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专题2.7.1 探索勾股定理（一）八大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．20
2．如图，在中，，的平分线交边于点，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．在平面直角坐标系中．已知点点．点P在x轴上，且为等腰三角形，则P点有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
5．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
6．如图， 在的正方形网格中，，，，均在格点上， 从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7． 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
10．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③
二、填空题
11．已知等腰三角形的底边长为18cm，腰长为15cm，则底边上的高为 cm．
12．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ．
13．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
15．如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ．
16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
17．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ；
18．已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；
（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积．
20．在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状．
21．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上．
(1)试说明；
(2)若，，求的面积．
22．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
23．在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)请叙述勾股定理；
勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
(2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示
则：______；
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专题2.7.1 探索勾股定理（一）八大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：一直角三角形的两直角边长分别为9，12，
斜边长为，
故选：．
2．如图，在中，，的平分线交边于点，，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，由勾股定理求出即可，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：，的平分线交边于点，
，，
，
；
故选：D．
3．在平面直角坐标系中．已知点点．点P在x轴上，且为等腰三角形，则P点有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理、用平方根的意义解方程、等腰三角形的定义等知识，设点P的坐标为，求出，，，分三种情况分别进行解答即可.
【详解】解：设点P的坐标为，
则，，，
当时，，即，即，则或，
∴点P的坐标为或，
当时，，即，即，则或，
∴点P的坐标为或，
当时，，即，则
∴点P的坐标为，
综上可知，点P的坐标为或或或或，共5个，
故选：D
4．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【答案】B
【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选B．
5．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理．先求出，，，再根据进行计算即可．
【详解】解：直角三角形中，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：A．
6．如图， 在的正方形网格中，，，，均在格点上， 从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先连接、、、、、，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求得各边的平方，再根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】解：连接、、、、、，
设小正方形的边长为1，得：
，，，，，
，，
、、是直角三角形，共3个直角三角形
故选：D．
7． 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，
即：，，，
根据题意可得：，即，
故选A．
9．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确；
乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴，不可以证明勾股定理，故乙错误；
故选：A．
10．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④．
【详解】解：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
由①中证明，
，
，，
，
，
连接，
，
，
，，
，
故②正确；
设与的交点为，
，，
，，
，
故③正确；
，，
，
故④不正确，
故选：A．
二、填空题
11．已知等腰三角形的底边长为18cm，腰长为15cm，则底边上的高为 cm．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理及三角形的面积．根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点D，过点B作于点E，
∵，，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ．
【答案】
【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键．
根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案．
【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：，
即，
∴
所以第5个勾股数组为，
故答案为：．
13．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
即正方形的面积为18．
故答案为：18．
14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【答案】2
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故答案为：2．
15．如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．根据题意设交点为点，证明，即可得出，，，利用两次勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵矩形经得到点，设交点为点，
∴，，，
在中，
，
∴ ，
∴，
则
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
17．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ；
【答案】
【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键．
先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答．
【详解】解；大正方形的面积，
三角形的面积，
∴小正方形的面积，
故答案为：．
18．已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；
（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．
（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到的值．
（3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可．
【详解】（1），
，
，
．
故答案为．
（2）由（1）得：
，，，，，
，，
．
故答案为．
（3）由（2）得：
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积．
【答案】这块草地的面积是216．
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
连接，勾股定理求得，进而勾由股定理逆定理得出是直角三角形，进而根据即可求解．
【详解】解：连接．
则在中，
，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
答：这块草地的面积是216．
20．在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状．
【答案】图见解析，直角三角形
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，反过来也成立．根据勾股定理作出边长为，和5的三角形，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】如图所示，
，，，
，，
，
∴为直角三角形．
21．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上．
(1)试说明；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可；
（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）∵四边形是长方形，
∵把长方形纸片沿折叠，
，
在和△中
（2）设，
根据翻折不变性，得：
在中，由勾股定理，得：
解得，
∴，则
∴．
22．如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部．
(1)求 的度数．
(2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可；
（2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），
证明如下：过B作，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
23．在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系；
（2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长．
【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下：
当时，则，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示：
当时，，
，，
和均为等边三角形，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
设，则，
，，
，
，
为等边三角形，，
是线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)请叙述勾股定理；
勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
(2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示
则：______；
【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；
(2)①3，②结论；
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）解：①根据题意，如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：
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