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2.3等腰三角形的性质定理六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用等腰三角形的性质求角度
【经典例题1】如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键．
【详解】解：等边，
，，
，，
，
由折叠性质可得，
，，
，
，
，
，
故答案为：A．
【变式训练1-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
【答案】A
【分析】由作图法可得MN是AB的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠DBA=36°，进而求得∠BDC，最后由三角形内角和为180°便可解答．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【变式训练1-2】如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求．
【详解】解：是等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，
，
，，
，
是的外角，
．
故答案为：．
【变式训练1-3】如图，在中，，，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，，，可证，从而得出；
（2）由，得，则，而，所以，从而求得的度数．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
的度数是．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和等知识，解题的关键是证明．
【变式训练1-4】如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质可得，，进而证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，再根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出的度数．
【详解】（1）∵在中，，是边上的中线，
∴，，
∴是的垂直平分线．
∵点在上，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
（2）∵，是边上的中线，，
∴，
∴，
∵
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-5】如图，以△ABC的两边AC，BC为边分别向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∠D＝∠E．
(1)求证：△ADC≌△BEC．
(2)若∠CAD＝60°，∠ABE＝110°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）通过∠BCD＝∠ACE得到，再根据ASA即可求证；
（2）由（1）可得，，从而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BCD＝∠ACE
∴
在△ADC和△BEC中
∴△ADC≌△BEC（ASA）
（2）解：由（1）可得，
∴
∴
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．
题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据等角对等边，则，即可．
【详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练2-1】如图，中，，，垂足为点，平分，点为上一点，连接，，，，则 .
【答案】
【分析】本题考查全等三角形、等腰三角形，三角形内角和等知识，解题的关键是延长交于点；根据三角形内角和，则设，则；根据角平分线的性质，则，根据，则，，求出和的角度，则根据，等角对等边，则；根据，等量代换，则，最后根据全等三角形的判定，则，则，再根据，即可．
【详解】延长交于点，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，且和是对顶角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式训练2-2】如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据即可得解．
【详解】解：∵平分，平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：
∵
∴的周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形、平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质．
【变式训练2-2】如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ．
【答案】
【分析】根据CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先证△BCD≌△FCD，得到△BCF为等腰三角形，BF=2BD，再证△BAF≌△CAE，即可得答案．
【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°，
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△FCD，
∴BC=CF，
∴△BCF为等腰三角形，
∴BF=2BD，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC，
∴∠FBA=∠ECF，
在△BAF和△CAE中，
∴△BAF≌△CAE，
∵BF=CE，
∵BF=2BD，
∴CE=2BD，
∵BD=，
∴CE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是延长BD与CA的延长线交于F点，构造△BAF≌△CAE．
【变式训练2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
【答案】8
【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC．
【详解】解：∵△BEF是等边三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG=BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°
∴GF=DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案为8
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键．
【变式训练2-4】如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
【答案】3
【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可．
本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案为：3．
∵，
∴
又∵，
∴，
∴ ．
故选：C．
题型三：等腰三角形的性质综合之解答题
【经典例题3】如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．
(1)求证：；
(2)若的面积是18，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证；
（2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：平分
，
，
．
是角平分线，
．
在和中，
，
．
（2）解：过点作于点，
，
，
平分，
，
，
，
即，
．
【变式训练3-1】已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
【答案】(1)45°；
(2)30°；
(3)α+2β＝180°．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；
（2）由∠DAE＝（180°﹣∠BAC）解答；
（3）同（1），根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可．
【详解】（1）解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（3）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝α，
∴2β＝180°﹣α，
∴α+2β＝180°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
【变式训练3-2】如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE．
（1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度数；
（2）若∠B=x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数．
【答案】（1）80°；（2）∠A=180°-2（x+y）
【分析】（1）结合题意，根据等腰三角形的性质，得∠B＝∠DCB=30°，∠E＝∠CDE＝20°；再结合∠ADC、∠ACD分别是△DBC、△CDE的外角，以及三角形内角和定理，即可计算得到答案；
（2）结合（1）的结论，通过计算即可完成求解．
【详解】（1）∵BD＝CD＝CE
∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE
∵∠B=30°，∠E＝20°
∴∠DCB=∠B＝30°，∠CDE=∠E＝20°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°，∠ACD=∠E +∠CDE＝40°
∴∠A=180°-∠ADC- ∠ACD= 80°；
（2）∵∠B=x，∠E＝y
结合（1）的结论得：∠DCB=∠B＝x，∠CDE=∠E＝y
∴∠ADC=2x，∠ACD＝2y
∴∠A=180°-2（x+y）．
【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形外角、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、等腰三角形的性质，从而完成求解．
【变式训练3-3】如图，和分别是以的AB，AC为边的等边三角形，CE，BF相交于O.
