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专题3.3.立方根
1、了解立方根的含义；
2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，
3、了解立方根的性质；
4、区分立方根与平方根的不同。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.立方根的概念理解 2
考点2.求一个数的立方根 3
考点3.利用开立方解方程 4
考点4.立方根的性质 5
考点5.立方根小数点位数移动规律 6
考点6.立方根的实际应用 7
考点7.算术平方根与立方根的综合运用 8
考点8.阅读材料与新定义问题考法 10
模块3：能力培优 11
1）立方根的定义:如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根或三次方根，记作，其中是被开方数，3是根指数。
2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算。
3）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
4）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
5）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
考点1.立方根的概念理解
例1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
【答案】D
【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答．
【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误；
B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0；
C、负数有立方根，故错误；D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确；故选：D．
变式1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D．
【答案】D
【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根．
【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意；
、有立方根为，原选项错误，不符合题意；
、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；故选：．
变式2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）．
A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．根据立方根的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、一个正数的立方根只有一个，选项错误，不符合题意；
B、负数有立方根，选项错误，不符合题意；C、负数的立方根是负数，选项错误，不符合题意；
D、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，正确，符合题意；故选：D．
考点2.求一个数的立方根
例1．（23-24七年级上·浙江·期中）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用立方根的定义进行求解．
【详解】解：，的立方根是，故选：A
变式1．（24-25七年级上·浙江·专项训练）的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的求解，先将带分数化为假分数，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，，故答案为：．
变式2．（23-24七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．
本题根据立方根和平方根的定义可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出．
【详解】解：，的平方根是；的立方根是；故答案为：；
考点3.利用开立方解方程
例1．（24-25七年级上·浙江·专项训练）求下列各式中未知数的值：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了利用平方根，立方根求解方程，熟练掌握相关运算方法是解题关键．
（1）利用开平方的方法求解方程即可；（2）利用开立方的方法求解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
．
变式1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）解方程：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【分析】本题根据平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，
（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义构造一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
或，
或．
（2）解：
，
，
．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）求x的值：．
【答案】
【分析】本题考查利用立方根解方程，先将方程化简为，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：
．
考点4.立方根的性质
例1．（23-24七年级下·山东德州·期中）若与互为相反数，用含x的式子表示y，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数的概念，立方根等知识，根据题意可得等式，两边立方，即可求解．
【详解】根据题意有：，
，故答案为：．
变式1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，∴
∴，∴．故答案为：1．
变式2．（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义．
【详解】解：∵和互为相反数，∴
∴，∴．故答案为：1．
考点5.立方根小数点位数移动规律
例1．（23-24七年级上·浙江·期中）（1）观察并填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
________ ________ 1 ________ ________
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ，则________；②已知，则________．
【答案】（1）0.01,0.1,10,100；（2）①14.42 ②7.697
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键．
（1）根据立方根的定义，求解即可；（2）①根据被开方数中的小数点每移动3位，立方根的小数点相应的移动1位，计算即可；②同理①即可求解．
【详解】解：（1）
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
（2）①，；
②，．
变式1．（2023·福建·莆田七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
【答案】B
【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．
【详解】解：=154.2故选：B．
【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．
变式2．（2023·重庆梁平·七年级期末）已知，，，则______．
【答案】10.38
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴10.38．故答案为：10.38．
【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．
考点6.立方根的实际应用
例1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据立方根的定义及性质即可求得答案．本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
【详解】解：设地球仪的半径为，
则，那么，，
由表格数据可得，则，
即它的半径约为，故选：B．
变式1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查立方根的实际应用；
设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解．
【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，则，解得：
∴小康制作的正方体礼盒的体积为：
∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小
∴小明制作的正方体礼盒的体积为
∴小明制作的正方体礼盒的边长为
∴小明制作的正方体礼盒的表面积为故选：C．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半径是，求正方体铁块的棱长取，精确到．
【答案】
【分析】本题考查求一个数的立方根、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．
根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长．
【详解】解：设正方体的棱长为，由题意得，，解得，，
答：正方体的棱长约为．
考点7.算术平方根与立方根的综合运用
例1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】此题考查了平方根、立方根、无理数的估算，
（1）分别根据的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，依次求出a，b，c的值；（2）根据（1）中的结果和平方根定义进行解答即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，∴解得
∵的立方根是2，∴即解得，
∵∴∴
∵c是的整数部分∴∴，，
（2）由题意得：，，∴
变式1．（23-24七年级下·吉林·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数(1)求、、的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数：（1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可；（2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，∴，∴；
∵的立方根是2，∴，∴；
∵与互为相反数，∴；
（2）解：∵，，，∴，∴的平方根为．
变式2．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；(2)．
