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2.7.3探索勾股定理（三）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断三边是否能构成直角三角形
【经典例题1】三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式训练1-1】已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】在中，的对边分别是a，b，c，下列对的判断错误的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则
D．若 则是等腰直角三角形
【变式训练1-5】在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）．
题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【经典例题2】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【变式训练2-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
【变式训练2-3】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【变式训练2-4】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.
【变式训练2-5】如图，在4×9的方格图中，□ABCD的顶点均在格点上，按下列要求作图：
(1)在CD边上找一格点E，使得AE平分∠DAB.
(2)在CD边上找一格点F，使得BF⊥AE.
题型三：利用勾股定理的逆定理求解
【经典例题3】如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是
【变式训练3-2】已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积．
【变式训练3-3】如图，在四边形中，，，，，，求的度数．
【变式训练3-4】如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【变式训练3-5】如图，已知在中，，求的面积．
【变式训练3-6】如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
题型四：勾股定理逆定理的实际应用
【经典例题4】如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行．
【变式训练4-1】如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，，，．小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
【变式训练4-2】2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【变式训练4-3】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？
【变式训练4-4】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【变式训练4-5】某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，．
(1)求B、D之间的距离；
(2)求四边形的面积．
题型五：勾股定理逆定理的拓展应用
【经典例题5】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【变式训练5-1】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【变式训练5-2】阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【变式训练5-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【变式训练5-4】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【变式训练5-5】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
题型六：求最短路径
【经典例题6】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ．
【变式训练6-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
【变式训练6-3】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ．
【变式训练6-4】如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ．
【变式训练6-5】如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．
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2.7.3探索勾股定理（三）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断三边是否能构成直角三角形
【经典例题1】三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，将所给的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解．
【详解】解：三角形的三边a，b，c满足，
，
，
三角形为直角三角形，
故选：B．
【变式训练1-1】已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．
【详解】解：A、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-2】线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式训练1-3】下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴，
∴能够组成直角三角形，该选项符合题意；
、∵，，
∴，
∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意；
、∵，，
∴，
∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意；
、∵，，
∴，
∴不能够组成直角三角形，该选项不合题意；
故选：．
【变式训练1-4】在中，的对边分别是a，b，c，下列对的判断错误的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则
D．若 则是等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定，根据三角形内角和定理可求出，据此可判断A；根据等边三角形的判定定理即可判断B；根据勾股定理的逆定理即可判断C、D．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故A正确，不符合题意；
B、∵，
∴是等边三角形，故B正确，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴，故C错误，符合题意；
D、设，
∴，
∴是等腰直角三角形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）．
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．①根据三角形内角和定理求解即可；②根据勾股定理逆定理证明即可；③根据勾股定理逆定理证明即可．
【详解】①，
，
，
，
是直角三角形；
②，
，
，
是直角三角形，且；
③，，
，
，即，
不是直角三角形；
综上，是直角三角形的有①②，
故答案为：①②．
题型二：图形上与已知两点构成直角三角形的点
【经典例题2】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【变式训练2-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式训练2-2】如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
【答案】D
【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．
【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选D．
【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式训练2-3】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【答案】为直角三角形，理由详见解析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
【详解】解：如图所示.
如图1，在中，
，，
因为，
所以，
即为直角三角形.
如图2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即为直角三角形.
【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
【变式训练2-4】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.
【答案】见解析
【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置.
【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.
【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.
【变式训练2-5】如图，在4×9的方格图中，□ABCD的顶点均在格点上，按下列要求作图：
(1)在CD边上找一格点E，使得AE平分∠DAB.
(2)在CD边上找一格点F，使得BF⊥AE.