（1）求的度数．
（2）若，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）∠EOB=60°；（2）△ABC是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意推出△AEC≌△ABF，根据∠AEO+∠BEO=60°，推出∠BEO+∠ABO=60°，即得∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°，根据三角形内角和定理，即可推出∠EOB=60°；
（2）先证明△BCE≌△CBF得出BE=CF，再由 △ABE和△ACF是等边三角形，即可得出AB=AC．
【详解】解：（1）∵△ABE和△ACF是等边三角形，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AB，AC=AF，
∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC和△ABF中，
，
∴△AEC≌△ABF（SAS），
∴∠AEO=∠ABO，
∵∠AEO+∠BEO=60°，
∴∠BEO+∠ABO=60°，
∵∠EBA=60°，
∴∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°，
∴∠EOB=180°-120°=60°；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵△AEC≌△ABF，
∴BF=CE，
又BC=CB，
∴△BCE≌△CBF，
∴BE=CF，
∵△ABE和△ACF是等边三角形，
∴AB=BE，AC=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
【变式训练3-4】如图，线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边在AB、AD的右侧作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F.
(1)求证：BD＝CE；
(2)求证：DF＝CE﹣CF；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，从而可得，可证，根据三角形全等的性质得；
（2）由题（1）的结论，所以要证，也就是要证，即要证.已证可得，故，又因，则，由等腰三角形性质得，即所要证的等式成立.
【详解】（1）由等边三角形的性质得：
又
在和中，
；
（2）
由题（1）已证
，则
又因是等边三角形，可得
（等角对等边）
再结合题（1）的结论：
即.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练灵活运用三角形全等的判定定理是解题关键.
题型四：等腰三角形的性质综合之动点问题
【经典例题4】如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
【答案】(1)20°;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当CD=3时，利用∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，求出∠BAD=∠CDE，再利用AB=CD=3，∠B=∠C=50°，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）△ADE为等腰三角形有三种情况，∠ADE=∠DAC或者∠DAC=∠AED或者∠ADE=∠AED，根据题意排除∠ADE=∠AED的可能.
【详解】解：（1）∵∠ADC为三角形ABD的外角.
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE.
∴50°+20°=50°+∠CDE.
∴∠CDE=20°；
（2）CD=3时，△ABD≌△DCE，求证如下：
AB=CD=3，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
由题意知∠B=∠ADE=50°，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C=50°，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）△ADE为等腰三角形有三种情况，∠ADE=∠DAC或者∠DAC=∠AED或者∠ADE=∠AED，根据题意排除∠ADE=∠AED的可能，
∵∠C=50°，∠AED肯定大于∠C，
当∠DAE的度数为50°时，
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∠BAD=∠CDE=80°-50°=30°，
∠AED=∠C+∠CDE=50°+30°=80°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∠DAE的度数为65°时，
∠BAD=∠CDE=80°-65°=15°，
∠AED=∠C+∠CDE=50°+15°=65°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∴三角形ADE为等腰三角形，∠DAE的度数为50°或65°.
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
【变式训练4-1】如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】(1)
(2)点M、N运动4秒时，可得到等边；
(3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
得方程，
解得,
答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①，
，，
是等边三角形，
，
解得，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边．
（3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
情况一：
设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
，
解得：；
即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形；
情况2：
如图②，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形，
，，，
即，
解得：．
综上所述，故假设成立．
∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，
此时M、N运动的时间为16秒．
【变式训练4-2】如图，在中，点P，Q分别是边上的动点，连接交于点M．
(1)点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发，当时，试判断的形状，并说明理由．
(2)若为边长为的等边三角形，此时P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段运动、且它们的速度均为．当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为．
①当t为何值时，；
②点P，Q在运动的过程中，的大小会发生变化吗？若发生变化、请说明理由；若不会发生变化，请求出的大小．
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据证明得，然后证明，可证是等腰三角形；
（2）由得，然后列方程求解即可；
（3）根据证明得，然后利用三角形外角的性质可得结论．
【详解】（1）∵点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①∵，
∴，
∴，
∴，
∴时，；
②结论：不变．
理由：∵是等边三角
∴，，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【变式训练4-3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC上的一动点，AP=AQ，∠PAQ=90°，连接CQ．
(1)求证：CQ⊥BC．
(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，请直接写出此时点P的位置；若不能，请说明理由.
