，据此逐个分析，即可作答．
【详解】解：无理数：，，0.505005000…，∴无理数有3个故选：C
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于数“ ”，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个无理数 B．它是一个有理数 C．它是一个整数 D．它是一个分数
【答案】A
【分析】本题考查了实数，根据无理数的定义，有理数的定义逐个判断即可．
【详解】解：数“ ” 是一个无理数，故选：A
3．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的关键．
根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可．
【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：，故该项不正确；
②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确；
③无理数都是无限小数，故该项正确；
④两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，故该项正确；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确；
故正确的个数有2个；故选：A
4．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）实数的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是实数的倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
【详解】解：实数的倒数是，故答案为：C
5．（2024七年级上·浙江·专题练习）无理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：无理数的相反数是，故选：A.
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的性质，熟练掌握实数的性质是解题关键．据负数的绝对值等于它的相反数即可得．
【详解】解：的绝对值是，故选：A．
7．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）为正整数，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据判断的值即可．本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【详解】解：，，
为正整数，且，，故选：B．
8．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，先估算出的范围，再结合数轴得出即可．
【详解】解：∵，∴，故选：B．
9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）估算的范围是（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．
10．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而即可得出、的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，即，
∵的整数部分为，小数部分为，∴，，
∴，故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是；
（2）的相反数是 ，绝对值是；
（3）∵，∴．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
12．（23-24七年级上·浙江·期中）写出两个无理数，使它们的和为5： ．
【答案】和（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形．根据无理数的意义，可得答案．
【详解】解：，故答案为：和（答案不唯一）．
13．（2024·河南南阳·模拟预测）请你写出一个大于 且小于的无理数： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了估算无理数的大小和无理数的定义，根据无理数的定义和实数的大小比较写出符合条件的数即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设这个数为，∴，即，
∴可以取，故答案为：．（答案不唯一）
14．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
【答案】2
【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答．
【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误；
②有理数分为正数、负数和0,故②错误；
③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；
④非负数包含正数和0，故④错误；
⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确；
综上，正确的有⑤和⑥，共2个．故答案为2．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
15．（22-23九年级下·上海·阶段练习） （选填“＞”或“=”或“＜”）
【答案】＞
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较法则．根据算术平方根的意义得出，进而即可求出答案．
【详解】解：，∵，，故答案为：＞．
16．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：
，1，
正数集合{ }；负分数集合{ }；
非负整数集合{ }．
【答案】 1， 1，
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握各类数的定义是解题的关键．
根据实数的分类进行判断即可．
【详解】解：正数：1，；负分数：；非负整数：1，．
故答案为：1，；；1，．
17．（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：，，故答案为：，．
18．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴，∴的整数部分为1，故答案为：1．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个 2 之间依次多一个1），中．
(1)是有理数的有_______________；(2)是无理数的有______________________；
(3)是整数的有 _____________________；(4)是分数的有__________________ ．
【答案】(1)，0，2，，(2)，，（两个 2 之间依次多一个1）
(3)，0，2，(4)
【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答．
【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，；故答案为：，0，2，，；
（2）解：是无理数的有，，（两个 2 之间依次多一个1）；
故答案为：，，（两个 2 之间依次多一个1）；
（3）解：是整数的有，0，2，；故答案为：，0，2，；
（4）解：是分数的有；故答案为：．
20.（2024七年级上·浙江·专题练习）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：
3，，，0，，．
【答案】见解析，
【分析】本题考查了化简多重符号，实数与数轴，利用数轴比较实数大小，先计算，，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．
【详解】解：，，用数轴表示为：
，
它们的大小关系为：．
21．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f．
(1)点A表示的数是______，表示的点可能是______；
(2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大；
(3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______；
(4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______．
【答案】(1)，E；(2)B，F；(3)；(4)或4．
【分析】（）根据数轴可以直接写出点表示的数，由，可得表示的点可能是点E；
（2）利用数轴上两点间的距离即可求解；（3）点D是的中点，，得到，又由点A表示的数是，可确定点E表示的数；（4）利用数轴上两点间的距离即可求解；
此题主要考查了数轴，绝对值的意义，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度．
【详解】（1）解：由数轴可得， 点A表示的数是，
∵，∴表示的点可能是点E，故答案为：，E；
（2）解：由数轴可得，在原点左侧，点B到原点的距离最大，∴点B表示的数最小，
在数轴上，点F到原点的距离最大，∴点F表示的数的绝对值最大，故答案为：B，F；
（3）解：∵点D是的中点，，∴，∴点A表示的数是，
∴点E表示的数是，故答案为：；
（4）解：由数轴可知，点C表示的数是1，
∵点G到点C的距离为3，∴点G对应的数是或，故答案为：或．
22．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
【答案】(1)(2)，(3)1，作图见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键．（1）直接利用算术平方根的定义解答；
（2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数；（3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点．
【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，故答案为：；
（2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为，
∵图中小正方形对角线长为，∴，
∴，，
∴，两点表示的数分别为和，故答案为：，；
（3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为；
图3拼成的大正方形面积为5，则大正方形边长为，
即图3裁出的长方形的对角线长为，则可利用如下图所示作图：
其中，，，∴，∴点表示的数为．
23．（22-23七年级下·云南红河·阶段练习）阅读理解：
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为的小数部分为．
