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2.7.2探索勾股定理（二）十一大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：以弦图为背景的计算题
【经典例题1】在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
故选：B．
【变式训练1-1】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，，，故正确；
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，故错误；
故选：．
【变式训练1-3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且，
由题意可知：，，，
∵正方形的边长为6，
∴，
∴
，
故答案为：108．
【变式训练1-4】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：21
【变式训练1-5】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即①，
∵，
②，
得，
∴大正方形的面积，
故答案为：．
【变式训练1-6】阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
(1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）；
(2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系；
(3)已知，，求正方形的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正方形的面积为39
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算．
（1）由正方形面积公式即可得到答案；
（2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案；
（3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：；；
（2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
，
；
（3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
正方形的面积．
题型二：勾股定理与无理数
【经典例题2】如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数4的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及数轴上两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键．根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得数轴上正方形的边长为4，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为
故选：D．
【变式训练2-1】如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可．
【详解】在中，，，
∴，
∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，
∴这个点表示的实数是，
故选：B．
【变式训练2-2】如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点表示原点，点表示的数为
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【变式训练2-3】（1）如图①，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数－1对应的点向右滚动一周，圆上的点(开始时点与－1对应的点重合)恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数是 ．
（2）如图②，数轴上的点表示原点，垂直于数轴，垂足为D，且，点D表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点(点在的左侧)，则点表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查圆的周长与数轴问题，实数与数轴问题，求出圆的周长及圆弧的半径是本题的关键．
（1）要求点对应的实数就是求出的长，运用圆周长公式可求出，进而即可得解；
（2）和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数．
【详解】解：（1）∵圆滚动一周，恰好从点到点，
∴，
∴，
即点对应的实数是．
故答案为：．
（2）在中，，
∴，
∴点C表示的数为．
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
则点表示的数为．
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，实数与数轴，过点作于，由勾股定理得，再证明，可得，，即得，设，则，由勾股定理得，解得，设点所对应数轴上的数为，再利用两点间距离公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，
∵，
∴，，
∵为的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
设点所对应数轴上的数为，
则，
∴，
故答案为：．
题型三：勾股定理的应用之求梯子滑落的高度
【经典例题3】如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（ ）m ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求．
【详解】解：如图，
已知，
设，
则，
则在中，，
在中，，
联立方程组解得：，
故选：B．
【变式训练3-1】一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（ ）
A．米 B．米 C．1米 D．2米
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴梯足将滑2米，
故选：D．
【变式训练3-2】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，先根据勾股定理求出的长，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：
设
解得：
故答案为：．
【变式训练3-3】如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点．
(1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？
(2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离．
【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高
(2)梯子底端向后滑动的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：本题题意得：，
，
梯子的顶端点距离地面有高；
（2）解：由（1）知，
根据题意得：，
，
，
，
梯子底端向后滑动的距离为
【变式训练3-4】如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m．
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？
【答案】(1)此时梯子的顶端A距地面的高度为m
(2)梯子底端B外移距离不是m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可．
（1）根据即可求解；
（2）由题意得求出即可求解；
【详解】（1）解：∵mm，
∴
∴此时梯子的顶端A距地面的高度为m
（2）解：由题意可知梯子的顶端A沿墙下滑m后，
∴m
∴
∴梯子底端B外移距离不是m
【变式训练3-5】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．
(1)求梯子顶端A与地面的距离的长；
(2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长．
【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米
(2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
（1）直接利用勾股定理得出的长；
（2）利用勾股定理得出的长进而得出答案．
【详解】（1）由勾股定理可得：24（米），
答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米；
（2）∵梯子的顶端A下滑到E，使，
∴（米），
∴15（米），
则（米），
答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米．
题型四：勾股定理的应用之求高度
【经典例题4】古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（ ）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设秋千绳索长为尺，
则（尺），
在中，，即，
解得：，
故选：C．
【变式训练4-1】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺
【答案】13
【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺，
由勾股定理，得：，
解得：；
故答案为：13．
【变式训练4-2】某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)21.6米
(2)8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）解：由题意得，米，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
【变式训练4-3】学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面还多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案（画出图形，结合图形说明需要测量的数据，把这些数据用字母表示，并用这些字母表示旗杆的高度）．
【答案】详见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：测量绳子垂到地面多出一段的长度，用字母表示，
用表示旗杆，将绳子拉直底端接触地面，构成如图所示的，测量，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
∴，
因此，旗杆的高度为．
【变式训练4-4】如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）．
【答案】4.9米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：由题意得：电线杆与地面垂直，
故地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为：（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9米．
【变式训练4-5】如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了1米，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度．