(3)当点P在BC上什么位置时，△ACQ是等腰三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；（3）当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形.
【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“边角边”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACQ=∠B，再根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角两种情况求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况讨论求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答．
【详解】解：（1）∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,
∴CQ⊥BC；
（2）当点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；
（3）①当BP=AB时，△ABP是等腰三角形;
②当AB=AP时，点P与点C重合;
③当AP=BP时,点P为BC的中点；
∵△ABP≌△ACQ,
∴当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求出△ABP和△ACQ全等是解题的关键，难点在于（2）（3）要分情况讨论．
【变式训练4-4】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．
(1)经过 秒时，Rt△AMP 是等腰直角三角形？
(2)经过几秒时，PM⊥MB？
(3)经过几秒时，PM⊥AB？
(4)当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．
【答案】(1)6；(2)2；(3)8；(4)2或.
【分析】(1)得出腰时AM=AP，即可得出答案；
(2)根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠CBM＝∠AMP，证明△CBM≌△AMP，根据全等三角形的性质得到 AP＝CM＝2，根据题意得到答案；
(3)证明△APM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到 AP＝CA＝8，根据题意得到答案；
(4)分 MB＝MP 和 PB＝PM 两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】(1)当 Rt△AMP 是等腰直角三角形时，AP＝AM＝6cm，
∴t＝6÷1＝6(s)，
故答案为6；
(2)当 PM⊥MB 时，∠BMP＝90°，
∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠AMP，
在△CBM 和△AMP 中，
，
∴△CBM≌△AMP(ASA)，
∴AP＝CM＝2，
∴t＝2，即经过 2 秒时，PM⊥MB；
(3)当 PM⊥AB 时，如图1，∠PHA＝90°，
∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，
∴∠APM＝∠CAB，
在△APM 和△CAB 中，
，
∴△APM≌△CAB(ASA)，
∴AP＝CA＝8，
∴t＝8，
∴经过 8 秒时，PM⊥AB；
(4)根据勾股定理得，BM＝，BP 的最小值为 8，
∵＜8，
∴BM≠BP，
当 MB＝MP 时，
在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，
∴AP＝CM＝2， 则 t＝2，
当 PB＝PM 时，如图2，作BF⊥AN于 F， 则四边形 BCAF 为矩形，
∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，
∴PF＝6﹣t，
由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，
∴PF2+BF2＝AM2+AP2，即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝，
∴当△BMP 是等腰三角形时，t＝2 或.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【变式训练4-5】如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高．动点D在射线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（2）当动点D在射线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】⑴见解析；⑵当动点D在射线AM上时，∠AOB为定值60°．
【分析】(1)根据等边三角形的性质就可以得出AC=BC，DC=EC,∠ACB=∠DCE= 60°，由等式的性质就可以得出∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，⑵分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由⑴可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论.
【详解】（1）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
⑵∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：∵AD为等边三角形的高，
∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO=∠BAC=30°，∠ACB=60°，
①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则
∠ABE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°
②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
综上所述，当动点D在射线AM上时，∠AOB为定值60°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用解答时证明三角形全等是解决本题的关键.