解决问题：(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值．
【答案】(1)3；(2)1
【分析】本题主要考查了无理数的估算，对于（1），根据阅读内容解答即可；
对于（2），先根据小数部分的理解求出a，b，可得答案．
【详解】（1）∵，∴，
∴的整数部分是3，小数部分是．故答案为：3，；
（2）∵，∴的小数部分为，
∴的小数部分为，∴．
∵小数部分为，∴的小数部分为，
∴，∴．
24．（22-23七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)(2)，见解析
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【详解】（1）解：，即
的整数部分为9．的小数部分为．
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，，，
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即
25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值．
【答案】(1)3，；(2)1．
【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算．
（1）根据得，即可得的整数部分为3，根据得，即可得的整数部分为；（2）根据得，可得，根据题意得，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵，即，的整数部分为3，∴，
∵，即，的整数部分为，∴，故答案为：3，；
（2）解：∵，即，的整数部分为，
∴，∴．
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专题3.2 实数
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.无理数的相关概念与识别 3
考点2.实数的概念理解及实数的分类 4
考点3.实数的性质 5
考点4.实数的估算 6
考点5.实数与数轴 7
考点6.实数的大小比较 9
模块3：能力培优 10
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数。无限不循环小数又叫无理数。
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③看似有规律，实则无循环节的数，如：1.313113111…….
2、实数
1）有理数和无理数统称为实数。
2）实数的分类
实数 实数
3）实数与数轴上的点的关系
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
故实数和数轴上的点一一对应。
4）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：。
5）两个实数比较大小
①在数轴上表示的两个实数，右边的数比左边的数大。
②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
6）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考点1.无理数的相关概念与识别
例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数
C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根
变式1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数，，，中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（24-25八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．，，都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数都是实数
变式3．（23-24七年级上·山东东营·期末）下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．两个无理数之积不一定是无理数
考点2.实数的概念理解及实数的分类
例1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}
(3)非负整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号
，0，，，，，，，，
正有理数集合：｛ …｝ 非正整数集合：｛ …｝
负分数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝
变式2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内．
正数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝非负整数集合：｛ …｝
考点3.实数的性质
例1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ．
变式1．（2024·湖北武汉·模拟预测）实数的负倒数是（ ）
A．5 B． C． D．
变式2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）的相反数为（ ）
A．6 B． C． D．
变式3．（23-24七年级下·天津西青·期中）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
考点4.实数的估算
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
变式1．（2023·江苏南京·一模）与最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（2024·陕西商洛·模拟预测）若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
变式3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ．
考点5.实数与数轴
例1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
考点6.实数的大小比较
例1．（22-23八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
变式2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
变式3．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25八年级上·辽宁·开学考试）实数3.14，，，0.505005000…，中，无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于数“ ”，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个无理数 B．它是一个有理数 C．它是一个整数 D．它是一个分数
3．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）实数的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2024七年级上·浙江·专题练习）无理数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）为正整数，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
8．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）估算的范围是（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
10．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若，则 ．
12．（23-24七年级上·浙江·期中）写出两个无理数，使它们的和为5： ．
13．（2024·河南南阳·模拟预测）请你写出一个大于 且小于的无理数： ．
14．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
15．（22-23九年级下·上海·阶段练习） （选填“＞”或“=”或“＜”）
16．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：
，1，
正数集合{ }；负分数集合{ }；
非负整数集合{ }．
17．（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ．
18．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若的整数部分为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个 2 之间依次多一个1），中．
(1)是有理数的有_______________；(2)是无理数的有______________________；
(3)是整数的有 _____________________；(4)是分数的有__________________ ．
20.（2024七年级上·浙江·专题练习）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：
3，，，0，，．
21．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f．
(1)点A表示的数是______，表示的点可能是______；
(2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大；
(3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______；
(4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______．
22．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
23．（22-23七年级下·云南红河·阶段练习）阅读理解：
，即．的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为的小数部分为．
解决问题：(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值．
24．（22-23七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值．
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