(共33张PPT)
第二章 有理数的运算
2.4 有理数的除法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.根据除法是乘法的逆运算，归纳出有理数的除法法则
2.掌握有理数的除法法则，理解0不能作除数
3.了解除法和乘法的转化
02
新知导入
为促进中小企业发展，我国针对增值税和企业所得税出台了一系列优惠政策。根据优惠政策，某企业2023年全年减少税款20万元，则平均每月减少税款多少万元？若规定缴税增加为正，减少为负，则可以如何列式计算？
02
新知导入
我们知道，对正有理数而言，除法是乘法的逆运算。例如，从3×2＝6可得6÷3＝2或6÷2＝3。
引入负数后，对一般的有理数，除法也是乘法的逆运算。所以，由 6×(－0.4)＝－2.4可得(－2.4)÷6＝－0.4。
03
新知讲解
做一做
填空：
(1)由9×(－2)＝－18，得
(－18)÷(－2)＝(________)，(－18)÷9＝(________)；
(2)由(－9)×2＝－18，得
(－18)÷2＝(________)，(－18)÷(－9)＝(________)；
(3)由(－9)×(－2)＝18，得
18÷(－2)＝(________)，18÷(－9)＝(________)；
(4)由0×a＝0(a表示不等于0的有理数)，得0÷a＝(________)。
9 -2
-9 2
-9 -2
0
03
新知讲解
观察上面的结果，两个有理数相除，商的符号有什么规律？商的绝对值呢？
03
新知讲解
一般地，我们有以下有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
零除以任何一个不等于零的数都得零。
03
新知讲解
例1 计算：
(1)(－8)÷(－4)；
(2)(－3.2)÷0.08；
(3)(－)÷。
解：
(1)(－8)÷(－4)＝＋(8÷4)＝2；
(2)(－3.2)÷0.08＝－(3.2÷0.08)＝－40；
(3)(－)÷＝－()÷＝－()×＝－。
想一想
下列等式成立吗？ (－8)÷(－4) ＝(－8)×(－)； (－)÷＝(－)×。由此你能得出什么规律？
03
新知讲解
下列等式成立,
(－8)÷(－4) ＝(－8)×(－)；
(－)÷＝(－)×。
规律：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
03
新知讲解
一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：
除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。
a÷b=a×(b≠0)
03
新知讲解
说明
(1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号.
(2)两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数.
03
新知讲解
例2
计算：(1)－÷(－7)×； (2)3.5÷÷(－)。
解:
(1)－÷(－7)×＝＋(÷7×)＝××＝；
(2)3.5÷÷(－)＝－(××)＝－。
03
新知讲解
注意
在进行有理数乘除混合运算时，应从左往右依次计算.
04
课堂练习
【例1】-1÷(-5)÷(-)的计算结果是
A.-1
B.-
C.
D.1
A -1÷(-5)÷(-)=-1××5=-1
04
课堂练习
【例2】下面的计算正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请改正.
-18÷6÷(-6)=-18÷[6÷(-6)]=18.
计算不正确.改正如下：-18÷6÷(-6)=18××=
04
课堂练习
【例3】计算:
(1)25÷(-5)×÷(-).
(2)(-27)÷2×÷(-24).
解：
(1)原式=25×(-)×(-)=
(2)原式=-27×××(-)=
04
课堂练习
【例4】计算6÷(-+).方方同学的计算过程如下：原式=6÷(-)+6÷=-12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程。
易错点 误认为除法有分配律致错
方方的计算过程不正确，正确的计算过程是
原式=6÷(-+)=6÷(-)=6×(-6)=-36.
04
课堂练习
【选做】5.对于有理数x,y,若<0,则++的值是( )
A -3 B.-1 C.1 D.3
因为<0，所以x，y异号，所以xy<0，所以==-1.当x>0时，y<0,==-1,==1,所以原式=-1+(-1)+1=-1.当x<0时,==1,==-1，所以原式=-1+1-1=-1.故选B.
04
课堂练习
【选做】6.将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标的绝对值越小,这个数就越“完美”,则18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数是_____
04
课堂练习
【选做】6.18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9，正偶数因数有2,6，18，所以18的“完美指标”是[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-；
19的正因数有1，19，正奇数因数有1,19，无正偶数因数，所以19的“完美指标”是(1+19)÷19=；
20的正因数有1,2,4,5,10,20，正奇数因数有1,5，正偶数因数有2,4,10,20，所以20的“完美指标”是[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-；
21的正因数有1,3,7,21，正奇数因数有1,3,7,21，无正偶数因数，所以21的“完美指标”是(1+3+7+21)÷21=.因为|-|<<|-|<,所以18是18，19,20，21这四个自然数中最“完美”的数.