【答案】12米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键．
设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，然后在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米，
在中，，
∴，解得．
答：攀岩墙的高为12米．
【变式训练4-6】2024年5月29日，我国谷神星一号海射型遥二运载火箭在日照市黄海海域发射，将4颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图是火箭从海平面处发射，当火箭到达点时，从岸边处的雷达站测得的距离是；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）
【答案】火箭从点上升到点的高度为
【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，先利用含的直角三角形的性质，得出，在中，利用勾股定理求出，利用等角对等边求出，即可求解．
【详解】解：在中，，
．
设，则，
在中，由勾股定理可列方程：
．解得．
即．
，，
．
．
．
．
答：火箭从点上升到点的高度为．
题型五：勾股定理的应用之求小鸟飞行的距离
【经典例题5】如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高8米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选A．
【变式训练5-1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
【变式训练5-2】如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴
∵，，
∴（负值舍去）
∴
∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了8米
故选：C．
【变式训练5-3】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
由题意可知，，
，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是，
故选：A．
【变式训练5-4】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
【答案】10
【分析】根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作
∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【变式训练5-5】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决 ……
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）米；（2）8米
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意得，，米，米，
在中，由勾股定理，可得：（米，
（米．
答：线段的长为米．
（2）如图，当风筝沿方向再上升12米，
所以米，
在中，，米，
由勾股定理，可得（米，
则应该再放出（米，
答：他应该再放出8米长的线．
题型六：勾股定理的应用之解决水杯中筷子问题
【经典例题6】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，解题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
此时， ，
故．
所以h的取值范围是：．
故选∶D．
【变式训练6-1】如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题是勾股定理的应用，解题的关键是理解题意．先根据圆柱底面积求出半径，进而得到底面圆的直径，再求出圆桶内最长对角线的长，即可求解．
【详解】解：圆柱底面积为，
该笔筒的底面半径为：，
该笔筒的直径为：，
圆桶内最长对角线的长为：，
则桶内能容下的最长的铅笔为，
故选：C．
【变式训练6-2】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
的取值范围是．
故选：D．
【变式训练6-3】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后结合题意即可求解．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
【详解】解：如图：
根据题意可得图形：
在中：，
∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是，
∴这支铅笔的长度是．
故选：B．
【变式训练6-4】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
【变式训练6-5】我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
题型七：勾股定理的应用之解决航行问题
【经典例题7】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴，
∴
∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，
∴（海里），
∵海里，
在中，（海里），
∴乙轮船平均每小时航行（海里）．
故答案为：16．
【变式训练7-1】在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
【答案】15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
故，
解得；．
故答案为：15．
【变式训练7-2】如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：在中：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：船向岸边移动了米．
【变式训练7-3】某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离．
【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：由题意，得：
，，（海里），（海里），
∴
，
在中，由勾股定理得：，
∴（海里），
答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里．
【变式训练7-4】如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．
【答案】乙船航行的方向是南偏东
【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解；
理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
，
，
甲船航行的距离∶
（），
乙船航行的距离∶
（），
，
，
，
为直角三角形，
，
，
故乙船航行的方向是南偏东．
【变式训练7-5】如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
【答案】(1)
(2)北偏西
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握．
（1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离；
（2）证明，根据即可求解．
【详解】（1）如图，由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
答：A，C两岛之间的距离是；
（2）又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴C岛在A岛北偏西的方向上．
【变式训练7-6】一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间；
(2)求岛在港的什么方向？
【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时；
(2)岛在港的北偏西．
【分析】（）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度；
（）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答；
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由题意，
中，，得，
∴．
∴．
∴．
则（小时），
答：从岛返回港所需的时间为小时；
（2）∵，，
∴．
∴，
∴
∴岛在港的北偏西．
题型八：勾股定理的应用之求地毯长度
【经典例题8】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长．
【详解】解∶如图，
由题意，得，，，
∴，
故选：B．
【变式训练8-1】如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解：在中，（米），
故可得地毯长度（米），
故选：A．
【变式训练8-2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
故选C．
【变式训练8-3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可．
【详解】解：如图，由题意可得，，
利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
【变式训练8-4】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【答案】米
【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键．
【详解】解：如图，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的长度至少需要米．
【变式训练8-5】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故选：B．
题型九：勾股定理的应用之判断是否超速
【经典例题9】如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)B，C间的距离为80
(2)这辆小汽车没有超速
【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求出BC的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】（1）解：在中，
∵，
∴，
答：B，C间的距离为80；
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵小汽车速度为，
，
∴这辆小汽车没有超速．
【变式训练9-1】超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【答案】此车超过每小时80千米的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论．
【详解】解：由题意知：米，，
在中，∵，，
∴米，
在中，∵，
∴，
∴米；
在中，由勾股定理得米，
∴(米)，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为，
∴此车超过的限制速度．
【变式训练9-2】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，新路长度是80米
(2)该车没有超速，见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可．
【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
该车经过区间用时，
∴该车的速度为，
