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2.2等腰三角形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：等边对等角
【经典例题1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为10，求的长．
【变式训练1-1】如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于两点，与相交于点．
(1)若，则的周长为 ；
(2)若，求的度数．
【变式训练1-2】 如图，在中，，于点D，为上一点，连接，使，，求的度数．
【变式训练1-3】如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若周长，，求长．
【变式训练1-4】如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 ．
【变式训练1-5】如图，，，则 ．
题型二：利用“三线合一”求角度
【经典例题2】如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在中，，的平分线交于点，是中点，且，那么的度数为 ．
【变式训练2-3】如图，在中，，，，且．求的度数．
【变式训练2-4】如图，在中，，是上的中线，，交于点，如果，那么 °．
题型三：利用“三线合一”求线段和的最小值
【经典例题3】如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【变式训练3-1】如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练3-3】如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
【变式训练3-4】如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ．
【变式训练3-5】如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为
【变式训练3-6】如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
题型四：利用“三线合一”求周长的最小值
【经典例题4】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【变式训练4-1】如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式训练4-2】如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的点，点P是上任意一点，连接、，若，则当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式训练4-4】如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ．
【变式训练4-5】于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ．
题型五：利用“三线合一”证明
【经典例题5】在 中，，是边上的高，的平分线与相交于点 ，求证：点在的平分线上．
【变式训练5-1】如图，四边形．
(1)尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，证明：点C 在的平分线上．
【变式训练5-2】如图，在中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：．
【变式训练5-3】如图，在中，点E在边上，，连接，G为的中点，连接并延长，交于点D，连接，过点E作，交于点F．求证：平分．
【变式训练5-4】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练5-5】在中，，点在上，点在上，连接，，．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形．
【变式训练5-6】如图，在中，交于点D．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
题型六：等腰三角形的定义
【经典例题6】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
【变式训练6-1】若关于x，y的两个方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．
【变式训练6-2】等腰三角形中，，中线把的周长分成和两部分，求各边的长．
【变式训练6-3】（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长；
（2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长；
（3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长．
【变式训练6-4】（1）一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
（2）一个等腰三角形的一个内角为，求其他两个内角的度数．
【变式训练6-5】在中，．
(1)求长度的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状．
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2.2等腰三角形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：等边对等角
【经典例题1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为10，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数；
（2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案．
【详解】（1）解：在中，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
；
（2）解：是的垂直平分线，，
，，
，
．
【变式训练1-1】如图，在中，分别垂直平分边和边，交边于两点，与相交于点．
(1)若，则的周长为 ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的知识的运用，
（1）根据垂直平分线的性质可得，因为的周长，由此即可求解；
（2）根据三角形内角和定理可得，根据对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：∵分别垂直平分边和边，
∴，
∴的周长，
∵，
∴的周长，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练1-2】 如图，在中，，于点D，为上一点，连接，使，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据等边对等角得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练1-3】如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若周长，，求长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】（1）∵，垂直平分，
，
，，
，
，
∵，
；
（2）周长，，
，
，
，，
，
，
即，
．
【变式训练1-4】如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先利用三角形的内角和得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用等边对等角得到，进而求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-5】如图，，，则 ．
【答案】/75度
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形的外角的性质逐一求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
题型二：利用“三线合一”求角度
【经典例题2】如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质， 三角形内角和定理以及角平分线的定义， 根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，可得出， 结合三角形内角和定理可得出， 最后再根据角平分线的定义即可得出答案．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：B．
【变式训练2-1】如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：，，
，
，是边上的中线，
，
，
，
，
，
故选：A
【变式训练2-2】如图，在中，，的平分线交于点，是中点，且，那么的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线性质是解题的关键．根据角平分线的定义得，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【变式训练2-3】如图，在中，，，，且．求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．由条件可先求得，再根据等腰三角形的性质可求得．
【详解】解：，
为等腰三角形，且为底边上的高，
为的平分线（三线合一），
，
，
，
；
故答案为：.
【变式训练2-4】如图，在中，，是上的中线，，交于点，如果，那么 °．
【答案】10
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，由等腰三角形三线合一的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据平行线的性质可得出答案．
【详解】解：∵，是上的中线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
题型三：利用“三线合一”求线段和的最小值
【经典例题3】如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在中，，为的中点，
∴，
∵的面积为16，
∴，
∵，
∴；
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为8，
故选：C．
【变式训练3-1】如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，是的中线，
，，
垂直平分，
，
，
即的最小值是线段的长，
故选：C．
【变式训练3-2】如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可．
【详解】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，
∴，
∴，
∴最小时，最小．
当时最小，即为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值是4．
故选B．
【变式训练3-3】如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的轴对称性可知，点与点关于对称，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴线段所在直线是等腰三角形的对称轴，且点与点关于对称，
∴，
∴，
如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小，
∵，
∴，解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练3-4】如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．
【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N，
，
∵，，是边上的中线，
∴，，平分，
∴M在AB上，
在中，，
∴，
∴，
∵E关于的对称点M，
∴，
∴，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为
【答案】7
【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键．
如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可．
