6.8余角和补角 浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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6.8余角和补角浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，点在点的( )
A. 北偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
2.将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为 ( )
A. B. C. D.
3.如图，下列说法正确的是( )
A. 与表示同一个角 B.
C. 与表示同一个角 D. 图中只有两个角，即和
4.在同一平面内，若，，则的度数是 ( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如果与互为余角，那么( )
A. B. C. D.
6.如图，下列说法中不正确的是( )
A. 射线表示北偏东 B. 射线表示西北方向
C. 射线表示西偏南 D. 射线表示南偏东
7.如果一个角的补角是，那么这个角的度数是( )
A. B. C. D.
8.在中，若，则的余角度数是( )
A. B. C. D.
9.已知，则它的补角的度数是( )
A. B. C. D.
10.一个角的度数是，则它的余角的度数为( )
A. B. C. D.
11.如图，已知，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.将一副常规的三角尺如图放置，则图中的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知一个角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的度数为 ．
14.如图，是直线上一点，平分，平分，则与互余的角是 ．
15.如图，点在点的东南方向，点在点的北偏东方向，则
16.的补角是它的倍，则的余角是 度
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知一个角的补角比它的余角的倍还多，求这个角的补角．
18.本小题分
如图，，，平分，平分．
求出及其补角的度数；
求出和的度数，并判断与是否互补；
若，，则与是否互补？请说明理由．
19.本小题分
一个锐角和它的余角之比是，求这个锐角的补角的度数；
已知一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数；
一个角的余角比这个角的倍少，求这个角的度数．
20.本小题分
如图，直线与直线、分别交于点、，与互补．
试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
如图，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：；
如图，在的条件下，连接，是上一点使，作平分，求的度数．
21.本小题分
综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点．
【问题发现】
填空：如图，若，则的度数是______，的度数______，的度数是______．
如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
如图，当与没有重合部分时，上述中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
22.本小题分
一副三角板如图放置，，，，点是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图保留作图痕迹，不写作法．
在图中作一个等边三角形；
在图中作一个矩形．
23.本小题分
如图，已知四边形中，，点、分别为边、延长线上的点，连接，．
如图，求证：；
如图，连接，，请直接写出图中与互余的所有角．
24.本小题分
已知如图：与互为补角，平分，若，求的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】解：一个数的绝对值和平方都是非负数，
，，
，，
，
的余角，
故选：．
根据“几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零”先由余弦值和正切值求得，，再由三角形内角和求得，再计算余角即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和，余角的计算，掌握这些知识点是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
它的补角，
故选：．
根据互为补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角叫互为补角，利用已知条件进行解答即可．
本题主要考查了余角和补角，解题关键是熟练掌握互为补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角叫互为补角．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据两个角的和等于，就说这两个角互为余角的定义，列式计算．
本题考查余角的定义和度分秒的换算，熟练掌握余角定义的应用，在进行度、分、秒的运算时应注意借位和进位的方法是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
求出，即可得到
本题考查角的计算，关键是求出的度数，即可得到的度数．
12.【答案】
【解析】解：，
．
．
故选：．
求出的度数，根据三角形的外角性质得到，代入即可．
本题主要考查三角形的外角性质，余角和补角，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】，
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】设为，则的补角为，根据题意得，解得．的余角，故答案为．
17.【答案】
【解析】略
18.【答案】【小题】
，其补角的度数为
【小题】
，与互补
【小题】
与不一定互补理由略

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

【解析】 略
略
略
20.【答案】解：，
理由如下：
与互补，
，
又，，
，
；
由知，，
．
又与的角平分线交于点，
，
，即．
，
；
，．
又，
．
．
平分，
．
．
答：的度数为．
【解析】根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行；
先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据与的角平分线交于点，可得，进而证明；
根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得的度数．
本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．
21.【答案】
【解析】解：，
；
，；
答：当与没有重合部分时，上述中发现的结论依然成立．
理由：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，．
所以上述中发现的结论依然成立．
故答案为：，，．
先计算出，再根据即可求解；
根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得；
利用周角定义得，而，即可得到．
本题考查了角度的计算：利用几何图形计算角的和与差．
22.【答案】解：如图，为所求；
为等腰直角三角形，点是的中点，连接并延长交于点，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
是等边三角形；
如图，四边形为所求，
由知，
点为的中点，
在图的基础上连接，交于一点，连接点与这一点，边延长交于点，
点为的中点，点为的中点，，，交于一点，即三角形的三条中线相交于一点，
点为的中点，
，，
四边形为矩形．
【解析】根据题意得为等腰直角三角形，由点是的中点，连接并延长交于点，得到是的垂直平分线，即，，推出，进而得到，即为所求；
由知，得到点为的中点，在图的基础上连接，交于一点，连接点与这一点，边延长交于点，此时点为的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，推出且，即四边形为矩形．
本题考查了复杂作图，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定．是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：在中，，
，
即与互余；
由知，，，
，
，
、、都与互余；
即与互余的角有：，，，．
【解析】根据两直线平行，同位角相等得出，结合已知得出，于是根据内错角相等，两直线平行证得，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得；
首先证得，再找出与相等的所有角，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质，余角的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】解：设
平分
．

【解析】本题考查了角的计算，考查了角平分线的定义、互补的定义，解答时设所求的为，再利用与互补，及其它条件进行角的转化，即可求解．
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