3.2从有理数到实数 浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.2从有理数到实数浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题：平行于同一条直线的两条直线互相平行；有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角；有理数和数轴上的点一一对应；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；立方根等于它本身的数只有；若点满足，则点在原点上其中正确的命题有个．
A. B. C. D.
2.下列四个数：，，，，其中最小的数是( )
A. B. C. D.
3.在，，，，，相邻两个之间的个数逐次加这些数中，无理数的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.估算的值( )
A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间
5.下列说法正确的是( )
A. 有理数都是实数 B. 实数都是无理数
C. 带根号的数都是无理数 D. 无理数都是开不尽方的数
6.如图，长方形中，，，在数轴上，点表示的数是，若以点为圆心，对角线的长为半径画弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
7.下列各数，，，，，，中，无理数的个数是( )
A. B. C. D.
8.估计的值应在( )
A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间
9.如图，点表示的实数是( )
A. B. C. D.
10.在下列命题中，
带根号的数都是无理数．
有公共顶点且相等的两个角是对顶角．
立方根等于本身的数只有．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
11.实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在数轴上作长、宽分别为和的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点若点表示的数为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D. 无法确定
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.设是的整数部分，是的小数部分，则 ______．
14.如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示，，若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为______．
15.已知表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，则 ______．
16.已知的小数部分为，的小数部分为，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
实数的值是 ．
求的值．
在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
18.本小题分
数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离同样的，：表示数的点到表示数的点的距离请结合数轴解决下列问题：
当时，表示什么意思？______；
若，则 ______；
若，则的值是______；
求使的值最小的所有符合条件的整数．
19.本小题分
如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，，．
化简：；
若，，且满足与互为相反数，，互为倒数，试求的值．
20.本小题分
例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
已知：，其中是整数，且，求的相反数．
21.本小题分
已知实数，在数轴上的对应点如图所示，回答下列问题：
若，，则的值为______；
化简．
22.本小题分
在一个不透明的盒子里装有张大小形状一样的卡片，卡片上分别写着，，，，，，每次抽出一张卡片，不放回．
抽一次，得到无理数的概率是______；
若第一次抽到，求第二次抽到的数字与第一次抽到的数字之积为有理数的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确；
如图，，与互为反向延长线，但不是对顶角，故错误；
实数和数轴上的点一一对应，故错误；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误；
立方根等于它本身的数有，，故错误；
若点满足，或，则点在坐标轴上，故错误．
故选：．
判断每个命题是否正确，即可求解．
本题考查了命题与定理，实数与数轴，立方根，掌握判定方法及相关知识点是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查实数大小的比较与实数的估算，根据几个负数比较，绝对值大的反而小求解．
【解答】
解：
，
最小的数是，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：，，相邻两个之间的个数逐次加，这个是无理数．
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查了无理数的定义，熟知无理数是无限不循环小数是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据在和之间进行解答即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、有理数和无理数统称实数，故本选项正确；
B、实数包括有理数和无理数，故本选项错误；
C、开方开不尽的数是无理数，故本选项错误；
D、无理数包括三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，故本选项错误；
故选：．
根据实数的定义及无理数的三种形式结合各选项判断即可．
本题考查了实数的定义和无理数的三种形式，属于基础题，解答本题的关键是掌握实数和无理数的定义．
6.【答案】
【解析】解：长方形中，，，
，，
，
，
点表示，
点表示的数为：．
故选：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理、实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7.【答案】