【详解】解：如图：连接，
∵是等腰三角形，点D为边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为7．
故答案为7．
【变式训练3-6】如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】9.6
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小，再由，求出的长，即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵，是的平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小，
∵，
∴，
∴．
故答案为：9.6
题型四：利用“三线合一”求周长的最小值
【经典例题4】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
则，
，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
故选：C．
【变式训练4-1】如图，面积是16，，，点A与点C关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
连接，，由等腰三角形三线合一的性质得，，，则有，要使的周长为最小值，只需、、三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：连接，，如图所示：
，点是的中点，，
，，
面积是16，
，
，
∵点A与点C关于直线对称，
，
，
要使的周长为最小值，只需、、三点共线，即，
的周长为最小值为．
故选：B．
【变式训练4-2】如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的点，点P是上任意一点，连接、，若，则当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的最短路线问题，线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练运用垂直平分线的性质是解题关键．
连接，根据线段垂直垂直平分线的性质可知，．所以，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形的性质可知为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出答案．
【详解】解：如图，连接．
∵垂直平分，
∴，，
∴，
当A、P、D在同一直线上时，最小，最小值为．
∴周长最小值．
∵，点D是边的中点，
∴为的平分线，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练4-3】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
∴，
周长的最小值．
故答案为：8．
【变式训练4-4】如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可．
【详解】解：∵的周长为，为定值，
∴当的值最小时，的周长最小，
连接，
∵的垂直平分线为，
∴，
∴，
∴当三点共线时，，
∵点D为的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为：
．
故答案为：7．
【变式训练4-5】于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短为：，
故答案为：11．
题型五：利用“三线合一”证明
【经典例题5】在 中，，是边上的高，的平分线与相交于点 ，求证：点在的平分线上．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，连接，先由三线合一定理得到，证明得到，则，再由角平分线的定义得到，则，据此可证明结论．
【详解】证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵的平分线与相交于点，
∴，
∴，
∴点在的平分线上．
【变式训练5-1】如图，四边形．
(1)尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，证明：点C 在的平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定，三线合一定理：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）可证明垂直平分，由三线合一定理可知平分，即点C 在的平分线上．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴由三线合一定理可知平分，
∴点C 在的平分线上．
【变式训练5-2】如图，在中，，平分 ，点是延长线一点，点是上一点，，连接并延长交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，三线合一得到，平角结合三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，得到，得到，即可得出结论．
【详解】解：∵，平分 ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-3】如图，在中，点E在边上，，连接，G为的中点，连接并延长，交于点D，连接，过点E作，交于点F．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得是的垂直平分线是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，等边对等角得，再根据平行线的性质得，等量代换即可得出结论．
【详解】证明：∵，G为的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【变式训练5-4】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)110度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键．
（1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
（2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，D是的中点，
平分，
，，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【变式训练5-5】在中，，点在上，点在上，连接，，．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，过点作，，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用证明得出，即可得证；
（2）由角平分线的性质定理得出，即可证明，，由等腰三角形的性质得出，即可证明，．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，即，
∴平分；
（2）解：由（1）可得：平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴；
∵，平分，
∴，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴．
【变式训练5-6】如图，在中，交于点D．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了基本作图—线段垂直平分线的作法与等腰三角形的性质．
（1）直接利用线段的垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合作图与已知可得再由等腰三角形的“三线合一”可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；
（2）解：垂直平分，
，
又，
．
题型六：等腰三角形的定义
【经典例题6】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】解：当为钝角三角形时．
①当为锐角三角形时，如图1，
，，
，
三角形的顶角为；
②当为钝角三角形时，如图2，
，，
，
，
三角形的顶角为，
该等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【变式训练6-1】若关于x，y的两个方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)
(2)等腰三角形的周长为
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，等腰三角形的性质及三角形三边关系，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
（1）联立两方程组中不含，的方程组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）把与的值代入含, 的方程求出, 的值，利用等腰三角形的性质分类讨论，结合构成三角形的条件，即可求出周长.
【详解】（1）解：根据题意联立：，
解得： ；
（2）解：把 代入得：，
解得：，
若为腰，为底，则三角形三边长为，
，不能构成三角形；
若为底，为腰，则三角形三边长为，
，能构成三角形，则周长为；
综上，等腰三角形的周长为.
【变式训练6-2】等腰三角形中，，中线把的周长分成和两部分，求各边的长．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形三边的数量关系，
根据题意，是中线，则，分类讨论：当，则，分别求出，根据三角形三边数量关系即可求解；当，则，分别求出，根据三角形三边数量关系即可求解；
【详解】解：如图，是中线，则，
∵，
∴，
当，则，
∴，则底边，
三角形的三边分别为，
∵，
∴能组成三角形；
当，则，
∴，则底边，
三角形的三边分别为，
∵，
∴不能组成三角形，
综上所述，各边的长分别为．
【变式训练6-3】（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长；
（2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长；
（3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长．
【答案】（1）3；（2）2；（3）、或5、2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
（1）由等腰三角形的周长是10，则底边长4，根据等腰三角形的两腰相等，即可求得其腰长的值；
（2）由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长；
（3）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答．
【详解】解：（1）∵等腰三角形的底边长为4，周长为10，
∴腰长为；
（2）∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，
∴它的底边长为．
（3）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，
∵，
∴、、5可以构成三角形；
当5为腰时，其它两边为5和2，
∵，
∴5、5、2可以构成三角形．
故另两边是、或5、2．
【变式训练6-4】（1）一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
（2）一个等腰三角形的一个内角为，求其他两个内角的度数．
【答案】（1），或，；（2），
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形的内角和定理；
（1）分底边或者腰长为，结合构成三角形的条件，分类讨论，即可求解；
（2）根据等腰三角形的定义，三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：（1）当底边长为 时，
腰长为．
所以另两边的长为， ，能构成三角形；
当腰长为 ，底边长为．
所以另两边的长为 ， ，能构成三角形．
综上，其他两边的长是，或，．
（2）由题意，知只能顶角为，则底角度数为．
故其他两个内角度数是，．
【变式训练6-5】在中，．
(1)求长度的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状．
【答案】(1)
(2)的周长为16，是等腰三角形
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，
∴，
∴；
（2）∵的周长为偶数，为奇数，
∴的长为奇数，
∵，
∴，
∴的周长为，是等腰三角形．
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