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键．
（1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值；
（2）将的值代入代数式，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根，
∴，∴，
∵的立方根是2，∴，∴，
∵，∴∴的整数部分为3，∴；
（2）解：由（1）∴，∴的平方根是．
考点8.阅读材料与新定义问题考法
例1．（2024·北京·七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
变式1．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设则 且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
变式2.（2024·山东七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，
∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）64的立方根为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：64的立方根为4．故选：A．
2．（23-24七年级上·浙江·期中）下列各式：
，0.1，，，，．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的立方根以及算术平方根，注意计算的准确性即可．
【详解】解：，，无意义；
，，；∴正确的个数有3个，故选：C．
3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则的值是（ ）
A．8 B．2 C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可．
【详解】解∶∵，，∴，∴，故选∶C．
4．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）．
A． B．正整数 C．和 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：的立方根和它的平方根相等都是；正数的平方根有两个，立方根有一个；
∴一个实数的平方根与它的立方根相等只有，故选：．
5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（ ）
A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有
C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根
【答案】C
【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
各项利用立方根定义判断即可．
【详解】解：A、正数有一个立方根，错误；B、立方根等于本身的数有，，，错误；
C、负数的立方根是负数，正确；D、负数有立方根，错误，故选：C．
6．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）已知，，则（ ）
A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，利用立方根的性质求解即可，熟练掌握立方根的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，故选：C．
7．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可．
【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为，
∵，∴；故选C．
8．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为，∴，则，∴正方体的棱长为，故选 C．
9．（2023·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵ 与 是相反数，∴==
∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
10．（2023·山东·八年级期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵﹣＝0，∴．
∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣3的算术平方根为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：
（1）64的立方根是 ；（2）的立方根是 ；（3）的立方根是 ；
【答案】 4 / 4
【分析】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）64的立方根是4；（2）的立方根是；
（3）的立方根是4；故答案为：（1）4；（2）；（3）4．
12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）计算：的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是求解一个数的立方根，掌握立方根的定义是解本题的关键．
根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，∴．故答案为：．
13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）x是的平方根，y是的立方根，则的值为 ．
【答案】2或8或8或2
【分析】本题考查了平方根，立方根，代数式求值．熟练掌握平方根，立方根，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
当时，；当时，；
综上所述，的值为2或8，故答案为：2或8．
14．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ．
【答案】0和1
【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可．
【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1，故答案为：0和1
15．（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用立方根解方程，根据立方根的定义，解方程即可．
【详解】解：，
，
∴；
故答案为：．
16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据立方根的定义进行解题即可．
【详解】解：．故答案为：0
17．（23-24七年级下·天津河西·期中）若制作一个体积为的正方体形状的包装箱，则这个包装箱的棱长应为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根．
根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可．
【详解】∵正方体体积是棱长的立方，∴体积为的正方体的棱长是．故答案为：．
18．（23-24七年级下·北京·期中）比较大小： 6； ； ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据算术平方根与立方根进行计算，无理数的估算，即可求解．
【详解】解：∵∴，∵∴
∵∴∴∴∵∴∴∴．故答案为：，，．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的立方根．(1)；(2)；(3)
【答案】(1)5(2)(3)
【分析】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解．
（1）根据立方根的定义可求解．（2）根据立方根的定义可求解．（3）根据立方根的定义可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴的立方根是．
20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的．(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根．
【答案】1
【分析】本题主要考查了立方根，平方根的定义， 先根据立方根，平方根的定义，求出a，b的值，然后代入求出，然后再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：既是的一个平方根，又是的立方根，
∴，，∴，，
∴，∴的立方根还是1．
22．（23-24七年级上·浙江·期中）先阅读材料，再解答问题．
，，．
，，．
，，．，
， ， ．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ．
(2)计算的值．
【答案】(1)；；； ，相反数(2)
【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
（2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果．
此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：，，；
∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
故答案为：；；； ，相反数
（2）解：．
23．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块．
(1)求这个铁块的棱长；(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长．
【答案】(1)这个铁块的棱长为(2)另一个小立方体铁块的棱长为
【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答；
（2）根据题意列出式子再进行计算即可．
【详解】（1）根据题意，得铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）设另一个小立方体铁块的棱长为，则．
∵，∴．答：另一个小立方体铁块的棱长为．
24．（23-24七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动．
自主探究：完成表格内容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______；
应用迁移：根据你发现的规律填空：已知，则______，______；
拓展延伸：，则______，______．
【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位；应用迁移：，；拓展延伸：，
【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解；
（）应用迁移：根据表格规律即可求解；
（）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可；本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键．
【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，，
