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2.6直角三角形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：直角三角形两个锐角互余
【经典例题1】如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数．
【详解】解： ，，
，
是角平分线，
，
又 ，
，
．
故选：A．
【变式训练1-1】如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形角平分线定义可得，可得，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
【变式训练1-2】如图，中，为的中线，，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答．
【详解】解：∵为的中线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-3】如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-4】在直角三角形中，∠B=90°，∠A=2∠C，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据直角三角形两个锐角互余得出，即可解答．
【详解】解：∵∠B=90°，∠A=2∠C
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式训练1-5】如图中，，垂直平分斜边，交于D，E是垂足，连接，则 度．
【答案】20
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点的应用，解题的关键是掌握利用定理进行推理的能力．先求出，根据线段垂直平分线求出，求出，由即可解答．
【详解】解：中，，斜边为，
，
，
垂直平分斜边，
，
，
，
故答案为：20．
题型二：含30°角的直角三角形
【经典例题2】如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长．
【详解】解：连接，如图：
在中，，，
，
，
点是的中点，，
是线段的垂直平分线，
，
，
在中，，，
，
，，
，
在中，，，
．
故选：B．
【变式训练2-1】如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作于H，
∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，，
∴等腰直角三角形的直角边，
故选B．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求得，再根据含有角的直角三角形的性质即可求得，进而得到线段的长度．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案为：．
【变式训练2-3】如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵，
，，
∵
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含的直角三角形的性质，先线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，利用含的直角三角形的性质求出，进而即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案为：6．
【变式训练2-5】如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F，先证，，即可求出的长，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：延长与的延长线交于点E，过点A作的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6．
题型三：斜边上的中线等于斜边的一半
【经典例题3】如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：为的高，且，
垂直平分线段，
，
为的高，即，
，
，
，
，
故选：A．
【变式训练3-1】如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ．
【答案】45
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵E是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-2】如图，在中，，是斜边上的中线，，则的长是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得出答案．
【详解】在中，，是斜边上的中线，，
，
故答案为：4．
【变式训练3-3】如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ．
【答案】/度
【分析】先由得出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出，最后结合三角形的外角性质作答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质．
【详解】解：∵，
∴，
，
在中，，
∵E是的中点，
∴
∴
故答案为：
【变式训练3-4】如图，在中，，，D是的中点，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的特征，根据等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形的特征即可求解，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
，，
，
D是的中点，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求线段、、之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，点为的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是直角三角形，由点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；
（2）当时，可得为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质可得，再由，得．
【详解】（1），为的中点，
，
，
又为的中点，
；
（2），，
，
，
又为的中点，
，
为的垂直平分线，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．
题型四：锐角互余的三角形是直角三角形
【经典例题4】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键．
【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意；
B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意；
D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【变式训练4-1】下列对的判断，错误的是（ ）
A．若，，则是等边三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，，则是等腰三角形
D．若，，则
【答案】D
【分析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；设三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D．
【详解】选项A：，，
是等边三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项B：，，
最大角的度数是．
是直角三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项C：，，
．
．
是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项D：，
．
，
．
，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定的理解能力以及三角形的内角和定理．涉及有一个角是的等腰三角形是等边三角形；在同一个三角形中，有两个底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）；内部有一个角为的三角形为直角三角形；任意三角形内角和为．明确相关知识点进行分析是解本题的关键．
【变式训练4-2】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【变式训练4-3】如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-4】如图，在中，，是的高．
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)和有什么数量关系？并说明理由．
【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，，
(2)，理由见解析
【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角．
（2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到．
【详解】（1） ，是高，
，
图中有个直角三角形，分别是，，；
（2） ，，是直角三角形，且、、是直角，
，，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键．
【变式训练4-5】如图，中，．
(1)试说明是的高；
(2)如果 ，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即；
（2）由面积法可求得的长．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键．
题型五：直角三角形中最值问题
【经典例题5】如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可．
【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：
则，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，
∴当点E在点F时，最小，
∵，，
∴，
即此时．
故选：D．
【变式训练5-1】如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
根据垂线段最短可得：当时，最短，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：当时，最短，
在中，，
，
故选：B．
【变式训练5-2】如图，点是等边的边的中点，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题等边三角形的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．作点关于直线的对称点，过作于，交与，则此时，的值最小，即的值最小，再根据等边三角形的性质计算即可；
