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2.7.1探索勾股定理（一）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用勾股定理理解三角形
【经典例题1】若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
【变式训练1-1】如图，中，，是高，，，则的值为 ．
【变式训练1-2】若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为 ．
【变式训练1-3】如图，四边形中，，且∠B=90°．求四边形的面积．
【变式训练1-4】如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
【变式训练1-5】如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
题型二：勾股树（数）问题
【经典例题2】有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【变式训练2-1】下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③、、（k为正整数）；④
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式训练2-2】下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12
【变式训练2-3】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ．
【变式训练2-4】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【变式训练2-5】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
题型三：以直角三角形的三边为边长的图形面积
【经典例题3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的边长为，正方形B的边长为，正方形C的边长为，则正方形D的边长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ）
A． B．25 C．30 D．35
【变式训练3-2】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式训练3-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【变式训练3-4】如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
【变式训练3-5】在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
【变式训练3-6】勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程：
(1)填空：
①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______．
②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______．
(2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果）
题型四：勾股定理与网格问题
【经典例题4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，每个小正方形的边长为1，A、、是小正方形的顶点，则等于 度．
【变式训练4-2】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【变式训练4-3】如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形．
【变式训练4-4】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ．
【变式训练4-5】如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ．
【变式训练4-6】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)________；________；________；
(2)求的面积；
(3)判断是什么形状，并说明理由．
题型五：勾股定理与折叠问题
【经典例题5】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ）
A．7 B． C． D．15
【变式训练5-3】 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式训练5-4】如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ．
【变式训练5-5】如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
【变式训练5-6】直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【经典例题6】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【变式训练6-1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ．
【变式训练6-2】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【变式训练6-3】如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【变式训练6-4】如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
【变式训练6-5】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
【变式训练6-6】如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．
求证：
(1)；
(2)．
题型七：利用勾股定理证明线段关系
【经典例题7】如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【变式训练7-1】如图，，垂足为．
图1 图2
(1)求证：；（图1）
(2)求的度数；（图1）
(3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系．
【变式训练7-2】在正方形中，点E，F分别在边上，且．
(1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：；
(2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；
(3)若．求线段的长度．
(4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积．
【变式训练7-3】我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【变式训练7-4】在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【变式训练7-5】图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
题型八：勾股定理的证明方法
【经典例题8】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
【变式训练8-2】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空： ， ；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【变式训练8-3】将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
【变式训练8-4】请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：．
【变式训练8-5】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．
请根据信息解答下列问题：
(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．
方法1：______．
方法2：______．
(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．
(3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长．
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2.7.1探索勾股定理（一）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用勾股定理理解三角形
【经典例题1】若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
【答案】5或
【分析】本题考查了勾股定理，分第三边为斜边和斜边长为4两种情况，分别根据勾股定理进行求解即可，能够分类讨论是解题的关键．
【详解】解：在直角三角形中，
①当第三边为斜边，则第三边长为；
②当斜边长为4，则第三边长为；
综上，第三边长为5或；
故答案为：5或．
【变式训练1-1】如图，中，，是高，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，由题意可得，由勾股定理得出，同理得出，最后再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵是高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-2】若直角三角形的三边长为5，12，，则的值为 ．
【答案】119或169
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：当长为的边为斜边时，可有，
当长为的边为直角边时，可有，
综上所述，的值为119或169．
故答案为：119或169．
【变式训练1-3】如图，四边形中，，且∠B=90°．求四边形的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在中， 由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
【变式训练1-4】如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
【答案】这块空地的面积是
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形面积为：
．
答：这块空地的面积是．
【变式训练1-5】如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)的长为
(2)四边形的面积为
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
的长为；
（2），，
，
是直角三角形，
∠D=90°，
四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
