3.4实数的运算 浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.4实数的运算浙教版（新课标）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，是真命题的为( )
A. 两个无理数的和还是无理数 B. 同位角相等
C. 对顶角相等 D. 如果，则
2.甲袋中装着分别标有数字，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.设记号表示求、算术平均数的运算，即，则下列等式中对于任意实数、、都成立的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
5.定义运算：，例如：则方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
6.对于实数，，定义新运算，则下列结论正确的有( )
当时，；
；
若、是关于的一元二次方程的两个根，则或；
若、是关于的一元二次方程的两个根，，则的值为或．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
8.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
9.对于两个不相等的实数，，我们规定表示，中的较大数，如：，按照这个规定的解是( )
A. B. C. D.
10.若算式的值是有理数，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.在“”等号的左边添加适当的数学运算符号，下列等式不成立的是( )
A. B.
C. D.
12.下列各式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算： ______．
14.对于实数，，定义运算“”如下：，例如，若，则的值 ______．
15.计算： ______．
16.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是锐角，且，计算：．
18.本小题分
计算：；
解方程：．
19.本小题分
计算：；
当时，求的值．
20.本小题分
计算；
解方程：．
21.本小题分
解方程：；
计算：．
22.本小题分
在，，，中任选两个用“”连接并计算．
先化简，再从中选择一个适合的整数代入求值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、两个无理数的和不一定是无理数，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
C、对顶角相等，是真命题；
D、如果，则或，原命题是假命题；
故选：．
根据无理数的概念，平行线的性质，对顶角的性质和等式的性质逐一进行判断即可．
本题考查判断命题的真假，掌握无理数的概念，平行线的性质，对顶角的性质和等式的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题可列表如下：
乘法运算结果
加法运算结果
由表可知：总共有种结果，其中结果是有理数的有种，
结果是有理数的概率为，
故选：．
列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
本题考查用列表法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】
【解析】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
根据化简绝对值，积的乘方，完全平方公式和二次根式加减运算运算法则逐项判断即可．
本题考查了化简绝对值，积的乘方，完全平方公式和二次根式加减运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：中，，所以成立；
中，，所以成立；
中，，所以不成立；
中，所以成立．
故选：．
根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可．
本题考查了算术平均数、实数的运算，理解材料中算术平均数的定义是关键．
5.【答案】
【解析】解：根据定义运算法则得化解得，
，
方程无实根．
故选：．
根据题目给定的定义运算为，利用判别式的意义确定方程跟的情况即可．
本题考查了根的判别式，实数的运算，熟练掌握判别式与方程根的关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当时，，
，
，
，
即当时，，结论正确；
当时，此时，
，
当时，此时，
，
即，结论正确；
，
，
或，
或，
、是关于的一元二次方程的两个根，
当，时，；
当，时，，
即或，结论正确；
，
，
，
或，
或，
若，则，
此时，
解得：；
若，则，
此时，
解得：，不符合题意，舍去；
的值为，结论错误，
结论正确的有，共个，
故选：．
根据已知新定义运算计算，即可判断；利用因式分解法解二元一次方程，再结合新定义运算计算，即可判断．
本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程，根与系数的关系，整式的加减混合运算知识，正确理解新定义下的运算法则是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，
可化为，
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先根据新定义得到关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：．与不能合并，原选项计算错误，此项不符合题意；
B.，原选项计算正确，此项符合题意；
C.，原选项计算错误，此项不符合题意；
D.，原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法，同底数幂的除法，算术平方根，化简绝对值原式即可．
本题主要考查了二次根式的加法，同底数幂的除法，算术平方根，化简绝对值，理解相关知识是解答关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：．
根据新定义可得方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了解分式方程，新定义，熟练掌握解分式方程是关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
选项A，，不符合题意，选项B符合题意，
故选：．
运用实数的运算法则和有理数的定义进行逐一计算、辨别．
此题考查了实数的运算和有理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、零指数幂、负整数指数幂等知识点是解题的关键，根据实数运算法则进行计算即可．
【解答】
A.正确；
B.正确；
C.正确；
D.所以D错误
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查立方根，算术平方根，实数的运算根据立方根，算术平方根的定义以及实数的运算法则解答．
【解答】
解：．，故本选项错误；
．，故本选项正确；
． ，故本选项错误；
D.，故本选项错误．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：
．
分别化简计算绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
利用新定义的规定将方程转化，再利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，解方程，本题是新定义型，正确连接新定义的规定并准确应用是解题的关键．
15.【答案】
【解析】接：原式
．
故答案为：．
先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及数的乘方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及数的乘方法则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，延长到，使，连接．
在中，
，
，．
，
．
，
．
在中，
．
故答案为：．
仿照题例构造含的直角三角形，利用直角三角形的边角关系得结论．
本题考查了解直角三角形，看懂题例，学会构造含角的直角三角形是解决本题的关键．
17.【答案】解：是锐角，且，
，
，
．
【解析】根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键
题目主要考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键
18.【答案】解：原式
；
，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
【解析】先根据二次根式、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义化简，再算加减即可；
两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可．
本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义、分式方程的解法是解答本题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，
原式．
【解析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算即可；
先计算括号，再计算乘除，最后代入的值计算即可．
本题考查分式的化简求值，实数的运算等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，实数的混合运算法则．
20.【答案】解：
；
，
，
有或，
则，，
故原方程的解为：，．
【解析】先将特殊角的三角函数值代入，计算绝对值、零指数幂，再进行实数的混合运算即可作答；
采用因式分解法即可求解．
本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，利用因式分解法解一元二次方程等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
21.【答案】解：，
，
，
，
则，，
解得，；
．
【解析】先移项，再提公因式，令每个因式为，即可求解．
先化简负整数指数幂、零次幂、绝对值，和，再运算加减，即可作答．
本题考查了解一元二次方程以及含特殊角的锐角三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
因为：，且是的整数
所以；当时，
原式．
【解析】任选两个用“”连接并计算即可；
将除法转化为乘法计算，然后计算加法，最后选择合适的值代入求值即可．
本题考查考查了实数的运算，以及分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
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