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2.1图形的轴对称七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：图形的轴对称的识别
【经典例题1】下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为对称轴图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练1-2】2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】202年月日，第届世界杯在卡塔尔卢塞尔足球场落下帷幕，梅西领衔的阿根廷队最终捧得大力神杯．以下历届世界杯中，图案部分是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】汉字是世界上最美的文字，形美如画，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．我 C．中 D．华
【变式训练1-5】京剧脸谱深受广大戏曲爱好者的喜爱，在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断
【经典例题2】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（ ）
A．
B．线段，，被直线垂直平分
C．为等腰三角形
D．线段所在直线的交点不一定在直线上
【变式训练2-1】如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等的三角形是关于某直线对称的轴对称图形
B．两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形
C．关于某直线对称的两个三角形是全等形
D．关于某直线对称的两个三角形，不一定是全等形
【变式训练2-3】下列图形中，与成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式训练2-5】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
题型三：根据成轴对称图形的特征进行作图
【经典例题3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．
(1)在图①中，作，使其面积为；
(2)在图②中，作，使其面积为2；
(3)在图③中，作四边形，使其是轴对称图形且面积为3．
【变式训练3-1】如图，已知四边形和直线l．
(1)作出四边形以直线l为对称轴的对称图形；
(2)分别延长4条线段，使它们相交，你发现什么？
(3)你能提出更多的问题吗？
【变式训练3-2】如图，在中，点分别是边上的中点，请你在边上确定一点P，使的周长最小．在图中作出点P．
（保留作图痕迹，不写作法．）
【变式训练3-3】如图，在河流的同岸有，两个村庄，要在河岸上确定相距米的两点，（点在点的右边），使得的和最小．用作图的方式来确定点，并说明确定点的步骤．
【变式训练3-4】如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，点B，点O都在格点上．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)在直线上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出点P；若不存在，请说明理由；
(3)求出四边形的面积．
【变式训练3-5】如图所示，在正方形网格上有一个 ．
(1)作 关于直线 的对称图形（不写作法）；
(2)在 上找一点 ，使得 最小；
(3)若网格上每个小正方形边长为1，求 的面积．
题型四：根据成轴对称图形的特征求解
【经典例题4】如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式训练4-2】如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ．
【变式训练4-4】如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ．
题型五：根据成轴对称图形的特征求最值
【经典例题5】如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【变式训练5-1】如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ．
【变式训练5-3】如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【变式训练5-4】点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是
题型六：台球桌面上的轴对称问题
【经典例题6】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【变式训练6-1】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【变式训练6-2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．
【变式训练6-3】如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【变式训练6-4】如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．
(1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使；
(2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球．
【变式训练6-5】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．
(1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
(2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
题型七：光线反射的轴对称问题
【经典例题7】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练7-3】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整．
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2.1图形的轴对称七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：图形的轴对称的识别
【经典例题1】下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为对称轴图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故不合题意；
B、该图形是轴对称图形，故合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故不合题意；
故选：B
【变式训练1-2】2024年金华“5·18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形成为解题的关键．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式训练1-3】202年月日，第届世界杯在卡塔尔卢塞尔足球场落下帷幕，梅西领衔的阿根廷队最终捧得大力神杯．以下历届世界杯中，图案部分是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握掌握轴对称图形的概念是解题的关键，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：，，选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
【变式训练1-4】汉字是世界上最美的文字，形美如画，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．爱 B．我 C．中 D．华
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】京剧脸谱深受广大戏曲爱好者的喜爱，在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，故不合题意；
第二个图形不是轴对称图形，故合题意；
第三个图形是轴对称称图形，故不合题意；
第四个图形是轴对称图形，故不合题意；
故选：B．
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断
【经典例题2】如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（ ）
A．
B．线段，，被直线垂直平分
C．为等腰三角形
D．线段所在直线的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A、和关于直线对称，
，
，正确，不符合题意；
B、和关于直线对称，
线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意；
C、和关于直线对称，
是线段的垂直平分线，
为等腰三角形，正确，不符合题意；
D、和关于直线对称，
线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式训练2-1】如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，根据成轴对称图形的性质逐项判断即可．
【详解】解：因为与关于直线对称，
所以，，，与不一定平行，故A，B，C项一定正确，D项不一定正确．
故选：D．
【变式训练2-2】下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等的三角形是关于某直线对称的轴对称图形
B．两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形
C．关于某直线对称的两个三角形是全等形
D．关于某直线对称的两个三角形，不一定是全等形
【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形的应用．根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
【详解】解：A、两个全等的三角形不一定是关于某直线对称的轴对称图形，本选项不符合题意；
B、两个全等的等腰三角形不一定是关于某直线对称的轴对称图形，本选项不符合题意；
C、关于某直线对称的两个三角形是全等形，本选项符合题意；
D、关于某直线对称的两个三角形，一定是全等形，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-3】下列图形中，与成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误；
B、成轴对称，故本选项正确；
C、不成轴对称，故本选项错误；
D、不成轴对称，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练2-4】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
【变式训练2-5】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可．
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，
A． ∵与是一组对应边，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵与是一组对应角，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵与是一组对应角，
∴平分，故此选项不符合题意；
D．∵直线是对称轴，
∴垂直平分，故此选项符合题意．
故选：D．
题型三：根据成轴对称图形的特征进行作图
【经典例题3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形．
(1)在图①中，作，使其面积为；
(2)在图②中，作，使其面积为2；
(3)在图③中，作四边形，使其是轴对称图形且面积为3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，轴对称图形，熟练掌握利用网格特征作图，轴对称图形的性质是解答本题的关键．
（1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可；