题型五：等腰三角形的性质综合之探究问题
【经典例题5】我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与是等腰直角三角形，，连接、．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的基础上，作，延长交于点，求证：点为的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据与是等腰直角三角形，得到，，由，证得，推出，从而证得结论；
（2）作垂直的延长线于点G，作，垂足为H，由于，得到，推出，得出，由于，于是得到结果即；
（3）作垂直的延长线于点M，作，垂足为N，证得，得到，同理可证，得到，，推出，得到，即G为中点．
【详解】（1）证明：∵与是等腰直角三角形，
∴，，．
又∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：如图2，过点A作垂直的延长线于点，作，垂足为．
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
（3）解：如图3，过点A作垂直的延长线于点，过点作，垂足为．
∵，
∴，．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
同理可证．
∴ ．
∴ ．
在与中，
∵，
∴．
∴．即为的中点．
【变式训练5-1】综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点．
(1)（探究一）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
(2)（探究二）小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由；
(3)（探究三）小刚在（2）的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)符合题意．理由见解析
(3)
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据同角的余角相等证明即可；
（2）结论：正确．证明，可得结论．
（3）延长交与点，则根据题意得，证明，根据全等的性质，结合是的中线，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
，
，
；
（2）结论：符合题意．
理由：如图2中，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）延长交与点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
．
是的中线，
，又，
则，
的面积为．
【变式训练5-2】（1）问题发现
如图①，在中，，D、E分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则、、之间的数量关系是 ，与的数量关系是 ．
（2）类比探究
如图②，和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由
（3）拓展延伸
如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（4）解决问题
在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）的度数为；线段与之间的数量关系是：．
（3），．
（4）35．
【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
（3）证明，得出，最后证出即可．
（4）根据进行计算即可．
【详解】解：（1），，
，
即，
是的外角，
；
故答案为：，；
（2）和均为等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∵点A，D，E在同一直线上，
，
，
，
综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：．
（3）和均为等腰直角三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∵点A，D，E在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
．
（4），
故答案为：35．
【变式训练5-3】几何探究在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接
(1)如图，当点在线段上时，求证：．
(2)如图，若点在线段的延长线上，，．则，之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(3)如图，当点在线段上，°，，求最大值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)最大值为
【分析】（1）根据，则，又根据，，得，即可；
（2）由（1）得，，则，根据，则，根据，三角形内角和为，则，得，又根据，根据等量代换，即可；
（3）过点作交于点，根据等腰三角形的性质，得；由（1）得，，得，根据垂线段最短，即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）
理由，如下：
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）过点作交于点，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴；
∴，
当最小时，最大，
∴当，时最小，，
∴最大为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，垂线段最短．
【变式训练5-4】【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程；
(2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中：
A． B． C． D．
直接写出所有正确选项的序号是 ．
(3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)B、C
(3)见解析
【分析】（1）如图①中，延长至点E，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论；
（2）如图2中，延长至F，使，证明，即可判断；
（3）如图3中，延长到J，使得，连接，证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：解：如图①中，延长至点E，使，
在和，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如下图2中，延长至F，使，
由（1）得，，，
，
点B为的中点，
，
，
，
，
又，
，
，，
故B、C正确；
（3）如下图③中，延长到J，使得，连接，
同法可证，
，
，
，
与互补，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等．
【变式训练5-5】问题背景：某数学兴趣小组把两个等腰直角三角形的直角顶点重合，发现了一些有趣的结论．
结论一：
（1）如图1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE，试说明△ADB≌△AEC；
结论二：
（2）如图2，在（1）的条件下，若点E在BC边上，试说明DB⊥BC；
应用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，连接BD，BD＝7cm，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝24.5（cm2）．
【分析】（1）根据全等三角形的判定SAS进行证明即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理进行计算，即可得到答案；
（3）作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，根据三角形内角和和全等三角形的判定定理（ASA），即可得到答案.
【详解】（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝∠BAE+∠BAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）由（1）得△ADB≌△AEC，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝90°，
∴DB⊥BC；
（3）作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，
∵BE⊥BD，
∴∠CBE+∠DBC＝90°，
又∵∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠BCE，
又∵BA＝BC，
∴△BAD≌△BCE（ASA），
∴BD＝BE，且S△BAD＝S△BCE，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC
＝S△BCE+S△BCD
＝S△BDE
＝×7×7＝24.5（cm2）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS、ASA）和性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS、ASA）和性质、三角形内角和定理.
题型六：等边三角形的性质
【经典例题6】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
∵等边中，，
∴，
∵，
∴此时，
∴．
故选：C．
【变式训练6-1】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键．
如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
【变式训练6-2】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵在等边中， 是边上的高，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵当时，的长最小，
∴，
即最小值为9.5．
故选：D
【变式训练6-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
【答案】8
【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC．
【详解】解：∵△BEF是等边三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG=BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°
∴GF=DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案为8
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键．
【变式训练6-4】如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
【答案】3
【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可．
本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案为：3．
【变式训练6-5】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ．
【答案】7.8
【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：
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2.3等腰三角形的性质定理六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用等腰三角形的性质求角度
【经典例题1】如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
【变式训练1-2】如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ．
【变式训练1-3】如图，在中，，，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练1-4】如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
【变式训练1-5】如图，以△ABC的两边AC，BC为边分别向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∠D＝∠E．
(1)求证：△ADC≌△BEC．
(2)若∠CAD＝60°，∠ABE＝110°，求∠ACB的度数．
题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，中，，，垂足为点，平分，点为上一点，连接，，，，则 .