【解析】解：下列各数，，，，，，中，无理数有，，，共个，
故选：．
初中范围内常见的无理数有三类：类，如，等；开方开不尽的数，如，等；虽有规律但却是无限不循环的小数，如两个之间依次增加个，两个之间依次增加个等．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，熟练掌握无理数定义是关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，
故选：．
求出，确定的范围，即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的乘法和估算无理数的大小，解题的关键是把原式化成和确定的范围，难度不大．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数和数轴，以及勾股定理有关知识，根据勾股定理可求得的长为，再根据点在原点的左侧，从而得出点所表示的数．
【解答】
解：，
，
，
点在数轴上表示的实数是．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：带根号的数不一定是无理数，如，所以为假命题；
有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角，所以为假命题；
立方根等于本身的数有、、，所以为假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，所以为真命题．
故选：．
利用反例对进行判断；根据对顶角的定义对进行判断；根据垂线公理对进行判断．
本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了实数、对顶角、邻补角和垂线．
11.【答案】
【解析】解：依题意得：
，且，
A、，正确，故不符合题意；
B、，正确，故不符合题意；
C、，错误，故符合题意；
D、，正确，故不符合题意；
故选：．
根据数轴得，且，再逐一判断即可求解
本题考查了数轴及绝对值，根据数轴得，且，再逐一判断即可求解，熟练掌握绝对值的意义及根据数轴判断式子的符号是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，长方形对角线，
点表示的数为，
，，
，
，
即，
故选：．
由题意得长方形对角线的长度，则知道了点表示的数，与比较，可得．
本题考查了实数与数轴的应用，关键是能够根据题意确定点在数轴上表示的数．
13.【答案】
【解析】解：，
．
，．
．
故答案为：．
先估算数的大小，然后可求得、的值，最后相间即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，求得、的值是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由已知可得，，
在中，，
，
点表示的数为．
故答案为：．
根据勾股定理求出，则，即可得到答案．
此题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出，的长．
15.【答案】
【解析】解：由数轴可知，，且，
，
故原式．
故答案为：．
先根据数轴分析出与的关系，再根据数轴进行解题即可．
本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先求出的范围，推出和，求出、的值，再代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是得出和，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
17.【答案】【小题】

【小题】
因为，所以，， 所以．
【小题】
因为，所以，， 解得，，或，， 当，时， ，无平方根． 当，时， ， 所以的平方根为， 答：的平方根为．

【解析】
略
略
18.【答案】表示数的点到表示数的点的距离 或 或
【解析】解：表示数的点到表示数的点的距离；
故答案为：表示数的点到表示数的点的距离；
表示数轴上表示与的两点之间的距离，时，或；故答案为：或；
分三种情况讨论：当时，，化简得：，
解得，当时，，化简得：，
无解，当时，，化简得：，
解得故或；
故答案为：或；
由题意，分以下三种情况：
(ⅰ)当 时，，
(ⅱ)当 时，，
(ⅲ)当 时，，
综上，在 内，取得最小值，最小值为，则所有符合条件的整数 为，，，，，．
直接根据两点之间的距离公式求即可；直接根据两点之间的距离公式表示即可；分三种情况讨论即可；根据距离可直接得到的取值．
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．
19.【答案】解：由数轴，知，，，
由题意，知，，
，，
所以：．
【解析】根据点在数轴上的位置确定、、的大小，进而可以对绝对值进行化简；
根据与互为相反数可得，、互为倒数可得，即可求出、的值，再代入代数式求值即可．
本题考查数轴与有理数，化简绝对值，倒数和相反数的定义，乘积为的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数．
20.【答案】解：，，
，
的整数部分为，
；
，
，
，
即，
是整数，且，
，，
则，
那么的相反数为．
【解析】分别估算后求得，的值，然后将其代入计算即可；
估算出的值后再结合已知条件确定，的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案．
本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：；
，，，
．
代入数据，计算即可；
利用数轴知识去绝对值．
本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
22.【答案】
【解析】解：，，，，，中无理数有：，，，
抽一次，得到无理数的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中第二次抽到的数字与第一次抽到的数字之积为有理数的结果有：，共种，
第二次抽到的数字与第一次抽到的数字之积为有理数的概率为．
，，，，，中无理数有：，，，则抽出一张卡片共有种等可能的结果，其中得到无理数的结果有种，利用概率公式可得答案．
画树状图可得出所有等可能的结果数以及第二次抽到的数字与第一次抽到的数字之积为有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式、立方根、无理数，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式、无理数的定义是解答本题的关键．
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