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专题2.6 直角三角形六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了格点三角形．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，直角三角形两锐角互余，是解题关键．证明，即得出，从而由，可求出．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，先根据等腰直角三角形的性质得，再证明，然后根据“角边角”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．如图，，．若，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，由全等三角形的性质可得，即可得，得到，再根据直角三角形的的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分类讨论，为锐角三角形或钝角三角形，取斜边中点，利用等边三角形的判定与性质结合直角三角形的性质，等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图1，
由题意得，高线，
∴，
取中点为点K，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即顶角是，
如图2，
由题意得腰长，高线，
∴，
同上可求，
顶角，
所以，此三角形的顶角是或．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
5．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，，
，，
平分，
，
，
，
即点到的距离是．
故选：D．
6．下列语句叙述错误的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互余
D．同角或等角的补角相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题的判断，相关知识点有：两点之间，线段最短、平行线的性质、互补、直角三角形的性质等，熟记每一个知识点是解题关键．
【详解】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，A错误；
两点之间，线段最短，B正确；
直角三角形的两个锐角互余，C正确；
同角或等角的补角相等，D正确．
故选 A．
7．如图，已知，，垂足是．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是直角三角形的两个锐角互余．根据直角三角形两锐角互余，写出各角的关系即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，，
，，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
8．如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分，若，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．8
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，进而求出，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
9．如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得到根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果．
【详解】解：∵ P是角平分线上的一点，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点C是上一个动点，
∴的最小值为P到距离，
∵点P在的平分线上，
∴ 的最小值，
故选：D．
10．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
以此类推：．
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在中，，D是的中点，，则 ．
【答案】24
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等是解题的关键；延长至E，使，连接，先证，再证，进而求解即可．
【详解】解：延长至E，使，连接，则，
D是的中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
12．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可．
【详解】解：∵分别是的高，，M为的中点，，
∴在中，，在中，，
又∵，
∴的周长．
故答案为：13．
13．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出．
【详解】解：延长交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵'平分，
∴，
∴．
故答案为：12
14．如图，在中，是斜边上的中线，，则 ．
【答案】70
【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴．
故答案为：70．
15．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键．
根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长．
【详解】解：是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：4．
16．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
，是边上的中点，
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离（垂线段最短），
，，是边上的中点，
，
，
故的最小值是：3，
故答案为：3．
17．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
分两种情况讨论，
如下图，当时，则，
此时，即，
∴①，
∵②，
由②①，可得，
∴；
如下图，当时，则，
此时，即，
∴③，
∵④，
由，可得，
∴．
综上所述，的所有可能的度数为或．
故答案为：或．
18．如图，在中，于点D．以为斜边在的同侧作，连接与交于点E．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质得到，则，证明，则，由勾股定理求出，继而求出．
【详解】解：连接，
，
，
∵以为斜边在的同侧作，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键．首先根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质证明、，再证明，易得，即可证明结论．
【详解】证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
20．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键．
（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）由（1）中可得，然后推导，证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵于点D，于点E，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为．
21．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
(1)若，求的度数：
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答；
（2）同（1）思路即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求线段、、之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，点为的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是直角三角形，由点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；
（2）当时，可得为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质可得，再由，得．
【详解】（1），为的中点，
，
，
又为的中点，
；
（2），，
，
，
又为的中点，
，
为的垂直平分线，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．
23．如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，与的周长差为3，求的长．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
24． 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明；
（2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：
（3）解题方法与（2）类似．
【详解】（1）证明①在中，，
，
于D ，于E，
，
，
，
，
；
②，
，，
；
（2）证明：由（1）①同理可证，
，，
；
（3）解：，
理由如下：
由（1）①同理可证，
，，
．
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专题2.6 直角三角形六大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．如图，，．若，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．若等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则此三角形的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句叙述错误的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互余
D．同角或等角的补角相等
7．如图，已知，，垂足是．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分，若，则的长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．8
9．如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
10．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在中，，D是的中点，，则 ．
12．如图，分别是的高，M为的中点，，则的周长是 ．
13．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
14．如图，在中，是斜边上的中线，，则 ．
15．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ．
16．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．
17．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．
18．如图，在中，于点D．以为斜边在的同侧作，连接与交于点E．若，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：．
20．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)，，求的周长．
21．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
(1)若，求的度数：
(2)若，求的度数（用含的式子表示）．
22．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求线段、、之间的数量关系．
23．如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，与的周长差为3，求的长．
24． 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
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