题型二：勾股树（数）问题
【经典例题2】有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【答案】B
【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选B．
【变式训练2-1】下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③、、（k为正整数）；④
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．勾股数是满足 的三个正整数，据此进行判断即可．
【详解】解：满足 的三个正整数，称为勾股数，
④中的数据不是正整数，故不是勾股数；
①满足，故是勾股数；
②，故不是勾股数；
③由于k为正整数，则、、为正整数，且，
故是勾股数，
∴是勾股数的有2组，
故选：B．
【变式训练2-2】下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股数，勾股数必须是正整数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小小数的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A选项，，7，24，25是勾股数；
B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数；
C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数；
D选项，，5，11，12不是勾股数；
故选：A．
【变式训练2-3】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ．
【答案】
【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键．
根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：，
即，
∴
所以第5个勾股数组为，
故答案为：．
【变式训练2-4】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【答案】17，144，145
【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律．
【详解】解：①；；．
②；；．
③；；．
④；；．
则第组勾股数的第一个数为：，
第二个数为：，
第三个数为：，
第8组勾股数为：17，144，145，
故答案为：17，144，145．
【变式训练2-5】勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键．
由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵为正整数，
∴为偶数，
设其股是，则弦为，
由勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：A．
题型三：以直角三角形的三边为边长的图形面积
【经典例题3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的边长为，正方形B的边长为，正方形C的边长为，则正方形D的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得正方形A的边长为，正方形B的边长为，根据题意，，结合正方形C的边长为，则正方形D的边长为，解答即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可．
【详解】解：如图，根据题意，得正方形A的边长为，正方形B的边长为，根据题意，，结合正方形C的边长为，则正方形D的边长为．
故选B．
【变式训练3-1】如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（ ）
A． B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可．
【详解】解：∵为直角三角形，且，
∴在中，有，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【变式训练3-2】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．
∴,
∴
∴,
故选：C
【变式训练3-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【答案】55
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可．
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【变式训练3-4】如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
即正方形的面积为18．
故答案为：18．
【变式训练3-5】在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键．
证，得，同理，．
【详解】解：如图所示，
在和中，
，
，
，，
，
同理可证，
．
故答案为：10．
【变式训练3-6】勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程：
(1)填空：
①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______．
②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______．
(2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果）
【答案】(1)①；②
(2)还成立，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案；
②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解；
（2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解；
（3）由面积的和差关系可求解．
【详解】（1）解：①，理由如下：
由网格可知：，，，
、、之间的关系是，
故答案为：；
②，理由如下：
，，，，
；
故答案为：；
（2）解：还成立，理由如下：
，，，，
；
；
（3）解：图中阴影部分的面积，，
．
故答案为：8．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键．
题型四：勾股定理与网格问题
【经典例题4】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【详解】由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，每个小正方形的边长为1，A、、是小正方形的顶点，则等于 度．
【答案】45
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握基础知识是解题的关键．
连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可．
【详解】解：如图：连接，
由勾股定理得：,
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案为：45．
【变式训练4-2】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【答案】2
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故答案为：2．
【变式训练4-3】如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，学会分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义画出图形即可．
【详解】解：如图，满足条件的等腰三角形有个，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握运用勾股定理判断三角形成为直角三角形成为解题的关键．
先根据勾股定理求得，再运用勾股定理逆定理证明，进而得到；同理得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴根据勾股定理可得 ，
∵在 中，
，
又，
，
同理得，
．
故答案为：．
【变式训练4-5】如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案．
【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得：
，
故易知阴影为正方形，
故
故答案为：
【变式训练4-6】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
(1)________；________；________；
(2)求的面积；
(3)判断是什么形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）用割补法求解即可；
（3）根据勾股定理逆定理求解即可．
【详解】（1），，
故答案为：
（2）的面积
故答案为：5
（3）∵
∴是直角三角形．
题型五：勾股定理与折叠问题
【经典例题5】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：；
即：，
∴的面积为．
故选：A．
【变式训练5-1】如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键．
根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
【详解】解：四边形为长方形，，，
将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，
，，
在中，，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
即的长为，
故选：C
【变式训练5-2】如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ）
A．7 B． C． D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
故选：B．
【变式训练5-3】 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
【变式训练5-4】如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．根据题意设交点为点，证明，即可得出，，，利用两次勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵矩形经得到点，设交点为点，
∴，，，
在中，
，
∴ ，
∴，
则
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
【答案】3
【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，连接，
设，，
在中，，，，
，
中，是的中点，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式训练5-6】直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：两直角边，，
