2.7探索勾股定理（1）课件（共18张PPT）2022-2023学年 数学浙教版八年级上册

(共18张PPT)
2.7 探索勾股定理（1）
P
Q
R
a
c
b
SP+SQ=SR
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
观察图形并计算，你有什么发现？
SP =32 =9,SQ =42 =16,SR =72 -4×3×4=25
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
a
c
b
a
b
c
数学教育家波利亚：为了得到一个方程，
我们必须把同一个量以两种不同的方法表示
出来， 即将一个量“算两次”，从而建立相等关系，
这就是算两次原理。
《奥数教程》主编单（shan)壿(cun)：算两次
从二个方面考虑一个适当量，“一方面……，
另一方面……，综合起来可得……
猜想证明：
a
b
c
a
b
c
面积算两次：
一方面，大正方形边长为（a+b）,
面积为（a+b）2
另一方面，S4个直角三角形+S小正方形
=4× ab+c2
综合起来可得：
展开，得：a2+2ab+b2=c2+2ab
化简，得：
a2+b2=c2
b
a
c
b
a
c
面积算两次：
综合起来可得：
(a+b)2=2ab+c2
一方面，直角梯形上底为a,下底为b,高为（a+b）,
面积为 （a+b)(a+b)=
另一方面，2S小直角三角形+S等腰直角三角形=2× ab+ c2
=
2× ab+ c2
a2+2ab+b2=c2+2ab
a2+b2=c2
一般的，直角三角形的三条边长有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果a,b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则
a
b
c
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”因此这一性质也称为勾股定理.
勾
股
据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果钩是3，股是4，那么弦是5，这就是商高发现的“勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定理”，在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类贡献的杰出。
勾
股
赵爽
东汉至三国时代吴国人
为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》
例1 已知在△ABC中, ∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c
（1）若 a=1, b=2, 求c；
（2）若 a=15, c=17, 求b.
c2=a2+b2=12 +22 =5
∵c>0,
解:(1)根据勾股定理，得
∴c=
(2)根据勾股定理，得
∵b>0 , ∴b=8.
=172 -152
=64.
=(17＋15)(17－15)
b2 = c2 -a2
A
C
B
┚
a
b
c
例2 如图，是一个长方形零件图,根据所给的尺寸（单位：mm）,求两孔中心A，B之间的距离.
A
B
C
40
90
160
40
解:过A作铅垂线,过B作水平线,两线交于点C,则∠C =90。
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2
=502+1202=16900（mm2）
∵AB>0
∴AB=130(mm).
答:两孔中心A,B之间的距离为130mm.
1.已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=Rt∠，则有关系式（ ）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2
D.b2+c2=a2
B
A
B
┚
C
当堂检测：
2.求下列直角三角形中未知边的长:
4
5
x
x= =3
.
x= =13
.
x= =
.
.
1
x
2
12
5
x
┑
3.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
625
576
144
169
x= =15
.
y= =5
.
z= =7
.
4.借助圆规和刻度尺， 在数轴上准确表示
-1
0
1
2
2
1
0
2
构造直角三角形，借助勾股定理解决
.
.
5. 在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：
“今有池方一丈，葭生其中央，
出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”
这道题的意思是说：有一个边长为一丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，
芦苇露出水面一尺，若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好与水面齐平，
问水有多深？芦苇有多长（1丈=10尺）？请你解决这个问题.
解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，1丈=10尺
根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2 ,解得x=12
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
连续递推，豁然开朗
7cm
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
49
A
B
C
D
50
40
30
7.有一根长为70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
50cm、40cm、30cm的木箱中，能放进去吗？
70cm
=
思维拓展，更上一层
=
A
B
C
D
＞
70=
能