∵．
∴该车没有超速．
【变式训练9-3】某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】超速了，理由见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边，
∴，即
∴米千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵，
∴该小汽车超速了．
【变式训练9-4】学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．
【答案】此车没有超速，详见解析
【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，
过点C作于点H．求出，得到，勾股定理求出，然后得到，，然后求出小车平均速度，然后比较求解即可．
【详解】解：过点C作于点H．
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴小车平均速度
而
∴此车没有超速．
【变式训练9-5】如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处．
(1)求B、C间的距离；
(2)这辆汽车超速了吗 请说明理由．
【答案】(1)B、C间的距离为
(2)这辆汽车未超速，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
∴这辆小汽车没有超速．
题型十：勾股定理的应用之判断是否受台风影响
【经典例题10】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域，
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)A城受到这次台风的影响，理由见解析
(2)3小时
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响；
（2）点到直线的长为的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；
（2）设上点，，则还有一点，有．
因为，所以是等腰三角形，
因为，
所以是的中点，则，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：（小时）．
【变式训练10-1】如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．
(1)求出点到线段的最小距离；
(2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【答案】(1)点到线段的最小距离为；
(2)能，可接收信号的时间．
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）作于．求出即可解决问题；
（2）当时，，同理，根据，求出运动时间即可解决问题；
【详解】（1）解：作于．
在中，，，
则是等腰直角三角形，
，
，
答：点到线段的最小距离为；
（2）解：，
点处能接收到信号．
当时，，
当时，，
，
可接收信号的时间．
答：可接收信号的时间．
【变式训练10-2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析
(2)台风影响该海港持续的时间有
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解；
（2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）解：由（1）得，
如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，
，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
∴台风影响该海港持续的时间有．
【变式训练10-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)求的度数；
(2)海港受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)90°
(2)受台风影响；理由见解析
(3)8小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；
（2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1），，，
，
是直角三角形，；
（2）海港受台风影响，理由：过点作于，
∵是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
（3）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【变式训练10-4】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)求；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)
(2)海港C受台风影响，理由见解析；
(3)4小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）依据三角形中三边的关系确定的度数；
（2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：，
，
，，
（2）解：海港C受台风影响，理由如下：
过点C作，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港C受台风影响；
（3）解：当，时，正好影响C港口，
，，
，
台风的速度为，
小时，
答：海港C受台风影响的时间会持续4小时．
【变式训练10-5】今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．
(1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点经过6小时．
(2)A市受台风影响的时间为3.75小时．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
（1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【详解】（1）解：由题意得，在中，
，
∴，
∴小时，
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
（2）解：以A为圆心，以为半径画弧，交于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴（小时）
∴A市受台风影响的时间为3.75小时．
题型十一：勾股定理的应用之选址使到两地距离相等
【经典例题11】为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)气站E距离A处．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
（1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案；
（2）设，，得，，再利用解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．
（2）解：设，
∵，
又∵
∴
解得
∴气站E距离A处．
【变式训练11-1】如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，
(1)求站应建在离点多少处？
(2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？
【答案】(1)站应建在离站处
(2)需要2小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得；
（2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间．
【详解】（1）解：∵使得，两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处；
（2）解：，
（小时）
答：需要2小时．
【变式训练11-2】为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键．
设，则，根据，由勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设，则，
根据题意得，
∴
，
解得
∴，．
【变式训练11-3】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【答案】(1)475米
(2)1000米
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键．
（1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果．
（2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，
根据题意得：，
设，则，
，
解得，
即的长为475米；
（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则，
，
的最小值为，
如图，作于点E，
在中，
米，米，
米，
的最小值为1000米．
【变式训练11-4】如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
【答案】(1)
(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：（1）设，则，
在与中，由勾股定理得，
，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即收购站应建在离点处；
（2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，
过点作交的延长线于点，
则．
故答案为：25．
【变式训练11-5】2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得：
(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离．
【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处
(2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为．
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．
（2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出．
【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
则小明所在的E站应在离A站处．
（2）作点D关于的对称点，连接交于点，
即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，
则，，，
∴，
∴．
∴的最小值即为，即
此时，
∴，
∴，
∴，
则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为．
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2.7.2探索勾股定理（二）十一大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：以弦图为背景的计算题
【经典例题1】在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【变式训练1-2】如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ．
【变式训练1-4】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积
【变式训练1-5】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ．