05
课堂小结
一般地，我们有以下有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
零除以任何一个不等于零的数都得零。
一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：
除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。
a÷b=a×(b≠0)
06
作业布置
【必做】1.某同学在计算-16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是-12，则-16÷a的正确结果是________
计算-16-a时，误将“÷”看成“+”，结果得-12，即-16+a=-12，则a=4.所以-16÷a=-16÷4=-4.
故答案为-4.
06
作业布置
【必做】2.若a的相反数是5,b的倒数是-，则a与b的商的5倍是________
∵a的相反数是5,b的倒数是-,
∴a=-5,b=-,
∴(-5)÷(-)×5
=××5
=10
06
作业布置
【必做】3.下列结论：①若a为有理数，则>0;②若有理数a,b 满足=0,则a+b=0;③若a+b=0,则=-1其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
C【解析】①若a=0，则a =0，故①错误；②因为≥0, ≥0，所以若=0，则a=b=0，所以a+b=0，故②正确；③若a，b同时为零，满足a+b=0，但不存在，故③错误，故选C.
06
作业布置
【必做】4.已知|a|=3，|b|=4，且a因为|a|=3，|b|=4，所以a=±3，6=±4.
因为a当a=-3时，b=4，所以=-7
故答案为-7或-
06
作业布置
【选做】5.设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4)则(b÷a)÷(c÷d)的值为____
a=1×××=,b=(×)=6,c=1÷×=×=,d=1÷2÷= ×=,则(b÷a)÷(c÷d)=·=.因为bd=6×=4,ac=×=,=256.
06
作业布置
【选做】6.请你先认真阅读材料:
计算：(-)+(-+).
解：原式的倒数是(-+)÷(-)=(-+)(-24)=-16+18-21=-19.
所以原式=-
根据材料提供的方法，计算：(-)÷(-+-)
06
作业布置
【选做】6.解：
原式的倒数是(-+-)÷(-)
=(-+-)×(-42)
=-(×42-×42+×42-×42)
=-(7-9+28-12)
=-14
06
作业布置
【拓展题】
(1)三个有理数a,b,c满足 abc>0,求++的值
(2)若a,b,c为三个不为0的有理数,且++=-1求的值.
06
作业布置
【拓展题】(1)因为abc>0，所以a,b,c都是正数或两个为负数，一个为正数.①当a,b,c都是正数，即a>0，b>0,c>0时,++=1+1+1=3;②当a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时,++=-1-1+1=-1.故++的值为3或-1.
(2)因为a,b,c为三个不为0的有理数，且++=-1，所以a,b,c中有两个负数，一个正数，所以abc>0，所以==1.
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第二章 有理数的运算
2.4 有理数的除法
学习目标：
根据除法是乘法的逆运算，归纳出有理数的除法法则；
掌握有理数的除法法则，理解0不能作除数；
了解除法和乘法的转化
核心素养目标：根据有理数的乘法，抽象出有理数的除法法则；通过有理数的除法法则的应用，培养运算能力和应用意识。
学习重点：除法法则和乘除混合运算。
学习难点：根据除法是乘法的逆运算归纳出除法法则，除法和乘法的转化。
一、知识链接
1.一般地，我们有以下有理数的除法法则：两数相除，同号得________，异号得________，并把________相除；零除以任何一个不等于零的数都得________。
2. 除以一个数________，等于乘以这个数的________，即a÷b=________
二、自学自测
1. 如果(a-1)÷(b+2)=0，那么（）
A. a=0
B. a=1
C. a=1且b≠2
D. a=1且b≠-2
2. 若两个有理数的和除以这两个有理数的积，其商等于0，则这两个有理数（）
A.互为倒数
B.互为相反数
C. 有一个数为0
D.互为相反数且都不为零
一、创设情境、导入新课
为促进中小企业发展，我国针对增值税和企业所得税出台了一系列优惠政策。根据优惠政策，某企业2023年全年减少税款20万元，则平均每月减少税款多少万元？若规定缴税增加为正，减少为负，则可以如何列式计算？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
做一做
填空：
(1)由9×(－2)＝－18，得
(－18)÷(－2)＝(_______)，(－18)÷9＝(________)；
(2)由(－9)×2＝－18，得
(－18)÷2＝(________)，(－18)÷(－9)＝(_______)；
(3)由(－9)×(－2)＝18，得
18÷(－2)＝(_______)，18÷(－9)＝(________)；
(4)由0×a＝0(a表示不等于0的有理数)，得0÷a＝(_______)。
观察上面的结果，两个有理数相除，商的符号有什么规律？商的绝对值呢？
【强调】：
一般地，我们有以下有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
探究二：例题讲解
教材第55页：
例1 计算：
(1)(－8)÷(－4)；
(2)(－3.2)÷0.08；
(3)(－)÷。
想一想
下列等式成立吗？ (－8)÷(－4) ＝(－8)×(－)； (－)÷＝(－)×。由此你能得出什么规律？
【强调】：
一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。
a÷b=a×(b≠0)
说明:(1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号.
