浙教版数学八年级上册 第二章 特殊三角形 单元练习（含答案）

浙教版初中数学八年级上册第二章
一、单选题
1．下列图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是（　　）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C． a2+c2=b2 D．c2- a2= b2
3．如图，已知，，则图中全等的三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B． C．12或 D．12或
5．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．30°或40° D．50°
6．如图，在中，，以AC为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论错误的是(　　)
A． B． C．AE平分 D．
7．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．2+
8．如图，∠AOB＝30 ，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10
B．
C．20
D．
9．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（　　）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则下列结论：①；②；③；④，
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．命题“如果是正数，那么”的逆命题是　 　．
12．在直角三角形中，两条直角边的长分别是 和 ，则斜边上的中线长是　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离CD=　 　．
14．如图，在中，平分，，若，，则　 　.
15．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　 　.
16．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为　 　．
三、解答题
17．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
18．如图等腰三角形中，，为腰上的中线，且将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
19．已知：a、b、c满足
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状：若不能构成三角形，请说明理由．
20．如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，E是的中点．经测量．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
22．（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
23．在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）如图1，若点恰好落在边上，则的形状是___________ 三角形；
（2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
（3）若，当是直角三角形时，直接写出的长．
参考答案
1．C
2．C
3．A
解：∵，，
∴，，∴，
在和中，
∴，
在和中，
∴；
综上分析可知，图中全等三角形共有2对，故A正确．
4．C
解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x= ，此时这个三角形的周长=3+4+ =7+ ，
5．B
解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝25°．
6．B
7．C
解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2× A′B=2 ．
8．A
设∠POA=θ，则∠POB=30 θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长到E，使ME=PM. 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN到F，使NF=PN. 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形；
∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP，OP=OE，
同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP，OP=OF，
∴△PQR的周长=EQ+QR+RF=EF，∴OE=OF=OP=10，
且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30 θ)=60 ，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10， 则△PQR的最小周长为10.
9．B
解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
10．A
解：如图，
①∵∠ABE=∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠ACB=∠D=90°，AB=BE，
∴△ACB≌△EDB，
∴S=S4，故①正确；
②∵∠FAB=∠ACB=90°，
∴∠FAL=∠ABR，
∵∠F=∠RAB=90°，AF=AB，
∴△FAL≌△ABR，
∴S△FAL=S△ABR，
∴S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，
∴S2=S，故②正确；
③BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，S=S4，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S3+S+S6+S1+S5=S2+S+S6+S5，
∴S1+S3=S2，故③正确；
④∵S2=S4=S，S1+S3=S2，
∴S1+S2+S3+S4=3S，故④不正确，
∴正确的结论是①②③.
11．如果，那么是正数
12．
13．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵BC=12，AC=9，
∴AB= = =15，
∵△ABC的面积= AC BC= AB CD，
∴CD= = = ，
14．20
解：延长AD交BC于点E，如下图：
∵BD平分
∴BD为线段AE的垂直平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
15． 3或7
解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7.
16．
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴A1B1=OA1，
∴A1B1=A1A2=OA1，
同理可得A2B2=A2A3=OA2=2OA1，
∴A3B3=A3A4=OA3=2OA2=22 OA1，
A4B4=A4A5=OA4=2OA3=23 OA1，
…
∴AnBn=AnAn+1=2n-1 OA1=2n-1×2=2n．
当n=2023时，A2023B2023=A2023A2023+1=22023，
17．
18．解：，为腰上的中线，
依题意，
①当时，则，
，解得
②当时，则，
，解得
，而不能构成三角形，故此情形不存在，
，
即等腰三角形的腰长为10，底边长为1．
19．（1）解：∵ ，
∴，
∴。
（2）解：由（1）得：，
∴a+c=＞6，
∴a+c＞b，
∴ 以a、b、c为边能构成三角形，
∵a2+c2=，b2=62=36，
∴a2+c2=b2，
∴三角形ABC是直角三角形，
又a=c，
∴三角形ABC是等腰直角三角形。
20．（1）
（2）
21．（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
22．（1）解：∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵．
∴．
∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴，
整理，得．
（2）解：在中，，
∴；
∵．
∴．
23．（1）等边
（2）
（3）或
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