（2）画高与底分别为与的三角形即可；
（3）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可．
【详解】（1）解：如图1-1所示，或或即为所求；
，
如图1-2，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2所示，或即为所求；
∵，，
．
（3）解：如图3所示，四边形或四边形即为所求；
．
【变式训练3-1】如图，已知四边形和直线l．
(1)作出四边形以直线l为对称轴的对称图形；
(2)分别延长4条线段，使它们相交，你发现什么？
(3)你能提出更多的问题吗？
【答案】(1)见解析
(2)交点在对称轴上
(3)与相等的线段是哪一条？（答案不唯一）
【分析】本题考查了画轴对称图形，
（1）从四点向l引垂线并延长，分别找到四点的对称点，然后顺次连接即可；
（2）分别延长4条线段，使它们相交，交点在对称轴上；
（3）可根据轴对称图形提问，如与相等的线段是哪一条等．此题答案不唯一．
【详解】（1）解：所求图形，如图所示；
（2）
交点在对称轴上；
（3）与相等的线段是哪一条？
【变式训练3-2】如图，在中，点分别是边上的中点，请你在边上确定一点P，使的周长最小．在图中作出点P．
（保留作图痕迹，不写作法．）
【答案】见详解
【分析】此题主要是考查利用轴对称解决最短路径问题，利用轴对称作出D点对称点，连接交于点P，当点，点P和点E在一条直线上时，的周长为最小值．
【详解】解：作D点对称点，连接，与交于点P，
P点即为所求：
【变式训练3-3】如图，在河流的同岸有，两个村庄，要在河岸上确定相距米的两点，（点在点的右边），使得的和最小．用作图的方式来确定点，并说明确定点的步骤．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，平移的性质，如图所示，作且，
作点关于的对称点，连接交于D，在上截取，则点C即为所求．
【详解】解：如图所示，作且，
作点关于的对称点，连接交于D，在上截取，则点C即为所求．
由轴对称的性质可得，由平移的性质可得，
则可知此时，即此时即为所求．
【变式训练3-4】如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，点B，点O都在格点上．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)在直线上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出点P；若不存在，请说明理由；
(3)求出四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)存在，理由见解析
(3)12
【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，梯形面积公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接，交直线于点P，则点P即为所求．
（3）利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：存在．
如图，连接，交直线于点P，连接，
此时为最小值，
则点P即为所求．
（3）解：由图可知：四边形的面积为．
【变式训练3-5】如图所示，在正方形网格上有一个 ．
(1)作 关于直线 的对称图形（不写作法）；
(2)在 上找一点 ，使得 最小；
(3)若网格上每个小正方形边长为1，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路径问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作出、、关于直线的对称点、、即可；
（2）连接交于，点即为所求；
（3）利用割补法求面积即可；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
题型四：根据成轴对称图形的特征求解
【经典例题4】如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可得，，结合的周长为15，即，即可获得答案．
【详解】解：∵点、分别是点关于、的对称点，
∴，，
∵的周长为15，即，
∴．
故选：A．
【变式训练4-1】如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．
【详解】解：∵和关于直线l对称，l交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴五边形的周长为：．
故选：A．
【变式训练4-2】如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到．
【详解】解：如图，连接，过A作于F，
∵点B关于的对称点E恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【变式训练4-3】如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解．
【详解】解：∵点关于、的对称点分别为、，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：作A点关于C的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，
，
，
的周长
，即此时的周长有最小值，
由轴对称的性质可得，，
，
，
，
，
故答案为：．
题型五：根据成轴对称图形的特征求最值
【经典例题5】如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短．
作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解．
【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E，
∵平分
∴在上，且
∴，
∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线，
∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，
∵ 的面积为 10
∴
∴
故选B．
【变式训练5-1】如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长．
【详解】解：如图中，
作点关于直线的对称点，作于，
，
根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长．
中，，，，，
．
故选：C．
【变式训练5-2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点．
平分，
点关于的对称点在上，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
【变式训练5-3】如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点，正确构造对称点是解题的关键．
作点P关于的对称点E,连接作点P关于的对称点F，连接由轴对称的性质可知，故当E，M，N，F四点共线时，的周长最小，再根据三角形的内角和定理和轴对称的性质即可求解．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点E,连接
，
作点P关于的对称点F，连接
，
，当E，M，N，F四点共线时，的周长最小．
，
，
又
，
∴在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练5-4】点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由根据三角形内角和定理即可得出．
【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、，
此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连、、，
由轴对称的性质可知，
，
，
，
，
故答案为：．
题型六：台球桌面上的轴对称问题
【经典例题6】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．
【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
该球最后落入2号袋．
故选：B．
【变式训练6-1】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，
可以瞄准点击球．
故答案为：．
【变式训练6-2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．
【答案】
【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式训练6-3】如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【答案】见解析
【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求．
【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
理由：由轴对称性质得．
又∵，
∴．
∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
【变式训练6-4】如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．
(1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使；
(2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求；
（2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；
，
由勾股定可得：，，，，，，
，，，
、、是等腰直角三角形，
，，
由平移的性质可得，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．
．
【变式训练6-5】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．
(1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
(2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求．
（2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求．
【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．
（2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．
【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
题型七：光线反射的轴对称问题
【经典例题7】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案．
【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
∴．
故选：B．
【变式训练7-1】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．
故选：D
【变式训练7-2】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键．
先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果．
【详解】解：，
，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行，
；
故选：A．
【变式训练7-3】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解．
【详解】解：由题意，知，
∴．
∴．
∴，
故选：C．
【变式训练7-4】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解．
【详解】解：过点F，作，则，
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练7-5】如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置．
【详解】解：如图所示：
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