中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2 等腰三角形六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（ ）
A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形
C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理的应用，三角形分类，分两种情况：的角为等腰三角形的底角，的角为等腰三角形的顶角，分别求出另外两个内角的度数，然后进行判断即可．
【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，则等腰三角形的另外一个底角为，顶角为：
，
∴此时等腰三角形为锐角三角形；
当的角为等腰三角形的顶角时，则等腰三角形的两个底角为：
，
∴此时等腰三角形为锐角三角形，
综上分析可知：这个三角形一定是锐角三角形，故C正确．
故选：C．
2．如图，在中，，点在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．
【详解】解：设．
，
，
，
，
，
，
，
在中，
解得：，
，
，
故选：B．
3．以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8
【答案】B
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法：较小的两个边长的和是否大于第三边的长是解决问题的关键．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长之和大于最长的边即可．
【详解】解：A． ∵，∴1、1、3不能能组成一个等腰三角形；
B．∵，∴3、3、5能能组成一个等腰三角形；
C ∵，∴5、5、10不能能组成一个等腰三角形；
D．∵，∴3、3、8不能能组成一个等腰三角形；
故选B．
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】①当为锐角三角形时，如图1，
∵，
∴，
∴三角形的顶角为；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形的顶角为，
故选：C．
5．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据，，，可知，，结合和等腰三角形性质可得，，将展开为求解，即可解题．
【详解】解：（和是对应角），，
，，
，
，
，，
，
，
故选：B．
6．如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等；由等腰三角形的性质得，，由得，由全等三角形的性质即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
()；
故选：A．
7．如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意点P为直线上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线于两点，即,连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故选：C
8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
则，
，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
故选：C．
9．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据同圆的半径相等可知：，，再根据等边对等角和线段垂直平分线的逆定理可得结论．本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理等知识，解题的关键是学会利用基本作图解决问题．
【详解】解：由①知：，
，
由②知：，
是的垂直平分线，
；
故选：D．
10．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵垂线段最短，且两点之间线段最短，
∴的最小值为的长，即的最小值为的长，
周长的最小值．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，本题的关键是在不确定所给边是腰还是底的时候注意分类讨论．分两种情况讨论：当已知长的边是底边时，当已知长的边是腰时，注意结果要验证是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：分两种情况讨论：
当已知长的边是底边时，
则腰长为，
此时三边，，满足三角形三边关系；
当已知长的边是腰时，
则底边长为，
∵，
则三边长是，，不能构成三角形；
故等腰三角形腰长是，
故答案为：．
12．中，，则 ° ．
【答案】50
【分析】本题主要考查了等腰三角形的各角之间的关系，确定等腰三角形的顶角，再结合计算即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：50．
13．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解．
【详解】解：①当是腰长时，
底边为，
∵，
∴、、能组成三角形；
②当是底边时，
腰长为，
∵，
∴、、能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为或，
故答案为：或．
14．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称 最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作关于的对称点，由对称性可知，点在上，当时，的最小值为，再利用面积法求出的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：作关于的对称点，
∵是的平分线，
∴点在上，
∴，
∴当时，的最小值为，
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
15．如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．
【答案】8
【分析】此题考查了三角形的内角和是的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解．
【详解】解：添加的钢管长度都与相等，，
，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，，第九个是就不存在了．
所以最多能添加这样的钢管的根数为8根．
故答案为：8．
16．如图，，若和分别垂直平分和，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，由和分别垂直平分和，可得，，即可证得，，又由可求得的度数，即可得的度数，继而求得答案.
【详解】解：∵垂直平分，
同理：
∵，
∴
故答案为：
17．如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线， 构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．过点E作，首先证明再证即可解决问题；
【详解】解：如图，过点C作，垂足为点N，
，，均为等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：3．
18．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
【答案】或10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可．
【详解】解：点P，Q移动时，
，．
分两种情况：
①当点在线段上时，
若是等腰三角形，则，
即，
解得，；
②当点在的延长线上时，
，
若是等腰三角形，又，
则是等边三角形，
∴，
即，
解得，；
综上所述，当或时，是等腰三角形．
故答案为：或10．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，，若，求的度数．
【答案】
【分析】根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
20．如图，在中，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接．若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
，
则即为所求．
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为10，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
（1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数；
（2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案．
【详解】（1）解：在中，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
；
（2）解：是的垂直平分线，，
，，
，
．
22．在中，，点D为的中点，，所在的直线与所在的直线交于点E．
(1)若点E在上，，的周长为16，求的长；
(2)若（且），求的度数．
【答案】(1)的长为6
(2)的度数为或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
（1）根据已知可得是的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后利用三角形的周长公式进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当点E在上时；当点E在的延长线上时；然后利用等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：如图：
∵点D为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
的周长为16，
，
的长为6；
（2）解：分两种情况：
当点E在上时，如图：
，，
；
∵点D为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
；
当点E在的延长线上时，如图：连接，
，，
；
∵点D为的中点，，
是的垂直平分线，
，
，
；
综上所述：的度数为或．
23．已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由．
【答案】a，b，m为长度能构成一个三角形，以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出，结合可求出a，b，m的值，然后利用三角形三边关系和等腰三角形的定义判定即可．
【详解】解∶∵是方程组的解，
∴，
又，
∴联立方程组，解得，
∴，
∴，
∵，
∴a，b，m为长度能构成一个三角形，
以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形．
24．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M．
(1)若，求的度数．
(2)连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案；
②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得与的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图：连接，
①∵垂直平分．
∴，
∴的周长；
②当点P与点M重合时，的值最小，最小值是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2 等腰三角形六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（ ）
A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形
C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形
2．如图，在中，，点在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组线段的长为边长，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．1、1、3 B．3、3、5 C．5、5、10 D．3、3、8
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
9．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
10．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
12．中，，则 ° ．
13．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
14．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
15．如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．
16．如图，，若和分别垂直平分和，则 ．
17．如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ．
18．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，，若，求的度数．
20．如图，在中，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接．若，求的度数．
21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为10，求的长．
22．在中，，点D为的中点，，所在的直线与所在的直线交于点E．
(1)若点E在上，，的周长为16，求的长；
(2)若（且），求的度数．
23．已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由．
24．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M．
(1)若，求的度数．
(2)连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