(2)两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数.
例2
计算：(1)－÷(－7)×； (2)3.5÷÷(－)。
【强调】：注意
在进行有理数乘除混合运算时，应从左往右依次计算.
提炼概念（本节课主要内容提炼）
一般地，我们有以下有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。
a÷b=a×(b≠0)
【例1】-1÷(-5)÷(-)的计算结果是
A.-1
B.-
C.
D.1
【例2】下面的计算正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请改正.
-18÷6÷(-6)=-18÷[6÷(-6)]=18.
【例3】计算:
(1)25÷(-5)×÷(-).
(2)(-27)÷2×÷(-24).
【例4】计算6÷(-+).方方同学的计算过程如下：原式=6÷(-)+6÷=-12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程。
【选做】5.对于有理数x,y,若<0,则++的值是( )
A -3 B.-1 C.1 D.3
【选做】6.将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标的绝对值越小,这个数就越“完美”,则18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数是_____
一般地，我们有以下有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
零除以任何一个不等于零的数都得零。
一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：
除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。
a÷b=a×(b≠0)
必做题：
1.某同学在计算-16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是-12，则-16÷a的正确结果是________
2.若a的相反数是5,b的倒数是-，则a与b的商的5倍是________
3.下列结论：①若a为有理数，则>0;②若有理数a,b 满足=0,则a+b=0;③若a+b=0,则=-1其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4.已知|a|=3，|b|=4，且a选做题：
5.设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4)则(b÷a)÷(c÷d)的值为____
6.请你先认真阅读材料:
计算：(-)+(-+).
解：原式的倒数是(-+)÷(-)=(-+)(-24)=-16+18-21=-19.
所以原式=-
根据材料提供的方法，计算：(-)÷(-+-)
拓展题：
(1)三个有理数a,b,c满足 abc>0,求++的值
(2)若a,b,c为三个不为0的有理数,且++=-1求的值.
参考答案
【预习自测】
1.D 如果(a-1)÷（b+2)=0，那么a-1=0，b+2≠0
解得：a=1且b≠-2
故选：D
2.D
解：因为在有理数的除法运算，除数不能为0，
所以这两个有理数都不能为0
因为其商等于0
所以这两个有理数的和为0
即两个有理数互为相反数且都不为零
故选：D
【作业布置】
必做
1.计算-16-a时，误将“÷”看成“+”，结果得-12，即-16+a=-12，则a=4.所以-16÷a=-16÷4=-4.
故答案为-4.
2.∵a的相反数是5,b的倒数是-,
∴a=-5,b=-,
∴(-5)÷(-)×5
=××5
=10
3.C【解析】①若a=0，则a =0，故①错误；②因为≥0, ≥0，所以若=0，则a=b=0，所以a+b=0，故②正确；③若a，b同时为零，满足a+b=0，但不存在，故③错误，故选C.
4.因为|a|=3，|b|=4，所以a=±3，6=±4.
因为a当a=-3时，b=4，所以=-7
故答案为-7或-
选做
5.a=1×××=,b=(×)=6,c=1÷×=×=,d=1÷2÷= ×=,则(b÷a)÷(c÷d)=·=.因为bd=6×=4,ac=×=,=256.
6.解：
原式的倒数是(-+-)÷(-)
=(-+-)×(-42)
=-(×42-×42+×42-×42)
=-(7-9+28-12)
=-14
拓展
(1)因为abc>0，所以a,b,c都是正数或两个为负数，一个为正数.①当a,b,c都是正数，即a>0，b>0,c>0时,++=1+1+1=3;②当a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时,++=-1-1+1=-1.故++的值为3或-1.
(2)因为a,b,c为三个不为0的有理数，且++=-1，所以a,b,c中有两个负数，一个正数，所以abc>0，所以==1.