，
由折叠可得：，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
．
题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【经典例题6】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【变式训练6-1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练6-2】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ．
【答案】69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，
CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2），
＝132 102，
＝69．
故答案为：69．
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
【变式训练6-3】如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
【变式训练6-4】如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质；
（1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论；
（2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决．
【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
【变式训练6-5】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为，
【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证；
（2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
∵
∴，
即，
解得：．
【变式训练6-6】如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据条件证即可；
（2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
，，
∵，∴，
，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键．
题型七：利用勾股定理证明线段关系
【经典例题7】如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可；
（2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），
证明如下：过B作，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【变式训练7-1】如图，，垂足为．
图1 图2
(1)求证：；（图1）
(2)求的度数；（图1）
(3)如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析；
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；
（1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，结合勾股定理即可得出的关系．
【详解】（1）证明：，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
；
（3）；
证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
又，
，
．
【变式训练7-2】在正方形中，点E，F分别在边上，且．
(1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：；
(2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；
(3)若．求线段的长度．
(4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）证得，进一步得，即可求证；
（2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证；
（3）根据为等腰直角三角形即可求解；
（4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得：
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
（2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
（3）解：由（2）可知：为等腰直角三角形，
∴
（4）解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即
又∵，
∴
即：
∵，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴的面积
【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键．
【变式训练7-3】我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）先证，再根据即可证明；
（2）先证，再根据即可证明；
（3）连接，先证，则可得，，进而可得．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案为： ，
（2）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【变式训练7-4】在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系；
（2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长．
【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下：
当时，则，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示：
当时，，
，，
和均为等边三角形，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
设，则，
，，
，
，
为等边三角形，，
是线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
【变式训练7-5】图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【答案】(1)
(2)不变，，证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）通过证明，得到，在中，有，即；
（2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即．
【详解】（1）解：，
∵中，，
∴，
将沿折叠，得，连接
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，有，即．
（2）解：结论不变，
作，且截取，连接，连接，
∵
，
∴，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
在 中，，即．
题型八：勾股定理的证明方法
【经典例题8】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理；
B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
【变式训练8-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，
∴，
∴不能证明勾股定理，故不符合题意；
如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
故选C．
【变式训练8-2】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空： ， ；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【答案】(1)，
(2)，，证明见解析
【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明
（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可；
（2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可；
熟知数形结合思想的运用是关键
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
，
，
故答案为：90，；
（2）方法一∶
方法二：
根据上面的方法可得出
【变式训练8-3】将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，连接， 首先说明再用两种方法表示出四边形的面积，化简即可，运用两种方法表示四边形的面积是解题的关键．
【详解】解：连接，如图：
∵两个三角形全等，
∴四边形的面积为：
．
【变式训练8-4】请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴
即．
【变式训练8-5】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．
请根据信息解答下列问题：
(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．
方法1：______．
方法2：______．
(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．
(3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长．
【答案】(1)；[或]
(2)
(3)小正方形的边长为2
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积：
（1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可；
（2）根据等积法得到数量关系即可；
（3）利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=；
方法二：大正方形的面积=；
（2）由（1）可知：，
整理，得：；
（3）由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为2．
【变式训练8-6】如图，，，且、、三点在同一条直线上，试利用这个图形证明勾股定理公式．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理证明．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
【详解】证明：∵，
，
，
，
三个直角三角形其面积分别为和．
直角梯形的面积为．
由图形可知：，
整理得，
∴．
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