由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，
故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位；
应用迁移：，，故答案为：，；
拓展延伸：，，故答案为：，．
25.（23-24七年级下·福建福州·期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且，
∴，即59319的立方根是一个两位数；
第二步：∵59319的个位数字是9，而，
∴能确定的个位数字是9；
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而，
∴，∴，
∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1331的立方根是一个 位数，其个位数字是 ；
(2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根．
【答案】(1)两；1(2)的立方根是62，验证见解析
【分析】本题看考查了立方根的推导技巧，读懂题意是解题的关键．
（1）根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字．
（2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数．
【详解】（1）解：∵，∴是个两位数，
∵，∴个位数是1，故答案为：两；1．
（2）∵，且，
∴∴的立方根是两位数；
∵的个位数字是8，而．∴能确定的个位数字是2．
如果划除后面的三位数，得到数238，而．
∴，∴，
∴，∴的立方根的十位数字是6，
∴的立方根是62，验证：．
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专题3.3.立方根
1、了解立方根的含义；
2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，
3、了解立方根的性质；
4、区分立方根与平方根的不同。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.立方根的概念理解 2
考点2.求一个数的立方根 3
考点3.利用开立方解方程 4
考点4.立方根的性质 5
考点5.立方根小数点位数移动规律 6
考点6.立方根的实际应用 7
考点7.算术平方根与立方根的综合运用 8
考点8.阅读材料与新定义问题考法 10
模块3：能力培优 11
1）立方根的定义:如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根或三次方根，记作，其中是被开方数，3是根指数。
2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算。
3）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
4）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
5）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
考点1.立方根的概念理解
例1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
变式1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D．
变式2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）．
A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0
考点2.求一个数的立方根
例1．（23-24七年级上·浙江·期中）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专项训练）的立方根是 ．
变式2．（23-24七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
考点3.利用开立方解方程
例1．（24-25七年级上·浙江·专项训练）求下列各式中未知数的值：(1)；(2)．
变式1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）解方程：(1)；(2)．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）求x的值：．
考点4.立方根的性质
例1．（23-24七年级下·山东德州·期中）若与互为相反数，用含x的式子表示y，则 ．
变式1．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值 ．
变式2．（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则 ．
考点5.立方根小数点位数移动规律
例1．（23-24七年级上·浙江·期中）（1）观察并填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
________ ________ 1 ________ ________
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ，则________；②已知，则________．
变式1．（2023·福建·莆田七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
变式2．（2023·重庆梁平·七年级期末）已知，，，则______．
考点6.立方根的实际应用
例1．（23-24七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半径是，求正方体铁块的棱长取，精确到．
考点7.算术平方根与立方根的综合运用
例1．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
变式1．（23-24七年级下·吉林·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数(1)求、、的值；(2)求的平方根．
变式2．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求的平方根．
考点8.阅读材料与新定义问题考法
例1．（2024·北京·七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
变式1．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
变式2.（2024·山东七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，
∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）64的立方根为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（23-24七年级上·浙江·期中）下列各式：
，0.1，，，，．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则的值是（ ）
A．8 B．2 C．9 D．
4．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）．
A． B．正整数 C．和 D．
5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（ ）
A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有
C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根
6．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）已知，，则（ ）
A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不对
7．（23-24七年级下·山西朔州·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023·山东·八年级期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：
（1）64的立方根是 ；（2）的立方根是 ；（3）的立方根是 ；
12．（23-24七年级上·浙江温州·期末）计算：的值是 ．
13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）x是的平方根，y是的立方根，则的值为 ．
14．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ．
15．（23-24七年级下·河北唐山·期中）方程的解为 ．
16．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）计算： ．
17．（23-24七年级下·天津河西·期中）若制作一个体积为的正方体形状的包装箱，则这个包装箱的棱长应为 ．
18．（23-24七年级下·北京·期中）比较大小： 6； ； ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的立方根．(1)；(2)；(3)
20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的．(1)；(2)．
21．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根．
22．（23-24七年级上·浙江·期中）先阅读材料，再解答问题．
，，．
，，．
，，．，
， ， ．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ．
(2)计算的值．
23．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，是一块体积为的立方体铁块．
(1)求这个铁块的棱长；(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长．
24．（23-24七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动．
自主探究：完成表格内容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______；
应用迁移：根据你发现的规律填空：已知，则______，______；
拓展延伸：，则______，______．
25.（23-24七年级下·福建福州·期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且，
∴，即59319的立方根是一个两位数；
第二步：∵59319的个位数字是9，而，
∴能确定的个位数字是9；
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而，
∴，∴，
∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1331的立方根是一个 位数，其个位数字是 ；
(2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根．
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