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专题2.3 等腰三角形的性质定理六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点 D，E 是等边三角形 的边上的点．已知 ，且．若，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知是等边三角形的高，且，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫做对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点之间的线段；⑥全等三角形的周长相等、面积相等；⑦所有的等边三角形都全等；⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相平行．其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确
7．如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，两个全等的等边三角形的边长，一个微型机器人由点开始按的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走停下，则这个微型机器人停在（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
9．如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
10．如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ．
12．如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是 ．
13．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ．
14．如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．
15．如图，已知点，是上的三等分点，是等边三角形，那么的度数为 ．
16．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有 个．
17．如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
18．如图，已知等边三角形的边长为，有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，另有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，若点、同时出发，经过 秒后，两点第次同时到达等边三角形的同一顶点．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：．
20．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．
(1)求证：；
(2)请求出的度数．
21．如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点 C到之间的距离．
22．请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．）
(1)如图1，已知是等边三角形，求作点P，使点P到三边距离相等；
(2)如图2，已知是一般三角形，求作点Q，使点Q到三边距离相等．
23．如图1，在等边中，点P，Q分别是，上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于M．
(1)当点P，Q在边，上运动时，求的度数；
(2)当点P，Q在射线，上运动时，直线，交于点M，求的度数．
24．如图，
(1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
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专题2.3 等腰三角形的性质定理六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．
【详解】解：为等边三角形，
，
是等边三角形的中线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，点 D，E 是等边三角形 的边上的点．已知 ，且．若，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意证明，即可得出．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
故选：C．
3．已知是等边三角形的高，且，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形“三线合一”的性质，理解等边三角形的性质是解题关键．根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形， 是等边三角形的高，，
∴，
故选：B．
4．下列说法中正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫做对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点之间的线段；⑥全等三角形的周长相等、面积相等；⑦所有的等边三角形都全等；⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相平行．其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据线段的性质，两点之间的距离，对顶角，平行线，垂直的含义，全等三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质逐一分析即可．
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短；正确，
②相等的角不一定是对顶角；原说法错误，
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原说法错误，
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；原说法错误，
⑤两点之间的距离是两点之间的线段的长度；原说法错误，
⑥全等三角形的周长相等、面积相等；正确，
⑦所有的等边三角形不一定全等；原说法错误，
⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．原说法错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线，两点间的距离，相交线，对顶角，全等三角形的性质，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
5．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角平分线的定义，则，；根据平行线的性质可证得，，然后根据等角对等边，则，，最后根据三角形的周长，即可．
【详解】∵，分别是，的角平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
6．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键．
如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
7．如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查线段最值问题，涉及等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用等知识，根据题意得，且，，则，那么，，且，当P、C、E共线时，的值最小，最小值为．
【详解】解：如图，连接．
∵三角形为等边三角形，
∴，
∵是的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为，
故选：B．
8．如图所示，两个全等的等边三角形的边长，一个微型机器人由点开始按的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走停下，则这个微型机器人停在（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】B
【分析】根据等边三角形和全等三角形的性质，可以推出，每行走一圈一共走了个，，行走了圈又米，即落到点．
本题主要考查全等三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于求出为的倍数余数是几．
【详解】解：两个全等的等边三角形的边长为，
机器人由点开始按的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为，
，即正好行走了圈又米，回到第个点，
行走停下，则这个微型机器人停在点．
故选：．
9．如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时．
【详解】解：如图，连接，
∵正的边长为 3，与关于直线l对称，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、D、三点共线时，最小，此时，
故选B
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
10．如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
根据等边三角形的性质可以得出，得，可用得，得出，根据边之间的关系即可得，综上，即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确；
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
不一定等于，当时，，故③错误；
∵，
∴．
∵，
∴．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，都是等边三角形．与的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质以及等式的性质可得出，，，然后证明，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】解∶∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
故答案为∶ ．
12．如图，在等边中，D，E分别是，上的点，且，与相交于点P，则的度数是 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先证明可得，从而可得答案．
【详解】解：∵在等边中，，，，
∴，
∴，
而，
∴．
故答案为：．
13．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案．
【详解】解：在等边中，，
是等边的边上的高，
平分，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．
【答案】15
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到，再由等边对等角得到，则．
【详解】解：∵在等边中，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：15．
15．如图，已知点，是上的三等分点，是等边三角形，那么的度数为 ．
【答案】120度/
【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．
本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得出的度数．
【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形，
，，
，，
又∵，，
，
．
故答案为：．
16．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有 个．
【答案】3
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边的中线和底边上的高重合，故原命题错误，不符合题意；
②等腰三角形两腰上的高相等，正确，符合题意；
③等腰三角形的最短边不一定是底边，故原命题错误，不符合题意；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确，符合题意；
⑤等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原命题错误，不符合题意，
错误的有3个，
故答案为：3
17．如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接，证明，可得，所以，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，进而可得的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵和都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
18．如图，已知等边三角形的边长为，有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，另有一点从点出发沿的方向以/的速度匀速移动，若点、同时出发，经过 秒后，两点第次同时到达等边三角形的同一顶点．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形及一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质，先设点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，根据点走的路程比点所走路程多个等边三角形的边长，列出方程求出，再设点、同时从第一次同时到达的顶点出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，根据点移动的路程点移动的路程个等边三角形的边长，列出方程求出，从而求出答案即可．
【详解】解：设点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得：
，
，
，
设点、同时从第一次同时到达的顶点出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得：
，
，
，
∴（），
∴点、同时出发，经过后两点第次同时到达等边三角形的同一顶点，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可；
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
∴，
∴．
20．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．
(1)求证：；
(2)请求出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论；
（2）根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，设与交于点，
∵，，
∴，
即：，
∵，
∴．
21．如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点 C到之间的距离．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得；
（2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离．
【详解】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，
∴
由（1）可知，
∴，
设 C到的距离为h，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，即点C到的距离为4．
22．请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．）
(1)如图1，已知是等边三角形，求作点P，使点P到三边距离相等；
(2)如图2，已知是一般三角形，求作点Q，使点Q到三边距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，掌握角平分线的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
（1）用有刻度的直尺分别取的中点E，的中点D，连接交于P，则P即为所求；
（2）用有刻度的直尺在上取，在取的中点G，同理取，的中点H，连接交于Q，则Q即为所求．
【详解】（1）解：量得，在上取点E，使，在上取点D，使，连接交于P，则点P即为所求；如图1，
（2）解：量得，在上取点F，使，连接，量得，在上取点G，使，量得，在上取点M，使，连接，量得，在上取点H，使，
连接交于Q，如图2，则点Q即为所求．
23．如图1，在等边中，点P，Q分别是，上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于M．
(1)当点P，Q在边，上运动时，求的度数；
(2)当点P，Q在射线，上运动时，直线，交于点M，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是∶
（1）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到；
（2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到．
【详解】（1）解∶ 是等边三角形，
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
；
，
是的外角，
，
，
；
（2）解∶ 点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：同理可得，，
，
是的外角，
，
，
即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．
24．如图，
(1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．
①的度数为______；
②线段之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②相等
(2)；，理由见详解；
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；
（2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系；
（3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：①和都是等边三角形，
，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
在与中，，
，
，
，点B、D、E在同一条直线上，
，
，
，
都是等腰直角三角形，，
，
，
，
的度数为，线段之间的数量关系为：；
（3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得，
和都是等腰三角形，，
，
，
，
．
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