【变式训练1-6】阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
(1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）；
(2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系；
(3)已知，，求正方形的面积．
题型二：勾股定理与无理数
【经典例题2】如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数4的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． B． C． D． 2
【变式训练2-2】如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ．
【变式训练2-3】（1）如图①，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数－1对应的点向右滚动一周，圆上的点(开始时点与－1对应的点重合)恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数是 ．
（2）如图②，数轴上的点表示原点，垂直于数轴，垂足为D，且，点D表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点(点在的左侧)，则点表示的数为 ．
【变式训练2-4】如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ．
【变式训练2-5】如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ．
题型三：勾股定理的应用之求梯子滑落的高度
【经典例题3】如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（ ）m ．
A． B． C． D．
【变式训练3-1】一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（ ）
A．米 B．米 C．1米 D．2米
【变式训练3-2】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ．
【变式训练3-3】如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点．
(1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？
(2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离．
【变式训练3-4】如图，一架m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为1m．
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑m，那么梯子底端B外移m吗？
【变式训练3-5】如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．
(1)求梯子顶端A与地面的距离的长；
(2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长．
题型四：勾股定理的应用之求高度
【经典例题4】古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（ ）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【变式训练4-1】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺
【变式训练4-2】某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【变式训练4-3】学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面还多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案（画出图形，结合图形说明需要测量的数据，把这些数据用字母表示，并用这些字母表示旗杆的高度）．
【变式训练4-4】如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）．
【变式训练4-5】如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了1米，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度．
【变式训练4-6】2024年5月29日，我国谷神星一号海射型遥二运载火箭在日照市黄海海域发射，将4颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图是火箭从海平面处发射，当火箭到达点时，从岸边处的雷达站测得的距离是；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）
题型五：勾股定理的应用之求小鸟飞行的距离
【经典例题5】如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【变式训练5-1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式训练5-3】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
【变式训练5-5】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决 ……
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
题型六：勾股定理的应用之解决水杯中筷子问题
【经典例题6】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，则这支铅笔的长度是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
【变式训练6-4】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【变式训练6-5】我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：勾股定理的应用之解决航行问题
【经典例题7】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里．
【变式训练7-1】在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
【变式训练7-2】如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【变式训练7-3】某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离．
【变式训练7-4】如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．
【变式训练7-5】如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
【变式训练7-6】一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间；
(2)求岛在港的什么方向？
题型八：勾股定理的应用之求地毯长度
【经典例题8】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
【变式训练8-2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-3】某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【变式训练8-4】如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【变式训练8-5】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
题型九：勾股定理的应用之判断是否超速
【经典例题9】如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【变式训练9-1】超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【变式训练9-2】如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【变式训练9-3】某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【变式训练9-4】学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．
【变式训练9-5】如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处．
(1)求B、C间的距离；
(2)这辆汽车超速了吗 请说明理由．
题型十：勾股定理的应用之判断是否受台风影响
【经典例题10】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域，
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？
【变式训练10-1】如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．
(1)求出点到线段的最小距离；
(2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【变式训练10-2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练10-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)求的度数；
(2)海港受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练10-4】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)求；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练10-5】今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．
(1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
题型十一：勾股定理的应用之选址使到两地距离相等
【经典例题11】为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．
【变式训练11-1】如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，
(1)求站应建在离点多少处？
(2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？
【变式训练11-2】为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少．
【变式训练11-3】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【变式训练11-4】如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
【变式训练11-5】2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得：
(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离．
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