【变式训练2-2】如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为 ．
【变式训练2-2】如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ．
【变式训练2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
【变式训练2-4】如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
题型三：等腰三角形的性质综合之解答题
【经典例题3】如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．
(1)求证：；
(2)若的面积是18，，求长．
【变式训练3-1】已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
【变式训练3-2】如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE．
（1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度数；
（2）若∠B=x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数．
【变式训练3-3】如图，和分别是以的AB，AC为边的等边三角形，CE，BF相交于O.
（1）求的度数．
（2）若，判断的形状，并说明理由．
【变式训练3-4】如图，线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边在AB、AD的右侧作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F.
(1)求证：BD＝CE；
(2)求证：DF＝CE﹣CF；
题型四：等腰三角形的性质综合之动点问题
【经典例题4】如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，点D在BC边上（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交边AC于点E.
（1）当∠BAD=20°时，求∠CDE的度数；
（2）当CD等于多少时，△ABD≌△DCE？为什么？
（3）在点D运动的过程中，△ADE可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出∠DAE的度数；若不可能，说明理由.
【变式训练4-1】如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【变式训练4-2】如图，在中，点P，Q分别是边上的动点，连接交于点M．
(1)点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发，当时，试判断的形状，并说明理由．
(2)若为边长为的等边三角形，此时P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段运动、且它们的速度均为．当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为．
①当t为何值时，；
②点P，Q在运动的过程中，的大小会发生变化吗？若发生变化、请说明理由；若不会发生变化，请求出的大小．
【变式训练4-3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC上的一动点，AP=AQ，∠PAQ=90°，连接CQ．
(1)求证：CQ⊥BC．
(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，请直接写出此时点P的位置；若不能，请说明理由.
(3)当点P在BC上什么位置时，△ACQ是等腰三角形？请说明理由．
【变式训练4-4】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，过点 A(与 BC 在 AC 同侧)作射线 AN⊥AC，若动点 P 从点 A 出发，沿射线 AN 匀速运动，运动速度为 1cm/s，设点 P 运动时间为 t 秒．
(1)经过 秒时，Rt△AMP 是等腰直角三角形？
(2)经过几秒时，PM⊥MB？
(3)经过几秒时，PM⊥AB？
(4)当△BMP 是等腰三角形时，直接写出 t 的所有值．
【变式训练4-5】如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高．动点D在射线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（2）当动点D在射线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
题型五：等腰三角形的性质综合之探究问题
【经典例题5】我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与是等腰直角三角形，，连接、．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，在（2）的基础上，作，延长交于点，求证：点为的中点．
【变式训练5-1】综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点．
(1)（探究一）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
(2)（探究二）小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由；
(3)（探究三）小刚在（2）的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积．
【变式训练5-2】（1）问题发现
如图①，在中，，D、E分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则、、之间的数量关系是 ，与的数量关系是 ．
（2）类比探究
如图②，和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由
（3）拓展延伸
如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（4）解决问题
在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积．
【变式训练5-3】几何探究在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接
(1)如图，当点在线段上时，求证：．
(2)如图，若点在线段的延长线上，，．则，之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(3)如图，当点在线段上，°，，求最大值．
【变式训练5-4】【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围．
【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
(1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程；
(2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中：
A． B． C． D．
直接写出所有正确选项的序号是 ．
(3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：．
【变式训练5-5】问题背景：某数学兴趣小组把两个等腰直角三角形的直角顶点重合，发现了一些有趣的结论．
结论一：
（1）如图1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE，试说明△ADB≌△AEC；
结论二：
（2）如图2，在（1）的条件下，若点E在BC边上，试说明DB⊥BC；
应用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，连接BD，BD＝7cm，求四边形ABCD的面积．
题型六：等边三角形的性质
【经典例题6】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确
【变式训练6-2】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【变式训练6-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm．
【变式训练6-4】如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
【变式训练6-5】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ．
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