新浙教版七上数学专题讲义1-有理数与数轴（含解析）

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有理数与数轴
【知识梳理】
一、有理数
注意：1、有理数是整数和分数的统称，此处整数和分数包含正负。
2、分数的三种表示：①分数线形式 ②有限小数 ③无限循环小数
二、数轴
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
三、相反数
只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称这两个数互为相反数。
0的相反数还是0。
相反数在数轴上的特点：除0外，数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，且关于原点对称。
注意：a，b两数满足a+b=0，或者（b≠0）时，a，b互为相反数。
【课堂练习】
选择题
1.在有理数，，，，，中，负数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.在，，，，，，每两个之间依次多一个中，有理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，如图检测结果中最接近标准质量的是( )
A. B.
C. D.
4.在跳远测验中，合格标准是米，张非跳出了米，记为米，李强跳出了米，记作米．
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 没有最大的正数，但有最大的负数； B. 没有最小的负数，但有最小的正数；
C. 有最大的负整数，也有最小的正整数； D. 有最小的有理数是。
6.如图，将一刻度尺放在数轴上数轴上个单位长度是，刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为( )
A. B. C. D.
7.的相反数是( )
A. B. C. D.
8.下列说法：所有的整数都是正数；在有理数中，除了正数就是负数；是非负数；既不是整数，也不是分数；有理数包括整数、和分数其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
9.如果表示零上，那么零下可记为______．
10.某零件的生产说明中标明尺寸要求为，则尺寸为的零件______要求填：符合或不符合
11.数轴上表示点的数是最大的负整数，则与点相距个单位长度的点表示的数是_______．
12.体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 ．
13.有三个有理数，分别是、、，或者写成、、，那么数的值是_______．
三、解答题
14.把下列各数分别填入相应的大括号内．
，，，，，，，，，，．
正有理数集合：{ }；
整数集合： { }；
负分数集合： { }；
非正整数集合：{ }．
15.已知在纸面上有一数轴如图，折叠纸面．
若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
表示的点与表示数______的点重合；
若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
16.任何一个有理数都能写成分数的形式整数可以看作是分母为的分数我们知道：可以写，可以写成，因此，有限小数是有理数那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索：
设，
两边同乘以得：，
得：，
因此，是有理数．
直接用分数表示循环小数______．
试说明是一个有理数，即能用一个分数表示．
【课后巩固】
1.在，，，，，中，负分数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点表示的数是( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.一种叫做“拍”的游戏规定：把从起的自然数中含的数称作“明”，是的倍数的数称作“暗”，那么在至的自然数中，“明”和“暗”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.名学生体检测体重，以千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，结果如下单位：千克：，，，，，，，，，，则名学生的总体重为_________．
5.我们把分子为的分数叫做单位分数，如，，，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为______．
6.某服装店购进了一批保暖内衣，进价为每套元，为了合理定价，进行了为期天的价格调整试销售活动，卖出时以每套元为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，如表所示：
第天 第天 第天 第天 第天
每套价格相对标准价格元
售出套数套
该服装店这天出售这批保暖内衣所得的总钱数与标准相比超过或不足多少元？
求该服装店这天出售这批保暖内衣的总利润利润售价进价
7.如图一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．
若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒长为______．
图中点所表示的数是______，点所表示的数是______．
由题的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈”，请求出爷爷现在多少岁了？
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】解：在有理数，，，，，中，负数有，，，共个．故选：．
2.【答案】
【解析】解：在，，，，，，每两个之间依次多一个中，
有理数有，，，，，共有个，故选：．
3.【答案】
【解析】解：，则最接近标准的是．故选：．
4.【答案】
【解析】解：以米为标准，张非跳出了米，记为米，
李强跳出了米，记作米，故选：．
5.【答案】
【解析】解：没有最大的正数，也没有最大的负数，故错误；
B.没有最小的负数，也没有最大的负数，故错误；
C.最大的负整数是，最小的正整数是，故正确；
D.有理数中没有最小的数，故错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：刻度尺上对应数轴上的数，且数轴上个单位长度是，
刻度尺上到原点的距离为：
，
又刻度尺上在原点的左侧，
刻度尺上对应数轴上的数为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：整数包括正整数、负整数和零，故错误；
在有理数中，既不是正数也不是负数，故错误；
非负数包括正数和，因此是非负数，故正确；
不是整数，但是分数，故错误；
有理数包括整数和分数，故错误．
共有个正确．故选B．
9.【答案】
【解析】解：如果零上记作，那么零下记作，
故答案为：．
10.【答案】不符合
【解析】解：由题意可得：最大尺寸为
最小尺寸为
因为不在到之间
所以尺寸为的零件不符合要求
11.【答案】或
【解析】解：点的数是最大的负整数，
点表示数，
在点左侧，与点相距个单位长度的点表示的数是，
在点右侧，与点相距个单位长度的点表示的数是，
故答案为：或．
12.【答案】
【解析】解：由，，，，，是达标成绩，得达标人数为，
达标率为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，
所以只能，即，
所以，
所以，．故答案为．
14.【答案】正有理数集合：；整数集合：；负分数集合：；非正整数集合：．
【解析】略
15.【答案】 ；
由题意可得，、两点距离对称点的距离为，
对称点是表示的点，
、两点表示的数分别是，．
16.【答案】解：．
设
则
得：，
，
是一个有理数，即能用一个分数表示．
【解析】设，两边乘，仿照例题可解；
设，两边乘，仿照例题可化简求解．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：在，，，，，中，负分数有，，共有个，故选：．
2.【答案】
【解析】解：半径为的圆从数轴上表示的点沿着数轴滚动一周到达点，
点与之间的距离是：，
当点在的左边时表示的数是，
当点在的右边时表示的数是，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：“明”一共有个，它们分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
“暗”一共有个，它们分别是，，，，，，，，，，；
既是“明”，又是“暗”的数一共有个，即，，，所以“明”和“暗”一共有个，
故选D．
4.【答案】千克
【解析】根据名学生的总体重大于或小于基准数的数的总和，把相关数值代入计算即可．
解：这名学生的总体重千克，
故答案为千克．
5.【答案】
6.【答案】解：由题意得：
元，
答：该服装店这天出售这批保暖内衣所得的总钱数与标准相比超过元；
元，
答：该服装店这天出售这批保暖内衣的总利润为元．
【解析】用每天每套价格相对标准价格乘售出套数，再求出天的和即可；
结合的结论解答即可．
7.【答案】
【解析】解：由数轴观察知三根木棒长是，
则此木棒长为．
图中点所表示的数是，点所表示的数是．
故答案为：，，．
如图：
借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，
类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时，
此时点所对应的数为．
小红比爷爷大时看作当点移动到点时，
此时点所对应的数为．
可知爷爷比小红大，
可知爷爷的年龄为．
此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为；
根据两点间的距离公式即可求解；
在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红比爷爷大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄．
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