【答案】作图见解析
【详解】(1)如图： AE就是所求图形
(2)如图： BF就是所求图形
题型三：利用勾股定理的逆定理求解
【经典例题3】如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理可得：，
故选：A．
【变式训练3-1】如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是
【答案】
【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
根据勾股定理可求得，再由勾股定理得逆定理可证是直角三角形，则根据即可求解．
【详解】解：连接，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练3-2】已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题意求得，可得，故是直角三角形，据此即可求解；
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴
∴是直角三角形
∴
【变式训练3-3】如图，在四边形中，，，，，，求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形．
【详解】解：，，
，
设，则，
又，
，
或（舍去），
，，
又，，
，，
，
是直角三角形，
．
【变式训练3-4】如图，，垂足为D ，，．
(1)求的度数？并说明理由；
(2)P是边上一点，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)4或或5
【分析】（1）先由勾股定理求出和，再由勾股定理逆定理证出为直角三角形即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分三种情况：①当时，如图，
∵，，
∴，
∴；
②当时，如图，
∵
∴，
∴；
③当时，过点P作于E，如图，
∵，，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的长为4或或5．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理、等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
【变式训练3-5】如图，已知在中，，求的面积．
【答案】54
【分析】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面积．
【变式训练3-6】如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据，，，易得，可证是直角三角形，；
（2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，且；
（2）解：解：，，，
，
四边形的面积的面积的面积
．
题型四：勾股定理逆定理的实际应用
【经典例题4】如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行．
【答案】南偏东
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里），
乙船的路程：（海里），
∵，
∴，
∵是北偏东方向，
∴是南偏东．
故答案为：南偏东．
【变式训练4-1】如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，，，．小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
【答案】小明与B送奶站的最近距离为
【分析】由勾股定理逆定理，即可得到；过点B作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质，和勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
过点B作于点D，则的长即为小明与送奶站的最近距离，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
即小明与B送奶站的最近距离为．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，垂线段最短．熟练掌握相关定理和性质，是解题的关键．
【变式训练4-2】2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析；
(2)元．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答．
【详解】（1）连接，
技术人员测量的是A，C两点之间的距离，
理由测量的是A，C两点之间的距离，
理由如下：∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴，
，
∴
∴绿化这片空地共需花费元．
【变式训练4-3】如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？
【答案】乙船航向为南偏东．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角的应用．连接，利用勾股定理的逆定理证明，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即乙船航向为南偏东．
【变式训练4-4】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2.5千米
【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，则，
由勾股定理得：
∴
解得
答：原来的路线的长为2.5千米．
【变式训练4-5】某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，．
(1)求B、D之间的距离；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）由勾股定理得，即可求解；
（2）可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求四边形的面积，即可求解；
【详解】（1）解：连接，
，
，
故B、D之间的距离为；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积
．
题型五：勾股定理逆定理的拓展应用
【经典例题5】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
【变式训练5-1】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
【变式训练5-2】阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等
【分析】（1）把直接代入，，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；
（3）根据勾股数解答即可．
【详解】（1）把代入，，得：
，，，
这组勾股数为；
（2）表示大于1的整数，
，，都是正整数，且是最大边，
，
是一组勾股数；
（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键．
【变式训练5-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
【变式训练5-4】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
【变式训练5-5】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
题型六：求最短路径
【经典例题6】如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把长方体按照三种方式展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理分别求出的长度即可求解，正确画出长方体的展开图是解题的关键．
【详解】解：将长方体按如图所示展开，连接，根据两点之间线段最短，线段为点到点的最短路线，此时；
将长方体按如图所示展开，得；
将长方体按如图所示展开，得；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路线的长是，
故选：．
【变式训练6-1】如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可．
【详解】解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开，
由题意得，
在中，由勾股定理得，
∵两点之间线段最短，
∴蜘蛛所走最短路径长度为，
故答案为：20．
【变式训练6-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，．
在中，，
∴；
故答案为：
【变式训练6-3】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是是解答的关键．
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为，
根据题意，，，
∴，
∴圆柱的底面周长为．
故答案为：6．
【变式训练6-4】如图，圆柱的高为，底面周长为，用一根绳子由点A逆时针绕圆柱两圈到点B，则这根绳子的长度至少需要 ．
【答案】13
【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．将圆柱的侧面展开，根据“两点之间，线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将圆柱沿展开，设点分别为的中点，
连接，根据两点之间，线段最短，可得的长度和就是这根绳子的长度的最短长度．
由题可得：，
，
由勾股定理得：，，
，
故答案为：13．
【变式训练6-5】如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解；如图所示，将圆柱展开，
作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，
由题意得，，，
∴由勾股定理得，
故答案为：．
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