【详解】作点关于直线的对称点，过作于，交与，则此时，的值最小，即的值最小，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
故答案是．
【变式训练5-3】如图，，点在射线上，且，点、点分别是射线、上的动点，当最小时，则 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称求最值问题，解含的直角三角形，熟练掌握的直角三角形是解题的关键；
由沿翻折得，作，根据的直角三角形即可求解；
【详解】解：由沿翻折得，作
此时最小，
，
，
则，
则，
故答案为：
【变式训练5-4】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解．
【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则，
∴，此时的值最小，则，
∵是等边三角形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【变式训练5-5】如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ．
【答案】
【分析】①过点C作，使得，证明，得到，那么当，，三点共线时，最短，求出此时的度数即可；
②过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为，利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及等腰直角三角形的性质，分别用和表示出和，然后利用三角形的面积公式表示两个三角形的面积，化简即可得出答案．
【详解】
解：如图1，过点C作，使得，连接，．
是等边三角形，，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
B，N，H共线时，的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
，，
，
∴当的值最小时，；
如图3，过点N作于K，于G，设 ，等边的边长为，
则，，
，
，
在中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：，
，，
在中，，
，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积公式等知识点，学会添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
题型六：直角三角形综合题型
【经典例题6】如图， 在中， 于F，于E， M为的中点．
(1)若 ，求的周长；
(2)若求的度数．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键．
（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长；
（2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数，再根据等边对等角，即可得出答案．
【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点，
，，
，，
的周长；
故的周长为14．
（2），
，，，
，，
，
∴
故的度数为．
【变式训练6-1】如图，在中，是边上的高，是的平分线．
(1)若，求的度数：
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答；
（2）同（1）思路即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-2】 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明；
（2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：
（3）解题方法与（2）类似．
【详解】（1）证明①在中，，
，
于D ，于E，
，
，
，
，
；
②，
，，
；
（2）证明：由（1）①同理可证，
，，
；
（3）解：，
理由如下：
由（1）①同理可证，
，，
．
【变式训练6-3】如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，与的周长差为3，求的长．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式训练6-4】如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论；
（2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
【变式训练6-5】如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论；
（2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
又∵是中线，
∴平分，
∴.
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵为直角三角形，
∴，
∴.
∵是中线，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长为
【变式训练6-6】在中，，M是边的中点，于点H，平分．
(1)求证：平分；
(2)过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）要证明平分，则需证明，因为平分．所以，所以只需要证明即可；通过直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，然后运用等量代换及同角的余角相等即可证明，则可证明结论；
（2）①通过同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可以得到，然后运用二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而根据等角对等边可得；
②易得，从而得到是等腰三角形，再根据，即可证明是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：中，，
∵M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴平分；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②是等腰直角三角形，理由如下：
∵且，
∴
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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2.6直角三角形六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：直角三角形两个锐角互余
【经典例题1】如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ．
【变式训练1-2】如图，中，为的中线，，则 °．
【变式训练1-3】如图，直线，的顶点A在直线n上，，若，，求 ．
【变式训练1-4】在直角三角形中，∠B=90°，∠A=2∠C，则的度数为 ．
【变式训练1-5】如图中，，垂直平分斜边，交于D，E是垂足，连接，则 度．
题型二：含30°角的直角三角形
【经典例题2】如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练2-1】如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，的长是 ．
【变式训练2-3】如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ．
【变式训练2-4】如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ．
【变式训练2-5】如图，在四边形中，，，连接，则的值为 ．
题型三：斜边上的中线等于斜边的一半
【经典例题3】如图，在中，，，均为的高，连结交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ．
【变式训练3-2】如图，在中，，是斜边上的中线，，则的长是 ．
【变式训练3-3】如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ．
【变式训练3-4】如图，在中，，，D是的中点，，则 ．
【变式训练3-5】如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求线段、、之间的数量关系．
题型四：锐角互余的三角形是直角三角形
【经典例题4】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】下列对的判断，错误的是（ ）
A．若，，则是等边三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，，则是等腰三角形
D．若，，则
【变式训练4-2】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【变式训练4-3】如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【变式训练4-4】如图，在中，，是的高．
(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？
(2)和有什么数量关系？并说明理由．
【变式训练4-5】如图，中，．
(1)试说明是的高；
(2)如果 ，求的长．
题型五：直角三角形中最值问题
【经典例题5】如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式训练5-2】如图，点是等边的边的中点，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则长为 ．
【变式训练5-3】如图，，点在射线上，且，点、点分别是射线、上的动点，当最小时，则 ．
【变式训练5-4】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【变式训练5-5】如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在、上，且，连、，当最小时，则 ， ．
题型六：直角三角形综合题型
【经典例题6】如图， 在中， 于F，于E， M为的中点．
(1)若 ，求的周长；
(2)若求的度数．
【变式训练6-1】如图，在中，是边上的高，是的平分线．
(1)若，求的度数：
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
【变式训练6-2】 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
【变式训练6-3】如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，与的周长差为3，求的长．
【变式训练6-4】如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，，，求的长．
【变式训练6-5】如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求的周长．
【变式训练6-6】在中，，M是边的中点，于点H，平分．
(1)求证：平分；
(2)过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
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