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2.4有理数的除法教学设计
课题 2.4有理数的除法 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 有理数的除法是初中数学的重要内容之一，它不仅是有理数运算体系中的基本组成部分，也是学生进一步学习代数、解决实际问题的重要工具。本节内容主要涵盖有理数的除法法则，以及如何将除法转化为乘法进行计算。通过本节课的学习，学生应掌握有理数除法的运算技巧，理解除法与乘法的关系，并能够熟练进行有理数的除法运算。
核心素养 能力培养 根据有理数的乘法，抽象出有理数的除法法则； 通过有理数的除法法则的应用，培养运算能力和应用意识。
教学目标 根据除法是乘法的逆运算，归纳出有理数的除法法则； 掌握有理数的除法法则，理解0不能作除数； 了解除法和乘法的转化
教学重点 除法法则和乘除混合运算
教学难点 根据除法是乘法的逆运算归纳出除法法则，除法和乘法的转化。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 计算：(-4)× =( ) A.-6 B.6 C.-8 D.8 A 创设情境、导入新课 为促进中小企业发展，我国针对增值税和企业所得税出台了一系列优惠政策。根据优惠政策，某企业2023年全年减少税款20万元，则平均每月减少税款多少万元？若规定缴税增加为正，减少为负，则可以如何列式计算？ 我们知道，对正有理数而言，除法是乘法的逆运算。例如，从3×2＝6可得6÷3＝2或6÷2＝3。 引入负数后，对一般的有理数，除法也是乘法的逆运算。所以，由 6×(－0.4)＝－2.4可得(－2.4)÷6＝－0.4。 复习回顾之前学习的有理数的乘法运算法则。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固认识有理数乘法运算的相关知识。 从税收优惠政策导入有理数的除法法则，引出运算方法。
新知探究 探究一：引入概念 做一做 填空： (1)由9×(－2)＝－18，得 (－18)÷(－2)＝(____9____)，(－18)÷9＝(____-2____)； (2)由(－9)×2＝－18，得 (－18)÷2＝(____-9____)，(－18)÷(－9)＝(____2____)； (3)由(－9)×(－2)＝18，得 18÷(－2)＝(____-9____)，18÷(－9)＝(____-2____)； (4)由0×a＝0(a表示不等于0的有理数)，得0÷a＝(____0____)。 观察上面的结果，两个有理数相除，商的符号有什么规律？商的绝对值呢？ 【强调】： 一般地，我们有以下有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 探究二：例题讲解 教材第55页： 例1 计算： (1)(－8)÷(－4)； (2)(－3.2)÷0.08； (3)(－)÷。 解： (1)(－8)÷(－4)＝＋(8÷4)＝2； (2)(－3.2)÷0.08＝－(3.2÷0.08)＝－40； (3)(－)÷＝－()÷＝－()×＝－。 想一想 下列等式成立吗？ (－8)÷(－4) ＝(－8)×(－)； (－)÷＝(－)×。由此你能得出什么规律？ 下列等式成立, (－8)÷(－4) ＝(－8)×(－)； (－)÷＝(－)×。 规律：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 【强调】： 一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。 a÷b=a×(b≠0) 说明:(1)分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号. (2)两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. 例2 计算：(1)－÷(－7)×； (2)3.5÷÷(－)。 解: (1)－÷(－7)×＝＋(÷7×)＝××＝； (2)3.5÷÷(－)＝－(××)＝－。 【强调】： 在进行有理数乘除混合运算时，应从左往右依次计算. 教师总结： 一般地，我们有以下有理数的除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。 a÷b=a×(b≠0) 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，引出新问题，通过对问题的讨论，学生将学习有理数的除法法则.
课堂练习 【例1】-1÷(-5)÷(-)的计算结果是 A.-1 B.- C. D.1 A -1÷(-5)÷(-)=-1××5=-1 【例2】下面的计算正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请改正. -18÷6÷(-6)=-18÷[6÷(-6)]=18. 计算不正确.改正如下：-18÷6÷(-6)=18××= 【例3】计算: (1)25÷(-5)×÷(-). (2)(-27)÷2×÷(-24). 解： (1)原式=25×(-)×(-)= (2)原式=-27×××(-)= 【例4】计算6÷(-+).方方同学的计算过程如下：原式=6÷(-)+6÷=-12+18=6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程。 易错点 误认为除法有分配律致错 方方的计算过程不正确，正确的计算过程是 原式=6÷(-+)=6÷(-)=6×(-6)=-36. 【选做】5.对于有理数x,y,若<0,则++的值是( ) A -3 B.-1 C.1 D.3 因为<0，所以x，y异号，所以xy<0，所以==-1.当x>0时，y<0,==-1,==1,所以原式=-1+(-1)+1=-1.当x<0时,==1,==-1，所以原式=-1+1-1=-1.故选B. 【选做】6.将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标的绝对值越小,这个数就越“完美”,则18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数是_____ 18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9，正偶数因数有2,6，18，所以18的“完美指标”是[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-； 19的正因数有1，19，正奇数因数有1,19，无正偶数因数，所以19的“完美指标”是(1+19)÷19=； 20的正因数有1,2,4,5,10,20，正奇数因数有1,5，正偶数因数有2,4,10,20，所以20的“完美指标”是[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-； 21的正因数有1,3,7,21，正奇数因数有1,3,7,21，无正偶数因数，所以21的“完美指标”是(1+3+7+21)÷21=.因为|-|<<|-|<,所以18是18，19,20，21这四个自然数中最“完美”的数. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对有理数的除法法则运算的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 一般地，我们有以下有理数的除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系： 除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的倒数。 a÷b=a×(b≠0) 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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